Capitolo 2 Errori di misura: definizioni e trattamento

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1 Captolo Error d msura: )Geeraltà defzo e trattameto I cocett d meda, varaza e devazoe stadard s utlzzao ormalmete per otteere formazo sulla botà d ua msura. I geerale, s assume come msura m della gradezza M espressa utà U l umero m M / U I realtà, ua msura può essere otteuta due mod dvers: ) msura dretta (vsva o strumetale) ) msura dretta [y f(,., )]

2 .a) Error elle msure drette a) defzoe d scarto, ξ, della msura -esma S defsce scarto, ξ, della msura -esma la dffereza tra l rsultato della msura e la meda della quattà msurata (determata co crter statstc vst al captolo precedete) ξ m < m >,, N b) defzoe d errore (ε) Dffereza tra l valore msurato e l valore vero ( realtà cooscble, poché perturbato dalla msura stessa). Se l valore vero della gradezza è µ, ella msura -esma l errore commesso è ε ε m µ

3 c) defzoe d errore relatvo (r m ) r m ε 00 m (%) Rcordado la defzoe d meda, s verfca mmedatamete che valgoo seguet rsultat < ξ > N ξ 0 N (gà vsto al captolo ) < ε > N ε N < m > µ

4 ) Classfcazoe degl error Se l valore vero d ua gradezza è commettamo l errore ε m µ µ, ella msura -esma Tale errore può dpedere sa dallo strumeto che dal processo d msura, ossa dalla terazoe tra oggetto, strumeto e ambete. I geerale, classfchamo gl error casual e sstematc. a) Errore casuale Errore d valutazoe (dvso della scala dello strumeto d msura) Fluttuazoe d parametr spermetal (temperatura, pressoe ) Dsturb (oscllazo meccache, segal rado spur ) N.B. Soo a meda ulla!

5 b) Errore sstematco Imperfetta taratura degl strumet Imperfetta descrzoe fsca del feomeo (Es.: h ½ gt ) N.B. Gl error sstematc possoo essere corrett quado se e coosce l orge, altrmet o se e può teere coto. La soluzoe, questo caso, cosste el cercare d otteere la stessa formazo co msure d tpo dfferete.

6 3) Parametr che defscoo le caratterstche degl strumet Sesbltà o rsoluzoe Varazoe δ el valore della gradezza da msurare che provoca l mmo spostameto avvertble ell dce dello strumeto (meglo aalogco o dgtale?). U medesmo strumeto (es.: multmetro) ha spesso la possbltà d sceglere tra dverse scale d sesbltà. N.B. I geerale, l rsultato d ua msura forsce u valore m (m-δ, m+δ). Rpetedo volte la stessa msura s ottegoo m,,m rsultat apparteet a tervall, geerale o cocdet. Se m m m, lo strumeto ha sesbltà troppo bassa. Precsoe Valore tpco dello scostameto dal valore medo che caratterzza sere umerose d msure. Ne buo strumet, codzo d msura deal, precsoe e sesbltà cocdoo.

7 Accuratezza Quattà legata allo scostameto tra la meda (su molte msure) de valor msurat e l valore vero. Dpede d solto da error d taratura (es.: termocoppa). Ne buo strumet tale scostameto è more o uguale alla sesbltà. Protezza Iverso del tempo rchesto per ua msura (ua volta ragguta la poszoe d equlbro!!!).

