S n. Soluzione. Il numero N dei chicchi di grano è: N Si tratta di una serie geometrica di ragione 2. cioè:

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1 ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO Sessioe Ordiaria 6 PIANO NAZIONALE INFORMATICA Questioario Quesito Si arra che l ivetore del gioco degli scacchi chiedesse di essere compesato co chicchi di grao: u chicco sulla prima casella, due sulla secoda, quattro sulla terza e così via, sempre raddoppiado il umero dei chicchi, fio alla 6 a casella. Assumedo che chicchi pesio circa 8g, calcola il peso i toellate della quatità di grao pretesa dall ivetore. Il umero N dei chicchi di grao è: N.... Si tratta di ua serie geometrica di ragioe. q La somma di tale serie è: S q cioè: q Pertato il peso i toellate della quatità di grao pretesa dall ivetore è: 6 6 S P 8 t 8 t 7,98 t. 9 Esame di Stato 6 PNI

2 Quesito I poliedri regolari oti ache come solidi platoici soo, a meo di similitudii, solo cique: il tetraedro, il cubo, l ottaedro, il dodecaedro e l icosaedro. Sai dimostrarlo? U poliedro si dice regolare se le sue facce soo poligoi regolari cogrueti e i suoi agoloidi soo cogrueti tra loro. Diversamete dagli aaloghi poligoi regolari el piao, che possoo avere u ifiito umero di lati, i poliedri regolari, ello spazio, soo solo cique. Ifatti i ogi vertice del poliedro regolare devoo cocorrere almeo tre facce costituite da poligoi regolari e la somma degli agoli delle facce che si icotrao i tali vertici deve essere miore di 6 gradi; i caso cotrario le facce si appiattirebbero i uo stesso piao. Questo implica che o è possibile avere facce esagoali o co u umero maggiore di lati dato che questi poligoi hao agoli iteri maggiori di gradi. Pertato: se le facce che cocorroo i u vertice soo triagoli equilateri (agoli di 6 ), si hao tre casi: facce (somma degli agoli uguale a 8 ) TETRAEDRO ( triagoli equilateri) facce (somma degli agoli uguale a ) OTTAEDRO (8 triagoli equilateri) facce (somma degli agoli uguale a ) ICOSAEDRO ( triagoli equilateri) No si possoo costruire poliedri regolari aveti 6 facce, perché la somma degli agoli è uguale a 6, e quidi tassellao il piao. se le facce che cocorroo i u vertice soo quadrati (agoli di 9 ), si ha solo u caso: facce (somma degli agoli uguale a 7 ) CUBO o ESAEDRO (6 quadrati) No si possoo costruire poliedri regolari aveti facce, perché la somma degli agoli è uguale a 6, e quidi tassellao il piao. se le facce che cocorroo i u vertice soo petagoi regolari (agoli di 8 ) si ha solo u caso: facce (somma degli agoli uguale a ) DODECAEDRO ( petagoi regolari). No si possoo costruire poliedri regolari aveti facce, perché la somma degli agoli è uguale a, e quidi il poliedro è irrealizzabile. No si possoo costruire poliedri regolari aveti facce costituite da esagoi regolari (agoli di ), perché esagoi regolari tassellao il piao. 8 I cique corpi regolari Tetraedro facce triagolari 6 spigoli vertici Cubo 6 facce quadrate spigoli 8 vertici Ottaedro 8 facce triagolari spigoli 6 vertici Icosaedro facce triagolari spigoli vertici Dodecaedro facce petagoali spigoli vertici Proclo, storico della matematica del V secolo dopo Cristo, attribuisce a Pitagora la scoperta dei poliedri regolari. Platoe userà questa straordiaria scoperta come simbologia dell'uiverso e dei suoi elemeti base: il fuoco (tetraedro), la terra (cubo), l'aria (ottaedro) e l'acqua (l'icosaedro). Il quito poliedro regolare, il dodecaedro, era a simboleggiare la quita esseza che tutto avvolge e comprede. La metafora ha u qualche seso matematico dato che è possibile dimostrare che l'uico poliedro regolare el quale sia possibile iscrivere gli altri è il dodecaedro. Questa tradizioe eoplatoica resterà viva fio a Keplero che credette di poter descrivere i moti dei piaeti i termii di poliedri e loro reciproche iclusioi. Esame di Stato 6 PNI

