Esercizi di Elettrotecnica

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1 Esercizi di Elettrotecnica Ing. Carlo Forestiere Corso di Laurea in Ingegneria Informatica Anno Accademico Dipartimento di Ingegneria Elettrica Università degli studi di Napoli Federico II 1

2 Circuiti in regime stazionario Esercizio 1 Trovare le correnti in tutti i rami del circuito presentato in figura, applicando il principio di sovrapposizione degli effetti e i concetti di resistenza equivalente e di partitore di corrente. V 1 V E i i 1 J R 1 i i E 2 R E J 0 R J V J V 2 E 0 i 3 R 3 V 3 Figura 1: Circuito complessivo J 0 = 1A, R J = 200Ω, E 0 = 100V, R E = 10Ω, R 1 = 50Ω, = 100Ω, R 3 = 90Ω In virtù della linearità delle LKT, LKC e delle caratteristiche dei bipoli coinvolti la soluzione del circuito proposto può essere ricavata sommando le soluzioni associate ai due circuiti di figg. 2 e 3. Circuito associato al forzamento in corrente. V I 1 R 1 J 0 R J VJ I V I 2 V I E R E R 3 V I 3 Figura 2: Circuito associato al forzamento in corrente Nel circuito di fig. 2 si può risalire alle correnti nei vari rami a partire da J 0 applicando la formula del partitore di corrente: IJ I {R 1 [ //(R 3 R E )]} = R J {R1 [ //(R 3 R E )]} J 0 (1) I1 I R J = R J {R 1 [ //(R 3 R E )]} J 0 (2)

3 Circuiti in regime stazionario Nota la corrente in R 1 ed applicando nuovamente la formula del partitore è possibile calcolare le correnti che circolano in e nella serie R 3 R E : I2 I R 3 R E = I1 I R 3 R E (3) I3 I = I1 I R 3 R E (4) I valori numerici delle correnti del circuito di fig. 2 sono riportati nella tabella 1. I I J [A] II 1[A] I I 2[A] I I 3[A] Tabella 1: Risultati forzamento in corrente. Circuito associato al forzamento in tensione. V II 1 V II E E 0 R J VJ II R 1 V II 2 R E R 3 V3 II Figura 3: Circuito associato al forzamento in tensione Si calcola ora, per il circuito di fig. 3, la resistenza vista ai morsetti del generatore di tensione, R eq = R 3 R E (R 1 R J ) // (5) da cui sarà possibile ricavare la corrente circolante nel ramo del generatore. I3 II = E E = (6) R eq R 3 R E (R 1 R J ) //. Si applica, dunque, la formula del partitore di corrente alla corrente del ramo del generatore, ovvero I2 II = R 1 R J I 3 R 1 R J (7) I1 II = I 3 R 1 R J (8). I risultati numerici relativi al circuito di fig. 3 sono riassunti nella tabella 2.

4 Circuiti in regime stazionario Tabella 2: Risultati forzamento in tensione. IJ II[A] III 1 [A] I2 II [A] I3 II [A] Sovrapposizione dei risultati. Le correnti del circuito complessivo si ottengono sovrapponendo linearmente le correnti calcolate per i circuiti in figg. 2 e 3, ossia in formule I J = I 1 = I 2 = I 3 = I I J III J I I 1 I II 1 I I 2 I II 2 I I 3 I II 3. Combinando i risultati della Tab. 1 e Tab. 2 si ottengono i risultati del circuito proposto, sintetizzati nella tabella che segue. (9) Tabella 3: Risultati circuito proposto I J [A] I 1 [A] I 2 [A] I 3 [A]

5 Circuiti in regime stazionario Esercizio 2 Utilizzando il teorema del generatore equivalente di Thevenin calcolare la potenza dissipata nel resistore del circuito di fig. 1. Si ricorra, inoltre, ai concetti di partitore di tensione, di corrente e di resistenza equivalente. E 0 V E V 2 V 4 i E R E i 2 i 4 R 4 R 1 i 1 V 1 R 3 i 3 V 3 i J R J V J J 0 Figura 1: Circuito Complessivo J = 2A, R J = 100Ω E = 200V, R E = 10Ω R 1 = 10Ω, = 42.5Ω, R 3 = 50Ω R 4 = 50Ω Soluzione proposta Il circuito di cui si vuole determinare l equivalente secondo Thevenin è rappresentato in fig. 2. E 0 V E V 2 R E V 1 R 1 R 3 V 3 V 4 R 4 V J R J J 0 Figura 2: Circuito per il calcolo di V eq Calcolo della resistenza equivalente. La resistenza equivalente si ottiene cortocircuitando i generatori di tensione ed aprendo quelli di corrente. La rete ottenuta a partire da questa definizione è mostrata in fig. 3. Il calcolo della resistenza equivalente è immediato: R eq = R E //R 1 R 3 //(R 4 R J ) = = 42.5Ω (1) Calcolo tensione a vuoto. La tensione a vuoto del generatore equivalente secondo Thevenin è data da: V eq = V 2 = V 1 V 3 (2)

