Capitolo 10. La media pesata Calcolo della media pesata

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Capitolo 10. La media pesata Calcolo della media pesata"

Transcript

1 Capitolo 0 La media pesata Supponiamo che una stessa grandezza sia stata misurata da osservatori differenti (es. velocità della luce) in laboratori con strumenti e metodi di misura differenti: Laboratorio A: c c A ± σ A Laboratorio B: c c B ± σ B Come si possono combinare questi dati per ottenere la miglior stima di c? Non è conveniente applicare la media aritmetica perchè in generale σ A σ B. 0. Calcolo della media pesata Sia X il valore di aspettazione della comune grandezza x che entrambi gli sperimentatori stanno misurando. Ciascuna serie di misure (A e B) segua una distribuzione gaussiana, con errore quadratico medio σ A e σ B, rispettivamente. La probabilità che lo sperimentatore A trovi come risultato di una misura il valore x A è: [ ] P(x A ) (x A X) exp σ A Analogamente, la probabilità che lo sperimentatore B trovi come risultato di una misura il valore x B è: σ A [ ] P(x B ) (x B X) exp σ B 7 σ B

2 8 CAPITOLO 0. LA MEDIA PESATA Qual è la probabilità complessiva che i due sperimentatori ottengano i due valori x A e x B? Le due serie di misure rappresentano due eventi compatibili indipendenti, per cui la probabilità composta è data dal prodotto delle probabilità: P(x A e x B ) P(x A ) P(x B ) σ A σ B exp ( ) ( χ xa X xb X + σ A σ B ) ( χ La probabilità composta sarà massima se l esponente χ è minimo: ) d ( ) χ 0 x A X dx σa x B X σ B 0 Se definiamo i pesi: d ( ) χ dx X best σa ( x A σa ( σ A + σ B + x B σb + σ B ) ) > 0 p A σ A p B σ B Possiamo riscrivere il risultato sulla migliore stima di X: media pesata x p p Ax A + p B x B p A + p B In generale, la forma funzionale della media pesata si ritrova in varie applicazioni di utilizzo frequente. Esempio: coordinate del centro di massa di una distribuzione discreta di masse nello spazio (i pesi sono le masse dei punti materiali) R m r + m r + + m k r k m + m + + m k

3 0.. CALCOLO DELLA MEDIA PESATA 9 Esempio: voto di laurea dove ciascun voto V è pesato dal rispettivo numero di crediti formativi cfu voto di laurea cfu V + cfu V + + cfu k V k cfu + cfu + + cfu k Ritornando al caso di misure diverse di una stessa grandezza fisica si osserva che la misura con peso maggiore è quella che corrisponde all errore quadratico σ medio più piccolo, cioè alla distribuzione più stretta. Risultati più precisi, con indeterminazioni più basse, pesano maggiormente nella determinazione della miglior stima di X. 0.. Media pesata: metodo diretto Generalizziamo al caso di N serie di misure di una stessa grandezza fisica ottenute in condizioni differenti (strumento di misura, sperimentatore, laboratorio). Assumiamo che ciascuna serie di misure sia stata ottenuta mediante l utilizzo di metodi diretti o di strumenti tarati e sia descrivibile da una distribuzione gaussiana con media aritmetica x i e indeterminazione statistica σ xi. Quale criterio adottare per ottenere la miglior stima del valore vero e relativa indeterminazione, sfruttando l informazione a disposizione? Estendendo i risultati appena trovati possiamo scrivere: x p x i ( i con i Quale indeterminazione associare alla media pesata? Essendo la media pesata vista come funzione di N grandezze si deve applicare la propagazione degli errori statistici (somma in quadratura): σ xi ) σ xp ) ( ) ( ) ( xp xp xp σ x + σ x + + σ xn x x x N ( σ i ) i ( N ) ( N ) p i i i ( ) σ σ i i ( i i N ) N i i

4 0 CAPITOLO 0. LA MEDIA PESATA Quindi, ricapitolando, la media pesata è definita come: x p x i i i e l indeterminazione sulla media pesata : σ xp N i ( ) dove si attribuiscono pesi σ xi maggiori alle misure più precise, corrispondenti a distribuzioni più strette. Caso particolare. N gruppi di misure prese in identiche condizioni: σ σ σ N σ pesi uguali la media pesata coincide con la media aritmetica. La media pesata consente di migliorare la precisione delle misure, essendo l indeterminazione della media pesata sempre minore della più piccola indeterminazione singola. Infatti essendo σ x p i > i σ x σ x i σ x p σ x p < σ x i i Inoltre, ne segue che l aggiunta di una nuova misura, anche se di precisione inferiore rispetto a quelle già esistenti (σ maggiore), consente comunque di migliorare la stima della grandezza fisica, diminuendone l indeterminazione finale. i 0.. Media pesata: metodo indiretto I risultati possono essere estesi al caso in cui la grandezza fisica G G(x, x, x k ) sia misurabile con un metodo indiretto, ovvero sia funzione di altre grandezze x j misurate direttamente.

5 0.. CALCOLO DELLA MEDIA PESATA Si abbiano a disposizione n misure di G, suddivise in N serie di misure ripetute in condizioni identiche. Deve valere la condizione n j n, dove n j è la popolazione (numero di misure) della serie j-esima. Ciascuna serie contenga misure delle grandezze x j ottenute con il metodo diretto, con media aritmetica x j e scarto quadratico medio σ xj. Relativamente a ciascuna serie j-esima la soluzione al problema della misura è dato da: Ḡ j ± σ Ḡj dove Ḡj G( x j, x j, x kj ) e σ Ḡj è dato dalla propagazione degli errori statistici. La soluzione al problema della misura per la grandezza G è data dalla media pesata Ḡp ± σ Ḡp, dove j Ḡ p Ḡ j p j j σ Ḡp p j j j p j p j σ Ḡ j 0..3 Media pesata: compatibilità dei dati L utilizzo della media pesata richiede una verifica a priori del grado di compatibilità dei diversi dati a nostra disposizione. Non esiste un criterio assoluto, ma solo una pratica ragionevole. Supponiamo di avere misure diverse della stessa quantità: m ± σ( m ) e m ± σ( m ) Si calcoli il modulo della differenza D m m. L incertezza sulla differenza D si stima con la formula di propagazione degli errori statistici: σ(d) σ ( m ) + σ ( m ) Infine si calcoli la differenza tra le misure D in unità dell indeterminazione statistica su D (numero di deviazioni standard): N σ D σ(d) m m σ ( m ) + σ ( m ) È chiaro che il caso D 0 indica compatibilità dei dati, i rispettivi valori medi coincidono. Tuttavia anche se D 0 vi può essere compatibilità se le indeterminazioni statistiche sono sufficientemente grandi. Regola pratica:

