Guida alla Fisica del Laboratorio 1 e 2

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Guida alla Fisica del Laboratorio 1 e 2"

Transcript

1 Guida alla Fisica del Laboratorio 1 e 2 Lorenzo Zaninetti zaninetti@ph.unito.it Dipartimento di Fisica Generale Edizione III 5 settembre 2015

2 ii

3 Introduzione Queste note vogliono sia essere un compendio completo alla fisica connessa con le esperienze del Laboratorio di Fisica I e II, sia eventualmente sostituire la parte di Fisica delle relazioni che i vari gruppi devono presentare all esame. iii

4 CAPITOLO 0. INTRODUZIONE iv

5 Indice Introduzione iii 1 Misure di lunghezze Uso del nonio Bilancia analitica Posizione equilibrio Fisica equilibrio Sensibilità ed m Doppia pesata Metodo tara Sensibilità teorica La molla Molle multiple Molle in parallelo Molle in serie Modulo di Young catetometro Piattaforma girevole Determinazione I Teoria Pendolo Semplice 29 7 Pendolo Reversibile Modo di sperimentare periodo ed ampiezza v

6 INDICE INDICE 7.3 Terza soluzione L esperimento della terza soluzione L analisi dei dati Giroscopio Momento di Inerzia J assiale J equatoriale Nutazione Esecuzione pratica Elaborazione Precessione Montaggio Esecuzione pratica Determinazione J Bilancia di Cavendish Metodo accelerazione Moto smorzato Trattamento completo escursione Finale Note tecniche Novità Rotaia ad aria Forze dissipative Rotaia Leybold Il moto accelerato Influenza della viscosità Grande Tavola Moto rettilineo uniforme Deduzione della viscosità Parabola di tiro Urto elastico Urto Anelastico vi

7 INDICE INDICE 13 Il Calorimetro Calorimetro di Mahler Misurazione di c x Determinazione m e Influenza del motorino c dell acciaio Correzione grafica Minima superficie Legge raffreddamento Andamento riscaldamento Andamento raffreddamento Problema muro Equivalente meccanico Costante Errori potenza meccanica Errori DELTA Q Motore Motore termico Macchina frigorifera Esperienza come motore Esperienza come refrigeratore Nota Storica La temperatura critica L apparato La fisica Rapporto c p / c v deduzione di k Montaggio Esecuzione Esempio Unità di pressione Termometro a gas Verifica Boyle Montaggio-Legge di Boyle vii

8 INDICE INDICE Esecuzione -Legge di Boyle Calcolo di p e di V-Legge di Boyle Considerazioni su V -Legge di Boyle Il prodotto p V Numero di grammomolecole Equazione di stato Montaggio-Equazione di stato Esecuzione - Equazione di stato Verifica Gay-Lussac Esecuzione dell esperienza Viscosimetro Viscosità olio T Viscosità acqua T Velocita limite Stokes Eqn. diff. Stokes Esecuzione Stokes Newton Eqn. diff. Newton Galleria del vento Tubo di Venturi Tubo di Venturi-Montaggio Tubo di Venturi-Esecuzione Manometro Sonda manometrica Misure dei vari tipi di pressione Misure della velocità di flusso Canale del vento Coefficiente di resistenza Montaggio per il coefficiente di resistenza Esecuzione Valutazione e risultato Ala Montaggio profilo polare ala Regolazione Annotazione viii

9 INDICE INDICE Esecuzione Valutazione e risultato Annotazione Lunghezza Focale Convergente Procedimento Conv + div Reticolo di diffrazione Scopo dell esperienza Dispositivo Sperimentale Legge Fisica Procedimento A Unità di misura 221 A.1 I sistemi mks A.2 Il sistema cgs A.3 Nota sulla caloria A.4 Il sistema tecnico A.5 Il sistema SI A.6 Prefissi nel SI B I programmi 231 C Dati 235 C.1 Costanti C.2 Tabelle D Matematica 239 D.1 Derivate D.1.1 Polinomi e potenze D.1.2 Esponenziali e funzioni logaritmiche D.1.3 Funzioni trigonometriche D.1.4 Funzioni Iperboliche D.1.5 Altre Funzioni D.2 Integrali indefiniti D.2.1 Polinomi e potenze D.2.2 Funzioni esponenziali e logaritmiche D.2.3 Funzioni Trigonometriche ix

10 INDICE INDICE D.2.4 Funzioni Iperboliche D.2.5 Funzioni cicliche D.2.6 Radici Quadrate D.3 Integrali generalizzati D.4 Taylor D.5 Trigometria D.5.1 Triangolo retto -Definizioni D.5.2 Formule ridotte D.5.3 Identità D.5.4 Somme e Differenze D.5.5 Angolo doppio e metà D.5.6 Altre formule D.5.7 Cambiamenti D.5.8 Funzioni trigometriche inverse D.6 Alfabeto greco x

11 Capitolo 1 Misure di lunghezze In questa sezione ci occuperemo della più semplice delle esperienze: misurare delle lunghezze con un calibro. Prima però dobbiamo capire come funziona il nonio. 1.1 Uso del nonio Nell apprezzare la posizione di un indice scorrevole lungo una scala graduata, come accade misurando uno spessore con un calibro, avviene quasi sempre che l indice indichi una posizione intermedia fra due tratti incisi sulla scala e quindi si debba valutare una frazione dell intervallo minimo della graduazione. Nell esempio della figura 1.1, l indice I inciso sulla parte scorrevole NN indica una posizione fra il tratto 26 ed il tratto 27 della scala S ed occorre valutare la distanza x fra il tratto 26 e l indice I. A tale scopo sulla parte scorrevole NN è incisa una graduazione ausiliaria che costituisce propriamente il nonio ( da Nonius, nome latinizzato di Pedro Nuñes che lo inventò). La lunghezza di n intervalli del nonio ricopre n-1 intervalli della scala; quindi se a è la lunghezza di un intervallino di quest ultima, un intervallino del nonio è lungo n 1 a. Nella figura 1.1, 10 intervalli del nonio corrispondono n a 9 intervalli del regolo graduato. L indice I corrisponde allo zero del nonio. Per una posizione qualsiasi, i tratti incisi su NN non sono allineati con quelli della scala eccettuato uno che vi corrisponde se non esattamente almeno con buona approssimazione. Nella figura 1.1 il settimo tratto di NN è allineato con il tratto adiacente inciso sul regolo. Supponiamo che fra I zero del nonio e tale tratto vi siano k intervallini. 1

12 1.1. USO DEL NONIO CAPITOLO 1. MISURE DI LUNGHEZZE Figura 1.1: Nonio decimale Scrivendo la lunghezza ka (vedi figura 1.1) in due modi diversi si ha dalla quale si ricava x + k n 1 a = ka, (1.1) n x = k n a, (1.2) Quindi la lunghezza x è i k-ennesimi di a. Nel caso della figura 1.1, se a= 1mm, è x = 7 mm e perciò l indice I indica la posizione 26.7 mm. 10 Il nonio dei calibri usualmente è diviso in 20 intervalli corrispondentemente a 19 mm della graduazione,quindi consente l apprezzamento del 1 mm=0.05mm. 20 Per maggiori dettagli consultare il libro del [Bussetti 1967]. Riportiamo in Figura 1.2 una fotografia di un calibro di laboratorio. ELABORAZIONE DATI SU PC. Per quanto riguarda i dati possiamo adoperare il programma GAUSS, che, analizzando le varie lunghezze, compie alcune operazioni di statistica, produce una divisione in classi e confronta la distribuzione osservata con quella Gaussiana. 2

