CENTRO SALESIANO DON BOSCO TREVIGLIO Corso di Informatica

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1 ) Un urna contiene 0 palline numerate da a 0. Si calcoli la probabilità che: a) estraendo successivamente palline, rimettendo ogni volta la pallina estratta nell urna, si abbiano due numeri primi; b) estraendo successivamente palline, non rimettendo ogni volta la pallina nell urna, si abbiano un numero primo e un numero non primo; c) estraendo contemporaneamente palline, esse siano palline con un numero inferiore a 5 e una con un numero maggiore o uguale a 5; R. a) I casi possibili sono tutti i modi con cui si possono presentare due dei dieci numeri, anche ripetuti in quanto dopo ogni estrazione la pallina viene rimessa nell urna e quindi può essere nuovamente estratta. Ricorrendo al Calcolo Combinatorio ciò significa considerare come casi possibili le Disposizioni con ripetizione di 0 elementi presi alla volta, cioè D ' 0 0, 00 I casi favorevoli sono tutti i modi con cui possono presentarsi, anche con ripetizione, due dei quattro numeri primi {,,5,7} cioè sono le D 4 6. ' 4, Pertanto la Probabilità, rapporto tra i casi favorevoli e i casi possibili, è 6 4 p 00 5 b) I casi possibili sono tutti i modi con cui si possono presentare due dei dieci numeri, ma un numero può presentarsi una sola volta in quanto non viene rimesso nell urna. Ricorrendo al Calcolo Combinatorio ciò significa considerare come casi possibili le Disposizioni semplici di 0 elementi presi alla volta, cioè D I casi favorevoli sono tutti i gruppi formati da un numero primo e un numero non primo ed inoltre occorre tener conto tutti i possibili modi con cui si possono presentare. Ciò significa innanzitutto calcolare quanti gruppi si possono fare con un numero primo scegliendolo fra i quattro numeri primi, D 4, e quanti gruppi sono possibili scegliendo un numero non 4, primo fra i sei numeri non primi, D 6, ed inoltre calcolare tutti i modi in cui le due 6, palline estratte si possono presentare, che sono le Permutazioni di oggetti, P Dunque i casi possibili risultano D D P , 6, 4 Pertanto la probabilità è p 90 5 c) I casi possibili sono tutti i modi con cui si possono estrarre tre palline ed essendo l estrazione contemporanea non ha alcuna rilevanza l ordine dell estrazione. Ciò significa per il Calcolo Combinatorio calcolare le Combinazioni di 0 elementi di classe, ovvero 0 9 C 0, 0 I casi favorevoli sono tutti i gruppi formati da due delle quattro palline aventi un numero inferiore a 5, che sono le C4, e da una delle 6 con un valore maggiore o uguale a 5 4 (5,6,7,,9,0); quindi sono C 4, Pertanto la probabilità è p. 0 0 Probabilità erifica 0 /5

2 ) Si lancino contemporaneamente due dadi. Calcolare la probabilità che le due facce. a) siano due numeri uguali b) siano due numeri dispari c) siano due numeri primi d) siano uno pari e uno dispari I casi possibili sono le coppie, che si possono formare con le 6 facce, considerando che sulle facce dei due dadi si possono presentare gli stessi numeri. Ciò significa calcolare le Disposizioni con ripetizione di 6 oggetti scelti a due a due D 6 6 ' 6, a) I casi favorevoli sono le 6 coppie di facce con numeri uguali, pertanto la probabilità è 6 p 6 6 b) i casi favorevoli sono i gruppi formati da un numero dispari scelto fra i tre (,,5), ovvero le Disposizioni di elementi scelti uno alla volta, D tenendo presente di tutti i possibili, modi con cui si possono presentare, (ad ogni gruppo ottenuto da un dado deve corrispondere un gruppo dell altro dado) D D 9,, Pertanto la probabilità è 9 p 6 4 c) i casi favorevoli sono i gruppi formati da un numero primo scelto fra i tre (,,5), cioè le D tenendo presente che ad ogni gruppo formato con un dado deve corrispondere un, gruppo formato col secondo dado; pertanto risultano D D 9,, Pertanto la probabilità è 9 p 6 4 d) i casi favorevoli sono il gruppo formato da un numero scelto fra i pari (,4,6) D e il, gruppo formato da un numero dispari scelto fra i tre dispari (,,5) D tenendo presente, che ad ogni gruppo di un dado corrisponde un gruppo dell altro dado e che inoltre è necessario considerare che i due gruppi si devono permutare in quanto possono presentarsi i numeri pari su un dado e i numeri dispari sull altro e viceversa. Dunque i casi favorevoli risultano D D P,, Pertanto si ha la probabilità p 6 Probabilità erifica 0 /5

