Statistica. Testi. Prima Parte. economiche McGraw-Hill Milano. Alessandro Attanasio. mail:

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1 Statstca Alessadro Attaaso mal: 1 Test PICCOLO, D. (2001) Statstca - Il Mulo - Bologa. BORRA, S. e DI CIACCIO, A. (2008) Statstca: metodologa per le sceze socal ed ecoomche McGraw-Hll Mlao. 2 Prma Parte Itroduzoe alla probabltà 1

2 l calcolo combatoro Dsposzo e combazo Dsposzo: mportate l orde degl elemet!!! Combazo: o è mportate l orde degl elemet!!! 5 Dsposzo (co rpetzoe) Cosderamo 4 elemet grupp da 2. aa ba ca da ab bb cb db ac bc cc dc ad bd cd dd 6 2

3 dsposzo co rpetzoe s defscoo dsposzo co rpetzoe d elemet d classe k, grupp d k elemet (dvers o ugual fra loro) modo che vegao rteut dfferet due grupp se dfferscoo tra loro per u elemeto oppure per l orde degl elemet esse soo precsamete k 7 Dsposzo (seza rpetzoe) Cosderamo 4 elemet grupp da 2. aa ba ca da ab bb cb db ac bc cc dc ad bd cd dd 8 dsposzo seza rpetzoe d defscoo dsposzo seza rpetzoe d elemet d classe k, grupp d k elemet (tutt dvers) che dfferscoo tra loro per almeo u elemeto oppure per l orde degl elemet queste soo precsamete 1 2 k 1 k 9 3

4 permutazo le dsposzo seza rpetzoe d d classe soo dette ache permutazo e soo umero d: ! 10 Combazo (seza rpetzoe) Cosderamo 4 elemet grupp da 2. aa ab ac ad ba bb bc bd ca cb cc cd da db dc dd 11 combazo seza rpetzoe s defscoo combazo seza rpetzoe d d classe k, grupp d k elemet tutt dvers che s possoo formare modo che due grupp soo cosderat dfferet se dfferscoo tra loro per almeo u elemeto e soo umero d: k! k! k! 12 4

5 Cosgl utl 90! ! 109! 1 113! ! 1! h! h 1! h 13! 1! Cosgl utl 1 1! 1 1!! 14 Eserczo Quat soo possbl aagramm della parola fortua? Sol: 7! Quat soo possbl aagramm d juvetus? Sol: 8!/2! 15 5

6 6 16 Eserczo Dmostrare che 0, , k k k k k k k k k k k 17 defzoe classca della probabltà (esempo) Laco u dado e fra tutte le 6 possbl facce la probabltà che esca quella co 5 è 1/6! La probabltà che esca u umero dspar è 3/6! La probabltà che esca u umero maggore d due è 4/6! 18 momet fodametal della assomatzzazoe (Kolmogoroff 1932)! dvduazoe de cocett prmtv eucazoe de postulat o assom dmostrazoe de teorem

7 cocett prmtv della probabltà prova : espermeto soggetto ad certezza eveto : uo de possbl rsultat della prova probabltà : umero assocato al verfcars d u eveto 19 I dagramm d Ve A AB B I dagramm d Ve A AB B 7

8 I dagramm d Ve A A Defzo d evet Eveto semplce (elemetare) Eveto composto Spazo campoe 23 Laco d u dado: Esempo Eveto elemetare: esce l umero 1 Eveto composto: esce u umero dspar Spazo campoe: Ω={1,2,3,4,5,6} 24 8

9 Evet compatbl (se la loro tersezoe è l seme vuoto) Evet ecessar (se la loro uoe è l eveto certo) Spazo degl evet: tutt possbl sottosem d Ω 25 Spazo campoe (Eveto certo ) = Spazo degl evet A A =2 spaz ft Eveto mpossble Ø 26 Laco d ua moeta: Esempo Spazo campoe: Ω={T,C} Spazo degl evet: A={Ø,{T},{C},Ω} 27 9

10 Esempo Laco d due moete: Spazo campoe: Ω={(T,T),(T,C),(C,T),(C,C)} Spazo degl evet: A={Ø,{(T,T)},{(T,C)},{(C,T)},{(C,C)}, {(T,T),(T,C)},{(T,T),(C,T)},{(T,T),(C,C)} {(T,C),(C,T)},{(T,C),(C,C)} {(C,T),(C,C)} {(T,T),(T,C),(C,T)},{(T,T),(T,C),(C,C)} {(T,T),(C,T),(C,C)}, {(T,C),(C,T),(C,C)}, Ω} 28 perché A propro 2? s rcord l bomo d Newto! x y k0 x k el ostro caso abbamo k y k k0,..., 2 k 29 spazo d probabltà (, A, P ) 30 10