13 CAPITOLO 1. MISURE DI LUNGHEZZE 1.1. USO DEL NONIO Figura 1.2: Foto di un calibro di laboratorio 3

14 1.1. USO DEL NONIO CAPITOLO 1. MISURE DI LUNGHEZZE 4

15 Capitolo 2 Bilancia analitica La bilancia analitica è uno strumento in grado di misurare con grande precisione le masse. La bilancia (vedi figura 2.1) è contenuta in una custodia ( 8 ) provvista di sportello ( 1 ) per protezione. Per una maggiore stabilità, essa è dotata di tre viti calanti (10), medianti le quali poggia su di un piano orizzontale. I piatti della bilancia sono attaccati alle staffe ( 3), che a loro volta, sono sostenute da due coltelli i quali, assieme ad un terzo coltello in posizione centrale, chiamato fulcro, devono risultare paralleli. Questi tre coltelli, fissati al giogo della bilancia, vanno fatti appoggiare su di un piano quando la bilancia non viene usata ; a tal fine la bilancia è dotata di una manopola ( 5) per bloccare il giogo ed i piatti e staccare i coltelli dai piani. Solidale al giogo si trova un indice, che con i suoi spostamenti su di una scala graduata ( 4 ), permette la lettura. Vi è inoltre un cavalierino di Berzelius (2) il quale può essere spostato su di una scala graduata ( 7) tramite una manopola esterna ( 6). Esso è costituito da un pezzo di filo di alluminio da 10 mgr. a forma di U, e la sua funzione è semplicemente quella di ottenere la determinazione di masse inferiori a 10 mgr che di solito non si trovano nelle pesiere. Ad esempio, appoggiare il cavalierino sulla posizione +3 della scala graduata, che è suddivisa in dieci tacche a destra dello zero e in altrettante a sinistra, sarà equivalente ad aggiungere una massa di 3 mgr sul piatto destro, poichè: 3 10 mgr = 3mgr. (2.1) 10 5

16 CAPITOLO 2. BILANCIA ANALITICA Figura 2.1: Bilancia analitica 6

17 CAPITOLO 2. BILANCIA ANALITICA 2.1. POSIZIONE EQUILIBRIO Figura 2.2: Condizione di equilibrio 2.1 Posizione equilibrio Blocchiamo la bilancia ed equilibriamo la massa su di un piattello caricando progressivamente l altro e selezionando con cura i pezzi provenienti dalla pesiera. Se si vuol raggiungere la posizione di zero si continua con i pesi più piccoli oppure si adopera il cavalierino. Ad ogni lettura il moto dell indice sulla scala è oscillatorio smorzato e aspettiamo qualche ciclo prima di prendere le misure. Prenderemo poi un numero dispari di posizioni da una parte e pari dall altra. Se si leggono 5 massimi avremo come posizione di equilibrio: x = 1 2 [1 3 (x 1 + x 3 + x 5 ) (x 2 + x 4 )], (2.2) se invece per brevità eseguiamo solamente tre letture avremo: x = 1 2 [1 2 (x 1 + x 3 ) + (x 2 )]. (2.3) 2.2 Fisica equilibrio Nella figura 2.2 O rappresenta il fulcro, G il baricentro del giogo ove si può pensare applicata la forza m 0 g che rappresenta il peso totale del giogo, A 1 e A 2 sono due coltelli a cui sono applicati i pesi m 1 g e m 2 g. Quando la bilancia è in equilibrio, secondo la legge cardinale della dinamica dei sistemi, 7

18 2.3. SENSIBILITÀ ED M CAPITOLO 2. BILANCIA ANALITICA occorre che la risultante dei momenti delle forze rispetto ad O sia nulla: M i (O) = 0. (2.4) Esplicitando le formule otteniamo: i m 1 gb 1 cos(φ) m 0 glsen(φ) m 2 gb 2 cos(φ) = 0. (2.5) Essendo l angolo piccolo provvediamo alle seguenti semplificazioni: m 1 b 1 m 0 lφ m 2 b 2 = 0. (2.6) Supponiamo la bilancia in equilibrio, aggiungiamo su di un piatto una piccola massa m; essa produrrà un x sulla scala graduata dell indice e quindi possiamo definire la sensibilità come: ɛ = m x, (2.7) espresso in mgr/div. 2.3 Sensibilità ed m La sensibilità della bilancia risulta essere funzione della massa e, per ottenere questa dipendenza, calcoliamo prima ɛ a piatti scarichi, piatto di destra e piatto di sinistra e poi aumentando progressivamente le masse, che praticamente significa mettere masse uguali sui due piatti, ad esempio 10 g, 20 g, 30 g, 40 g, 50 g. Avremo quindi due curve della sensibilità funzione della massa, con barre di errore molto alte dovute all incertezza di una tacca sull indice della scala graduata. ELABORAZIONE DATI SU PC. Interpolare i dati tramite una retta usando il programma RETTA. 2.4 Doppia pesata Si tratta di eliminare l errore dovuto alla diseguaglianza dei due bracci. Riferendoci alla figura 2.2 indichiamo con m 1 e m 2 le masse dei piattelli 8

19 CAPITOLO 2. BILANCIA ANALITICA 2.5. METODO TARA scarichi con le rispettive sospensioni. Poniamo il corpo di massa incognita m x a sinistra ed equilibriamo con una massa m a destra, riportando l indice nella stessa posizione che aveva quando la piattaforma era scarica. L equazione dell equilibrio diventa: (m x + m 1 ) b 1 m 0 lφ (m + m 2 ) b 2 = 0. (2.8) Ripetiamo poi la pesata ponendo però il corpo di massa m x a destra ed eguagliando con una massa m in modo da ritornare alla posizione di equilibrio iniziale. Abbiamo quindi: (m + m 1 ) b 1 m 0 lφ (m x + m 2 ) b 2 = 0. (2.9) Invece a piatti scarichi abbiamo: m 1 b 1 m 0 lφ m 2 b 2 = 0. (2.10) Sottraiamo membro a membro questa equazione alle due precedenti e otteniamo: m x b 1 = m b 2, (2.11) moltiplichiamo poi membro a membro: m x b 2 = m b 1, (2.12) m 2 xb 1 b 2 = m m b 1 b 2 (2.13) e otteniamo: m x = m m m + m. (2.14) 2 Dove abbiamo sostituito alla media geometrica quella aritmetica. 2.5 Metodo tara Con questo metodo si pone rimedio alla diseguaglianza dei bracci ponendo il corpo e le masse sempre sul medesimo piatto. Si mette su di un piatto ( ad esempio il sinistro ) la tara avente massa maggiore di quella che si deve misurare. Si equilibra la tara ponendo sull altro piattello ( a destra ) i campioni della pesiera che chiameremo m a. Si rimettono tali pezzi campione nella pesiera e si mette il corpo da pesare sul piattello. Sia m b la massa che insieme a m x equilibra la tara. Avremo ovviamente m x = m a m b. (2.15) 9

20 2.6. SENSIBILITÀ TEORICA CAPITOLO 2. BILANCIA ANALITICA Figura 2.3: Schema bilancia 2.6 Sensibilità teorica Cominciamo a tracciare il disegno 2.3 che schematizza la bilancia: dove m 0 è la massa del giogo e m = massa sul piattello + massa piattello. Supponiamo ora che i bracci siano uguali OA 1 = OA 2 = b e che inoltre la distanza OD = λ sia positiva. A questo punto abbiamo due masse m che pensiamo essere applicate in D; ricordiamo inoltre che all equilibrio A 1 A 2 è orizzontale e OG verticale. Una piccola massa m varierà adesso la situazione di equilibrio in maniera minima; applicheremo quindi la legge che la somma dei momenti rispetto all asse O è nulla: m bcos(α + ϕ) 2mλsen( ϕ) m 0 lsen( ϕ) = 0, (2.16) raccogliamo a fattor comune e otteniamo: mbcos(α + ϕ) (2mλ + m 0 l)sen( ϕ) = 0, (2.17) 10

21 CAPITOLO 2. BILANCIA ANALITICA 2.6. SENSIBILITÀ TEORICA ma essendo: otteniamo e ricaviamo facilmente la sensibilità S: α 0 e ϕ 0, (2.18) m b 2(mλ + m 0 l) ϕ = 0, (2.19) S = ϕ m = b (2mλ + m 0 l) Da questa formula se ne deduce che la sensibilità è: proporzionale alla lunghezza dei bracci inversamente proporzionale alla massa del giogo inversamente proporzionale alle masse applicate. (2.20) Nel nostro caso abbiamo bracci e massa del giogo fissi e la massa m variabile; mentre ɛ = m/ x sarà ovviamente direttamente proporzionale alla massa applicata. Per maggiori dettagli consultare il libro del [Bussetti 1967]. 11