6 Circuiti in regime stazionario V 2 R 4 R J R E R 1 R 3 Figura 3: Circuito per il calcolo della resistenza equivalente. Inoltre il circuito privato della resistenza e rappresentato in Fig. 2 è costituito da due parti non comunicanti che possono essere risolte indipendentemente. Per calcolare la tensione V 1 si ricorre al partitore di tensione: V 1 = R 1 R 1 R E E 0 = 100V (3) Al contrario, la tensione che insiste su R 3 richiede l applicazione del partitore di corrente R J I 3 = J 0 = 1A (4) R J R 4 R 3 e della caratteristica del resistore R 3 V 3 = R 3 I 3 = R 3 R J R J R 4 R 3 J 0 = 50V (5) Tenendo conto delle eqq. 3 e 5, la tensione a vuoto, espressa dall eq. 2 assumerà la seguente espressione: V eq = V 2 = V 1 V 3 = Circuito equivalente secondo Thevenin R 1 R 3 R J E 0 J 0 = 50V (6) R 1 R E R J R 4 R 3 Il circuito equivalente secondo Thevenin è raffigurato in figura 4. V eq R eq V 2 Figura 4: Circuito equivalente secondo Thevenin. La tensione che insiste sul resistore si calcola applicando la formula del partitore: V 2 = R eq V eq = 25V (7)

7 Circuiti in regime stazionario dove i valori di V eq e di R eq sono dati dalle eqq. 1 e 6. Infine la potenza dissipata su vale: P = V 2 2 = 14.7W (8)

8 Circuiti in regime sinusoidale Esercizio 3 Trovare le tensione che insiste sul condensatore a regime, applicando il principio di sovrapposizione degli effetti e i concetti di resistenza equivalente e di partitore di corrente. e(t) v L v C i L L i R1 i C C i R2 R 1 v R1 v R2 j(t) Figura 1: Circuito complessivo esercizio 3 e(t) = E 0 sin(ωt φ E ), E 0 = 10V, φ E = π 3 j(t) = J 0 cos(ωt φ J ), J 0 = 2A, φ J = π 6 R 1 = 50Ω, = 50Ω, C = 10µF L = 1mH ω = 10krad/s Passaggio al dominio trasformato I forzamenti nel dominio trasformato sono: Ē = E 0 exp [ j ( φ E π 2 )] = j, Ī = J 0 exp (jφ J ) = j Le impedenze associate al condensatore e all induttore sono rispettivamente: ŻC = j ωc = 10j, ŻL = jωl = 10j E V L V C I L Z L I R1 I C I R2 R 1 V R1 Z C V R2 J Figura 2: Circuito trasformato

9 Circuiti in regime sinusoidale E V I L I L Z L R 1 V I R1 V I C Z C R VR2 I 2 Figura 3: Circuito associato al forzamento in tensione Circuito associato al forzamento in tensione L impedenza equivalente vista ai morsetti del generatore di tensione sarà dunque: Ż eq = ŻL R 1 //ŻC = ŻL R 1(ŻC ) R 1 ŻC È dunque possibile calcolare la corrente del ramo del generatore: = j (1) Ī I E = Ē Ż eq = j (2) La corrente nel condensatore si ottiene applicando le regole del partitore: R 1 ĪC I = Ī I R 1 ŻC E = j (3) A partire dalla definizione di impedenza del condensatore si calcola infine la tensione che cade su di esso. V C I Ż C R 1 = ŻCĪI C = I I R 1 ŻC E = j (4) Circuito associato al forzamento in corrente V C II V II L R 1 Z L VR1 II Z C R VR2 II 2 J Figura 4: Circuito associato al forzamento in corrente La corrente che circola nel condensatore è Ī II C = J = j (5) Ż C R 1 //ŻL Da cui si ottiene la tensione che insiste sul condensatore: V II C = ŻCĪII Ż C C = J = i (6) Ż C R 1 //ŻL

10 Circuiti in regime sinusoidale Sovrapposizione degli effetti e considerazioni conclusive Sovrapponendo gli effetti dei due circuiti si ottiene dunque: V C = V I C V II C = j = exp (2.19j) (7) Ritorniamo al dominio del tempo antitrasformando: v C (t) = Re { VC exp (jωt) } (8) v C (t) = Re {18.73exp(j (ωt 2.19))} = 18.73cos(ωt 2.19) (9)

11 Circuiti in regime sinusoidale Esercizio 4 Calcolare la potenza complessa ˆP, attiva P, reattiva Q assorbita a regime dalla serie di L 2 e, utilizzando, per la soluzione del circuito, il teorema di Norton. i R1 R 1 v R1 v C i C C i R2 V R2 j 1 (t) i L1 L1 v L1 i L2 L 2 v L2 j 2 (t) Figura 5: Circuito associato al forzamento in corrente j 1 (t) = J 1 cos(4t), j 2 (t) = J 2 cos(4t 2/3π), J 1 = 4A, J 2 = 2A R 1 = = 2Ω, L 1 = L 2 = 1H, C = 2F. Passaggio al dominio trasformato I forzamenti nel dominio trasformato sono: J 1 = J 1 = 4, J 2 = J 2 exp ( j 2 3 π) = 0.5(1 3j)J 2 = (1 3j) Le impedenze associate al condensatore e all induttore sono rispettivamente: ŻC = j ωc = 0.125j, ŻL1 = ŻL2 = jωl = 4j Calcolo Impedenza Equivalente Ż eq = R 1 ŻL1 ŻC = j (1)