11 spazo d probabltà spazo campoaro. A è ua famgla d sottosem d tale che: -, Ø soo elemet d A; - se B appartee ad A, allora ache l suo complemetare è elemeto d A; - se B e C soo elemet d A, allora la loro uoe è elemeto d A. 31 spazo d probabltà P è ua probabltà, ovvero ua fuzoe P: A [0,1] che verfca seguet postulat 32 I postulat della probabltà 1) 2) 3) P 0 per oge E P P 1 A B PA PB co gl evet Ae B compatbl 33 11

12 Prcpal teorem 1) P ( B) P ( B A) P ( B A) A B B B AB A PB PB A PB A 34 Prcpal teorem P A 1 P A 2) Basta porre, el teorema 1, B=Ω. Qud P ( ) P ( A) P ( A) 1 P P A A P 1 P A A 35 Prcpal teorem 3) P( Ø) 0 E ua cosegueza del teorema 2, quato 0 P( Ø) 1 P 36 12

13 13 37 Prcpal teorem 4) ) P( ( P B A) B A B A A P A P B A P B P A B A B 38 Prcpal teorem 5) E ua cosegueza del teorema 4. Ifatt 1 ) ( 0 A P 0 1 A P A A P A Ø 39 Prcpal teorem 6) A P B A P B A P A B A B A B A ) ( ) ( ) ( ) ( B A P B P A P B A P

14 Eserczo U ura cotete 6 palle bache e 4 galle. Se e estraggoo due seza remmssoe. Determare: 1. La probabltà che la prma palla sa galla. 2. La probabltà che la secoda palla sa galla. 40 Eserczo Tre caccator A,B e C avvstao ua lepre e sparao cotemporaeamete alla povera bestola. Le probabltà d colpre l amale soo, rspettvamete P[A]= 0.3; P[B]= 0.4 e P[C]= 0.7 ( relatv evet soo dpedet fra loro). Calcolare la probabltà dell eveto E ={la lepre è colpta}. 41 Eserczo U azeda possede 3 stablmet A, B e C che producoo rspettvamete l 10%, 30%, 60% della produzoe totale. E oto che da 3 stablmet provegoo de pezz dfettos percetuale rspettvamete del 10%, 5%, 5%. Qual è la probabltà che u pezzo preso a caso sa dfettoso? 42 14

15 Eserczo Tre dad o equ hao la probabltà d far uscre l 5 rspettvamete co e 0.3. Scegledo a caso u dado, qual è la probabltà che esca l 5? 43 Soo date due ure: Eserczo 1. U1: 5 rosse, 3 bache, 8 azzurre; 2. U2: 3 rosse, 5 bache. Vee lacato u dado: se s preseta 3 o 6 vee estratta ua palla dalla secoda ura, altrmet dalla prma. Determare la probabltà che vega estratta ua palla rossa. 44 Probabltà codzoata P o subordata P A B A B P B 45 15

16 Eserczo Ua popolazoe s compoe del 40% d fumator e del 60% d o fumator. S sa che l 25% de fumator ed l 7% de o fumator soo affett da ua malatta respratora. S selezoa ua persoa scelta a caso e rsulta malata. Qual è la probabltà che sa u fumatore? 46 Eserczo Tre mobl, tra loro ugual, cotegoo due cassett. I partcolare: 1. Il prmo ha ua moeta d oro etramb cassett; 2. Il secodo ha moeta d argeto el prmo ed ua d oro el secodo; 3. Il terzo ua moeta d argeto etramb cassett. S apre a caso u cassetto e s trova ua moeta d oro. Qual è la probabltà che ache l altro cotega ua moeta d oro? 47 dsmutazo soo le permutazo che o hao elemet ugual ello stesso posto e soo umero d:! N N! ( 1) 0,1,..., N! ad esempo:!3=2;!4=9 ;!5=44;!6=

17 dsmutazo Cosderamo l umero 123. Le possbl permutazo soo: 132, 213, 231, 312, 321 D queste solo 231 e 321 soo dsmutazo. 49 Eserczo Due crtc gastroomc devoo valutare 6 mglor rstorat d Parg. Izao e fscoo egl stess gor, vstado etramb u rstorate al goro (solo la sera a cea) e scegledo modo del tutto casuale rstorat da valutare. Qual è la probabltà che o s cotro ma? (Ovvamete per etramb la scelta del rstorate è sì a caso ma seza rpetzo!) 50 dsmutazo l rapporto fra dsmutazo e permutazo, per N tede ad 1 e v coverge pure molto rapdamete! e! N 1 lm N N! e 51 17