22 2.6. SENSIBILITÀ TEORICA CAPITOLO 2. BILANCIA ANALITICA 12

23 Capitolo 3 La molla La lunghezza naturale di una molla non sollecitata sia l 0 (parte a della figura 3.1). Appendiamo un peso w che allungherà la molla di una lunghezza l ( parte b della figura 3.1 A causa dello sforzo dovuto al peso una forza di richiamo viene originata nella molla che cerca di tornare nella posizione di partenza. Tramite la legge di Hooke questa forza è proporzionale alla distanza l ( la lunghezza di cui si è allungata la molla): F = kl, (3.1) dove k > 0 è la costante della molla espressa in N. Riportiamo nella m tabella 3.1 alcuni parametri tipici delle molle presenti in laboratorio. La forza agente verso il basso è la forza peso della massa attaccata alla molla. Se la molla è sulla superficie della terra, allora F=mg. Poichè la molla è in equilibrio la forza diretta verso il basso eguaglia la Tabella 3.1: Parametri della molla costante della molla Nm 1 Carico max in N lunghezza in cm diametro in cm

24 CAPITOLO 3. LA MOLLA Figura 3.1: Schema della molla forza verso l alto : kl = mg. (3.2) Dalla formula precedente è già possibile dedurre un primo valore di k k = mg l. (3.3) Sia y=0 la posizione di equilibrio della molla con il peso w attaccato ad essa. Se la molla con questo peso attaccato è allungata di un ulteriore distanza y le seguenti forze agiranno sulla molla : una forza verso l alto dovuta alla tensione della molla che adesso è k(l+y) una forza diretta verso il basso dovuta al peso w eguale ad mg L equazione del moto diventa: m d2 y = mg k(l + y) = mg kl ky. (3.4) dt2 Grazie alla situazione di equilibrio precedente l equazione si semplifica ulteriormente : m d2 y = ky. (3.5) dt2 14

25 CAPITOLO 3. LA MOLLA 3.1. MOLLE MULTIPLE Questa è l equazione dell oscillatore la cui soluzione è dove ω = k m y = Acos(ωt + ω 1 ), (3.6). Il periodo di tale moto oscillatorio vale: T = 2π ω = 2π m k. (3.7) La relazione che connette la costante k con il periodo T vale k = 4π 2 m T 2, (3.8) e questa è pure la seconda definizione di k. Dalle equazioni (3.3) e (3.8) è possibile ricavare il valore della costante g che rappresenta la gravità a Torino quando le masse sono uguali g = l4π2 T 2. (3.9) L attrezzatura di laboratorio è riportata nella Figura Molle multiple Le molle possono essere in parallelo o in serie Molle in parallelo Ambedue le molle toccano il punto di azione e il livello di compressione, l, sarà uguale per entrambe. La forza sul blocco F b sarà F b = F 1 + F 2 = k 1 l k 2 l = (k 1 + k 2 )l, (3.10) che significa una costante della molla equivalente,k eq, del tipo k eq = k 1 + k 2. (3.11) 15

26 3.1. MOLLE MULTIPLE CAPITOLO 3. LA MOLLA Figura 3.2: L esperimento della molla 16

27 CAPITOLO 3. LA MOLLA 3.1. MOLLE MULTIPLE Molle in serie Supponiamo che la posizione di equilibrio sia l 2 F b = k eq l 2. (3.12) Per continuare dobbiamo definire il punto di equilibrio fra le due molle l 1 F b = k 1 l 1 + k 2 (l 2 l 1 ). (3.13) Essendo che all equilibrio la forza fra le molle è 0 possiamo risolvere per l 1 l 1 = k 2 k 1 + k 2 l 2, (3.14) e quindi ovverosia che può essere scritta come F b = ( k 1k 2 k 1 + k 2 )l 2, (3.15) k eq = k 1k 2 k 1 + k 2, (3.16) 1 k eq = 1 k k 2. (3.17) 17

28 3.1. MOLLE MULTIPLE CAPITOLO 3. LA MOLLA 18

29 Capitolo 4 Modulo di Young Se si ha un filo elastico di lunghezza l e sezione costante S, soggetto ad una forza di trazione F, l allungamento x vale: La costante: x = 1 E l S F. (4.1) E = 1 l x S F (4.2) si chiama modulo di allungamento o modulo di Young. Nel nostro caso abbiamo un filo di acciaio armonico di diametro 4/10 di mm. L estremo superiore è fissato ad un sostegno rigido e l estremo inferiore porta un indice. Si osservano gli spostamenti per mezzo di un oculare montato su un catetometro. Una massa della quale non si terrà conto ( 0.5 kg ) è sempre appesa al filo per tenerlo teso. In tali condizioni si osserva la posizione di zero dell indice e poi si appendono le masse note, m 1, m 2, m 3 le cui forze peso F 1 = m 1 g, F 2 = m 2 g, F 3 = m 3 g produrranno allungamenti x 1, x 2, x 3. A questo punto ricordiamo che l allungamento del filo è in direzione opposta a quella della scala del catetometro e che quindi conviene sottrarre a tutti i dati ottenuti la posizione di partenza. Nel sistema CGS, E rimane espresso in dine, nel sistema MKS in Newton. cm 2 m 2 ELABORAZIONE DATI SU PC. Per l analisi dei dati si consiglia l uso del programma RETTA(vedi Figura 4.1) mentre il programma YOUNG permette di ottenere direttamente il valore di E. 19

30 4.1. CATETOMETRO CAPITOLO 4. MODULO DI YOUNG Figura 4.1: Tipico run del programma YOUNG 4.1 catetometro Esso consiste sostanzialmente di una colonna verticale AA 1, girevole intorno al proprio asse, portante un cannocchiale C 1 C 2 ad asse orizzontale il quale può scorrere lungo una colonna mediante lo spostamento di una slitta Z(vedi Figura 4.2). La colonna verticale porta un regolo graduato in mm e mezzi mm, il cui corpo è sempre adiacente ad un indice con nonio, solidale con la slitta Z, qualunque sia l orientamento del cannocchiale. Il cannocchiale è munito di reticolo e di solito è adatto per essere puntato su oggetti ad una distanza variabile fra 0.5 e 2 m. Aggiustata la verticalità dell asse, la misurazione del dislivello fra due punti si effettua puntandoli successivamente col cannocchiale e leggendo le due posizioni indicate dall indice del nonio. La differenza delle due letture dà il dislivello. La precisione può raggiungere 1/50 di mezzo mm, anche se lo studente diligente si accorgerà che si ottengono risultati diversi a seconda che si arrivi sull indice di riferimento da sopra oppure da sotto; questo fatto porta l errore di misura a 3-4 centesimi di mm. Prima di eseguire la misurazione di un dislivello sono indispensabili alcune operazioni di aggiustamento per verificare la verticalità della colonna e l orizzontalità del cannocchiale. Fatto questo lo studente non modificherà più il catetometro. Per maggiori dettagli consultare il libro del [Bussetti 1967]. Riportiamo nella tabella C.3 le proprietà elastiche di alcuni materiali di interesse ingegneristico. 20