8 4) Relazo tra parametr strumetal e le vare tpologe d errore La sesbltà lmtata troduce u errore d arrotodameto, o d lettura, che possamo geeralmete cosderare errore casuale, coè avete meda ulla. La precsoe lmtata geera fluttuazo d tpo casuale che vegoo messe evdeza da strumet molto sesbl ma poco precs. L accuratezza lmtata geera error sstematc a meda dversa da zero. Se quest ultm error soo prepoderat, l accuratezza dello strumeto vee stmata tramte la meda su N>> msure degl error commess msurado ua gradezza ota µ. N N < ε > ( m µ ) ε N N < ε > L accuratezza relatva, espressa percetuale, vale 00 µ

9 5) Trattameto degl error casual Ache se lo strumeto è be tarato, o cooscamo l errore casuale che abbamo computo ua certa msura. Suppoedo che gl error sstematc sao trascurabl, possamo utlzzare cocett della statstca. La meda <m> costturà ua stma del valore vero < m > m µ Metre l errore quadratco medo vero, defto come < ε > ( m µ ) ε vee stmato medate la devazoe stadard della msura ( m < m > ) ( m) < ε >

10 Per l caso d msure dpedet s possoo rpetere prcpal teorem eucat per mede e varaze: ) se eseguamo su ua gradezza costate el tempo msure co errore sstematco trascurable, la legge de grad umer c asscura che < m > µ ) la devazoe stadard è ua stma corretta della radce quadrata della varaza della msura ( m) 3) la varaza delle mede su msure ha come valore stmato m ( < > µ )

11 Quado s forsce l valore medo d ua msura è cosuetude rappresetarlo come < m > ± La devazoe stadard otteuta da msure d ua gradezza costate avete valore vero µ caratterzza la precsoe della msura. I asseza d error sstematc questa devazoe stadard c forsce ua stma d quato ua sgola msura dffersca da µ. N.B. La gradezza prede l ome d devazoe stadard della meda o errore della meda e può essere dcata co.

12 6) Relazoe tra parametr strumetal e propagazoe degl error Sa Y ua qualsas gradezza fsca per la quale o è dspoble u Y-metro. I og caso, s può acora determare Y e calcolare la precsoe della msura se è ota la dpedeza fuzoale Y f(x,, X ) d Y da altre gradezze fsche X che possoo essere msurate drettamete. Occorre ache che la fuzoe f sa cotua co tutte le sue dervate prme parzal. Il rsultato della msura dretta d og gradezza X può essere espresso ella forma geerale ± dove l sgfcato delle varabl dpede da tpo d msura effettuata.

13 Msure a bassa sesbltà ) è l valore della sgola msura (al lmte, ua sola) rproducble; ) rappreseta la sesbltà dello strumeto utlzzato. I questo caso, l tervallo [ ; + ] cotee co certezza l valore vero della gradezza esame e tutt put all tero dell tervallo soo equprobabl.

14 Msure ad alta sesbltà ) Caso d ua sola msura è l valore della sgola msura; rappreseta l errore della msura, che deve essere oto a pror (ed esempo medate ua valutazoe ragoata) ) Caso d pù msure è l valore della meda, <> ; rappreseta l errore della meda. I questo caso, se la dstrbuzoe degl error è ormale (ved Captolo del calcolo delle probabltà), l tervallo [ 3 ; +3 ] cotee co certezza l valore vero della gradezza esame e l puto e rappreseta l valore pù probable.

15 6. Calcolo della meda e dell errore della meda el caso d msura dretta Il calcolo della meda o comporta geerale alcua dffcoltà; s ha Y f(,, ) Vceversa, esstoo sostazal dffereze el calcolo della precsoe del valore Y e sul sgfcato dell tervallo [ Y ± ] a secoda che dat spermetal provegao tutt da msure ad alta sesbltà, a bassa sesbltà o da ua combazoe qualuque de due cas. N.B. S tratta d ua geeralzzazoe d quato vsto al captolo precedete a proposto delle legg d propagazoe degl error, el seso che ora stamo collegado l certezza sulla msura alle caratterstche dello strumeto d msura stesso.