18 Evet dpedet Due evet A e B s dcoo dpedet se e solo se oppure P A B PA A B APB P P 52 Eserczo Sao A e B due evet tal che: 1. P(A) 3/8 2. P(B) 5/8 3. P(A B) 3/4 Determare P(A B) e P(B A) 53 Evet mutuamete dpedet Ua collezoe d evet E1, E2, E3,... soo mutuamete dpedet se, per og gruppo d m > 1 evet, rsulta che P( E P 1 E2... Em) E PE... PE 1 2 m 54 18

19 Osservazoe Va rcordato che dpedeza e compa- tbltà o hao essu legame tra loro: la prma è ua relazoe tra probabltà, la secoda tra evet!!! Possamo solo dre che se due evet com- patbl hao probabltà postve, allora o possoo essere dpedet. 55 S ha che oppure ua rflessoe sulla P( A B) P( A)P( B A) P( A B) P( B)P( A B) 56 Teorema d Bayes (formulazoe rdotta) P A B P B A PA P B 57 19

20 Eserczo (Moty Hall Problem) C soo 3 porte A, B, C ed ua sola cotee u premo. Il coduttore del goco chede al cocorrete d selezoare ua porta. Dopo l coduttore apre ua delle altre due porte (apredo sempre quella seza premo). A questo puto da al cocorrete la possbltà d cambare porta. Cosa dovrebbe fare? 58 le varabl casual la varable casuale (v.c.) X ua gradezza umerca che o cooscamo acora (al ostro lvello d formazoe): la temperatura doma alle 12 ad Aqula; l cambo $/ del prossmo fe settmaa; l umero d fgl degl spos Z e W fra 10 a; l valore delle azo Fat alla borsa questa sera 60 20

21 Varabl aleatore Ua varable aleatora è ua regola (fuzoe) che assoca ad og eveto u umero reale. X : R 61 Eserczo U dado o equo ha la peculartà d avere la probabltà, per cascua facca, proporzoale al doppo del umero mpresso sulla stessa. Defre X la v.c. corrspodete al rsultato del laco del dado. 62 Eserczo Ua moeta vee truccata modo che la pro- babltà d testa sa 2/3. La moeta vee lacata 3 volte. Rappresetare la v.a. X = umero massmo d teste cosecutve 63 21

22 valore atteso d ua v.c. dscreta se X è ua v.c. dscreta (fta o umerable) s defsce l suo valore atteso ella maera che segue: E X I X p x 64 valore atteso d ua v.c. dscreta s preda ad esempo l rsultato (X) del laco d u dado regolare E 1 6 X p x I X Varaza VAR 2 X I X p x

23 la v. c. X d Beroull è legata all espermeto pù semplce che s può mmagare, tpo: par/dspar; testa/croce; geerale successo/successo X 1 0 p q 1 p 67 la v. c. X d Beroull caratterstche teorche meda= X = p varaza = X2 = p (1-p)= p q 68 la v. c. X geometrca E legata al semplce espermeto : quat lac debbo fare per otteere la prma testa? P( X k) p(1 p) k1 k 1,2,

24 laco u tetraedro regolare, qual è la probabltà che esca la prma volta l 3 al terzo laco? P r [X=3] = (1/4)*(1-1/4) 2 = la v. c. X geometrca caratterstche teorche meda= X = 1/p varaza = X2 = (1-p)/p 2 71 la v. c. X bomale è legata ad prove beroullae, dpedet e tutte ugual fra loro; k dca l umero d success elle prove, metre p è la probabltà d successo ella sgola prova P( X k) k p k (1 p) k k 0,1,2,..., 72 24

25 la v. c. X Bomale caratterstche teorche meda= X = p varaza = X2 = p (1-p)= p q 73 Eserczo Ua moeta vee lacata 6 volte. Determare la probabltà che escao due teste. Rappresetare, oltre, la v.a. X = umero d teste uscte. 74 ua bella.dstrbuzoe da u problema pratco!!!!! u ura cotee H palle d cu b blu e le altre H-b ere qual è la probabltà che estraedoe seza remmssoe k d queste sao blu? 75 25