12 Circuiti in regime sinusoidale C R 1 L 1 Figura 6: Circuito per il calcolo di Ż eq I R1 R 1 I C V R1 V C C I CC J 1 I L1 J 2 L1 V L1 Figura 7: Circuito per il calcolo di Īcc Calcolo Corrente di Corto Circuito Per il calcolo di I cc si applichi il principio di sovrapposizione degli effetti: Considerando attiva la causa J 1 e aprendo il generatore J 2 si ottiene: Īcc I R 1 = ŻL J 1 = 2 4j R 1 ŻL ŻC j J 1 = j (2) Considerando al contrario attiva la causa J 2 e aprendo il generatore J 1 si ottiene: La corrente di corto circuito complessiva è, dunque Circuito Equivalente secondo Norton Ī II cc = J 2 = ( j) (3) Ī cc = ĪI cc ĪII cc = j (4) Ż eq Ī R2 = Ī cc = j (5) Ż L2 Żeq

13 Circuiti in regime sinusoidale I Zeq Z eq I cc V Zeq I R2 I L2 L 2 V R2 V L2 Figura 8: Circuito equivalente secondo Norton la tensione che insiste sulla serie di L 2 e si ottiene immediatamente: V (R2L2) = (ŻL2 = j (6) )ĪIR2 La potenza apparente si calcola come: ˆP = 1 2 V I = j (7) La potenza attiva si ottiene come: ) P = Re( ˆP = 3.03W (8) Al contrario la potenza reattiva si ottiene: ) Q = Im( ˆP = 6.06VAr (9)

14 Circuiti in evoluzione dinamica -Transitori del I ordine Esercizio 5 Calcolare il lavoro fatto sull induttore L di figura 1 nell intervallo [t 0,t 1 ]. v R1 i R1 R 1 i R2 e(t) i L L v R2 v L i RL R L v RL Figura 1: Circuito completo esercizio 5 e(t) = E 0 cos(ωt φ), ω = 100rad/s, E 0 = 100 2V, φ = π 4 R 1 = 100Ω, = 100Ω, R L = 100Ω, L = 1H, i L (t 0 ) = 1.8A, t 0 = 0, t 1 = 20πms Si scrivano le equazioni che regolano il funzionamento del circuito. Si parta dalle LKT: { e(t) = v R1 v R2 v L v R2 v L = v RL (1) si consideri poi la LKC: ed infine le caratteristiche dei bipoli: v R1 = R 1 i R1 v R2 = i L v RL = R 3 i RL v L = L dil dt i R1 = i L i RL (2) Combinando le eqq. (1), (2) e (3) si ottiene la tensione che insiste sull induttore: v L (t) = L di L dt = (R R L 1//R L )i L e(t) (4) R 1 R L La soluzione dell equazione differenziale (4) per linearità si ottiene come somma dell integrale generale dell equazione omogenea associata i L,0 (t) fornita in (5) e di una soluzione particolare della completa i p,0 (t). ( i L,0 = k exp t ) (5) τ (3) C. Forestiere - DIEL - Università degli Studi Federico II

15 Circuiti in evoluzione dinamica -Transitori del I ordine ove è stata introdotta la costante di tempo τ: τ = L R 1 //R L (6) Una soluzione particolare è, ad esempio, la soluzione di regime ottenuta col metodo fasoriale, il cui calcolo è condotto nella sezione seguente. Soluzione di regime Si associno alle grandezze del circuito i loro corrispondenti nel dominio dei fasori, cioè Ē = E 0 ( j) = j (7) Ż L = 100j (8) detta Z eq è l impedenza vista ai morsetti del generatore La corrente nell induttore sarà: Ż eq = R 1 ( Z L )//R L = j (9) R L Ē Ī L = = j = 0.4exp(0.2j) (10) R L Z L Ż eq Ritornando nel dominio del tempo otterremo la soluzione di regime: Soluzione completa e calcolo del lavoro i L,p (t) = 0.4cos(ωt 0.2) (11) Sommando le soluzioni fornite dalle eqq. (5) e (11) si perviene alla soluzione generale dell equazione completa: ( i L = k exp t ) 0.4cos(ωt 0.2) (12) τ La costante k si determina imponendo la condizione iniziale i L (0) = 1.8A: k = 1.4A (13) L evoluzione della corrente nell induttore segue la seguente legge: ( i L (t) = 1.4exp t ) 0.4cos(ωt 0.2) (14) τ Il lavoro fatto sull induttore è dato da: t2 1 W( t) = t 1 2 Li2 L(t) = L 2 t2 t 1 { ( k 2 exp 2t ) τ C. Forestiere - DIEL - Università degli Studi Federico II

16 Circuiti in evoluzione dinamica -Transitori del I ordine ( A 2 cos 2 (ωt φ) 2kAcos(ωt φ)exp t )} dt τ = L 2 [ kτ ( 2 exp 2t ) A2 [2(ωt φ) sin(2(ωt φ))] τ 4ω 2kAτ 1 ω 2 (cos (ωt φ) ωτ sin (ωt φ)) exp τ2 ( t )] t2 τ t 1 C. Forestiere - DIEL - Università degli Studi Federico II