6 CAPITOLO 0. LA MEDIA PESATA N σ < compatibilità ottima < N σ < compatibilità buona < N σ < 3 compatibilità discreta/mediocre N σ > 3 incompatibilità Nel caso di k misure si valuta la compatibilità tra quelle due più lontane, m a e m b. Se sono compatibili anche tutte le altre lo sono, se sono incompatibili si confrontano: D a k m j m a e D b j k m j m b Quindi si scarta il max(d a, D b ) e si ripete la procedura con le k misure restanti. Alternativa: si procede per via grafica, trovando l intersezione comune tra gli intervalli m j ±σ( m j ) (oppure ±σ( m j ) oppure ±3σ( m j )). Se l intersezione è non nulla la compatibilità è assicurata, altrimenti si procede al rigetto della misura anomala e si ripete il confronto grafico con quelle restanti. j

Analisi degli Errori di Misura. 08/04/2009 G.Sirri

Analisi degli Errori di Misura. 08/04/2009 G.Sirri Analisi degli Errori di Misura 08/04/2009 G.Sirri 1 Misure di grandezze fisiche La misura di una grandezza fisica è descrivibile tramite tre elementi: valore più probabile; incertezza (o errore ) ossia

Dettagli

Statistica Un Esempio

Statistica Un Esempio Statistica Un Esempio Un indagine sul peso, su un campione di n = 100 studenti, ha prodotto il seguente risultato. I pesi p sono espressi in Kg e sono stati raggruppati in cinque classi di peso. classe

Dettagli

ISTOGRAMMI E DISTRIBUZIONI:

ISTOGRAMMI E DISTRIBUZIONI: ISTOGRAMMI E DISTRIBUZIONI: i 3 4 5 6 7 8 9 0 i 0. 8.5 3 0 9.5 7 9.8 8.6 8. bin (=.) 5-7. 7.-9.4 n k 3 n k 6 5 n=0 =. 9.4-.6 5 4.6-3.8 3 Numero di misure nell intervallo 0 0 4 6 8 0 4 6 8 30 ISTOGRAMMI

Dettagli

Incertezza di Misura: Concetti di Base

Incertezza di Misura: Concetti di Base Incertezza di Misura: Concetti di Base Roberto Ottoboni Dipartimento di Elettrotecnica Politecnico di Milano 1 Il concetto di misura Nella sua accezione più comune si è sempre inteso come misura di una

Dettagli

Statistica. Matematica con Elementi di Statistica a.a. 2015/16

Statistica. Matematica con Elementi di Statistica a.a. 2015/16 Statistica La statistica è la scienza che organizza e analizza dati numerici per fini descrittivi o per permettere di prendere delle decisioni e fare previsioni. Statistica descrittiva: dalla mole di dati

Dettagli

Il processo inferenziale consente di generalizzare, con un certo grado di sicurezza, i risultati ottenuti osservando uno o più campioni

Il processo inferenziale consente di generalizzare, con un certo grado di sicurezza, i risultati ottenuti osservando uno o più campioni La statistica inferenziale Il processo inferenziale consente di generalizzare, con un certo grado di sicurezza, i risultati ottenuti osservando uno o più campioni E necessario però anche aggiungere con

Dettagli

LE MISURE. attendibilità = x i - X

LE MISURE. attendibilità = x i - X LE MISURE COCETTI PRELIMIARI: MISURA, ATTEDIBILITÀ, PRECISIOE, ACCURATEZZA Il modo corretto di fornire il risultato di una qualunque misura è quello di dare la migliore stima della quantità in questione

Dettagli

La statistica. Elaborazione e rappresentazione dei dati Gli indicatori statistici. Prof. Giuseppe Carucci

La statistica. Elaborazione e rappresentazione dei dati Gli indicatori statistici. Prof. Giuseppe Carucci La statistica Elaborazione e rappresentazione dei dati Gli indicatori statistici Introduzione La statistica raccoglie ed analizza gruppi di dati (su cose o persone) per trarne conclusioni e fare previsioni

Dettagli

Capitolo 2 Le misure delle grandezze fisiche

Capitolo 2 Le misure delle grandezze fisiche Capitolo 2 Le misure delle grandezze fisiche Gli strumenti di misura Gli errori di misura Il risultato di una misura Errore relativo ed errore percentuale Propagazione degli errori Rappresentazione di

Dettagli

Note sulla probabilità

Note sulla probabilità Note sulla probabilità Maurizio Loreti Dipartimento di Fisica Università degli Studi di Padova Anno Accademico 2002 03 1 La distribuzione del χ 2 0.6 0.5 N=1 N=2 N=3 N=5 N=10 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 5 10 15

Dettagli

Esercitazione: La distribuzione NORMALE

Esercitazione: La distribuzione NORMALE Esercitazione: La distribuzione NORMALE Uno dei più importanti esempi di distribuzione di probabilità continua è dato dalla distribuzione Normale (curva normale o distribuzione Gaussiana); è una delle

Dettagli

Distribuzione Normale

Distribuzione Normale Distribuzione Normale istogramma delle frequenze di un insieme di misure di una grandezza che può variare con continuità popolazione molto numerosa, costituita da una quantità praticamente illimitata di