26 la v.c. X pergeometrca P X k H b b k k H max( 0, H b) k m(, b) 76 la v.c. X pergeometrca è legata alle estrazo blocco! cascua delle estrazo la probabltà s modfca fuzoe del rsultato precedete 77 Eserczo Maro goca 2 due umer al goco del lotto. Qual è la probabltà d fare ambo? Qualora gocasse 7 umer, quale sarebbe la probabltà d fare ambo? 78 26

27 Secoda parte: Statstca Argomet Statstca descrttva: atura delle varabl; rappresetazo grafche; dc d poszoe e d varabltà. Modello d regressoe leare: teora ed applcazo. Statstca ferezale: stmator; test d potes (ce). 80 Prma d zare Faccamo alcu esemp: Sere storche: magtudo del ssma aqulao. Fote de dat ISIDE. dex.jsp 81 27

28

29 Prma d zare Sere storche: Temperatura e CO2. Fote de dat: Clmate Research Ut at the Uversty of East Agla; Carbo Doxde Iformato Aalyss Ceter

30 88 Prma d zare Data aalyss: ol d olva tala. Fote de dat: lbrera classfly d

31 qud. C s rede subto coto che le rappresetazo grafche, semplc o complesse, possao essere utl a f d u dage statstca. L uso del computer dveta fodametale!!! 91 FASI DI UN ANALISI 1 Defzoe degl obettv della rcerca 2 Rlevazoe de dat 3 Rappresetazoe de dat 4 Presetazoe ed terpretazoe de rsultat 5 Utlzzazoe de rsultat della rcerca 92 Le rlevazo statstche Popolazoe Utà statstca Varable Modaltà 93 31

32 Tp d varabl Quattatve: Cotue e dscrete Qualtatve: Ordabl e o ordabl 94 Due problem fodametal Come rappresetare dat? Come vsualzzare dat? 95 Come rappresetare dat? La forma d matrce (o d tabella) è quella pù comue, le rghe rappresetao gl dvdu statstc e le coloe le varabl 32

33 Come vsualzzare dat? Dagramm a barre Dagramm a torta Istogramm Rappresetazo cartesae 97 Esempo sul dataset ol Il dataset è composto da 572 ol d olva tala proveet dalle seguet aree regoal: Calabra, Scly, Umbra, North ad South Apula, West ad East Lgura, Ilad ad Coast Sarda. 98 Esempo sul dataset ol Soo state rlevate le seguet varabl quattatve: palmtc acd palmtolec acd ( smbol p_ec) stearc acd olec acd lolec acd lolec acd ( smbol l_ec) arachdc acd ecoseoc acd 99 33

34 Esempo sul dataset ol Area geog. Numero ol (f.a) Percetuale (f.r.%) North Apula % South Apula % Calabra % Scly % Ilad Sarda % Coast Sarda % East Lgura % West Lgura % Umbra %

35 Esempo sul dataset ol I preseza d varabl quattatve cotue, è spesso coveete utlzzare l stogramma per avere ua rappresetazoe grafca mglore e pù effcace

36 frequeze assolute Esempo sul dataset ol Ad esempo, dvdamo l seme de possbl olec valor d 3 tervall dsgut d uguale ampezza. Class [6300,7004) 146 [7004,7708) 291 [7708,8412) 135 Frequeze assolute 106 Istogramma d olec olec 107 Esempo sul dataset ol ATTENZIONE: ella rappresetazoe dell stogramma, cosderare le frequeze assolute (o relatve) ell asse delle ordate ha seso solo se le class hao la stessa ampezza!!! I caso cotraro, occorrerà cosderare le destà assoluta (relatva), ovvero l rapporto tra le frequeza assoluta (relatva) e l ampezza della classe corrspodete

37 soggettvtà egl stogramm? l umero delle class l ampezza delle class soo tutte scelte demadate a colu che effettua l aals, qud soggettve!! p.s. l problema attualmete può drs.. rsolto (co l metodo del ucleo o stogramma perequato) ma rchede elemet che acora o s possedoo, qud verrà rpreso successvamete. 109 Le dstrbuzo d frequeze semplc frequeze assolute frequeze relatve (percetual) frequeze cumulate Frequeze assolute La frequeze assoluta d ua modaltà è l umero d volte che tale modaltà s preseta all tero dell seme costtuto dalle utà statstche. 37

38 Frequeze assolute X è ua varable msurata su elemet e può assumere le k modaltà x 1, x 2,, x k. Le quattà 1, 2,, k soo le frequeze assolute caratterzzate dal vcolo: k 1,...,k Frequeze relatve La frequeza relatva d ua modaltà x è semplcemete l rapporto tra la rspettva frequeza assoluta ed l umero d utà statstche. f f 1,..., k 1 1,, k 113 Frequeze cumulate Ordate le modaltà orde crescete, la frequeza cumulata d ua modaltà x è la frequeza co cu s presetao modaltà d orde ferore o uguale a x. I sostaza è la somma delle prme frequeze relatve (assolute) F x f 1, k j, j 1,,