31 CAPITOLO 4. MODULO DI YOUNG 4.1. CATETOMETRO Figura 4.2: Il nostro catetometro 21

32 4.1. CATETOMETRO CAPITOLO 4. MODULO DI YOUNG 22

33 Capitolo 5 Piattaforma girevole Per definizione il momento di inerzia del corpo rispetto ad una asse è: I = r 2 dm, (5.1) dove r è la distanza dall asse dell elemento di massa dm (vedi Figura 5.1). Diversamente dalla massa il momento di inerzia di un corpo dipende non soltanto dal corpo ma anche dalla posizione dell asse rispetto ad esso. Se si ha un solido girevole attorno ad un asse fisso, la legge fondamentale della dinamica dice che: M a = I d2 φ dt 2, (5.2) dove I è il momento d inerzia del corpo rispetto all asse, d2 φ è l accelerazione angolare e M a è il momento rispetto all asse delle forze esterne dt 2 agenti sul corpo. Si dispone di una piattaforma P, girevole intorno ad un asse verticale, sulla quale si appoggerà il corpo Q del quale si vuole misurare il momento di inerzia. L albero della piattaforma ha raggio noto ( che deve essere misurato ) e ruota su di un supporto fisso con attrito minimo. Il movimento del sistema è dovuto alla trazione di una funicella terminante con un occhiello che fa presa su di un gancetto solidale con l albero, avvolta su questo per un certo numero di giri. La funicella ( che è un sottile filo di nylon ) è tesa da una massa m nota appesa all altro estremo e appoggia su una piccola puleggia posta ad un livello tale che il filo abbandoni l albero orizzontalmente. All inizio si abbia la sola piattaforma senza 23

34 CAPITOLO 5. PIATTAFORMA GIREVOLE Figura 5.1: La piattaforma 24

35 CAPITOLO 5. PIATTAFORMA GIREVOLE 5.1. DETERMINAZIONE I il corpo Q. Si faccia ruotare la piattaforma e si osservi la sua posizione nell istante in cui il filo si sgancia: è necessario avere un segno di riferimento per contare il numero di giri n. L angolo di rotazione φ ( in radianti ) vale 2π n. Usando il cronometro si controlli che sotto l azione della tensione costante del filo la legge del moto, partendo dalla quiete, è del tipo φ = cost t Determinazione I Si contano i tempi dall istante in cui la piattaforma inizia il moto sotto l azione della trazione dovuta al peso mg del corpo C attaccato al filo. Si fa scattare il cronometro all istante t=0 in cui il moto ha inizio e si osserva il numero n 1 di giri all istante t 1 in cui il filo si sgancia. Da questo istante la piattaforma ruota sotto l azione del solo momento frenante delle forze di attrito e si ferma all istante t 2. Si registrano dunque la massa m del corpo C appeso, le grandezze n 1, t 1,t 2 e i valori del raggio a dell albero e dell accelerazione di gravità g che sono noti. 5.2 Teoria La posizione della piattaforma è determinata dal suo angolo di rotazione φ, mentre la posizione del corpo C ( di massa m e peso mg ), appeso al filo è determinata dalla quota y del suo baricentro, contata verso il basso. Se a è il raggio dell albero intorno al quale è avvolto il filo, lo spostamento dy di m è legato alla rotazione dφ della piattaforma dalla relazione dy=a dφ. La tensione della funicella abbia modulo T. I momenti rispetto all asse di rotazione delle forze esterne applicate alla piattaforma si riducono al momento M T = a T della tensione del filo ed al momento M f delle forze di attrito. Quindi essendo I il momento di inerzia della piattaforma, l equazione del moto di quest ultima è: con M T M f = I d2 φ dt 2, (5.3) M T = at. (5.4) 25

36 5.2. TEORIA CAPITOLO 5. PIATTAFORMA GIREVOLE L equazione del moto verticale della massa m appesa al filo è: dalla quale si ricava: mg T = m d2 y dt 2, (5.5) T = mg m d2 y, (5.6) dt 2 da cui è evidente che la tensione T del filo durante il moto accelerato non è uguale al peso mg della massa m. Durante la discesa è dy2 0 e dt 2 quindi T mg. Poichè dy=a dφ si ha l equazione vincolare: l equazione della tensione diventa quindi: mentre: d 2 y dt 2 = ad2 φ dt 2, (5.7) T = mg ma d2 φ dt 2, (5.8) M T = mga ma 2 d2 φ dt 2. (5.9) L equazione differenziale del moto del sistema diventa quindi: d 2 φ dt 2 = mga M f ma 2 + I. (5.10) Integrando rispetto al tempo ambo i membri di quest ultima formula otteniamo dφ dt = ω = mga M f ma 2 + I t + c, (5.11) avendo posto dφ = ω, velocità angolare. Per t=0 è ω = 0, perciò la dt costante c è nulla, quindi: dφ dt = ω = mga M f ma 2 + I t. (5.12) Con un ulteriore integrazione rispetto al tempo, tenendo conto che per t=0 è φ = 0, si ottiene: φ = 1 mga M f 2 ma 2 + I t2. (5.13) 26

37 CAPITOLO 5. PIATTAFORMA GIREVOLE 5.2. TEORIA All istante t 1 in cui il filo si sgancia dall albero sia φ = φ 1 e ω = ω 1, quindi: φ 1 = 1 mga M f 2 ma 2 + I t2 1, (5.14) ω 1 = mga M f ma 2 + I t 1. (5.15) Dopo tale istante, mancando il peso tensore, l equazione differenziale del sistema diventa: d 2 φ dt = M f 2 I, (5.16) che, integrata rispetto al tempo dà: dφ dt = ω = M f t + k. (5.17) I La costante di integrazione k si determina imponendo che per t = t 1 sia ω = ω 1, cioè: ω 1 = M f I t 1 + k. (5.18) Sostituendo il valore di k così ottenuto nella 4.17 si ha: ω = M f I (t t 1) + ω 1, (5.19) che dà la velocità in funzione del tempo per t t 1. All istante t 2 la piattaforma si ferma ( ω = 0 ) e quindi, ponendo nell equazione precedente t= t 2 e ω = 0, si ottiene: ω 1 = M f I (t 2 t 1 ). (5.20) Le equazioni 4.20, 4.15 e 4.14 costituiscono un sistema algebrico nelle tre incognite I, M f e ω 1. Eliminando ω 1 fra la 4.15 e la 4.20 si ha: M f I (t 2 t 1 ) = mga M f ma 2 + I t 1. (5.21) Eliminando la frazione mga M f ma 2 +I fra la 4.21 e la 4.14 si ha: M f I (t 2 t 1 ) = 2φ 1 t 1. (5.22) 27

38 5.2. TEORIA CAPITOLO 5. PIATTAFORMA GIREVOLE Questa e la 4.14 formano un sistema più semplice nelle incognite M f e I. Riducendo tali equazioni a forma normale il sistema diventa: Risolvendo si trova infine: con t 1 (t 2 t 1 )M f 2φ 1 I = 0, (5.23) t 2 1M f + 2φ 1 I = mgat 2 1 2φ 1 ma 2. (5.24) M f = mgat2 1 2φ 1 ma 2 t 1 t 2, (5.25) I = (t 2 t 1 )(mgat 2 1 2φ 1 ma 2 ) 2φ 1 t 2, (5.26) φ 1 = 2πn 1. (5.27) Le grandezze che compaiono nei secondi membri sono note, cosìrimangono determinati I e M f ( per il valore di g a Torino si consulti l appendice C dedicata alle costanti). Per maggiori dettagli consultare il libro del [Bussetti 1967]. ELABORAZIONE DATI SU PC. Per quanto riguarda l elaborazione dei dati si consiglia il programma INERZ, che calcola il momento di inerzia dai dati iniziali e lo confronta con quello teorico. 28

39 Capitolo 6 Pendolo Semplice Il pendolo semplice di lunghezza l, con un peso di massa m è visualizzato nella Figura 6.1 ed è soggetto ad un moto oscillatorio. La forza che produce il moto è la forza di richiamo gravitazionale che agisce nella direzione tangente all arco del moto e vale m g sin(θ) dove θ è l angolo di oscillazione. La seconda legge del moto di Newton dice che F = m dv dt = m gsin(θ), (6.1) e quindi dv = g sin(θ). (6.2) dt La distanza s che percorre la massa sull arco vale s = lθ, (6.3) e quindi v = l dθ dv, dt dt = l d2 θ. (6.4) dt 2 Dalle equazioni precedenti otteniamo la seguente equazione differenziale del secondo ordine l d2 θ + g sin(θ) = 0. (6.5) dt2 Questa è un equazione differenziale non lineare che sfruttando lo sviluppo in serie di Taylor sin(θ) = θ θ3 3! (6.6)