Dettagli

Esame di Statistica (10 o 12 CFU) CLEF 11 febbraio 2016

Esame di Statistica (10 o 12 CFU) CLEF 11 febbraio 2016 Esame di Statistica 0 o CFU) CLEF febbraio 06 Esercizio Si considerino i seguenti dati, relativi a 00 clienti di una banca a cui è stato concesso un prestito, classificati per età e per esito dell operazione

Dettagli

INCERTEZZA DI MISURA SECONDO NORME CEI

INCERTEZZA DI MISURA SECONDO NORME CEI CORSO DI FORMAZIONE AMBIENTALE TECNICHE DI MISURA DEI CAMPI ELETTROMAGNETICI IN ALTA E BASSA FREQUENZA INCERTEZZA DI MISURA SECONDO NORME CEI Ing. Valeria Canè Servizio Agenti Fisici 1 UNA MISURA E un

Dettagli

Il Corso di Fisica per Scienze Biologiche

Il Corso di Fisica per Scienze Biologiche Il Corso di Fisica per Scienze Biologiche Ø Prof. Attilio Santocchia Ø Ufficio presso il Dipartimento di Fisica (Quinto Piano) Tel. 75-585 278 Ø E-mail: attilio.santocchia@pg.infn.it Ø Web: http://www.fisica.unipg.it/~attilio.santocchia/

Dettagli

Errori di misura Teoria

Errori di misura Teoria Errori di misura Teoria a misura operazione di misura di una grandezza fisica, anche se eseguita con uno strumento precisissimo e con tecniche e procedimenti accurati, è sempre affetta da errori. Gli errori

Dettagli

Modulo di Statistica e Tecnologia (Dott. Giorgio Poletti

Modulo di Statistica e Tecnologia (Dott. Giorgio Poletti Laurea in Scienze dell Educazione Insegnamento di Pedagogia Sperimentale (Prof. Paolo Frignani) Modulo di Statistica e Tecnologia (Dott. Giorgio Poletti giorgio.poletti@unife.it) MEDIA aritmetica semplice

Dettagli

Programmazione con Foglio di Calcolo Cenni di Statistica Descrittiva

Programmazione con Foglio di Calcolo Cenni di Statistica Descrittiva Fondamenti di Informatica Ester Zumpano Programmazione con Foglio di Calcolo Cenni di Statistica Descrittiva Lezione 5 Statistica descrittiva La statistica descrittiva mette a disposizione il calcolo di

Dettagli

DISTRIBUZIONE NORMALE (1)

DISTRIBUZIONE NORMALE (1) DISTRIBUZIONE NORMALE (1) Nella popolazione generale molte variabili presentano una distribuzione a forma di campana, bene caratterizzata da un punto di vista matematico, chiamata distribuzione normale

Dettagli

La SCALA di Probabilità varia tra 0.00 e 1.00.

La SCALA di Probabilità varia tra 0.00 e 1.00. CHE COS E LA PROBABILITA La probabilità è la MISURA dell incertezza di un evento, cioè come noi classifichiamo gli eventi rispetto alla loro incertezza. La SCALA di Probabilità varia tra 0.00 e 1.00. 0.00

Dettagli

Variabile casuale Normale

Variabile casuale Normale Variabile casuale Normale La var. casuale Normale (o Gaussiana) è considerata la più importante distribuzione Statistica per le innumerevoli Applicazioni e per le rilevanti proprietà di cui gode L'importanza

Dettagli

Incertezza di misura concetti di base. Roberto Olmi IFAC-CNR

Incertezza di misura concetti di base. Roberto Olmi IFAC-CNR Incertezza di misura concetti di base Roberto Olmi IFAC-CNR Certezza dell incertezza Il display mostra: Inferenza sulla la massa, basata sulla lettura: La massa ha un valore tra 83.35 e 83.45 g La massa

Dettagli

LAUREA SPECIALISTICA IN FARMACIA - Prova scritta di MATEMATICA - 24/01/03 ANNI PRECEDENTI. 1. (Punti 10) Si consideri la funzione

LAUREA SPECIALISTICA IN FARMACIA - Prova scritta di MATEMATICA - 24/01/03 ANNI PRECEDENTI. 1. (Punti 10) Si consideri la funzione MATEMATICA - 4//3 ANNI PRECEDENTI (Punti ) Si consideri la funzione ( ) f() = ln Si studi f, determinando in particolare dominio, limiti, intervalli di crescenza, decrescenza, concavità, convessità di

Dettagli

Distribuzione Gaussiana - Facciamo un riassunto -

Distribuzione Gaussiana - Facciamo un riassunto - Distribuzione Gaussiana - Facciamo un riassunto - Nell ipotesi che i dati si distribuiscano seguendo una curva Gaussiana è possibile dare un carattere predittivo alla deviazione standard La prossima misura

Dettagli

Statistica descrittiva II

Statistica descrittiva II Probabilità e Statistica Esercitazioni a.a. 009/010 C.d.L.: Ingegneria Elettronica e delle Telecomunicazioni, Ingegneria Informatica Statistica descrittiva II Ines Campa Probabilità e Statistica - Esercitazioni

Dettagli

Corso C Geomatica. Teoria degli errori. Massimiliano Cannata

Corso C Geomatica. Teoria degli errori. Massimiliano Cannata Corso C111.01 - Geomatica Teoria degli errori Rappresentazione di una misura di precisione ( x ± σ x ) u x = misura σ x = incertezza della misura u = unità di misura Il problema degli errori in topografia

Dettagli

Il metodo dei minimi quadrati. Molto spesso due grandezze fisiche x e y, misurabili direttamente, sono legate tra loro da una legge del tipo:

Il metodo dei minimi quadrati. Molto spesso due grandezze fisiche x e y, misurabili direttamente, sono legate tra loro da una legge del tipo: Il metodo dei minimi quadrati Molto spesso due grandezze fisiche x e y, misurabili direttamente, sono legate tra loro da una legge del tipo: Dove A e B sono costanti y = A + Bx (ad esempio in un moto uniformemente