39 Esempo sul dataset ol Rpredamo le class precedet. Class f.r. (f.a.) f.r. cumulate [6300,7004) 0.26 (146) 0.26 [7004,7708) 0.51 (291) 0.77 [7708,8412) 0.23 (130) Idc statstc d poszoe meda artmetca medaa moda Meda artmetca S calcola solo per varabl quattatve. Sa X ua varable quattatva che assume valor x 1,,x per le rspettve utà statstche: defamo meda artmetca la quattà 1 x 1 1 x k 1 x 1 f x

40 Meda artmetca Le propretà pù rlevat della meda artmetca soo: 1. 1 x x 0 2. m g( c) m 1 2 x c x 118 Problema!!! All etrata d ua scuola l presde rleva, oltre al ome, l età d 7 ragazz (etrat rtardo): 15, 13, 18, 14, 17, 17, 41 x 19 outler 119 Medaa La medaa rappreseta l valore cetrale ua successoe d valor ordat. Per calcolare la medaa occorre: 1. Ordare orde o decrescete, rspetto alle modaltà, le utà statstche. 2. Se è dspar, la medaa sarà la modaltà ella poszoe (+1)/2. 3. Se è par, s avrao due valor cetral elle poszo /2 è /

41 Medaa Per varabl quattatve, la medaa è data da M e x( / x( 2) 1)/ 2 x ( / 21) / 2 se è par se è dspar 121 Medaa Rpredamo l eserczo d prma: 1. Ordameto 13, 14, 15, 17, 17, 18, =7 dspar, allora la medaa s trova ella poszoe (+1)/2=4, qud Medaa = 17 o rsete dell'outler 122 Moda La moda è la modaltà co la frequeza assoluta (o relatva) pù elevata. Nel caso d modaltà suddvse class, se queste hao ampezze dverse occorrerà cosderare le rspettve destà

42 Idc statstc d varabltà scarto stadard devazoe stadard varaza 2 scarto quadratco medo coeffcete d varazoe Cv Varaza e devazoe stadard La varaza d ua varable X è data dalla formula k x x x x f x x Coeffcete d varazoe Il coeffcete d varazoe è l rapporto tra la devazoe stadard e la meda artmetca, ovvero CV x

43 Forma d ua dstrbuzoe No solo, occorre aalzzare ache l stogramma. I quate class dvdere l stogramma? Bella domada!!!! 127 k delle class d u stogramma alcue proposte: Sturges (1926) k log 2 ( ) l( ) 1 Doae (1976) Scott (1979) k l max m 1/ 3 k 3.5 Fredma e Dacos (1981) max m k 2 Q Q 3 1 1/ Esempo dataset ol

44 Esempo dataset ol Le formule precedet suggerscoo: Sturges: k = 10 Doae: k = 11 Scott: k = 12 FD: k = Istogramma perequato No ecessta della specfcazoe d u umero d class!!! 1 fˆ( x) h 1,..., x x k h ampezza d bada kerel

45 coteggo destà 0e+00 4e-04 8e-04 coteggo destà 0e+00 4e-04 8e-04 destà 0e+00 2e-04 4e-04 6e-04 8e stogramma perequato x 134 stogramma stogramma perequato x x stogramma stogramma e relatva ormale x x

46 LA CORRELAZIONE L dce d correlazoe leare d Pearso covaraza ρ XY 1-1 x μ y μ σ X σ Y X Y σ XY σ σ X Y pccola ota per l calcolo veloce d XY XY 1,..., ( x y ( 1) ) x X Y y L dce d correlazoe leare d Pearso ρ XY ρ YX e 1 ρ XY 1 ρ XY 0 1 Y 1 X se X ed Y soo dpedet allora XY = 0 ma o è vero l vceversa; e coè se XY =0 X ed Y o soo ecessaramete dpedet!