3 ) Si lancino tre monete e si osservi il numero delle teste e delle croci che si presentano. Si calcoli la probabilità che a) escano tre teste b) esca almeno una testa c) escano due croci I casi possibili sono i gruppi che si possono formare con oggetti (testa o croce) presi tre alla volta considerando che si possono ripetere. Dunque sono le Disposizioni con ripetizione D ', a) i casi favorevoli sono uno solo, pertanto la probabilità è p b) in tale caso l evento è l unione dei tre eventi A esce una testa, B escono due teste e C escono tre teste e per la proprietà additiva della probabilità si ha p ( A B C) p( A) + p( B) + p( C) Poiché p ( A), p ( B), p( c) otteniamo 7 p + + Si poteva giungere allo stesso risultato considerando l evento opposto non esce alcuna testa, ovvero escono tre croci che ha probabilità p e per la proprietà della probabilità dell evento opposto otteniamo 7 p c) i casi favorevoli sono i modi in cui si possono scegliere, non tenendo conto dell ordine, due croci sulle tre possibili, ovvero le Combinazioni C,. Pertanto la probabilità risulta p Probabilità erifica 0 /5

4 4) Nel gioco del lotto, che consiste nell estrarre 5 palline da un urna contenente 90 palline numerate da a 90, si calcoli la probabilità di a) vincere con un estratto, ovvero estrarre una pallina di un numero fissato b) fare un ambo, ovvero estrarre due numeri fissati c) non estrarre il numero fissato d) fare un ambo giocando numeri I casi possibili sono tutte le cinquine che si possono estrarre dai 90 numeri, ovvero, non 90 9 contando l ordine di estrazione, le Combinazioni C 5 4 a) i casi favorevoli sono tutti i modi in cui, estratto il numero fissato, si possono raggruppare 9 quattro numeri degli 9 rimasti nell urna, ovvero le Combinazioni C 9,4 4 Pertanto la probabilità, rapporto fra i casi possibili e i casi possibili, è C9, p C b) i casi favorevoli sono tutti i modi in cui, estratti i due numeri fissati, si possono 9 raggruppare numeri degli rimasti nell urna, cioè le Combinazioni C, Pertanto la probabilità, rapporto fra casi favorevoli e casi possibili, è C, 5 4 p C ,5 c) per la proprietà della probabilità dell evento complementare, essendo l evento non esce il numero estratto l evento complementare di esce un numero estratto, 7 p d) richiamando la probabilità di fare ambo vista al punto b), in questo caso si devono 400,5 però considerare in quanti modi di possono ottenere due numeri dai tre fissati, ovvero, non contando l ordine, le Combinazioni C,. Dunque la probabilità è C, p C,5 Probabilità erifica 0 4/5

5 5) Siano dati un cubo circoscritto ad una sfera di raggio r nella quale è iscritto un cono equilatero. Si scelga a caso un punto all interno del cubo: si determini la probabilità che tale punto sia esterno al cono. r La figura rappresenta la sezione verticale del cubo circoscritto alla sfera nella quale è iscritto il cono equilatero. La probabilità è determinata dal rapporto tra il volume del cubo diminuito del volume del cono (volume favorevole) e il volume del cubo (volume possibile). Poiché il raggio della sfera è r lo spigolo del cubo è r e quindi il volume del cubo ( r ) r. Calcoliamo il volume del cono. Il triangolo sezione è equilatero e equiangolo e poiché il π raggio è bisettrice, l angolo indicato è ; quindi l area di base risulta, essendo il suo raggio 6 π r cos r, 6 4 triangolo, essendo equilatero e anche isoscele, è pari a r ; pertanto il volume è CONO π r r π r 4 Dunque la probabilità sarà π r CUBO CONO CONO p π 0,5 r 64 CUBO π r π r mentre l altezza, che è anche mediana in quanto il CUBO Probabilità erifica 0 5/5