Dettagli

FENOMENI CASUALI. fenomeni casuali

FENOMENI CASUALI. fenomeni casuali PROBABILITÀ 94 FENOMENI CASUALI La probabilità si occupa di fenomeni casuali fenomeni di cui, a priori, non si sa quale esito si verificherà. Esempio Lancio di una moneta Testa o Croce? 95 DEFINIZIONI

Dettagli

Misura di grandezze fisiche Stima delle incertezze. Maria Luisa De Giorgi Dipartimento di Fisica UniSalento - Lecce

Misura di grandezze fisiche Stima delle incertezze. Maria Luisa De Giorgi Dipartimento di Fisica UniSalento - Lecce Misura di grandezze fisiche Stima delle incertezze Maria Luisa De Giorgi Dipartimento di Fisica UniSalento - Lecce 1 Scopo della lezione : esporre sinteticamente i metodi di elaborazione dei dati sperimentali

Dettagli

Valutazione dell incertezza di categoria A e B

Valutazione dell incertezza di categoria A e B Valutazione dell incertezza di categoria A e B Il metodo per stimare l incertezza associata ad una misurazione è sancito dalla normativa UNI CEI ENV 13005 Guida all espressione dell incertezza di misura.

Dettagli

ESPERIENZA DI LABORATORIO N 1. 1) Misura diretta mediante tester della resistenza elettrica dei resistori R1, R2, R3 e calcolo degli errori di misura.

ESPERIENZA DI LABORATORIO N 1. 1) Misura diretta mediante tester della resistenza elettrica dei resistori R1, R2, R3 e calcolo degli errori di misura. ESPERIENZA DI LABORATORIO N. ) Misura diretta mediante tester della resistenza elettrica dei resistori R, R, R3 e calcolo degli errori di misura. Dalla misurazione diretta delle singole resistenze abbiamo

Dettagli

Corso di Laurea in Farmacia, cognomi M-Z Modulo di Matematica, 1 dicembre 2011, TEMA 1. Giustificare adeguatamente le soluzioni dei seguenti esercizi:

Corso di Laurea in Farmacia, cognomi M-Z Modulo di Matematica, 1 dicembre 2011, TEMA 1. Giustificare adeguatamente le soluzioni dei seguenti esercizi: Modulo di Matematica, 1 dicembre 2011, TEMA 1 Una popolazione è composta dal 45% di fumatori e dal 55% di non fumatori. È noto che il 65% dei fumatori e il 10% dei non fumatori sono affetti da una malattia

Dettagli

SCHEDA N 8 DEL LABORATORIO DI FISICA

SCHEDA N 8 DEL LABORATORIO DI FISICA SCHEDA N 1 IL PENDOLO SEMPLICE SCHEDA N 8 DEL LABORATORIO DI FISICA Scopo dell'esperimento. Determinare il periodo di oscillazione di un pendolo semplice. Applicare le nozioni sugli errori di una grandezza

Dettagli

Teoria e tecniche dei test. Concetti di base

Teoria e tecniche dei test. Concetti di base Teoria e tecniche dei test Lezione 2 2013/14 ALCUNE NOZIONI STATITICHE DI BASE Concetti di base Campione e popolazione (1) La popolazione è l insieme di individui o oggetti che si vogliono studiare. Questi

Dettagli

Premessa: la dipendenza in media

Premessa: la dipendenza in media Premessa: la dipendenza in media Supponiamo di avere K diversi livelli di un fattore che potrebbero influire su una determinata variabile. Per esempio supponiamo di domandarci se la diversificazione (intesa

Dettagli

3) In una distribuzione di frequenza si può ottenere più di una moda Vero Falso

3) In una distribuzione di frequenza si può ottenere più di una moda Vero Falso CLM C Verifica in itinere statistica medica 13-01-2014 1) Indicate a quale categoria (Qualitativa, qualitativa ordinabile, quantitativa discreta, quantitativa continua) appartengono le seguenti variabili:

Dettagli

REGRESSIONE E CORRELAZIONE

REGRESSIONE E CORRELAZIONE REGRESSIONE E CORRELAZIONE Nella Statistica, per studio della connessione si intende la ricerca di eventuali relazioni, di dipendenza ed interdipendenza, intercorrenti tra due variabili statistiche 1.

Dettagli

Capitolo 6. Variabili casuali continue. 6.1 La densità di probabilità

Capitolo 6. Variabili casuali continue. 6.1 La densità di probabilità Capitolo 6 Variabili casuali continue Le definizioni di probabilità che abbiamo finora usato sono adatte solo per una variabile casuale che possa assumere solo valori discreti; vediamo innanzi tutto come

Dettagli

TOPOGRAFIA 2013/2014. Prof. Francesco-Gaspare Caputo

TOPOGRAFIA 2013/2014. Prof. Francesco-Gaspare Caputo TOPOGRAFIA 2013/2014 L operazione di misura di una grandezza produce un numero reale che esprime il rapporto della grandezza stessa rispetto a un altra, a essa omogenea, assunta come unità di misura. L

Dettagli

12) Metodo dei minimi quadrati e linea di tendenza

12) Metodo dei minimi quadrati e linea di tendenza 12) Metodo dei minimi quadrati e linea di tendenza 43 Si supponga di avere una tabella di dati {y exp i} i=1,,n in funzione di altri dati {x i } i=1,,n che siano il risultato di una qualche misura sperimentale.