47 matrce (smmetrca) delle correlazo la / dr es 0 0d oz s p c c p g a (c 139 La correlazoe spura!!! Il prezzo de cavol d Bruxelles vedut a Lodra e la corrspodete altezza del Tamg msurate successoe orara evdeza ua fortssma correlazoe.? Il cosumo d tabacco dal 1881 al 1971 e la vta meda alla ascta della popolazoe talaa rferta agl 8 cesmet, mostrao ua correlazoe d 0.87! Come dre l cosumo d tabacco ha favorto l allugameto della vta meda.(sc!) Legam.spur!!! Ua veccha dage (a 50!) svolta egl USA su u campoe d doe evdezò u forte legame postvo tra l portare le calze d seta ed avere ua cacro a polmo! Poché certamete o erao le calze d seta a durre l cacro la realtà era che queste erao abbate ad u comportameto socale che vedeva ache la sgaretta come elemeto dsttvo. Ecco duque l legame cacro a polmo-sgarette è medato da u fattore, le calze d seta, estraeo alla relazoe d casualtà. 47

48 Il modello d regressoe leare semplce solo alcue mportat cosderazo!!!! la correlazoe è l prmo passo verso la costruzoe d u modello statstco altre parole s costrusce u modello se.e vale la pea! coè se la correlazoe è abbastaza grade ( valore assoluto), coè se è sgfcatvamete dversa da 0! l pù semplce modello statstco fra due varabl è quello leare varable dpedete y 0 1x Coeffcet costat varable dpedete 48

49 come s chama questo modello? è dcato geerale come l modello d: regressoe leare semplce attezoe!! l ruolo d varable dpedete ed dpedete o è smmetrco! oltre, fermo restado che l aggettvo dpedete ulla ha a che fare co l cocetto d dpedeza statstca, alla y vee attrbuto l ruolo d varable da stmare, prevedere ecc., rcooscedo alla x l ruolo d varable pù facle da trovare oppure quella d cu s cooscoo valor metre della y o! come s...costrusce u modello d regressoe leare semplce? s parte da u campoe d osservazo: (x ;y ); =1,, s stmao coeffcet 0 e 1 medate dat osservat s valuta po globalmete la botà del modello term d capactà esplcatva

50 quale tecca s adotta per stmare l modello d regressoe? la tecca è quella che va sotto l ome de mm quadrat (LS Least Squares) (dovuta al solto K. F. Gauss!) costoakm prezzo dahatsu Teros la 21-ma auto o ha l costo al Km! sarà possble stmarlo? 149 attezoe!! a partre da dat ed al problema attrburemo l ruolo d varable dpedete x al prezzo e quello d varable dpedete y al costoakm! fare l vceversa è sbaglato cocettualmete e porta a rsultat umercamete dvers!! 50

51 prezzo prezzo 152 fra le fte rette del pao quale s scegle? s prede quella che mmzza la somma del quadrato degl scart (o error )! trae cas lmte questa retta è uca! 51

52 70 60 ˆ scart o error y yˆ y 0 1 x ,..., m prezzo 154 l calcolo de coeffcet avvee tramte le relazo seguet: Q m m 2 1,..., 1,..., m y x 1,..., y yˆ 2 relazoe cu soo cogt solo 0 e 1 l calcolo de coeffcet avvee tramte le relazo seguet: l valore mmo s ottee aullao le due dervate che forscoo così u sstema d due equazo due cogte! Q 0 Q ,..., 1,..., ( y x ( y x ) 0 0 x )

53 sstema la cu soluzoe forsce seguet valor calcolabl a partre da dat zal meda delle y 1 0 x x y y 1,..., 1,..., y x 1 x x la retta d regressoe passa per l barcetro! 2 meda delle x costoakm = prezzo y la retta d regressoe passa per l barcetro! prezzo x =prezzo -prezzo (stmato) prezzo = costoakm costo/km Cet d (x 3 a e km)

54 I legam tra regressoe e l dce d correlazoe R 2 2 da cu 0 R 2 1 Idce d botà d adattameto, dcato ache come Rsq 1 y x 160 I legam tra regressoe e l dce d botà d adattameto Dev( y) 1,..., Dev( yˆ) Dev(ˆ) e 1,..., 1,..., 2 y y yˆ y 2 Devaza totale Devaza spegata 2 y yˆ Devaza resdua Dev(y)=Dev(y)+Dev(e) 161 I legam tra regressoe e l dce d botà d adattameto devaza spegata R 2 Dev( yˆ) Dev( y) 1,..., 1,..., ( yˆ ( y y) y) 2 2 devaza totale

55 I legam tra regressoe e l dce d botà d adattameto devaza resdua R 2 1 Dev(ˆ) e Dev( y) 1 1,..., 1,..., ( y eˆ 2 y) 2 devaza totale 163 A cosa serve u modello statstco? permette d descrvere permette d terpretare permette d fare prevso permette d smulare permette d rcostrure dat macat 164 Come s usa u modello d regressoe semplce prevsoe? Nel caso d prezzo-costoakm se ho u auto l cu prezzo è e posso stmare l costo al Km usado coeffcet del modello : costoakm= prezzo che m forrao l valore d cetesm 55