3 Quesito I u piao soo dati ua retta r e due puti A e B ad essa esteri ma situati el medesimo semipiao di origie r. Si trovi il più breve cammio che cogiuga A co B toccado r. Costruiamo il simmetrico A I del puto A rispetto alla retta r. Evidetemete se si cosiderao i puti A I e B, aziché A e B, il miimo cammio che li cogiuge è il segmeto che li ha per estremi, cioè: A B A C BC ma A C AC. Pertato il più breve cammio che cogiuga A co B toccado r è: AC BC. Ifatti prededo u qualsiasi altro puto C sulla retta r, per la ota disuguagliaza triagolare (i u triagolo la somma di due lati è maggiore del terzo), si ha che: AC CB AC CB A B AC BC. Esame di Stato 6 PNI

4 Quesito Si dimostri che l equazioe se ha ua e ua sola radice e, utilizzado ua calcolatrice tascabile, se e dia ua stima. Si descriva altresì ua procedura di calcolo che coseta di approssimare co la precisioe voluta. Risolvere l equazioe se equivale a risolvere il sistema: y se y Dalla rappresetazioe grafica delle due curve si evice che le due curve hao u solo puto di itersezioe. Tale soluzioe, i ua prima approssimazioe, si trova ell itervallo,. Per dimostrare che l equazioe se ha ua e ua sola radice, cosideriamo la fuzioe: h( ) se defiita e cotiua R. La derivata prima è: h I ( ) cos. h I ( ) ; cos ; cos mai verificata. Quidi h I ( ) R. La fuzioe è quidi decrescete i tutto il suo domiio. Essedo ioltre, h() se e h( ) se,9 per il teorema dell esisteza degli zeri tale soluzioe esiste ed è uica. Utilizzado il metodo di bisezioe si ha: Metodo di bisezioe h() se Approssimazioe, m Sego di h() i Sego di h() i Sego di h() i m Verifica Approssimazioe, cotiua,,7, cotiua,7,87, cotiua,87,98, cotiua,87,98,96,6 cotiua,96,98,9, cotiua,99,97,997,6 cotiua,997,97,96,78 STOP,96,97,9,78<, Esame di Stato 6 PNI

5 Quesito Si dimostri che la somma dei coefficieti dello sviluppo di a b è uguale a Ricordado che la poteza del biomio: a b dove a b a b a b... a b a b soo i coefficieti delllo sviluppo di b,,,...,, Poedo i questa formula a e b si ottiee: a c.v.d. cioè: per ogi N. Esame di Stato 6 PNI

6 Quesito 6 L equazioe risolvete u dato problema è: cos dove è u parametro reale e ha le segueti limitazioi:. Si discuta per quali valori di le radici dell equazioe siao soluzioi del problema. La limitazioe si traduce ella limitazioe: 9. Poedo t e ricordado che (altrimeti si ha e l equazioe è impossibile) si ha che l equazioe cos si trasforma i: cos t ; y cos t che equivale al sistema: y t 9 Essedo: cos e cos 9 ed essedo il coseo ua fuzioe decrescete ell itervallo, 9 si ha che: cos t t 9 cos 9 cos t cos ; ; ; che equivale al sistema: SI. Calcoli Risoluzioe della disequazioe: ; ; ; Risoluzioe della disequazioe: ; Esame di Stato 6 PNI 6

7 L equazioe cos t si può iterpretare come l itersezioe tra le curve y cos t e di rette orizzotali) ell itervallo t 9, y cos t cioè il sistema: y t 9 y (fascio Essedo: cos cos 9 Si deduce che: per per ; ; ; ;,. si ottiee la retta passate per il puto A. si ottiee la retta passate per il puto B. La retta del fascio icotra la curva y cos t sempre i u puto per: ;, 8.. Esame di Stato 6 PNI 7

