MEDIE STATISTICHE. Media aritmetica, Media quadratica, Media Geometrica, Media Armonica

Transcript

1 MEDIE STATISTICHE La raccolta dei dati e la successiva loro elaborazioe permettoo di trarre alcue coclusioi su u dato feomeo oggetto di studio. A questo fie si assume che u valore calcolato a partire dai dati e sitetizzi l' aspetto complessivo. Tale valore, otteuto i base a specifici criteri a partire da isiemi di dati, distribuzioi di frequeza e di itesità, è detto misura di tedeza cetrale o media statistica ed rappreseta u valore di riferimeto attoro al quale si collocao i dati stessi. Ua defiizioe di media statistica: u qualuque valore, stabilito co criteri che servoo a forire u dato rappresetativo di tutti, compreso tra il miimo ed il massimo di ua serie di umeri. Le misure di tedeza cetrale si suddividoo i: A] Medie Ferme o medie di calcolo: si ottegoo mediate calcoli sui dati co particolari operazioi e, i geere, possoo essere: medie semplici: se o si cosiderao le frequeze di riptetizioe (elle distribuzioi discrete) o i pesi (elle distribuzioi cotiue) medie poderate: quado il loro calcolo prevede l'uso di frequeze o pesi. Le medie ferme si classificao i: Media aritmetica, Media quadratica, Media Geometrica, Media Armoica B] Medie lasche: dette ache medie di posizioe, si ottegoo sciegliedo, secodo u dato metodo, uo tra i valori della serie e soo: Mediaa e Moda. Media aritmetica (simboli x, M) Media Semplice di u isieme di umeri x, x,..., x è defiita come rapporto fra la loro somma ed il loro umero: x= x + x x Esempio. I voti quadrimestrali di uo studete i matematica soo: 6, 5, 7, 4, 8 La media è quidi x = = =6. Nei calcoli, quado i risultati o soo iteri, si possoo arrotodare ad u prefissato umero di cifre, per esempio due. Pag.\0

2 Media poderata di u isieme di umeri x, x,..., x, ciascuo associato al proprio peso o frequeza p, p,..., p, è data dal rapporto fra la somma dei prodotti fra essi e i rispettivi pesi i frequeze e la somma dei loro pesi o frequeze: x= x p + x p x p p + p p Specifichiamo ora la differeza tra i termii peso e frequeza: i geere, per frequeza si itede il dato discreto del umero di volte co cui u certo valore si preseta i ua serie di dati, o distribuzioe, metre per peso si può itedere come rapporto tra la misura parziale ed il totale di ua data gradezza e corrispode al grado oggettivo di importaza del valore rispetto ai rimaeti. La somma di tutti i pesi forisce quidi il valore complesssivo di tale gradezza. Pertato, metre la frequeza è rappresetata da u umero aturale, il peso può ache assumere valori decimali e, quidi, è più adatto ell'elaborare le variabili cotiue. Esempio. Distribuzioe delle superfici catastali e delle camere da letto ei vari appartameti di u complesso resideziale Sup. App Tot. 355 Mq Camere N cam. Sup. Cam Mq Freq app.ti Dalla tabella emerge che il complesso resideziale è formato da 30 appartameti per u totale di 74 camere da letto distribuiti su di ua superficie complessiva di 4 mq. La superficie complessiva, data dalla somma di tutte le superfici dei sigoli appartameti, è di 355 Mq. a) calcolare il umero medio di camere da letto per appartameto; b) calcolare la superficie media delle staze da letto; c) Calcolare la spesa media c di u iterveto edilizio egli appartameti di 70 Mq sapedo che i costi i euro soo i segueti: 3, 35, 74, 77. d) calcolare la spesa media di ciascua tipologia di appartameto, su u costo totale di lavori pari a 3000 sapedo che le spese soo proporzioali ai millesimi di superficie. Pag.\0