Dettagli

1/4 Capitolo 4 Statistica - Metodologie per le scienze economiche e sociali 2/ed Copyright 2008 The McGraw-Hill Companies srl

1/4 Capitolo 4 Statistica - Metodologie per le scienze economiche e sociali 2/ed Copyright 2008 The McGraw-Hill Companies srl 1/4 Capitolo 4 La variabilità di una distribuzione Intervalli di variabilità Box-plot Indici basati sullo scostamento dalla media Confronti di variabilità Standardizzazione Statistica - Metodologie per

Dettagli

Istituzioni di Statistica e Statistica Economica

Istituzioni di Statistica e Statistica Economica Istituzioni di Statistica e Statistica Economica Università degli Studi di Perugia Facoltà di Economia, Assisi, a.a. 2013/14 Esercitazione n. 1 A. I dati riportati nella seguente tabella si riferiscono

Dettagli

Statistica. POPOLAZIONE: serie di dati, che rappresenta linsieme che si vuole indagare (reali, sperimentali, matematici)

Statistica. POPOLAZIONE: serie di dati, che rappresenta linsieme che si vuole indagare (reali, sperimentali, matematici) Statistica La statistica può essere vista come la scienza che organizza ed analizza dati numerici per fini descrittivi o per permettere di prendere delle decisioni e fare previsioni. Statistica descrittiva:

Dettagli

Lezione 4 a - Misure di dispersione o di variabilità

Lezione 4 a - Misure di dispersione o di variabilità Lezione 4 a - Misure di dispersione o di variabilità Abbiamo visto che la media è una misura della localizzazione centrale della distribuzione (il centro di gravità). Popolazioni con la stessa media possono

Dettagli

MATEMATICA CORSO A CORSO DI LAUREA IN SCIENZE BIOLOGICHE I PROVA IN ITINERE COMPITO PROVA 1

MATEMATICA CORSO A CORSO DI LAUREA IN SCIENZE BIOLOGICHE I PROVA IN ITINERE COMPITO PROVA 1 MATEMATICA CORSO A CORSO DI LAUREA IN SCIENZE BIOLOGICHE I PROVA IN ITINERE COMPITO PROVA 1 1- Il volume di un corpo di qualsiasi forma è proporzionale al cubo di una qualunque delle sue dimensioni lineari.

Dettagli

Statistica ARGOMENTI. Calcolo combinatorio

Statistica ARGOMENTI. Calcolo combinatorio Statistica ARGOMENTI Calcolo combinatorio Probabilità Disposizioni semplici Disposizioni con ripetizione Permutazioni semplici Permutazioni con ripetizioni Combinazioni semplici Assiomi di probabilità

Dettagli

Esperienza del viscosimetro a caduta

Esperienza del viscosimetro a caduta Esperienza del viscosimetro a caduta Parte del corso di fisica per CTF, Farmacia e ISF Tenuto da Andrea Perrotta, perrotta@bo.infn.it La fisica è una scienza sperimentale (come anche Chimica, Farmacia,

Dettagli

Capitolo 6. La distribuzione normale

Capitolo 6. La distribuzione normale Levine, Krehbiel, Berenson Statistica II ed. 2006 Apogeo Capitolo 6 La distribuzione normale Insegnamento: Statistica Corso di Laurea Triennale in Ingegneria Gestionale Facoltà di Ingegneria, Università

Dettagli

Esercizi S A 2.0 S B. =0.2; Metodo B: S B ii)

Esercizi S A 2.0 S B. =0.2; Metodo B: S B ii) Si usano ue metoi ifferenti per misurare il carico i rottura i un filo i acciaio e si fanno 0 misure per ognuno ei metoi. I risultati, espressi in tonnellate, sono i seguenti: Metoo :..5.7..6.5.6.4.6.9

Dettagli

Laboratorio di Didattica di elaborazione dati 5 STIMA PUNTUALE DEI PARAMETRI. x i. SE = n.

Laboratorio di Didattica di elaborazione dati 5 STIMA PUNTUALE DEI PARAMETRI. x i. SE = n. 5 STIMA PUNTUALE DEI PARAMETRI [Adattato dal libro Excel per la statistica di Enzo Belluco] Sia θ un parametro incognito della distribuzione di un carattere in una determinata popolazione. Il problema

Dettagli

Importanza delle incertezze nelle misure fisiche

Importanza delle incertezze nelle misure fisiche Importanza delle incertezze nelle misure fisiche La parola errore non significa equivoco o sbaglio Essa assume il significato di incertezza da associare alla misura Nessuna grandezza fisica può essere

Dettagli

Capitolo 6 La distribuzione normale

Capitolo 6 La distribuzione normale Levine, Krehbiel, Berenson Statistica Casa editrice: Pearson Capitolo 6 La distribuzione normale Insegnamento: Statistica Corso di Laurea Triennale in Economia Dipartimento di Economia e Management, Università

Dettagli

Corso PAS Misure, strumenti ed Errori di misura. Didattica del Laboratorio di Fisica F. Garufi 2014

Corso PAS Misure, strumenti ed Errori di misura. Didattica del Laboratorio di Fisica F. Garufi 2014 Corso PAS Misure, strumenti ed Errori di misura Didattica del Laboratorio di Fisica F. Garufi 2014 Grandezze ed unità di misura grandezza (misurabile) si intende un attributo di un fenomeno, di un corpo

Dettagli

Variabili aleatorie. Variabili aleatorie e variabili statistiche

Variabili aleatorie. Variabili aleatorie e variabili statistiche Variabili aleatorie Variabili aleatorie e variabili statistiche Nelle prime lezioni, abbiamo visto il concetto di variabile statistica : Un oggetto o evento del mondo reale veniva associato a una certa

Dettagli

Ulteriori Conoscenze di Informatica e Statistica

Ulteriori Conoscenze di Informatica e Statistica ndici di forma Ulteriori Conoscenze di nformatica e Statistica Descrivono le asimmetrie della distribuzione Carlo Meneghini Dip. di fisica via della Vasca Navale 84, st. 83 ( piano) tel.: 06 55 17 72 17

Dettagli

MISURA DELLA DISTANZA FOCALE DI UNA LENTE CONVERGENTE

MISURA DELLA DISTANZA FOCALE DI UNA LENTE CONVERGENTE MISURA DELLA DISTANZA FOCALE DI UNA LENTE CONVERGENTE La distanza focale f di una lente convergente sottile è data dalla formula: da cui 1 f = 1 p + 1 q f = pq p + q dove p e q sono, rispettivamente, le

Dettagli

FISICA. Elaborazione dei dati sperimentali. Autore: prof. Pappalardo Vincenzo docente di Matematica e Fisica

FISICA. Elaborazione dei dati sperimentali. Autore: prof. Pappalardo Vincenzo docente di Matematica e Fisica FISICA Elaborazione dei dati sperimentali Autore: prof. Pappalardo Vincenzo docente di Matematica e Fisica LA MISURA GLI STRUMENTI DI MISURA Gli strumenti di misura possono essere analogici o digitali.