8 Quesito 7 Bruo de Fietti (9698), tra i più illustri matematici italiai del secolo scorso, del quale ricorre quest ao il ceteario della ascita, alla domada: che cos è la probabilità? era solito rispodere: la probabilità o esiste!. Quale sigificato puoi attribuire a tale risposta? E possibile collegarla ad ua delle diverse defiizioi di probabilità che soo state storicamete proposte? Negli ai i matematici hao dato diverse defiizioi di probabilità: La defiizioe classica di probabilità di u eveto, data dal rapporto tra i casi favorevoli all eveto e quelli possibili, è applicabile quado questo coteggio diviee possibile ma ciò o è sempre realizzabile. La defiizioe frequetista che cosidera la probabilità di u eveto come la frequeza calcolata su u umero sufficietemete elevato di prove, si può applicare quado gli eveti siao ripetibili e per i quali si possa disporre di coteggi che iformio su quate volte u eveto si è verificato i u umero elevato di prove. Vi soo però eveti che o rietrao i essua delle precedeti due defiizioi: per questo De Fietti affermava che: la probabilità o esiste!. Ifatti ad u eveto del tipo: domai, alla fiale della coppa del modo di calcio, l Italia batte la Fracia o è possibile assegare co le precedeti defiizioi alcu valore di probabilità. Tale limitatezza viee superata dalla defiizioe soggettivista che afferma che la probabilità di u eveto è la misura della fiducia che u idividuo coerete attribuisce al verificarsi di tale eveto. Nella iterpretazioe di De Fietti tale defiizioe diveta: la probabilità di u eveto è quel valore o prezzo p ( p ) che u idividuo, che procede alla valutazioe secodo le sue iformazioi e opiioi, ritiee equo pagare per ricevere ua vicita pari ad el caso si verifichi l eveto. Più semplicemete, riprededo l esempio precedete, u Tizio che valuta al % la possibilità che l'italia vica la partita cotro il Brasile, sigifica che è disposto a scommettere i cambio di ua vicita di qualora l'italia vicesse. Esame di Stato 6 PNI 8

9 Quesito 8 U tiratore spara ripetutamete ad u bersaglio; la probabilità di colpirlo è di, per ciascu tiro. Quati tiri deve fare per avere probabilità,99 di colpirlo almeo ua volta? Essedo p, la probabilità di colpire il bersaglio per ciascu tiro, implica che la probabilità di o colpire il bersaglio per ciascu tiro è: q p, 7,. Quidi la probabilità che o colpisca mai il bersaglio i tiri è: q 7, q. Oppure co la formula: q p q, 7, 7, 7, Pertato la probabilità che colpisca almeo ua volta il bersaglio i tiri è: p 7, q. Per determiare il umero dei tiri che deve fare il tiratore affiché la probabilità di colpirlo almeo ua volta sia, 99, occorre risolvere la disequazioe: 7,, 99. 7,,99 ; 7,, 99 ; 7,, ; applicado il log e ad ambo i membri, si ha: loge 7, loge, ; log 7, log, ; dividedo per log e 7, il sego di disuguagliaza si iverte loge,,9. log 7, e e e I defiitiva il tiratore deve fare tiri affiché la probabilità di colpirlo almeo ua volta sia, 99. Esame di Stato 6 PNI 9

10 Quesito 9 Della fuzioe f ( ) si sa che è derivabile e diversa da zero i ogi puto del suo domiio e, acora, che: f I ( ) f ( ) e f ( ). Puoi determiare f ( )? Il quesito o è be formulato, perché o è stato specificato chiaramete il domiio della fuzioe. Comuque, leggedo el pesiero di chi ha formulato la domada, si può procedere el seguete modo: Essedo la fuzioe f ( ) derivabile i ogi puto del suo domiio, essa è ache cotiua i ogi puto del suo domiio. Essedo ioltre sempre diversa da zero, co f ( ), essa è sempre positiva i ogi puto del suo domiio. Il problema sitetizzato ella forma: f I ( ) f ( ) f ( ) rappreseta il classico problema di Cauchy. Essedo f ( ), l equazioe differeziale f I f I ( ) ( ) f ( ), può essere riscritta ella forma:. f( ) Itegrado ambo i membri i d si ricava: f I ( ) f ( ) cioè log f ( ). d d Essedo f ( ) i ogi puto del suo domiio, l ultima uguagliaza diveta: log f ( ) Dalla defiizioe di logaritmo si ottiee: f ( ) e che si può riscrivere come: f ( ) e e (*) Applicado la codizioe iiziale: f ( ) si ricava: f ( ) e ; e Sostituedo tale risultato ella soluzioe geerale si ottiee: f ( ) e cioè f ( ) e. Esame di Stato 6 PNI

11 Quesito Teuto coto che: d itegrazioe umerica studiati. calcola u approssimazioe di utilizzado uo dei metodi di Dalla relazioe della traccia si ricava: d d Per determiare u approssimazioe dell itegrale si può utilizzare la formula dei trapezi o di Bezout: b b a f (a) f ( b) f ( ) d f ( )... f ( ) a Calcoliamo iazitutto i valori: f ( ) ; (, ) ; f 6 dividedo l itervallo, i itervalli di ampiezza,. (, ) ; f 9 (,6 ) ; f 6 d (,8 ) ; f 8 f () , Pertato,787,96 Tale valore differisce per meo di u cetesimo dal valore di π. Ifatti:,96,97,96,6666,. Esame di Stato 6 PNI