3 a) Numero medio di camere da letto per appartameto: si tratta di ua media aritmetica poderata il cui valore (decimale approssimato ad ua cifra) è otteuto dividedo il umero di camere per il umero di appartameti : N= = Frequetemete, i Statistica, si ottegoo dei valori decimali approssimati che richiedoo ua corretta iterpretazioe, come i questo caso poichè, ovviamete, il umero medio di camere o può essere i iterpretato el seso di camere e di ua mezza camera ma ivece ad esempio, che fatte 00 il totale degli appartameti, ci possiamo aspettare u complessivo umero di camere pari a 50, delle quali alcue più ampie ed altre più piccole; oppure può ache essere iterpretato pesado che il dato più frequete sia la tipologia di appartameto co oppure co 3 camere da letto. Possiamo ache idividuare la Moda, ovvero la classe che ha la maggiore frequeza, quella degli appartameti da 70mq e camere da letto. Possiamo rappresetare la distribuzioe dei dati delle camere da letto co u grafico a coloe verticali, o istogramma, come sotto riportato. Distribuzioe delle camere da letto el complesso resideziale Frqueze: umero di appartameti staza staze 3 staze 4 staze Classi: umero di camere da letto N b) Superficie media delle staze da letto è pure ua media poderata come la precedete ache se, è bee precisare, i questo caso si tratta di variabile cotiua: S= = =3,7 Mq/App. Pag.3\0

4 c) Costo medio per residete di appartameto di classe 70 mq. Oguo dei 4 resideti paga ua cifra differete per cui si calcola ua media semplice della variabile cotiua costo c: c= = =47,5 4 d) Spese i base al tipo di appartameto. Ogi sigolo residete dovrà spedere ua cifra proporzioale alla superficie del proprio appartameto i rapporto al totale superficie del complesso resideziale per, cui passiamo a calcolare i differeti valori, arrotodati a due cifre ed espressi i euro, relativi alle 5 tipologie di diversa metratura: x = =63,69 ; x 70 = ,7 ; x 3 = =4,34 ; x 4 = ,76. Per quato riguarda la ripartizioe delle percetuali di spesa di ciascua delle quattro classi di superifice, rispetto al totale di 3000 euro, è la seguete: y = 63, =0,6 % ; y = 89, ,70% ; y 3 = 4, =34,40% ; y 4 = 33, ,9%. Possiamo rappresetare questa distribuzioe i u diagramma "a torta" i cui ogi settore circolare ha ua ampiezza agolare proporzioale alla rispettiva percetuale, qui sotto riportati (salvo errori di arrotodameto): a = =38. o, a = =7.7 o, a 3 = =3.8 o, a 4 =360 a a a 3 =80.3 0,6,9 3,7 50 Mq - 0,6% 70 Mq - 3,7% 90 Mq - 34,4% 05 Mq -,9% 34,4 Distribuzioe percetuali di spesa per tipologia Pag.4\0

5 Media quadratica La media quadratica (Q) è la radice quadrata della media aritmetica dei quadrati: Media qudratica semplice : Q= x + x +...+x Media quardatica poderata: Q= x p +x p +...+x p La media poderata si calcola quado ad ogi valore è associato u peso o frequeza. Esempio: calcolare la media quadratica semplice dei primi 5 umeri, aturali escluso lo zero, e cofrotarla co la loro media aritmetica. Q= = 3.3 ; M= =3 5 Notiamo come la media quadratica superi i valore quella aritmetica e questa è ua proprieta geerale: la media quadratica è maggiore o uguale a quella aritmetica. Dimostrazioe co due soli umeri a e b: detti a e b due umeri qualsiasi dobbiamo dimostrare che è sempre verificata la disuguagliaza a +b a+b. Elevao al quadrato etrambi i membri e poi moltiplicado per il deomiatore comue 4 si ha: a +b ( a+b ) 4 a +b 4 a +b + a b a + b a +b + a b 4 a +b a b 0 (a b) 0 l'ultima diseguagliaza è sempre vera poichè il quadrato è sempre positivo e ullo solo quado i due valori a e b soo uguali. Come volevasi dimostrare. E' facile a questo puto estedere la proprietà ad u umero qualsiasi di valori. Pag.5\0