17 Circuiti in evoluzione dinamica -Transitori del I ordine Esercizio 6 Determinare l andamento temporale della tensione v c (t) che insiste ai capi del condensatore C per t > 0. j(t) e(t) v R1 i R1 R 1 C i C v R2 i R2 i R3 vc R 3 v R3 i RL R L v RL Figura 1: Circuito completo esercizio 6 j(t) = J 0 = 3A e(t) = E 0 cos(ωt), ω = 100rad/s, E 0 = 100V, R 1 = 25Ω, = 25Ω, R 3 = 50Ω, R L = 50Ω, C = 0.2mF, v C (0) = 0 Si scrivano le LKT: { e(t) = vr1 v C v C = v R2 v R3 (1) le LKC { e le si accoppino con le caratteristiche dei bipoli: i R1 = i C i 2 i R2 j(t) = i R3//RL (2) i c = C dvc dt i Req = vreq R eq (3) i R1 = vr1 R 1 Combinando le eqq. (1), (2) e (3) si ottiene la corrente che fluisce nel condensatore: i c (t) = C dv c dt = v c R 1 //( R 3 //R L ) R 3 //R L j(t) e(t) (4) R 3 //R L R 1 C. Forestiere - DIEL - Università degli Studi Federico II

18 Circuiti in evoluzione dinamica -Transitori del I ordine La soluzione dell equazione differenziale per linearità si ottiene come somma dell integrale generale dell equazione omogenea associata v c,0, riportata in (5), e di una soluzione particolare della completa v c,p. ( v c,0 = k exp t ) (5) τ ove la costante di tempo τ è: τ = CR 1 //( R 3 //R L ) (6) La soluzione di regime è certamente una soluzione particolare del nostro circuito. Per determinarla si applichi la sovrapposizione degli effetti. Circuito di regime associato al forzamento in tensione La rete associata al forzamento in tensione, ottenuta aprendo il generatore di corrente, è riportata in figura 2. Si associno alle grandezze del circuito i loro E V R1 I IR1 I R 1 Z C I I C V R2 I IR2 I V I C IR3 I I RL I VR3 I R L R 3 V I RL Figura 2: Circuito associato al forzamento sinusoidale in tensione corrispondenti nel dominio dei fasori. Ē = E 0 (7) Ż c = 50j (8) Si semplifichi la rete considerando la serie tra e il parallelo tra R 3 ed R L come riportato in fig. 3. R eq = R 3 //R L = 50Ω (9) La tensione che insiste sul condensatore si calcola applicando la formula del partitore: Ż c //R eq V c = Ē = 60 20j (10) Ż c //R eq R 1 ove Ż c //R eq = ŻcR eq = 25 25j (11) Ż c R eq antitrasformando la V c si ottiene la soluzione particolare cercata: v I cp(t) = Re { Vc exp (jωt) } = 60cos ωt 20sin ωt (12) C. Forestiere - DIEL - Università degli Studi Federico II

19 Circuiti in evoluzione dinamica -Transitori del I ordine E V R1 I IR1 I R 1 I I RL IC I Z V I C C R L V I RL Figura 3: Circuito semplificato associato al forzamento in tensione Circuito di regime associato al forzamento in corrente Cortocircuitando il generatore di tensione si ottiene il circuito di figura 4. Si scrivano le LKT: La corrente in ed R 3 si ottiene a partire da un partitore di J I II R1 V II R1 R 1 V II C I II R2 V II R2 I II R3 R 3 V II R3 I II RL R L V II RL Figura 4: Circuito per il calcolo della soluzione di regime corrente: R 3 //R L R2 = j(t) = 0.5A (13) R 1 R 3 //R L i II Si calcola ora la tensione v II c,p: i II R L R 1 R3 = j(t) = 0.5A (14) R 3 R L R 1 R 3 //R L v II c,p = v R2 v R3 = i R2 R 3 i R3 = 12.5V (15) Sovrapposizione degli effetti e considerazioni conclusive La soluzione di regime complessiva ai capi del condensatore è v c,p = v I c,p v II c,p = cos ωt 20sin ωt (16) Imponendo infine la condizione iniziale v c (0) = 0 si ottiene: k = 72.5V (17) C. Forestiere - DIEL - Università degli Studi Federico II

20 Circuiti in evoluzione dinamica -Transitori del I ordine La tensione che insiste sul condensatore presenta in conclusione il seguente andamento temporale: ( v c (t) = exp t ) 60cos ωt 20sin ωt (18) τ C. Forestiere - DIEL - Università degli Studi Federico II