40 CAPITOLO 6. PENDOLO SEMPLICE Figura 6.1: Il pendolo semplice 30

41 CAPITOLO 6. PENDOLO SEMPLICE l d2 θ dt + g θ g θ3 2 3! + g θ5... = 0 5!. (6.7) Quindi per angolo piccoli possiamo linearizzare l equazione precedente ottenendo l d2 θ dt + g θ = 0 2, (6.8) oppure d 2 θ dt + g 2 l θ = 0. (6.9) Ma questa è l equazione dell oscillatore dove d 2 θ dt 2 + ω2 θ = 0, (6.10) ω 2 = g l, (6.11) e quindi il periodo, T 0, delle oscillazioni vale l T 0 = 2π. (6.12) g Nel caso in cui θ non sia piccolo la risoluzione non lineare dell equazione (6.5) richiede gli integrali ellittici. La soluzione non lineare per il periodo, T, è T = 1 + 1/4 (sin (1/2 θ max )) (sin (1/2 θ max)) 4 T 0 64, (6.13) dove θ max è l ampiezza iniziale in radianti. Figura 6.2 riporta la soluzione numerica del rapporto T T 0 dell ampiezza massima in radianti. funzione 31

42 CAPITOLO 6. PENDOLO SEMPLICE Figura 6.2: Periodo normalizzato T T 0 32

43 Capitolo 7 Pendolo Reversibile Si tratta di un solido girevole attorno ad un asse orizzontale di traccia O 1 rispetto al quale ha momento di inerzia I 1, è statto inventato dal capitano Kater nel Il sistema delle forze peso dei singoli elementi di volume è equivalente al sistema costituito dall unica forza peso totale mg applicata nel baricentro G (vedi Figura 7.1). Sia h 1 la distanza dell asse di rotazione dall asse parallelo condotto per G. La posizione è individuata dall angolo diedro Φ che il piano solidale con il corpo, passante per G e per l asse di rotazione, forma con il piano verticale passante per il suddetto asse. Vale l equazione fondamentale della dinamica per un solido girevole attorno ad un asse fisso: M a = I 1 d 2 Φ dt 2, (7.1) dove M a è il momento delle forze esterne rispetto all asse che nel nostro caso vale -mgh 1 senφ. Sostituendo tale valore di M a otteniamo avendo posto d 2 Φ dt 2 + ω2 senφ = 0, (7.2) ω 2 = mgh 1 I 1. (7.3) Per spostamenti Φ molto piccoli si ha sen Φ Φ e la (7.2) diventa: d 2 Φ dt 2 + ω2 Φ = 0, (7.4) 33

44 CAPITOLO 7. PENDOLO REVERSIBILE Figura 7.1: Pendolo reversibile 34

45 CAPITOLO 7. PENDOLO REVERSIBILE la cui soluzione, Φ = Acos(ωt + α 0 ), (7.5) rappresenta le oscillazioni armoniche attorno alla posizione Φ =0. Il periodo di tale moto oscillatorio vale: T = 2π ω = 2π I 1, (7.6) mgh 1 mentre il periodo di un pendolo semplice vale: T = 2π ω = 2π l. (7.7) g Confrontando le due ultime relazioni si vede che il pendolo composto oscilla con il medesimo periodo di un pendolo semplice di lunghezza: l = I 1 mh 1. (7.8) Tale lunghezza si chiama lunghezza ridotta del pendolo composto. Consideriamo ora un insieme di rette parallele all asse di rotazione considerato e solidali con il pendolo e domandiamoci se oltre tale asse esistano altre rette dell insieme tali che assunte come nuovi assi di rotazione per il pendolo, questo oscillerebbe con il medesimo periodo di prima. Per risolvere il problema osserviamo anzitutto che, chiamando I G il momento di inerzia del corpo rispetto alla retta del fascio passante per il baricentro, il momento di inerzia rispetto ad un altra retta dell insieme che disti di h dal baricentro vale( per il noto teorema di Huygens-Steiner ): I = I G + mh 2, (7.9) quindi per le oscillazioni attorno ad essa il periodo vale I T = 2π mgh = 2π I G + mh 2, (7.10) mgh e la lunghezza ridotta di tale pendolo composto è: l = I mh = I G + mh 2 mh ; (7.11) 35

46 7.1. MODO DI SPERIMENTARE CAPITOLO 7. PENDOLO REVERSIBILE inoltre si ha l = g ( T ) 2 1 = g. (7.12) 2π ω 2 Dall equazione 7.11 sulla lunghezza ridotta otteniamo: cioè mh 2 + I G = mlh, (7.13) h 2 lh + I G m = 0. (7.14) Fissato T, rimangono fissati ω ed l, quindi le radici di questa semplice equazione di secondo grado nell incognita h danno le distanze dal baricentro di quegli assi per i quali si ha un prefissato periodo. Nel caso generale in cui il discriminante è positivo, le due soluzioni h 1 ed h 2 dell equazione 7.14 sono positive e soddisfano alle proprietà note dall algebra elementare h 1 + h 2 = l, (7.15) h 1 h 2 = I G m. (7.16) Dunque in generale esistono due cilindri rotondi aventi per asse la retta baricentrica e raggi h 1 e h 2, le cui generatrici possono essere assi di rotazione con il medesimo periodo T = 2π l g, prefissato a piacere. Per maggiori dettagli consultare il libro del [Bussetti 1967]. 7.1 Modo di sperimentare Il pendolo reversibile è un asta ai cui estremi sono fissati due coltelli con gli spigoli paralleli, distanti una lunghezza nota l uno dall altro; esso è dotato di una massa fissa posta al di sopra di un coltello e di una mobile posta invece fra i due coltelli. Si parte con la massa mobile vicino alla massa fissa ( ad esempio 10 cm ) e si fa oscillare il pendolo attorno allo spigolo del coltello A e si misura il periodo T 1 in base alla durata di un certo numero n di oscillazioni complete. Al crescere di n diminuisce l errore nell apprezzamento di T 1. Se t 1 è il tempo impiegato per le n oscillazioni complete, si ha T 1 = t 1 n. Poi si fa oscillare il pendolo attorno allo spigolo dell altro coltello B ed analogamente si troverà T 2. Annotati i due tempi sposteremo la 36

47 CAPITOLO 7. PENDOLO REVERSIBILE 7.2. PERIODO ED AMPIEZZA Figura 7.2: Tipico run del programma PENDOG massa mobile di una distanza fissa (ad esempio 10 cm ) e prenderemo altri due tempi e così via. ELABORAZIONE DATI SU PC. A questo punto avremo due parabole di t ( variabile dipendente ) e d ( variabile indipendente ) che parametrizziamo tramite il programma PENDO che calcola i coefficienti delle due parabole, la loro intersezione ed il conseguente valore di g. A livello singolo possiamo adoperare il programma PARABO. Dal periodo comune tramite il programma PENDOG (vedi Figura 7.2) otteniamo g ed il relativo errore. Trovata l intersezione delle due parabole resta così determinato il periodo comune T=T 1 =T 2, la distanza nota fra i coltelli è la lunghezza ridotta del pendolo corrispondente a tale periodo. Otteniamo quindi finalmente la gravità che vale: g = l ( 2π T ) 2 = 4π 2 l T 2. (7.17) 7.2 periodo ed ampiezza L equazione dalla quale partiamo è quella del pendolo semplice: l d2 θ + gsenθ = 0. (7.18) dt2 37