6 Media geometrica. La media geometrica semplice (G) di valori diversi è la radice - ma del loro prodotto: G= x x... x. Nel caso di valori, associati ciascuo ai rispettivi pesi o frequeze, essa viee detta media geometrica poderata ed è data da: G= x p x p... x p. Esempio. Calcolare la media geometrica dei primi 5 umeri aturali e cofrotarla co la loro medie aritmetica. G= = ; come si vede, il valore di G=.6 è miore di quello di M=3 già calcolato i precedeza e ciò deriva dalla proprietà geerale per la quale: la media geometrica è miore della media aritmetica. Possiamo dimostrare questa proprietà per due soli valori differeti, a e b, verificado la seguete diseguagliaza: a b< a +b da cui, dopo avere elevato al quadrato e moltiplicato per due si ha: a b<a +b ; questa equivale a 0<a +b a b ovvero 0<(a b). Questa ultima è sempre verifificata essedo il quadrato della differeza sempre positiva per qualsiasi valore a b, come volevasi dimostrare. Esempio. Tasso medio auale di iflazioe egli ultimi 5 ai (fote ISTAT) 007:.8% ; 008: 3.3% ; % ; 00.5 % ; 0 (oggi) :.6% Per calcolare l'iflazioe media sio ad oggi coviee cosiderare la svalutazioe di u importo, ad esempio 00, ad iizio 007: ad iizio 008 il potere di acquisto si riduce a 00 ( 0.08)=97. ; ad iizio 009 diveta 97. ( 0.03)=94.8 e così via sio ad oggi (0) per cui diveta : 00 ( 0.08)( 0.033)( 0.008)( 0.05)( 0.06)=9.5 Il potere di acquisto si è quidi ridotto, rispetto al 007, del 7.5% circa. Per calcolare il tasso medio di iflazioe i questo periodo occorre prima stabilire che esso rappreseta quel particolare valore di iflazioe media i che se fosse stato costate ello stesso periodo quiqueale avrebbe svalutato il potere di acquisto ella stessa misura. Di cosegueza deve valere l'equazioe: 00 ( i) 5 =9.5. Estrado la radice di idice 5, dopo avere diviso l'equazioe per il fattore 00, si ha: ( i) 5 =0.95 i= i= = Pag.6\0

7 Moltiplicato 00 si ottiee il tasso medio percetuale pari a i=.5% circa. I geerale, l'iflazioe media dopo periodi, oguo dei quali ha ua iflazioe pari a i, i,...,i, è dato da ua media armoica: i= ( i )( i )... ( i ). La figura mostra il diagramma XY della serie storica dei valori dell'iflazioe i Italia. Adameto dell'iflazioe el periodo Iflazioe media percetuale (NIC),5,5 0, ANNI Esempio. Tasso medio di ivestimeto. I tassi di iteresse auali applicati ad u capitale di C euro per u periodo cotiuativo di 5 ai soo: ao : i =,5% ; ao : i =3,3% ; ao 3: i 3 =,8% ; ao 4: i 4 =4,% ; ao 5: i 5 =5,0%. Si determii il tasso medio di ivestimeto, ovvero quel tasso di iteresse auale costate che, se applicato per l'itero periodo, produce lo stesso motate. Al termie del primo ao il capitale da reivestire al secodo ao corrispode al motate pari a: M =C (+i )=C (+0.05)=.05 C ; al termie del secodo ao il motate da reivestire per il terzo ao è pari a: M =M (+i )= C ; cotiuado a moltiplicare fio al quito fattore si ottiee il motate al termie del periodo di ivestimeto: M 5 = C=.909 C. Il tasso medio di ivestimeto è quel tasso auale costate che, applicato al capitale per lo stesso umero di ai, produce u motate fiale, pari a C (+i) 5,uguale a quello che si ottiee co tassi auali diversi. Quidi deve valere la seguete uguagliaza: C (+i) 5 =.909 C. Dividedo l'equazioe per il fattore C e isolado l'icogita dopo avere calcolato la radice quita si ottiee il valore cercato: i= Moltiplicato per 00 ed arrotodado ad ua cifra si ottiee u tasso medio di circa il 3.6%. Pag.7\0