21 Circuiti in evoluzione dinamica -Transitori del I ordine Esercizio 7 Il circuito in figura 1 è a riposo fino all istante t = 0 in cui si chiude l interruttore. Determinare l evoluzione della tensione ai capi del condensatore per t > 0. e(t) t = 0 v R1 i R1 R 1 i C C i R2 vc v R2 i RL R L v RL Figura 1: Circuito completo esercizio 7 e(t) = E 0 cos(ωt), ω = 1rad/s, E 0 = 100V, R 1 = 4Ω, = 4Ω, R L = 4Ω, C = 1F Analisi del Circuito resistivo associato Il circuito resistivo associato, mostrato in fig. 2, si ottiene sostituendo al condensatore un generatore indipendente di tensione v C (t). Per la stesura della equazione di stato del circuito occorre determinare la corrente i C (t) v R1 i R1 R 1 i C e(t) i R2 v C v R2 i RL R L v RL Figura 2: Circuito resistivo associato Applicando la sovrapposizione degli effetti ai 2 generatori presenti si ha: 1 i C (t) = i I C(t) i II C (t) = R L R L e(t) v C (t) (1) R 1 //R L R 1 //R L 1 nel seguito si farà riferimento a e(t) e v C (t) come causa I e causa II rispettivamente. C. Forestiere - DIEL - Università degli Studi Federico II

22 Circuiti in evoluzione dinamica -Transitori del I ordine Combinando la eq (1) con la caratteristica del condensatore si ottiene: ovvero i C (t) = C dv C dt R L = R L dv C dt = e(t) τ e(t) R 1 //R L v C (t) C(R 1 //R L ) v C (t) R 1 //R L (2) τ = C( R L )(R 1 //R L ) R L = 12s (4) La soluzione della completa si ottiene come somma dell integrale generale della omogenea associata e di una soluzione particolare della completa. L integrale generale dell omogenea è immediata: ( v C,O (t) = Aexp t ) (5) τ Un integrale particolare è, ad esempio la soluzione di regime. Analisi del circuito di regime per t > 0 Passando nel dominio dei fasori si ha: La tensione ai capi del condensatore è dunque: (3) Ē = 100 (6) Z C = j (7) Ē R L V C = = j = 8.21exp(0.165j) R 1 (Z C )//R L R L Z C (8) da cui antitrasformando si ottiene: Determinazione delle costanti La soluzione generale è dunque: v C (t) = Aexp Imponendo la condizione iniziale si ha: v C,p (t) = 8.21cos(ωt 0.165) (9) ( t ) 8.21 cos(ωt 0.165) (10) τ v C (0) = A 8.21cos(0.165) = 0 (11) da cui si ha: A = 8.1V (12) C. Forestiere - DIEL - Università degli Studi Federico II

23 Metodi delle correnti di maglia e potenziali nodali Esercizio 8 Verificare la conservazione delle potenze nel circuito in figura 1, adoperando il metodo delle correnti di maglia. E 1 V 4 I 4 R 4 R 1 I 1 V 1 V 6 R 6 I 6 V 5 I 5 R 5 V 2 I 2 E 2 I 3 R 3 V 3 Figura 1: Circuito completo esercizio 8 E 3 E 1 = 460V, E 2 = 230V, E 3 = 115V R 1 = 8Ω, = 4Ω, R 4 = 2Ω, R 5 = 6Ω, R 6 = 12Ω Si fissino le tre correnti di maglia: J 1 circola in senso orario nella maglia costituita dai bipoli {E 1,R 4,,E 2,R 1 } J 2 circola in senso orario nella maglia costituita dai bipoli {R 5,E 3,R 3,E 2,R 1 } J 3 circola in senso orario nella maglia costituita dai bipoli {R 6,R 5,R 4 } Si consideri il legame tra le correnti di lato e le correnti fittizie di maglia: I 1 = J 1 I 2 = J 2 J 1 I 3 = J 2 I 4 = J 1 J 3 I 5 = J 2 J 3 I 6 = J 3 (1) Essendo le LKC automaticamente verificate dalle correnti di maglia, si impongano le LKT: E 1 R 4 I 4 I 2 E 2 R 1 I 1 = 0 (2) E 2 I 2 R 5 I 5 E 3 R 3 I 3 = 0 (3) R 6 I 6 R 5 I 5 R 4 I 4 = 0 (4)

24 Metodi delle correnti di maglia e potenziali nodali Sostituendo le (13) nelle eqq. (2-4) si ha: E 1 R 4 (J 1 J 3 ) (J 2 J 1 ) E 2 R 1 J 1 = 0 (5) E 2 (J 2 J 1 ) R 5 (J 2 J 3 ) E 3 R 3 J 2 = 0 (6) R 6 J 3 R 5 (J 2 J 3 ) R 4 (J 1 J 3 ) = 0 (7) Queste equazioni possono essere riassunte nella forma: (R 1 R 4 )J 1 J 2 R 4 J 3 = E 1 E 2 (8) J 1 ( R 3 R 5 )J 2 R 5 J 3 = E 3 E 2 (9) R 4 J 1 R 5 (R 4 R 5 R 6 )J 3 = 0 (10) Sostituendo i valori numerici avremo: J 1 J 2 J 3 = (11) Invertendo il sistema lineare si ottiene: J 1 = 20.5A J 2 = 11.5A J 3 = 5.5A Sostituendo l eq. (12) nelle eqq. (13) si ottiene: I 1 = J 1 = 20.5A I 2 = J 2 J 1 = 9A I 3 = J 2 = 11.5A I 4 = J 1 J 3 = 15A I 5 = J 2 J 3 = 6A I 6 = J 3 = 5.5A Si valutano le potenze erogate dai generatori: P E1 = E 1 I 1 = 9430W P E2 = E 2 I 2 = 2070W P E3 = E 3 I 3 = W (12) (13) (14) e la loro somma: P E = P E1 P E2 P E3 = 6037W (15) Si calcolano, ora le potenze assorbite dai resistori: P R1 = R 1 I1 2 = 3362W P R2 = I2 2 = 324W P R3 = R 3 I3 2 = W P R4 = R 4 I4 2 = 450W P R5 = R 5 I5 2 = 216W P R6 = R 6 I6 2 = 363W (16)