Dettagli

Statistica Metodologica Avanzato Test 1: Concetti base di inferenza

Statistica Metodologica Avanzato Test 1: Concetti base di inferenza Test 1: Concetti base di inferenza 1. Se uno stimatore T n è non distorto per il parametro θ, allora A T n è anche consistente B lim Var[T n] = 0 n C E[T n ] = θ, per ogni θ 2. Se T n è uno stimatore con

Dettagli

CORSO DI LAUREA IN INFERMIERISTICA. LEZIONI DI STATISTICA Elaborazione dei dati Valori medi

CORSO DI LAUREA IN INFERMIERISTICA. LEZIONI DI STATISTICA Elaborazione dei dati Valori medi CORSO DI LAUREA IN INFERMIERISTICA LEZIONI DI STATISTICA Elaborazione dei dati Valori medi VALORI MEDI In una serie di valori si definisce medio (o intermedio) un valore compreso tra il più piccolo ed

Dettagli

Il metodo delle osservazioni indirette

Il metodo delle osservazioni indirette Il metodo delle osservazioni indirette Teoria della stima ai minimi quadrati Il criterio di massima verosimiglianza Sia data una grandezza η e si abbiano n osservazioni indipendenti l i (i=1,...,n) di

Dettagli

PROVA SCRITTA DI STATISTICA. cod CLEA-CLAPI-CLEFIN-CLELI cod CLEA-CLAPI-CLEFIN-CLEMIT. 5 Novembre 2003 SOLUZIONI MOD.

PROVA SCRITTA DI STATISTICA. cod CLEA-CLAPI-CLEFIN-CLELI cod CLEA-CLAPI-CLEFIN-CLEMIT. 5 Novembre 2003 SOLUZIONI MOD. PROVA SCRITTA DI STATISTICA cod. 4038 CLEA-CLAPI-CLEFIN-CLELI cod. 5047 CLEA-CLAPI-CLEFIN-CLEMIT 5 Novembre 003 SOLUZIONI MOD. A In 8 facoltà di un ateneo italiano vengono rilevati i seguenti dati campionari

Dettagli

Vedi: Probabilità e cenni di statistica

Vedi:  Probabilità e cenni di statistica Vedi: http://www.df.unipi.it/~andreozz/labcia.html Probabilità e cenni di statistica Funzione di distribuzione discreta Istogrammi e normalizzazione Distribuzioni continue Nel caso continuo la probabilità

Dettagli

s = v t (9.1) Supponiamo di voler misurare la velocità media di un corpo: v = s t

s = v t (9.1) Supponiamo di voler misurare la velocità media di un corpo: v = s t Capitolo 9 PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI La misura della grandezza fisica è generalmente accompagnata dalla stima dell errore ad essa associato. Sappiamo come stimare l errore nel caso di una misura diretta,

Dettagli

Test d Ipotesi Introduzione

Test d Ipotesi Introduzione Test d Ipotesi Introduzione Uno degli scopi più importanti di un analisi statistica è quello di utilizzare i dati provenienti da un campione per fare inferenza sulla popolazione da cui è stato estratto

Dettagli

Casa dello Studente. Casa dello Studente

Casa dello Studente. Casa dello Studente Esercitazione - 14 aprile 2016 ESERCIZIO 1 Di seguito si riporta il giudizio (punteggio da 0 a 5) espresso da un gruppo di studenti rispetto alle diverse residenze studentesche di un Ateneo: a) Si calcolino

Dettagli

Elementi di Statistica

Elementi di Statistica Università degli Studi di Palermo Dipartimento di Ingegneria Informatica Informatica ed Elementi di Statistica 3 c.f.u. Anno Accademico 2010/2011 Docente: ing. Salvatore Sorce Elementi di Statistica Statistica

Dettagli

Misure Meccaniche e Termiche. punti massa. Valore atteso: Varianza:

Misure Meccaniche e Termiche. punti massa. Valore atteso: Varianza: Fenomeni aleatori Misure Meccaniche e Termiche Sezione di Misure e Tecniche Sperimentali I fenomeni aleatori (o casuali) sono fenomeni empirici il cui risultato non è prevedibile a priori, caratterizzati

Dettagli

Teorema del limite centrale TCL

Teorema del limite centrale TCL Teorema del limite centrale TCL Questo importante teorema della statistica inferenziale si applica a qualsiasi variabile aleatoria che sia combinazione lineare di N variabili aleatorie le cui funzioni

Dettagli

Relazione di fisica ESPERIMENTO N 1

Relazione di fisica ESPERIMENTO N 1 ISTITUTO SUPERIORE "B. RUSSELL" DI ROMA Relazione di fisica ESPERIMENTO N 1 1.TITOLO Misurazione indiretta della massa di un cilindretto metallico mediante i metodi della tara di J.C. Borda e della doppia

Dettagli

Gli indici di variabilità

Gli indici di variabilità Le misure della variabilità 4/5 ottobre 2011 Statistica sociale 1 Gli indici di variabilità In tutti gli esempi visti nell ultima lezione, abbiamo visto che le grandezze considerate - pur nelle diverse

Dettagli

15/04/2014. Serway, Jewett Principi di Fisica IV Ed. Capitolo 8. Generalizziamo, considerando due particelle interagenti.