16 I geerale, defta δ ua pccola varazoe d co δ << possamo svluppare la dpedeza fuzoale d Y sere d Taylor attoro al puto {} Y f δ δ Se le varazo δ rappresetao gl error ε, allora δ Y rappreseta l errore ε Y ella msura dretta d Y: {} Y f ε ε Nel caso cu la dpedeza fuzoale della Y sa esprmble attraverso u prodotto d poteze X A Y α

17 dove A è ua costate moltplcatva e gl espoet α soo umer razoal, s ottee per lo svluppo sere Y A A ε α α ε α ε α α α α α α da cu, dvdedo membro a membro per s ottee l errore relatvo, r Y, per la msura dretta d Y fuzoe degl error relatv r delle msure drette Y r Y r α

18 a) Msure a bassa sesbltà Y La precsoe Y del valore s calcola sosttuedo agl error ε la sesbltà dello strumeto mpegato e prededo l modulo delle dervate parzal (codzoe pù sfavorevole) Y f {} I questo caso, come gà vsto, l tervallo cotee l valore vero e tutt put dell tervallo Y, + soo equprobabl. [ ] Y Y Y Se la dpedeza fuzoale d Y è data da u prodotto d poteze, la precsoe relatva della msura dretta è data da S Y S Y α S dove le S soo le precso relatve delle msure drette.

19 b) Msure ad alta sesbltà I questo caso, gl error ε soo varabl casual (dstrbute ormalmete, ved captolo delle dstrbuzo d probabltà) e così pure s può dre per ε Y che è ua loro combazoe leare. Allora, se è l errore della meda d, l errore della meda d rsulta Y f {} Rguardo al sgfcato dell tervallo Y Y, Y + Y, s può affermare che la dstrbuzoe de valor attoro al valor medo è ormale (gaussaa) se soo ormal le dstrbuzo degl error ε attoro alle varabl dpedet X. Nel caso d u prodotto d poteze s ottee S G α S Y [ ] A partà d fuzoe f e de valor e, s ota che gl error fort dalle legg d propagazoe delle msure a bassa sesbltà soo sstematcamete maggor rspetto a quell fort per le msure ad alta sesbltà. Y

20 6. Combazoe d msure avet dversa precsoe Tutt rsultat delle msure, rpetute elle stesse codzo, d ua gradezza fsca devoo essere cosderat a pror egualmete precs. Cosderamo ora l caso cu s devoo combare asseme msure delle stessa gradezza fsca affette da dversa precsoe. S assume come valore pù attedble l valore medo della sere caratterzzata da maggore precsoe, ma evdetemete l seme d tutt dat a dsposzoe cotee ua quattà d formazoe maggore rspetto a quello d ua sgola sere d msure. Msure d dfferete precsoe s combao co l operazoe d meda pesata.

21 S cosder l caso partcolare cu,, m+ sao rsultat d m+ msure rpetute elle medesme codzo spermetal e sa la varaza della dstrbuzoe. Da quato vsto precedeza s ha m + m + m + Se dalla sere d msure estraamo le due sottosere,, m e m+,, m+ possamo calcolare le relatve mede e precso ' m ' m m m + " m+ " L espressoe geerale della meda può essere rscrtta el modo seguete m m+ + m + m + m+

22 che può essere espressa term della meda delle sottosere m m + ' + m + " e acora, term delle varaze ( ' ) ( ' ) ( ") + ' + ( ") ( ' ) ( ") + " La varaza complessva vee espressa, term delle varaze delle sottosere, come ' " + ( ) ( ) Qud l valore pù attedble della msura vee calcolato seza utlzzare tutt gl m+ rsultat, ma solo le mede e le relatve precso. Le mede vegoo combate learmete attraverso coeffcet versamete proporzoal al quadrato delle relatve precso.

23 Pù geerale, se y ± co,, N soo rsultat d msure d ua stessa gradezza fsca otteute co dversa precsoe (ache da dfferet spermetator o epoche dfferet), l valore pù attedble della gradezza esame è la meda pesata de valor, defta come y p N N p p y dove l peso p della -esma vale p e la precsoe complessva della msura è data da N /