25 Metodi delle correnti di maglia e potenziali nodali e come previsto dal teorema di conservazione delle potenze la loro potenza assorbita dai resistori eguaglia quella erogata dai generatori, infatti: P R = P R1 P R2 P R3 P R4 P R5 P R6 = 6037W (17)

26 Metodi delle correnti di maglia e potenziali nodali Esercizio 9 Calcolare la potenza totale assorbita da tutti i resistori del circuito in figura 1, adoperando il metodo dei potenziali di nodo. I 3 V 3 R 3 1 V E E 3 V 1 R 1 I 1 R 4 I 4 V 4 J I 5 R 5 V 5 Figura 1: Circuito completo esercizio 9 E = 10V, J = 10A R 1 = 2Ω, = 10Ω, R 3 = 5Ω, R 4 = 15Ω, R 5 = 5Ω Si introducano i potenziali E 1, E 2, E 3 per i nodi 1, 2, 3, rispettivamente. Si scrivano dunque le correnti dei vari rami del circuito in termini dei potenziali di nodo. I 1 = E 1 R 1 (1) I 2 = E 1 E 2 (2) I 3 = E 1 E 3 R 3 (3) I 4 = E 2 R 4 (4) I 5 = E 3 R 5 (5) Essendo le LKT alle maglie automaticamente verificate dai potenziali di nodo restano da imporre le LKC ai nodi. E 1 = E 1 E 2 E 1 E 3 R 1 R 3 (6) E 1 E 2 = I E E 2 R 4 (7)

27 Metodi delle correnti di maglia e potenziali nodali I E E 1 E 3 R 3 = J 0 E 3 R 5 (8) E 3 E 2 = E 0 (9) Riscrivendo le equazioni si ottiene il seguente sistema lineare: ( ) E 1 1 E 2 1 E 3 = 0 (10) R 1 R 3 R 3 ( 1 1 E 1 1 ) E 2 I E = 0 (11) R 4 ( 1 1 E 1 1 ) E 3 I E = J 0 (12) R 3 R 3 R 5 E 2 E 3 = E 0 (13) Sostituendo i valori numerici si ottiene: (mettendo il sistema in forma matriciale) E E E 3 = 0 10 (14) I E 10 Risolvendo il sistema lineare si ottiene: E 1 = 8.5V E 2 = 29.2V E 3 = 19.2V I E = 0.61A (15) La potenza assorbita dalla totalità dei resistori è uguale alla potenze erogata dai generatori; pertanto si ha: P = I E E 0 E 3 J 0 = = 25.3W (16)

28 Circuiti in evoluzione dinamica - Transitori del II ordine Esercizio 10 La rete in figura è in regime stazionario fino a t=0, istante in cui si apre l interruttore S 1 e si chiude l interruttore S 2. Calcolare l evoluzione della tensione v C1 (t) per t > 0. e(t) S 1 t = 0 i C1 C 1 v R1 i R1 R 1 i i R3 R2 vc1 v R2 v R3 R 3 i t = 0 C2 vc2 C 2 S 2 j(t) Figura 1: Circuito completo esercizio 10 e(t) = E 0, E 0 = 100V i(t) = J 0 cos(ωt), J 0 = 10A, ω = 1rad/s R 1 = = R 3 = R = 2Ω, C 1 = 2C = 6F, C 2 = C = 3F, Analisi del circuito di regime per t < 0. v R1 i R1 R 1 i i R3 R2 e(t) v C1 v R2 v R3 R 3 vc2 Figura 2: Circuito di regime per t < 0 Per la continuità delle variabili di stato le condizioni iniziali sui due elementi dinamici, cioè i 2 capacitori C 1 e C 2, sono: v C1 (0 ) = v C1 (0 ) = E 0 = 100V (1) v C2 (0 ) = v C2 (0 ) = E 0 = E 0 = 50V R 1 2 (2) Analisi del Circuito Resistivo Associato Il circuito resistivo associato si ottiene sostituendo ai due condensatori due generatori indipendente di tensione v C1 (t) e v C2 (t) rispettivamente. Per la stesura delle equazioni di stato del circuito occorre determinare le correnti che scorrono in questi due componenti in termini delle grandezze di stato. Applicando la