56 modello poteza(kw) acc (sec) TS JTD 5p T.S. P JTD P A2 Top A2 TDI Top A3 Attract Yars 5p Yars D-4D Lupo T-Ar Lupo SDI Polo Comfo Polo TDI Grafco cartesao d poteza max accelerazoe 120 poteza= acc 100 XY = R 2 = almetazoe gasolo beza 40 Total Populato accelerazoe (0-100km/h) sec. Grafco cartesao d poteza max accelerazoe poteza= acc acc 2 almetazoe gasolo R 2 =0.745 compoete quadratca beza 40 Total Populato accelerazoe (0-100km/h) sec. 56

57 Come s usa u modello d regressoe La varable costo al km ha u dato macate, s tratta probablmete d u auto recete. Come s può stmare questo dato medate le altre formazo ote? La rsposta sta propro el modello d regressoe! Come s usa u modello d regressoe Il modo pù semplce è quello d utlzzare la varable pù correlata per costrure u modello d regressoe leare semplce. costo al km = prezzo costo al km = prezzo almetazoe 30 gasolo beza Total Populato prezzo

58 Come s usa u modello d regressoe E possble mglorare questo rsultato utlzzado le altre formazo per stmare questo dato? La rsposta è acora sì e sta propro el modello d regressoe multpla che è.u po pù complesso! Modello d regressoe multpla prma varable secoda varable y 0 1x1 2x2... coeffcet costat Come s usa u modello d regressoe multpla? Qu etrao goco moder software che offroo u ampa gamma d programm pratcamete tutt ugual per fortua! Il ostro ha stmato l seguete modello: costo/km= prezzo cos. msto cldrata

59 le caratterstche d u modello d regressoe multpla sgfcatvtà de coeffcet botà del modello Rsq l coeffcete Rsq ed l Rsq corretto l prcpo d parsmoa 175 Rsq corretto Rsq Allo scopo d far dmure l valore dell dce Rsq d ua quattà che dvet trascurable se l rapporto tra umero d varabl esplcatve (p) ed l umero d osservazo () è pccolo, Thel trodusse, el 1961, la seguete correzoe: Rsq Rsq p(1 Rsq) p modello d regressoe solo per auto a beza costoakm= *prezzo =0.983 R 2 = prezzo

60 modello d regressoe solo per auto a gasolo costoakm= prezzo =0.968 R 2 = prezzo almetazoe gasolo beza prezzo 179 Modello d regressoe co varabl dummy (bara) y varable dpedete varable dummy 1 x coeffcet costat 60

61 Come s usa u modello d regressoe dummy? Il ostro software ha stmato l seguete modello: costo/km= prezzo (varable dummy - almetazoe) 181 u mometo d rflessoe.. col modello d regressoe leare semplce la stma del costoakm della. è d cet. col modello d regressoe leare multpla la stma rsulta d cet. col modello d regressoe semplce lmtata a modell omogee a beza rsulta cet. col modello d regressoe leare co dummy la stma rsulta d cet. quale valore sarà da preferre, e.perchè? 182 R 2 calcolato tramte software Attezoe a software statstc el calcolo dell R 2 quado s elma l tercetta! (terme oto 0 =0). I quest cas l R 2 calcolato o è equparable o cofrotable a valor precedet cu c era l terme oto è, geerale, quas prvo d sgfcato!

62 NORMALE NORMALE Test d potes la v.c. ormale N( 2 ) meda f ( x) varaza 1 e 2 x o è ua probabltà! smmetrca rspetto al valore cetrale NORM area= NORM

63 1.2 aree mportat sottese alla ormale! % %.6 2.3% NORM % 68.2% stadardzzare ua varable z varable zale co meda e varaza 2 varable stadardzzata x 188 la ormale stadardzzata N(0,1) meda varaza f ( x) 1 2 e 2 x

64 aree mportat sottese alla ormale stadardzzata 34.1% %.6 2.3% NORM % 68.2% z e (z) soo valor che s trovao sulle tavole e lbr (z) z NORM (z)= area fo a z! come s calcola ua probabltà qualuque probabltà relatva ad ua ormale geerca può essere rcodotta al calcolo d quella ormalzzata!! N( X, 2 ) P a X b P a r X b r X a X Pr N(0,1) X X X X b X