8 I geerale il tasso medio di ivestimeto che è fiaziariamete equivalete ai sigoli tassi i, i,... i, applicati i periodi di ivestimeto uguali (auali, semestrali, ecc..) è otteuto calcolado la media geometrica dei fattori di capitalizzazioe: i= (+i ) (+i )... (+i ). Media armoica. La media armoica (A) semplice di valori diversi è defiita come il reciproco della media aritmetica dei loro reciproci : A= x x x Nel caso che ciascuo dei valori sia associato al rispettivo peso o frequeza p, p,..p, la media armoica poderata è defiita el seguete modo: A= p +p +...+p p + p p x x x Esempio. Media armoica (semplice) dei primi 5 umeri aturali (escluso lo zero): 5 A= = Notiamo che il valore di media armoica otteuto A=. è miore di quello della media geometrica calcolato i precedeza pari a G=.6. Ifatti, si può dimostrare che, i geerale, la media armoica è miore di quella geometrica: A<G: el caso più semplice di due soli valori diversi, a e b, passiamo a dimostrare la veridicità della seguete diseguagliaza: a + < a+b a b, pertato a+b < a+b b La disequazioe, dopo avere moltiplicato per il deomiatore comue, diveta: 4 a b<(a+b) da cui, eseguedo il quadrato si ha 4 a b<a + a b+b ; ifie, lasciado solo lo zero al primo membro, si ottiee la diseguagliaza equivalete 0<a a b+b, ovvero 0<(a b) sempre verificata poichè il quadrato è Pag.8\0

9 sempre positivo per a b, come volevasi dimostrare. E' facile estedere la dimostrazioe ad u umero qualsiasi di valori (qui tralasciamo per brevità). Esempio. Prezzo medio uitario di u bee. Si richiede di: a) calcolare il costo medio di acquisto, per litro di carburate, sul totale di cique acquisti di importo uguale a 50, cooscedo i costi uitari dei sigoli riforimeti: x =.55 /l; x =.6 /l ; x 3 =,78 /l ; x 4 =.7 /l ; x 5 =.66 /l Svolgimeto: Ciascu riforimeto corrispode ad ua quatità variabile (y=50/x) di litri: y = ; y = ; y 3 = ; y 4 = ; y 5 = Per calcolare il costo medio di acquisto el totale di 5 riforimeti occorre dividere il costo totale di acquisto del bee cosumato, pari a 50 5=50 per la quatità 50 totale di carburate: c= = /l. E' facile verificare, ache per via diretta, che il valore otteuto equivale alla media armoica dei prezzi uitari del carburate: 5 A= /l..66 b) rappresetare i u grafico a astri orizzotali i chilometri percorribili i relazioe ai prezzi uitari ei sigoli riforimeti sapedo che il veicolo riforito percorre i media km/l. Le distaze percorribili (Km) si ottegoo moltiplicado tutte le quatità acquistate per il fattore : d =3.3 =387.6 ; d =30.9 =370.8 ; d 3 =8. =337. ; d 4 =9. =349. ; d 5 =30. =36. Nel grafico, rappresetato ordiado i prezzi i seso crescete, ciascua delle 5 barre è proporzioale alle rispettive distaze ed iversamete rispetto ai prezzi uitari : , Prezzi del carburate /litro,7, , 36, 370,8 387, Distaze chilometriche percorribili a Km/litro Pag.9\0

10 Proprietà ulteriori delle medie di calcolo. Le diseguagliaze tra le varie medie di calcolo, aritmetica (M), quadratica (Q), geometrica (G) e armoica (A), già trattate elle parti precedeti, si possoo porre, i geerale, scrivedo la seguete catea di relazioi comparative, dove l'uguagliaza vale solo el caso che tutti i sigoli valori, su cui esse si calcolao, siao uguali fra loro: A G M Q Possiamo ioltre evideziare che ciascua media ha la proprietà di rappresetare u valore che, sostituito a ciascuo dei sigoli dati sui quali è calcolata, e lascia ivariato u particolare valore. Media aritmetica M, è quel valore che, sostituito a ciascuo dei dati, e lascia ivariata la loro somma: x +x x =M+M+...+M = M M= x +x x. Media quadratica Q, è quel valore che, sostituito a ciascuo dei dati, e lascia ivariata la somma dei loro quadrati: x +x x =Q +Q +...+Q = Q Q= x +x x. Media geometrica G, è quel valore che, sostituito a ciascuo dei dati, e lascia ivariato il loro prodotto: x x... x =G G... G=G G= x x... x Media armoica A, è quel valore che, sostituito a ciascuo dei dati, e lascia ivariata la somma dei loro reciproci: = x x x A + A A = A A= x x x Pag.0\0