15/04/2014. Serway, Jewett Principi di Fisica IV Ed. Capitolo 8. Generalizziamo, considerando due particelle interagenti. Serway, Jewett Principi di Fisica IV Ed. Capitolo 8 Esempio arciere su una superficie ghiacciata che scocca la freccia: l arciere (60 kg) esercita una forza sulla freccia 0.5 kg (che parte in avanti con

Dettagli

Capitolo 8. Intervalli di confidenza. Statistica. Levine, Krehbiel, Berenson. Casa editrice: Pearson. Insegnamento: Statistica

Capitolo 8. Intervalli di confidenza. Statistica. Levine, Krehbiel, Berenson. Casa editrice: Pearson. Insegnamento: Statistica Levine, Krehbiel, Berenson Statistica Casa editrice: Pearson Capitolo 8 Intervalli di confidenza Insegnamento: Statistica Corso di Laurea Triennale in Economia Dipartimento di Economia e Management, Università

Dettagli

Esempi di confronti grafici

Esempi di confronti grafici Esempi di confronti grafici Esempi di confronti grafici 7/3 Capitolo 3 LE MEDIE La media aritmetica La media geometrica La trimmed mean La mediana La moda I percentili Statistica - Metodologie per

Dettagli

Esercizi di Calcolo delle Probabilità

Esercizi di Calcolo delle Probabilità Esercizi di Calcolo delle Probabilità Versione del 1/05/005 Corso di Statistica Anno Accademico 00/05 Antonio Giannitrapani, Simone Paoletti Calcolo delle probabilità Esercizio 1. Un dado viene lanciato

Dettagli

Esercitazione 8 maggio 2014

Esercitazione 8 maggio 2014 Esercitazione 8 maggio 2014 Esercizio 2 dal tema d esame del 13.01.2014 (parte II). L età media di n gruppo di 10 studenti che hanno appena conseguito la laurea triennale è di 22 anni. a) Costruire un

Dettagli

IE FISICA Verifica 10 gennaio 2015 tutti gli esercizi e tutte le domande

IE FISICA Verifica 10 gennaio 2015 tutti gli esercizi e tutte le domande 1) Per ciascuno dei due casi determinare: portata e sensibilità dello strumento di misura; grandezza fisica misurata, valore della misura, errore assoluto, errore relativo ed errore percentuale; quindi

Dettagli

L indagine campionaria Lezione 3

L indagine campionaria Lezione 3 Anno accademico 2007/08 L indagine campionaria Lezione 3 Docente: prof. Maurizio Pisati Variabile casuale Una variabile casuale è una quantità discreta o continua il cui valore è determinato dal risultato

Dettagli

Questionario 1. Sono assegnati i seguenti dati

Questionario 1. Sono assegnati i seguenti dati Questionario 1. Sono assegnati i seguenti dati 30 30 10 30 50 30 60 60 30 20 20 20 30 20 30 30 20 10 10 40 20 30 10 10 10 30 40 30 20 20 40 40 40 dire se i dati illustrati sono unità statistiche valori

Dettagli

Capitolo 11. minimi quadrati Il metodo dei minimi quadrati

Capitolo 11. minimi quadrati Il metodo dei minimi quadrati Capitolo 11 I minimi quadrati Il problema con cui abbiamo a che fare adesso consiste nel determinare con buona approssimazione una curva (funzione) che descriva il fenomeno a cui i dati appartengono. Lo

Dettagli

Statistica Sociale - modulo A

Statistica Sociale - modulo A Statistica Sociale - modulo A e-mail: stella.iezzi@uniroma2.it Uno dei principali limiti della media aritmetica e che essa risente fortemente dei valori estremi della distribuzione. Cosi pu accadere che

Dettagli

Prof. Anna Paola Ercolani (Università di Roma) Lez Indicatori di dispersione

Prof. Anna Paola Ercolani (Università di Roma) Lez Indicatori di dispersione Consentono di descrivere la variabilità all interno della distribuzione di requenza tramite un unico valore che ne sintetizza le caratteristiche CAMPO DI VARIAZIONE DIFFERENZA INTERQUARTILE SCOSTAMENTO

Dettagli

Analisi della varianza

Analisi della varianza Analisi della varianza Prof. Giuseppe Verlato Sezione di Epidemiologia e Statistica Medica, Università di Verona ANALISI DELLA VARIANZA - 1 Abbiamo k gruppi, con un numero variabile di unità statistiche.

Dettagli

PROBABILITÀ SCHEDA N. 7 LA VARIABILE ALEATORIA NORMALE

PROBABILITÀ SCHEDA N. 7 LA VARIABILE ALEATORIA NORMALE Matematica e statistica: dai dati ai modelli alle scelte wwwdimaunige/pls_statistica Responsabili scientifici MP Rogantin e E Sasso (Dipartimento di Matematica Università di Genova) PROBABILITÀ SCHEDA

Dettagli

LE MISURE DI TENDENZA CENTRALE. Dott. Giuseppe Di Martino Scuola di Specializzazione in Igiene e Medicina Preventiva

LE MISURE DI TENDENZA CENTRALE. Dott. Giuseppe Di Martino Scuola di Specializzazione in Igiene e Medicina Preventiva LE MISURE DI TENDENZA CENTRALE Dott. Giuseppe Di Martino Scuola di Specializzazione in Igiene e Medicina Preventiva Individuare un indice che rappresenti significativamente un insieme di dati statistici

Dettagli

Misure e incertezze di misura

Misure e incertezze di misura Misure e incertezze di misura Perché si misura 1/3 Determinare il valore (costo) di oggetti Determinare la qualità di beni Esempi: dimensione di terreni, stoffe,... quantità di grano, sementi, acqua,...

Dettagli

Probabilità classica. Distribuzioni e leggi di probabilità. Probabilità frequentista. Probabilità soggettiva

Probabilità classica. Distribuzioni e leggi di probabilità. Probabilità frequentista. Probabilità soggettiva Probabilità classica Distribuzioni e leggi di probabilità La probabilità di un evento casuale è il rapporto tra il numero dei casi favorevoli ed il numero dei casi possibili, purchè siano tutti equiprobabili.