29 Circuiti in evoluzione dinamica - Transitori del II ordine i v R1 R1 v R3 i C1 R 1 i R2 i R3 R 3 i C2 v C1 v R2 v C2 j(t) Figura 3: Circuito resistivo associato sovrapposizione degli effetti ai tre generatori presenti si ottiene (nel seguito si farà riferimento a v C1, v C2 e j come causa I, II, III, rispettivamente) : i C1 = i I C1 i II C1 i III 1 C1 = v C1 1 R 1 // v C2 (3) R 1 //R 3 R 1 R 1 // R 3 i C2 = i I C2 i II C2 i III C2 = 1 //R 3 1 v C1 v C2 j(4) R 3 R 1 //R 3 R 1 // R 3 Le equazioni di stato del circuito si ricavano combinando le (3) e (4) con le caratteristiche dei condensatori. C 1 dv C1 dt C 2 dv C2 dt 1 = i C1 = v C1 1 R 1 // v C2 (5) R 1 //R 3 R 1 R 1 // R 3 = i C2 = 1 //R 3 1 v C1 v C2 j (6) R 3 R 1 //R 3 R 1 // R 3 Il sistema di equazioni (5)-(6) può essere messo nella forma: ove si è posto: 1 C 1 dv C1 dt C 2 dv C2 dt = G 11 v C1 G 12 v C2 (7) = G 21 v C1 G 22 v C2 j (8) 1 G 11 = R 1//R 3 = 2 3R G 12 = 1 R 1// R 1 R 1//R 3 = 1 3R G 21 = 1 //R 3 R 3 R 1//R 3 = 1 1 3R G 22 = R 1//R 3 = 2 3R Riconduciamo ora il sistema di 2 equazioni differenziali del primo ordine ad una sola equazione differenziale del secondo ordine. A tale scopo si ricavi v C2 dalla eq. (5) e lo si sostituisca in (6) d 2 v C1 dt 2 (9) v C2 = C 1 dv C1 G 11 v C1 (10) G 12 dt G 12 2σ dv C1 dt ω 2 rv C1 j C 1 C 2 = 0 (11) 1 I termini G ij non sono altro che gli elementi di una matrice delle conduttanze G associata ad un 2 porte assumendo la convenzione dell utilizzatore su entrambe le porte.

30 Circuiti in evoluzione dinamica - Transitori del II ordine dove sono state introdotte le costanti: σ = 1 C 1 G 22 C 2 G 11 = 1 2 C 1 C 2 ω 2 r = G 11G 22 G 12 G 21 C 1 C 2 = (12) 2RC 1 6(RC) 2 (13) occorre ora scrivere le condizioni iniziali su v C1 e sulla sua derivata. La condizione iniziale su v C1 è espressa dalla (1), invece la condizione su dvc dt t=0 si ricava a partire dalla (7) e dalle (1)-(2). dv C1 = G 11v C1 (0) G 12 v C2 (0) = E 0 dt C 1 6RC = 2.8V s1 (14) 0 La soluzione generale della completa si determina come somma della soluzione generale dell equazione omogenea associata e di una soluzione particolare della completa. L equazione caratteristica dell omogenea associata ammette le seguenti soluzioni (frequenze naturali): λ 1,2 = σ ± σ 2 ωr 2 = 1 ( 3 ± 2 ) 2 = 6RC { s 1 (15) dunque la soluzione generale dell equazione omogenea associata è: v 0,C1 (t) = A 1 exp (λ 1 t) A 2 exp (λ 2 t) (16) Per ottenere la soluzione generale della completa occorre conoscere una soluzione particolare del circuito. Una di esse è, ad esempio, la soluzione di regime per t > 0. Analisi del circuito di regime per t > 0. I C1 V C1 V R1 V R3 I R1 R 1 I R2 R 3 ZC1 I R3 I C2 V R2 Z C2 V C2 j(t) Figura 4: Circuito di regime per t > 0 Passando nel dominio dei fasori si ottiene: J = J 0 = 10 Ż C1 = j ωc 1 = 0.167j Ż C2 = j ωc 2 = 0.333j (17)

31 Circuiti in evoluzione dinamica - Transitori del II ordine Si introducano le impedenze: Ż eq1 = Ż C1 R 1 = j Ż eq2 = Żeq1// R 3 = j (18) Partizionando la corrente J e utilizzando la caratteristica del condensatore C1 si ricava la V C1 : Ż C2 V C1 = ŻC1 J = 0.09i 0.015j = 0.92exp (3.31j) (19) Ż eq2 ŻC2 Ż eq1 Ritornando nel dominio del tempo si ottiene la soluzione di regime per t > 0. v p,c1 (t) = E p cos(ωt φ p ) (20) ove si è posto: { Ep = 0.92V φ p = 3.31 (21) Determinazione delle costanti La soluzione della completa e la sua derivata sono rispettivamente: v C1 = A 1 exp (λ 1 t) A 2 exp (λ 2 t) E p cos (ωt φ p ) (22) dv C1 = A 1 λ 1 exp (λ 1 t) A 2 iλ 2 exp (λ 2 t) E p ω sin (ωt φ p ) dt (23) Imponendo le condizioni iniziali all istante t=0 si ha: da cui v C (0) = A 1 A 2 E p cos (φ p ) (24) dv C dt = A 1 λ 1 A 2 λ 2 E p ω sin (φ p ) (25) t=0 dv C 0 A 1 = dt λ 2 v C (0) E p [ω sin(φ p ) λ 2 cos(φ p )] = 85.14V (26) λ 2 λ 1 dv C 0 A 2 = dt λ 1 v C (0) E p [ω sin(φ p ) λ 1 cos(φ p )] = 19.83V (27) λ 2 λ 1 Sostituendo le (26) nella (22) si perviene all espressiore cercata della tensione sul condensatore: v C1 = 85.14exp ( t ) 19.83exp ( t ) 0.92cos (t 3.31) (28)