48 7.2. PERIODO ED AMPIEZZA CAPITOLO 7. PENDOLO REVERSIBILE Moltiplicando questa equazione per 2 dθ e facendo uso della relazione : dt ( d 2 θ ) dθ 2 dt 2 dt = d ( dθ ) 2, (7.19) dt dt otteniamo l d dt (ω2 ) + 2g d ( cosθ) = 0. (7.20) dt Integriamo adesso l equazione ottenuta assumendo che per t=0, θ = θ 0, ω=0 ( condizioni iniziali) ottenendo : ω = dθ 2g dt = ± cosθ cosθ0. (7.21) l Integrando questa equazione con le condizioni iniziali t=0,θ = θ 0 otteniamo: l θ du t(θ) = ±. (7.22) 2g cosu cosθ0 θ 0 Essendo che a t=0,θ = θ 0, ω=0, quando θ = -θ 0 è passato un mezzo periodo. Usando queste condizioni iniziali ed il fatto che cosu è una funzione pari, ovverosia, cos(-u)=cosu ricaviamo la formula del mezzo periodo del pendolo: T 2 = l 2g e poi quella del periodo: T = 2 l 2 g θ0 θ 0 θ0 0 du cosu cosθ0, (7.23) Sostituendo nella formula precedente le uguaglianze: cosu = 1 2 sen 2 ( u 2 ), du cosu cosθ0. (7.24) cosθ 0 = 1 2 sen 2 ( θ 0 2 ), (7.25) otteniamo la seguente espressione del periodo: l θ0 du T = 2 g sin2 (θ 0 /2) sin 2 (u/2) 0. (7.26) 38

49 CAPITOLO 7. PENDOLO REVERSIBILE 7.2. PERIODO ED AMPIEZZA Nella formula precedente operiamo le sostituzioni: π 2 sen u = sen θ senφ (7.27) 1 2 cosu 2 du = sen θ 0 2 cosφ dφ. Si può dimostrare che quando u=0,φ=0 e che quando u=θ 0, φ =. Il periodo diventa quindi : l T = 4 g π/2 0 dφ 1 k2 sen 2 φ, k = senθ 0 2. (7.28) Questo integrale è conosciuto come integrale ellittico completo e si indica brevemente con il simbolo K (k) K(k) = π/2 0 dφ 1 k2 sen 2 φ. (7.29) Dopo questa definizione si può compattare la formula del periodo: l T = 4 g K( senθ 0 ). (7.30) 2 L integrale ellittico suddetto non può essere espresso mediante funzioni elementari ma può essere valutato scrivendo l integrale tramite una serie di potenze: (1 k 2 sen 2 φ) 1/2 = k2 sen 2 φ k4 sen 4 φ (7.31) Sfruttando la relazione: π/2 0 sen n φdφ = (n 1) π n 2 n pari, (7.32) inseriamo la serie di potenze nell integrale e otteniamo un espressione approssimata per il periodo : l ( T = 2π [1 + k2 1 3 ) 2k 4] g 2 +. (7.33)

50 7.3. TERZA SOLUZIONE CAPITOLO 7. PENDOLO REVERSIBILE Ritornando all angolo iniziale avremo una formula per il periodo in funzione dei parametri del sistema: l [ ( 1 ) 2sen T = 2π ( θ ( ) 2sen g 2 2 ) + 4 ( θ ] ). (7.34) A questo punto possiamo dedurre una nuova espressione per l accelerazione di gravità che tiene conto dell ampiezza iniziale: g = 4π 2 l [ ( 1 ) 2sen ( θ ( ) 2sen T ) + 4 ( θ ] ). (7.35) 7.3 Terza soluzione Quanto segue è stato scritto in collaborazione con Michele Rossi del Dipartimento di Matematica di Torino; maggiori dettagli possono essere trovati nell articolo [Pendolo 2002]. In questa sezione consideriamo un pendolo fisico di Kater costituito da un asta e da due pesi di forma cilindrica inseriti su di essa, vedi figura 7.3. Uno di questi pesi è messo in posizione fissa durante tutto l esperimento e sarà chiamato m f. L altro sarà chiamato m m e può essere mosso su tutta l asta. I coltelli per sospendere il pendolo sono applicati sui due punti distinti c 1 e c 2 ; questi punti saranno i centri di rotazione del pendolo ed essi sono scelti in posizione simmetrica rispetto al centro di massa b della barra (considerazione senza i pesi). Nell esperimento il peso m f sarà fissato al di fuori dell insieme di punti fra c 1 e c 2 mentre al contrario m m può assumere sia le posizioni fra i coltelli sia quelle al di fuori di essi in direzione opposta ad m f ; in quest ultimo caso uno dei coltelli sarà sempre fra i due pesi. Nell esperimento prima sospendiamo il pendolo su c 1 e otteniamo un primo insieme di dati chiamato primo set, correlando la posizione di m m ed il periodo dell oscillazione. Poi il pendolo viene rovesciato per assumere c 2 come centro di rotazione per ottenere il secondo set di dati. La posizione del pendolo è parametrizzata dall angolo ϕ che si assume sufficientemente piccolo da dare ϕ sin ϕ (i.e. ϕ 3 0). Quindi l equazione del pendolo è ϕ + mgh i I i ϕ = 0, (7.36) dove g è l accelerazione dovuta alla gravità, m è la massa totale del pendolo, h i è la distanza fra baricentro e il centro di rotazione c i ed I i 40

51 CAPITOLO 7. PENDOLO REVERSIBILE 7.3. TERZA SOLUZIONE Figura 7.3: Schema tecnico del pendolo 41

52 7.3. TERZA SOLUZIONE CAPITOLO 7. PENDOLO REVERSIBILE è il momento di inerzia rispetto ad c i. Il teorema di Huygens-Steiner rispetto agli assi paralleli asserisce che I i = I 0 + mh 2 i, (7.37) dove I 0 è il momento di inerzia rispetto al baricentro. Allora i periodi di oscillazione sono T i = 2π I i I 0 + mh 2 i = 2π = 2π, (7.38) ω i mgh i mgh i questo significa che il pendolo di Kater oscilla con lo stesso periodo di un pendolo semplice la cui lunghezza è l i = I i mh i = I 0 + mh 2 i mh i. (7.39) Assumiamo adesso che la massa mobile m m sia posta in un punto x 0 sull asta tale che T 1 = T 2 =: T (x 0 ). (7.40) Questo è possibile se e solo se l 1 = l 2 =: l(x 0 ). La lunghezza l = l(x 0 ) è la lunghezza caratteristica del pendolo di Kater che dipende da m m posizionato su x 0 ; tutti gli m m posizionati x 0j che soddisfano la relazione (7.40) saranno chiamati posizioni caratteristiche. La lunghezza caratteristica sarà la lunghezza l = l(x 0j ) ed i periodi caratteristici saranno i periodi associati T (x 0j ). Vedremo che il pendolo di Kater può assumere al più tre posizioni caratteristiche. Per ogni j = 1, 2, 3 dalla conoscenza di l(x 0j ) e T (x 0j ) è poi possibile ottenere il valore di g poichè l T = 2π, (7.41) g e quindi g = 4π 2 l. (7.42) T 2 Per determinare le posizioni caratteristiche associeremo l asta del pendolo con un sistema di coordinate lineari x che ammette origine in c 1 e tale che c 2 è il punto x = d > 0 (controllate la figura 7.3). Assumiano che la massa mobile e la massa fissa siano composti da dischi i cui raggi siano dati rispettivamente da r m e r f. Se denotiamo la 42

53 CAPITOLO 7. PENDOLO REVERSIBILE 7.3. TERZA SOLUZIONE lunghezza della barra con L allora la posizione del centro di m m è parametrizzata dalla sua distanza da c 1. Le sue posizioni determinate empiricamente sono date da tutti gli x tali che sia r m x d r m oppure d + r m x L+d, altrimenti m 2 m coinciderebbe con uno dei due coltelli. D altra parte il centro di m f è piazzato in una posizione fissa x f tale che (d L) /2 < x f < r f. Il centro di massa b dell asta è il punto x = d/2. Allora la distanza fra il baricentro del pendolo b x e l origine c 1 dipende dalla posizione x di m m ed è data da : h = dove m a è la massa dell asta. Mettendo d 2 m a + x f m f + xm m m a + m f + m m, (7.43) m := m a + m f + m m, (7.44) d 2 K := m a + x f m f, (7.45) m otteniamo h = K + m m m x. (7.46) D altra parte possiamo adesso esprimere il momento di inerzia I 0 come segue: ( I 0 = (h x f ) 2 m f + (h x) 2 m m + h d ) 2 m a + I 0, (7.47) 2 dove Inponendo I 0 := r2 f 2 m f + r2 m 2 m m + L2 12 m a. (7.48) I 0 = I 0 + m f (x f K) 2 + m a ( d 2 K ) 2 + m m K 2, (7.49) I 0 può essere riscritto come segue I 0 := m m m m m m x2 2m m Kx + I 0. (7.50) La condizione (7.40) è soddisfatta se e solo se I 0 + mh 2 1 mh 1 = I 0 + mh 2 2 mh 2, (7.51) 43

