Capitolo 10. La media pesata Calcolo della media pesata
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1 Capitolo 0 La media pesata Supponiamo che una stessa grandezza sia stata misurata da osservatori differenti (es. velocità della luce) in laboratori con strumenti e metodi di misura differenti: Laboratorio A: c c A ± σ A Laboratorio B: c c B ± σ B Come si possono combinare questi dati per ottenere la miglior stima di c? Non è conveniente applicare la media aritmetica perchè in generale σ A σ B. 0. Calcolo della media pesata Sia X il valore di aspettazione della comune grandezza x che entrambi gli sperimentatori stanno misurando. Ciascuna serie di misure (A e B) segua una distribuzione gaussiana, con errore quadratico medio σ A e σ B, rispettivamente. La probabilità che lo sperimentatore A trovi come risultato di una misura il valore x A è: [ ] P(x A ) (x A X) exp σ A Analogamente, la probabilità che lo sperimentatore B trovi come risultato di una misura il valore x B è: σ A [ ] P(x B ) (x B X) exp σ B 7 σ B
2 8 CAPITOLO 0. LA MEDIA PESATA Qual è la probabilità complessiva che i due sperimentatori ottengano i due valori x A e x B? Le due serie di misure rappresentano due eventi compatibili indipendenti, per cui la probabilità composta è data dal prodotto delle probabilità: P(x A e x B ) P(x A ) P(x B ) σ A σ B exp ( ) ( χ xa X xb X + σ A σ B ) ( χ La probabilità composta sarà massima se l esponente χ è minimo: ) d ( ) χ 0 x A X dx σa x B X σ B 0 Se definiamo i pesi: d ( ) χ dx X best σa ( x A σa ( σ A + σ B + x B σb + σ B ) ) > 0 p A σ A p B σ B Possiamo riscrivere il risultato sulla migliore stima di X: media pesata x p p Ax A + p B x B p A + p B In generale, la forma funzionale della media pesata si ritrova in varie applicazioni di utilizzo frequente. Esempio: coordinate del centro di massa di una distribuzione discreta di masse nello spazio (i pesi sono le masse dei punti materiali) R m r + m r + + m k r k m + m + + m k
3 0.. CALCOLO DELLA MEDIA PESATA 9 Esempio: voto di laurea dove ciascun voto V è pesato dal rispettivo numero di crediti formativi cfu voto di laurea cfu V + cfu V + + cfu k V k cfu + cfu + + cfu k Ritornando al caso di misure diverse di una stessa grandezza fisica si osserva che la misura con peso maggiore è quella che corrisponde all errore quadratico σ medio più piccolo, cioè alla distribuzione più stretta. Risultati più precisi, con indeterminazioni più basse, pesano maggiormente nella determinazione della miglior stima di X. 0.. Media pesata: metodo diretto Generalizziamo al caso di N serie di misure di una stessa grandezza fisica ottenute in condizioni differenti (strumento di misura, sperimentatore, laboratorio). Assumiamo che ciascuna serie di misure sia stata ottenuta mediante l utilizzo di metodi diretti o di strumenti tarati e sia descrivibile da una distribuzione gaussiana con media aritmetica x i e indeterminazione statistica σ xi. Quale criterio adottare per ottenere la miglior stima del valore vero e relativa indeterminazione, sfruttando l informazione a disposizione? Estendendo i risultati appena trovati possiamo scrivere: x p x i ( i con i Quale indeterminazione associare alla media pesata? Essendo la media pesata vista come funzione di N grandezze si deve applicare la propagazione degli errori statistici (somma in quadratura): σ xi ) σ xp ) ( ) ( ) ( xp xp xp σ x + σ x + + σ xn x x x N ( σ i ) i ( N ) ( N ) p i i i ( ) σ σ i i ( i i N ) N i i
4 0 CAPITOLO 0. LA MEDIA PESATA Quindi, ricapitolando, la media pesata è definita come: x p x i i i e l indeterminazione sulla media pesata : σ xp N i ( ) dove si attribuiscono pesi σ xi maggiori alle misure più precise, corrispondenti a distribuzioni più strette. Caso particolare. N gruppi di misure prese in identiche condizioni: σ σ σ N σ pesi uguali la media pesata coincide con la media aritmetica. La media pesata consente di migliorare la precisione delle misure, essendo l indeterminazione della media pesata sempre minore della più piccola indeterminazione singola. Infatti essendo σ x p i > i σ x σ x i σ x p σ x p < σ x i i Inoltre, ne segue che l aggiunta di una nuova misura, anche se di precisione inferiore rispetto a quelle già esistenti (σ maggiore), consente comunque di migliorare la stima della grandezza fisica, diminuendone l indeterminazione finale. i 0.. Media pesata: metodo indiretto I risultati possono essere estesi al caso in cui la grandezza fisica G G(x, x, x k ) sia misurabile con un metodo indiretto, ovvero sia funzione di altre grandezze x j misurate direttamente.
5 0.. CALCOLO DELLA MEDIA PESATA Si abbiano a disposizione n misure di G, suddivise in N serie di misure ripetute in condizioni identiche. Deve valere la condizione n j n, dove n j è la popolazione (numero di misure) della serie j-esima. Ciascuna serie contenga misure delle grandezze x j ottenute con il metodo diretto, con media aritmetica x j e scarto quadratico medio σ xj. Relativamente a ciascuna serie j-esima la soluzione al problema della misura è dato da: Ḡ j ± σ Ḡj dove Ḡj G( x j, x j, x kj ) e σ Ḡj è dato dalla propagazione degli errori statistici. La soluzione al problema della misura per la grandezza G è data dalla media pesata Ḡp ± σ Ḡp, dove j Ḡ p Ḡ j p j j σ Ḡp p j j j p j p j σ Ḡ j 0..3 Media pesata: compatibilità dei dati L utilizzo della media pesata richiede una verifica a priori del grado di compatibilità dei diversi dati a nostra disposizione. Non esiste un criterio assoluto, ma solo una pratica ragionevole. Supponiamo di avere misure diverse della stessa quantità: m ± σ( m ) e m ± σ( m ) Si calcoli il modulo della differenza D m m. L incertezza sulla differenza D si stima con la formula di propagazione degli errori statistici: σ(d) σ ( m ) + σ ( m ) Infine si calcoli la differenza tra le misure D in unità dell indeterminazione statistica su D (numero di deviazioni standard): N σ D σ(d) m m σ ( m ) + σ ( m ) È chiaro che il caso D 0 indica compatibilità dei dati, i rispettivi valori medi coincidono. Tuttavia anche se D 0 vi può essere compatibilità se le indeterminazioni statistiche sono sufficientemente grandi. Regola pratica:
6 CAPITOLO 0. LA MEDIA PESATA N σ < compatibilità ottima < N σ < compatibilità buona < N σ < 3 compatibilità discreta/mediocre N σ > 3 incompatibilità Nel caso di k misure si valuta la compatibilità tra quelle due più lontane, m a e m b. Se sono compatibili anche tutte le altre lo sono, se sono incompatibili si confrontano: D a k m j m a e D b j k m j m b Quindi si scarta il max(d a, D b ) e si ripete la procedura con le k misure restanti. Alternativa: si procede per via grafica, trovando l intersezione comune tra gli intervalli m j ±σ( m j ) (oppure ±σ( m j ) oppure ±3σ( m j )). Se l intersezione è non nulla la compatibilità è assicurata, altrimenti si procede al rigetto della misura anomala e si ripete il confronto grafico con quelle restanti. j
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