65 eserczo: le auto sulla A24 Roma-Aq la veloctà X segue ua dstrbuzoe ormale co = 75 km/h e = 8 km/h quale proporzoe d auto ha superato l lmte d veloctà d 70 km/h? NORM calcolo del valore stadardzzato z

66 trovare l area probabltà è ecessaro trovare l area dal valore d ascssa z = e s rcorda che, per la smmetra della fuzoe d destà, (-z) = 1- (z) elle tavole s trovao valor per 0.62 e 0.63 cu corrspodoo rspettvamete e l area cercata, cu corrspode l valore d probabltà rchesto, è, medado, fereza statstca l fereza statstca è l procedmeto attraverso l quale rsultat sulle caratterstche d u campoe vegoo rportat a tutta la popolazoe! la stma de parametr (putuale o ad tervallo) la verfca d potes 197 la meda campoara la meda d u campoe è X lo scarto quadratco medo 1,..., 1,..., ( X 1 X X ) 2 l errore stadard della meda è ecco perché pù msure s fao e pù s è precs! X

67 teorema del lmte cetrale parole povere!...ache se ua v.c. o è ormale la sua somma (stadardzzata), da u certo puto po, lo è co buoa approssmazoe!!!!! tervallo d cofdeza per la meda ( oto) X z dove z è quel valore tale che l area sottesa alla curva ormale stadardzzata tra -z e z è par ad (1-) 200 tervallo d cofdeza per la meda ( oto) geerale u tervallo d cofdeza del 95% è terpretato come se l 95% degl tervall pres su tutt campo possbl cotegoo la meda della popolazoe e solo l 5% o la comprede!

68 tervallo d cofdeza per la meda ( oto) esempo: se u azeda produce pffer. Il processo d produzoe mpoe che ess abbao ua lughezza meda d 33 cm. e =0.06 cm. Qual è l tervallo d cofdeza al 95% per la meda se u campoe d 100 pffer ha ua lughezza par a cm.? X (1.96) termologa de test d potes l test è ua regola basata sullo spazo campoaro, coè sull seme che può essere geerato da tutt campo. Essterao de valor del campoe (x 1,x 2,,x )R 0 per qual la regola mpoe d rfutare H 0 ed altr valor (x 1,x 2,,x )R 0. la regoe R 0 è detta regoe crtca (RC) o d rfuto per H 0, quella complemetare è la regoe d accettazoe. 203 termologa de test d potes per potes ulla H 0 : s tede l potes preesstete rspetto alla fase d campoameto, quella coè che sussste fo a prova cotrara, metre l potes alteratva H 1 : è la stuazoe complemetare rspetto ad H

69 error e test d potes è vera H 0 : è falsa accetto H 0 rfuto H 0 accetto H 0 rfuto H 0 errore d I tpo errore d II tpo 205 error e test d potes è la probabltà dell errore d I tpo, deomata ache come lvello d sgfcatvtà del test, od ampezza del test è la probabltà dell errore d II tpo =1- è la probabltà d rfutare correttamete H 0 ed è dcata come poteza del test 206 test d potes per la meda ( oto) torado all Eel s deve verfcare se u certo valore d cosum regstrato può essere lea co la meda azoale (368kw) o meo, allora l test rsulta H 0 : = 368 cotro H 1 :

70 test d potes per la meda ( oto) assumedo oto l valore d, la meda campoara avrà ua dstrbuzoe ormale e s ottee l seguete test Z per la meda: Z X 208 test a due code: aree della verfca d potes per la meda regoe d rfuto regoe d rfuto Z NORM regoe d accettazoe 209 test d potes per la meda ( oto) Fssato l valore d =0.05, la regoe d rfuto avrà u area par a 0.05 e s possoo calcolare valor crtc per Z, che è ormale stadardzzata. La regoe d rfuto cocde co le due code della dstrbuzoe, qud l area a sstra e a destra ha cu corrspodoo valor lmte d La regola d decsoe del test dveta: rfutare H 0 se z >1.96 oppure z <-1.96 vceversa accettare H

71 test d potes per la meda ( oto) questo sgfca che ho due valor lmte etro qual accettare H 0 ovvero rfutarla tato per esemplfcare el caso esame s accetta H 0 se la meda calcolata retra e valor 368 ± test t (d Studet) de parametr della regressoe semplce col metodo de m. quad. s stmao valor d 0 e d 1! H 0 : β =0 cotro H 1 : β 0 =0.05 e posto t 212 test t (d Studet) de parametr della regressoe semplce co t > 2 s rfuta l potes ulla H 0 che β=0 e s accetta l valore calcolato 71

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