54 7.3. TERZA SOLUZIONE CAPITOLO 7. PENDOLO REVERSIBILE che è equivalente a richiedere che Dalla (7.46) abbiamo che (h 1 h 2 ) (mh 1 h 2 I 0 ) = 0. (7.52) h 1 = h = K + m m m x h 2 = d h = d K m m m x. (7.53) ed otteniamo una prima posizione caratteristica inponendo che h 1 = h 2 ovverosia x 01 = d 2 + m f 2m m (d 2x f ). (7.54) Due posizioni caratteristiche possono essere ottenute dal secondo fattore in (7.52): inponendo mh 1 h 2 I 0 = 0 ed esprimendo I 0 come in (7.50) abbiamo le cui soluzioni sono x 2 dx mk2 mdk + I 0 m m = 0, (7.55) x 02 := d d mk2 mdk + I 0 m m x 03 := d d mk2 mdk + I 0 m m. (7.56) Notate che l effettiva occorrenza di tutte le posizione caratteristiche richiede una discussione dettagliata che trovate nell appendice A dell articolo [Pendolo 2002]. Quì ci limitiamo a notare che la suddetta discussione conduce a condizioni strutturali sui parametri fisici del pendolo che permettono di realizzare in pratica tutte le tre posizioni caratteristiche x 01, x 02 e x 03. La conoscenza delle posizioni caratteristiche è utile per calcolare le lunghezze associate l(x 0j ): ricordate (7.39), (7.51) e (7.53) per ottenere l(x 0j ) = I 0 + m ( K + mm m x 0 j ) 2 mk + m m x 0j. (7.57) 44

55 CAPITOLO 7. PENDOLO REVERSIBILE 7.3. TERZA SOLUZIONE È facile poi osservare che l(x 02 ) e l(x 03 ) sono uguali e costanti poichè x 02 e x 03 sono simmetriche. Più precisamente l(x 02 ) = l(x 03 ) = h 1 + h 2 = d, (7.58) ed esse non dipendono dagli altri parametri fisici del pendolo. contrario questo non è vero per l(x 01 ) poichè Al l(x 01 ) = d I 0 md + m f (m m + m f ) (d 2x f ) 2 2m m md. (7.59) Notate che tutte le lunghezze caratteristiche dipendono solamente dai parametri fisici del pendolo: ovverosia esse sono calcolabili a priori e non dipendono dai dati o dalle procedure sperimentali. Anche se le formule (7.54), (7.56), (7.58) e (7.59) danno tutte le informazioni rilevanti, dobbiamo rendere più esplicite le relazioni cubiche che coinvolgono i periodi di oscillazione T i e la posizione x della massa mobile che determina la natura dell esperimento. In effetti questo è l ingrediente fondamentale nel portare avanti l analisi dei dati sperimentali: esso ci permette di determinare la forma algebrica che approssima meglio i dati periodo x. Per questo motivo è necessario ricordare l espressione (7.38) di T i quando il pendolo oscilla sul coltello c i. Prendendo il quadrato ed applicando (7.50) + (7.53) vediamo che il periodo T i e la distanza x sono correlate come segue a i x 2 + b i x + c i = T 2 i + d i xt 2 i, (7.60) dove a 1 = 4π2 m m gmk b 1 = 0 c 1 = 4π2 gmk ( I 0 + mk 2) d 1 = m m mk, (7.61) 45

56 7.3. TERZA SOLUZIONE CAPITOLO 7. PENDOLO REVERSIBILE Tabella 7.1: Parametri fisici caratterizzanti il pendolo m m (g) m f (g) m a (g) x f (cm) l (cm) d (cm) r f (cm) r m (cm) 1399(1) 1006(1) 1249(1) 26.73(1) 167.0(1) 99.3(1) 5.11(1) 5.12(1) e 4π 2 m m a 2 = gm(d K) b 2 = 8π2 m m d gm (d K) 4π 2 ( c 2 = I gm(d K) 0 + m (d K) 2) d 2 = m m m(d K). (7.62) L esperimento della terza soluzione I parametri fisici caratterizanti il nostro pendolo reversibile sono riportati nella tabella 7.1 ; le cifre fra parentesi rappresentano le incertezze sull ultima cifra. La lunghezza dell asta è misurata grazie ad un metro flessibile la cui sensibilità è ±1 mm. I raggi r m, r f e la posizione x f sono rilevate con un calibro avente precisione ±0.1 mm. Le masse m a, m m, m f sono determinate grazie ad una bilancia di precisione sensibile al grammo. Ricordando (7.54) e (7.56) ci aspettiamo che con le lunghezze associate x 01 = ( ± 0.11) cm x 02 = (61.74 ± 0.40) cm x 03 = (37.56 ± 0.31) cm, (7.63) l (x 01 ) = ( ± 0.09) cm l (x 02 ) = l (x 03 ) = d = (99.3 ± 0.1) cm. (7.64) 46

57 CAPITOLO 7. PENDOLO REVERSIBILE 7.3. TERZA SOLUZIONE Le misure dei nostri periodi saranno quindi più concentrate alle posizione caratteristiche date dalla (7.63). Scendendo nei dettagli le misure sono realizzate memorizzando il tempo di 9 oscillazioni consecutive quando il pendolo parte da un angolo ϕ 0 6 ± 1. Per raggiungere questo obbiettivo abbiamo adoperato una fotocellula pilotata dal contatore elettronico digitale ( modello LEYBOLD-LH ) avente precisione di 0.1 ms. Abbiamo ripetuto l esperienza per 18 posizioni della massa mobile m m, prima rispetto a c 1 e poi rispetto a c 2. La media dei 9 valori è stata presa come misura del periodo alla data posizione m m il cui errore è dato dalla metà della escursione massima ovverosia s. I dati ottenuti sono riportati in Tabella 7.2. L angolo iniziale è sufficientemente piccolo da approssimare l equazione del moto con (7.36). Espandendo l integrale ellittico in serie di potenze è possibile esprimere il periodo associato con l equazione esatta del pendolo: ϕ + mgh i I i sin ϕ = 0 (7.65) addizionando termini correttivi all espressione del periodo dato in(7.41); maggiori dettagli su questo punto sono riportati nella sezione L analisi dei dati In questa sezione presentiamo una procedura di analisi lineari dei dati della Tabella 7.2 e determiniamo in maniera empirica le posizioni caratteristiche. Da un punto di vista numerico dobbiamo fittare i dati con dei polinomi cubici come quelli nell equazione (7.60). Questo tipo di analisi può essere trattato linearmente poichè i coefficienti d 1 e d 2 possono essere determinati a priori da (7.61) e (7.62) che coinvolgono solamente i parametri del sistema riportati in Tabella 7.1. Più precisamente otteniamo d 1 = (3.983 ± 0.01) 10 2 cm 1 d 2 = ( ± ) 10 3 cm 1. (7.66) Possiamo poi ottenere gli altri coefficienti applicando i minimi quadrati 18 Ξ i (a i, b i, c i ) := T h,i 2 aix2 h +b i x h +c i 1+d i x h 2T h,i σ T h=1 47 2, (7.67)

GIROSCOPIO. Scopo dell esperienza: Teoria fisica. Verificare la relazione: ω p = bmg/iω

GIROSCOPIO. Scopo dell esperienza: Teoria fisica. Verificare la relazione: ω p = bmg/iω GIROSCOPIO Scopo dell esperienza: Verificare la relazione: ω p = bmg/iω dove ω p è la velocità angolare di precessione, ω è la velocità angolare di rotazione, I il momento principale d inerzia assiale,