Dettagli

GLI ERRORI DI MISURA

GLI ERRORI DI MISURA Revisione del 26/10/15 ISTITUTO TECNICO INDUSTRIALE V.E.MARZOTTO Valdagno (VI) Corso di Fisica prof. Nardon GLI ERRORI DI MISURA Richiami di teoria Caratteristiche degli strumenti di misura Portata: massimo

Dettagli

Statistica - metodologie per le scienze economiche e sociali /2e S. Borra, A. Di Ciaccio - McGraw Hill

Statistica - metodologie per le scienze economiche e sociali /2e S. Borra, A. Di Ciaccio - McGraw Hill Statistica - metodologie per le scienze economiche e sociali /e S. Borra A. Di Ciaccio - McGraw Hill s. 9. Soluzione degli esercizi del capitolo 9 In base agli arrotondamenti effettuati nei calcoli si

Dettagli

Esercitazione n. 3 - Corso di STATISTICA - Università della Basilicata - a.a. 2011/12 Prof. Roberta Siciliano

Esercitazione n. 3 - Corso di STATISTICA - Università della Basilicata - a.a. 2011/12 Prof. Roberta Siciliano Esercitazione n. 3 - Corso di STATISTICA - Università della Basilicata - a.a. 2011/12 Prof. Roberta Siciliano Esercizio 1 Una moneta viene lanciata 6 volte. Calcolare a) La probabilità che escano esattamente

Dettagli

STATISTICA (2) ESERCITAZIONE Dott.ssa Antonella Costanzo

STATISTICA (2) ESERCITAZIONE Dott.ssa Antonella Costanzo STATISTICA (2) ESERCITAZIONE 7 11.03.2014 Dott.ssa Antonella Costanzo Esercizio 1. Test di indipendenza tra mutabili In un indagine vengono rilevate le informazioni su settore produttivo (Y) e genere (X)

Dettagli

Esame di Teoria dei Segnali A Ing. Informatica, Elettronica e Telecomunicazioni. 12 luglio 2004

Esame di Teoria dei Segnali A Ing. Informatica, Elettronica e Telecomunicazioni. 12 luglio 2004 Esame di Teoria dei Segnali A Ing. Informatica, Elettronica e Telecomunicazioni luglio 4 Esercizio Un sacchetto A contiene caramelle ai gusti fragola, limone e lampone. Un sacchetto B contiene caramelle

Dettagli

Distribuzioni campionarie

Distribuzioni campionarie 1 Inferenza Statistica Descrittiva Distribuzioni campionarie Statistica Inferenziale: affronta problemi di decisione in condizioni di incertezza basandosi sia su informazioni a priori sia sui dati campionari

Dettagli

Statistica4-29/09/2015

Statistica4-29/09/2015 Statistica4-29/09/2015 Raccogliere i dati con il maggior numero di cifre significative ed arrotondare eventualmente solo al momento dei calcoli (min. 3); nella grande maggioranza delle ricerche biologiche

Dettagli

C.I. di Metodologia clinica

C.I. di Metodologia clinica C.I. di Metodologia clinica Modulo 5. I metodi per la sintesi e la comunicazione delle informazioni sulla salute Quali errori influenzano le stime? L errore casuale I metodi per la produzione delle informazioni

Dettagli

La distribuzione delle frequenze. T 10 (s)

La distribuzione delle frequenze. T 10 (s) 1 La distribuzione delle frequenze Si vuole misurare il periodo di oscillazione di un pendolo costituito da una sferetta metallica agganciata a un filo (fig. 1). A Figura 1 B Ricordiamo che il periodo

Dettagli

Statistica - Un Esempio

Statistica - Un Esempio Statistica - Un Esempio Un indagine sul peso, su un campione n = 100 studenti, ha prodotto il seguente risultato. I pesi p sono espressi in kg e sono stati raggruppati in cinque classi di peso. classe

Dettagli

L errore percentuale di una misura è l errore relativo moltiplicato per 100 ed espresso in percentuale. Si indica con e p e risulta: e ( e 100)%

L errore percentuale di una misura è l errore relativo moltiplicato per 100 ed espresso in percentuale. Si indica con e p e risulta: e ( e 100)% UNITÀ L ELBORZIONE DEI DTI IN FISIC 1. Gli errori di misura.. Errori di sensibilità, errori casuali, errori sistematici. 3. La stima dell errore. 4. La media, la semidispersione e lo scarto quadratico

Dettagli

Università degli studi della Tuscia. Principi di Statistica dr. Luca Secondi A.A. 2014/2015. Esercitazione di riepilogo Variabili casuali

Università degli studi della Tuscia. Principi di Statistica dr. Luca Secondi A.A. 2014/2015. Esercitazione di riepilogo Variabili casuali Università degli studi della Tuscia Principi di Statistica dr. Luca Secondi A.A. 014/015 Esercitazione di riepilogo Variabili casuali ESERCIZIO 1 Il peso delle compresse di un determinato medicinale si

Dettagli

Statistica - metodologie per le scienze economiche e sociali /2e S. Borra, A. Di Ciaccio - McGraw Hill

Statistica - metodologie per le scienze economiche e sociali /2e S. Borra, A. Di Ciaccio - McGraw Hill Statistica - metodologie per le scienze economiche e sociali /e S. Borra, A. Di Ciaccio - McGraw Hill Es.. Soluzione degli esercizi del capitolo 4 4. Il sistema d ipotesi è: μ 7, H : μ 7, Essendo 0 : t,

Dettagli

Elementi di base su modello binomiale e modello normale

Elementi di base su modello binomiale e modello normale Elementi di base su modello binomiale e modello normale (alcune note) Parte 1: il modello binomiale Di fondamentale importanza nell analisi della qualità sono i modelli. I due principali modelli statistico-probablistici

Dettagli