32 Circuiti in evoluzione dinamica - Transitori del II ordine Esercizio 11 La rete in figura è in regime stazionario fino a t=0, istante in cui si chiude l interruttore S 1. Calcolare l evoluzione della tensione v C (t) per t > 0. E 0 v R1 i R1 R 1 i C C vc t = 0 v R2 i R2 i L L v L Figura 1: Circuito completo esercizio 11 E 0 = 2V R 1 = = R = 1 3 Ω, L = 1mH, C = 2mF, Analisi del circuito di regime per t < 0 E 0 v R1 i R1 vc v R2 i R2 i L Figura 2: Circuito di regime per t < 0 Per la proprietà di continuità delle variabili di stato le condizioni iniziali sui due elementi dinamici sono: v C (0 ) = v C (0 ) = i L (0 ) = i L (0 ) = E 0 = E 0 = 1V R 1 2 (1) 1 E 0 = E 0 = 3A R 1 2R (2) Analisi del Circuito Resistivo Associato Il circuito resistivo associato si ottiene sostituendo al condensatore un generatore indipendente di tensione v C (t), all induttore un generatore indipendente di corrente i L (t). Si vogliono determinare la corrente che scorre nel condensatore e la tensione che insiste sull induttore al fine di scrivere le equazioni di stato del

33 Circuiti in evoluzione dinamica - Transitori del II ordine E 0 v R1 i R1 R 1 i C v C i L v L Figura 3: Circuito resistivo associato circuito. Applicando la sovrapposizione degli effetti ai tre generatori presenti si ottiene: i C = i I L i II L i III L = 1 R v C i L E (3) R v L = vl I vl II vl III = v C (4) Le equazioni di stato del circuito si ricavano combinando le (3) e (4) con le caratteristiche degli elementi dinamici. C dv C dt che possono essere riportate nella forma ove si è posto 2 : = i C = 1 R v C i L E R (5) L di L dt = v L = v C (6) C dv C dt = i C = h 11 v C h 12 i L E R L di L dt = v L = h 21 v C h 22 i L (8) h 11 = 1 R = 3S h 12 = 1 h 21 = 1 h 22 = 0Ω Con l intento di ricondurci, a partire dal sistema di equazioni differenziali (7)- (8), ciascuna delle quali del primo ordine, ad un unica equazione di ordine due si ricavi i L dall equazione (7) e la si sostituisca in (8): i L = 1 h 12 ( C dv c dt h 11v C E ) R (7) (9) (10) d 2 v C dt 2 2σdv C ω 2 dt rv C = 0 (11) 2 I termini h ij non sono altro che gli elementi di una matrice ibrida H associata ad un 2 porte assumendo la convenzione dell utilizzatore su entrambe le porte.

34 Circuiti in evoluzione dinamica - Transitori del II ordine ove si è posto: σ = 1 Lh 11 Ch 22 = 1 2 LC 2RC = ms 1 (12) ω 2 r = h 11h 22 h 12 h 21 LC = 1 LC = s 2 (13) Occorre ora scrivere le condizioni iniziali su v C e sulla sua derivata. La condizione iniziale su v C è espressa dalla (1), invece la condizione su dvc dt t=0 si ricava a partire dalla (7) e dalle (1)-(2). Il problema di Cauchy da risolvere è dunque: d 2 v C dt 2 2σdv C ω 2 dt rv C = 0 (14) v C (0 ) = E 0 (15) 2 dv c dt = 0 (16) t=0 L equazione caratteristica dell omogenea associata ammette le seguenti soluzioni (frequenze naturali): λ 1,2 = σ ± { σ 2 ωr 2 = (750 ± 250) 10 6 s = s 1 (17) la soluzione generale dell equazione completa che, in questo particolare caso coincide con l omogenea associata è: v C (t) = A 1 exp (λ 1 t) A 2 exp (λ 2 t) (18) Resta da determinare le due costanti reali A 1 ed A 2 imponendo le condizioni iniziali. Determinazione delle costanti La soluzione della completa e la sua derivata sono rispettivamente: v C (t) = A 1 exp (λ 1 t) A 2 exp (λ 2 t) (19) dv C = A 1 λ 1 exp (λ 1 t) A 2 λ 2 exp (λ 2 t) (20) dt Imponendo le condizioni iniziali all istante t=0 si ha: da cui v C (0) = A 1 A 2 = E 0 2 = 1 (21) dv C dt = A 1 λ 1 A 2 λ 2 = 0 (22) t=0 { A1 = 1V A 2 = 2V (23)

35 Circuiti in evoluzione dinamica - Transitori del II ordine Sostituendo le (23) nella (24) si perviene all espressiore cercata della tensione sul condensatore: v C (t) = exp ( 10 3 t ) 2exp ( t ) (24)