Distanza tra punti e punto medio di un segmento. x1 + x 2

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1 Distanza tra punti e punto medio di un segmento Siano P = (x 1, y 1 ) e Q = (x 2, y 2 ) due punti del piano cartesiano. La distanza di P da Q vale: P Q = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 (si utilizza il Teorema di Pitagora). Il punto medio M del segmento P Q ha coordinate: ( x1 + x 2 M =, y ) 1 + y (si usano le proprietà dei triangoli simili P NQ, P M 2 M, MM 1 Q). 1

2 Esercizi 1) Rappresentare nel piano cartesiano i punti: P 1 = ( 1, 2) P 2 = (2, 2) P 3 = (0, 2) P 4 = (1, 2) P 5 = ( 1, 2) Soluzione: vedi figura alla pagina successiva. 2) Calcolare le distanze: P 1 P 2, P 3 P 4, P 4 P 5. Soluzione: P 1 P 2 = ( 1 2) 2 + (2 + 2) 2 = = 25 = 5 P 3 P 4 = (1) 2 + ( 2 2) 2 = = 17 P 4 P 5 = (1 + 1) 2 + (2 + 2) 2 = = 20 = 2 5 2

3 Soluzione n. 1 3

4 Equazione della retta Siano Q 1 = (x 1, y 1 ) e Q 2 = (x 2, y 2 ) due punti distinti del piano cartesiano. È noto che per Q 1 e Q 2 passa un unica retta r. Si intende ora descrivere i punti P di r stabilendo in che relazione devono essere le coordinate di P. Distinguiamo tre casi: a) x 1 = x 2 La retta r è parallela all asse delle ordinate ed essa è descritta dalla relazione: x = x 1 b) y 1 = y 2 La retta r è parallela all asse delle ascisse ed essa è descritta dalla relazione: y = y 1 c) x 1 x 2 e y 1 y 2 Il generico punto P = (x, y) su r è tale che i triangoli Q 1 Q 2 N e Q 1 P L sono simili (vedi figura c)). Questo significa che Q 1 L : Q 1 N = P L : Q 2 N Le coordinate (x, y) sulla retta r soddisfano le relazioni: x x 1 x 2 x 1 = y y 1 y 2 y 1 y = y 2 y 1 x 2 x 1 (x x 1 ) + y 1 Le considerazioni fatte consentono di affermare che una generica retta non verticale è descritta dalla relazione: y = mx + n ( equazione della retta ) dove m viene detto coefficiente angolare e n viene detto ordinata all origine. Osserviamo che il caso m = 0 corrisponde al caso b). 4

5 (a) x 1 = x 2 (b) y 1 = y 2 (c) x 1 x 2, y 1 y 2 5

6 Qualche caso particolare rilevante a) n = 0, y = mx la retta passa per l origine b) m = 0, y = n la retta è orizzontale c) m = 1, n = 0, y = x la retta è bisettrice del I e III quadrante d) m = 1, n = 0, y = x la retta è bisettrice del II e IV quadrante 6

7 (a) Grafico della retta y = mx al variare di m (b) m = 0 (c) m = 1, n = 0 (d) m = 1, n = 0 7

8 Rette parallele, rette perpendicolari Riportiamo di seguito le condizioni necessarie e sufficienti per il parallelismo e la perpendicolarità: a) y = mx + n e y = m x + n sono parallele m = m b) y = mx + n e y = m x + n m, m 0 sono ortogonali m m = 1 È ovvio che le rette di equazione x = x 1, x 1 R, sono tutte parallele tra loro e sono perpendicolari alle rette y = y 1, y 1 R. (a) m = m (b) m m = 1 8

9 Esercizi svolti 1. Determinare l equazioni delle rette passanti per le seguenti coppie di punti: a) (1, 1), (3, 1); b) (1, 0), (5, 4); c) (1, 2), (1, 3). 2. Determinare l equazione della retta r di coefficiente angolare m = 2 e passante per il punto (1,1). Soluzioni 1. a) y = 1; (caso y 1 = y 2 ) b) x = y 4 y = x 1; c) x = 1 (caso x 1 = x 2 ). passaggio per il punto (1, 1) si ha n = La retta ha equazione del tipo y = 2x + n. Imponendo il passaggio per il punto (1, 1) si ha n = 1. 9

10 Un osservazione sull equazione della retta In generale, se a e b non sono entrambi nulli, un equazione nella forma: ax + by + c = 0 (*) rappresenta una retta del piano. Evidentemente alla forma precedente può essere ricondotta sia l equazione nella forma y = mx + n che l equazione nella forma x = x 0. Pertanto tutte le rette possono essere descritte nella forma (*). 10

11 Distanza di un punto da una retta La distanza del punto P = (x 0, y 0 ) dalla retta r di equazione ax+by+c = 0 è la lunghezza del segmento P H perpendicolare alla retta r e passante per P ; vale: P H = ax 0 + by 0 + c a2 + b 2 11

12 Esercizi di ricapitolazione Esercizio Se ognuna delle seguenti coppie di numeri rappresenta le coordinate cartesiane di un punto, quale rappresenta il punto più lontano dall origine? A) (2,5) B) (0,7) C) (4,4) D) (6,1) E) (5,2) La risposta è alla pagina successiva. 12

13 Esercizi di ricapitolazione Esercizio Se ognuna delle seguenti coppie di numeri rappresenta le coordinate cartesiane di un punto, quale rappresenta il punto più lontano dall origine? A) (2,5) B) (0,7) C) (4,4) D) (6,1) E) (5,2) RISULTATO B) Le distanze dei punti dall origine sono rispettivamente A) 29 B) 49 = 7 C) 32 = 4 2 D) 37 E) 29 13