Dettagli

Usando il pendolo reversibile di Kater

Usando il pendolo reversibile di Kater Usando il pendolo reversibile di Kater Scopo dell esperienza è la misurazione dell accelerazione di gravità g attraverso il periodo di oscillazione di un pendolo reversibile L accelerazione di gravità

Dettagli

Energia e Lavoro. In pratica, si determina la dipendenza dallo spazio invece che dal tempo

Energia e Lavoro. In pratica, si determina la dipendenza dallo spazio invece che dal tempo Energia e Lavoro Finora abbiamo descritto il moto dei corpi (puntiformi) usando le leggi di Newton, tramite le forze; abbiamo scritto l equazione del moto, determinato spostamento e velocità in funzione

Dettagli

. Si determina quindi quale distanza viene percorsa lungo l asse y in questo intervallo di tempo: h = v 0y ( d

. Si determina quindi quale distanza viene percorsa lungo l asse y in questo intervallo di tempo: h = v 0y ( d Esercizio 1 Un automobile viaggia a velocità v 0 su una strada inclinata di un angolo θ rispetto alla superficie terrestre, e deve superare un burrone largo d (si veda la figura, in cui è indicato anche

Dettagli

Esercitazione 5 Dinamica del punto materiale

Esercitazione 5 Dinamica del punto materiale Problema 1 Un corpo puntiforme di massa m = 1.0 kg viene lanciato lungo la superficie di un cuneo avente un inclinazione θ = 40 rispetto all orizzontale e altezza h = 80 cm. Il corpo viene lanciato dal

Dettagli

Forze, leggi della dinamica, diagramma del. 28 febbraio 2009 (PIACENTINO - PREITE) Fisica per Scienze Motorie

Forze, leggi della dinamica, diagramma del. 28 febbraio 2009 (PIACENTINO - PREITE) Fisica per Scienze Motorie Forze, leggi della dinamica, diagramma del corpo libero 1 FORZE Grandezza fisica definibile come l' agente in grado di modificare lo stato di quiete o di moto di un corpo. Ci troviamo di fronte ad una

Dettagli

Forze come grandezze vettoriali

Forze come grandezze vettoriali Forze come grandezze vettoriali L. Paolucci 23 novembre 2010 Sommario Esercizi e problemi risolti. Per la classe prima. Anno Scolastico 2010/11 Parte 1 / versione 2 Si ricordi che la risultante di due

Dettagli

Laboratorio di Fisica 3 Ottica 2. Studenti: Buoni - Giambastiani - Leidi Gruppo: G09

Laboratorio di Fisica 3 Ottica 2. Studenti: Buoni - Giambastiani - Leidi Gruppo: G09 Laboratorio di Fisica 3 Ottica 2 Studenti: Buoni - Giambastiani - Leidi Gruppo: G09 24 febbraio 2015 1 Lunghezza d onda di un laser He-Ne 1.1 Scopo dell esperienza Lo scopo dell esperienza è quello di

Dettagli

FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE

FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE Funzione: legge che ad ogni elemento di un insieme D (Dominio) tale che D R, fa corrispondere un elemento y R ( R = Codominio ). f : D R : f () = y ; La funzione f(): A

Dettagli

LE FUNZIONI A DUE VARIABILI

LE FUNZIONI A DUE VARIABILI Capitolo I LE FUNZIONI A DUE VARIABILI In questo primo capitolo introduciamo alcune definizioni di base delle funzioni reali a due variabili reali. Nel seguito R denoterà l insieme dei numeri reali mentre

Dettagli

Nome..Cognome.. Classe 4G 4 dicembre 2008. VERIFICA DI FISICA: lavoro ed energia

Nome..Cognome.. Classe 4G 4 dicembre 2008. VERIFICA DI FISICA: lavoro ed energia Nome..Cognome.. Classe 4G 4 dicembre 8 VERIFIC DI FISIC: lavoro ed energia Domande ) Energia cinetica: (punti:.5) a) fornisci la definizione più generale possibile di energia cinetica, specificando l equazione

Dettagli

28360 - FISICA MATEMATICA 1 A.A. 2014/15 Problemi dal libro di testo: D. Giancoli, Fisica, 2a ed., CEA Capitolo 6

28360 - FISICA MATEMATICA 1 A.A. 2014/15 Problemi dal libro di testo: D. Giancoli, Fisica, 2a ed., CEA Capitolo 6 28360 - FISICA MATEMATICA 1 A.A. 2014/15 Problemi dal libro di testo: D. Giancoli, Fisica, 2a ed., CEA Capitolo 6 Lavoro, forza costante: W = F r Problema 1 Quanto lavoro viene compiuto dalla forza di

Dettagli

Dimensione di uno Spazio vettoriale

Dimensione di uno Spazio vettoriale Capitolo 4 Dimensione di uno Spazio vettoriale 4.1 Introduzione Dedichiamo questo capitolo ad un concetto fondamentale in algebra lineare: la dimensione di uno spazio vettoriale. Daremo una definizione

Dettagli

Ricordiamo ora che a è legata ad x (derivata seconda) ed otteniamo

Ricordiamo ora che a è legata ad x (derivata seconda) ed otteniamo Moto armonico semplice Consideriamo il sistema presentato in figura in cui un corpo di massa m si muove lungo l asse delle x sotto l azione della molla ideale di costante elastica k ed in assenza di forze

Dettagli

APPUNTI DI MATEMATICA LE FRAZIONI ALGEBRICHE ALESSANDRO BOCCONI

APPUNTI DI MATEMATICA LE FRAZIONI ALGEBRICHE ALESSANDRO BOCCONI APPUNTI DI MATEMATICA LE FRAZIONI ALGEBRICHE ALESSANDRO BOCCONI Indice 1 Le frazioni algebriche 1.1 Il minimo comune multiplo e il Massimo Comun Divisore fra polinomi........ 1. Le frazioni algebriche....................................

Dettagli

Le equazioni. Diapositive riassemblate e rielaborate da prof. Antonio Manca da materiali offerti dalla rete.

Le equazioni. Diapositive riassemblate e rielaborate da prof. Antonio Manca da materiali offerti dalla rete. Le equazioni Diapositive riassemblate e rielaborate da prof. Antonio Manca da materiali offerti dalla rete. Definizione e caratteristiche Chiamiamo equazione l uguaglianza tra due espressioni algebriche,

Dettagli

Basi di matematica per il corso di micro

Basi di matematica per il corso di micro Basi di matematica per il corso di micro Microeconomia (anno accademico 2006-2007) Lezione del 21 Marzo 2007 Marianna Belloc 1 Le funzioni 1.1 Definizione Una funzione è una regola che descrive una relazione

Dettagli

ENERGIA. Energia e Lavoro Potenza Energia cinetica Energia potenziale Principio di conservazione dell energia meccanica

ENERGIA. Energia e Lavoro Potenza Energia cinetica Energia potenziale Principio di conservazione dell energia meccanica 1 ENERGIA Energia e Lavoro Potenza Energia cinetica Energia potenziale Principio di conservazione dell energia meccanica 2 Energia L energia è ciò che ci permette all uomo di compiere uno sforzo o meglio

Dettagli

Il concetto di valore medio in generale

Il concetto di valore medio in generale Il concetto di valore medio in generale Nella statistica descrittiva si distinguono solitamente due tipi di medie: - le medie analitiche, che soddisfano ad una condizione di invarianza e si calcolano tenendo

Dettagli

Cap 3.1- Prima legge della DINAMICA o di Newton

Cap 3.1- Prima legge della DINAMICA o di Newton Parte I Cap 3.1- Prima legge della DINAMICA o di Newton Cap 3.1- Prima legge della DINAMICA o di Newton 3.1-3.2-3.3 forze e principio d inerzia Abbiamo finora studiato come un corpo cambia traiettoria

Dettagli

Modulo di Meccanica e Termodinamica

Modulo di Meccanica e Termodinamica Modulo di Meccanica e Termodinamica 1) Misure e unita di misura 2) Cinematica: + Moto Rettilineo + Moto Uniformemente Accelerato [+ Vettori e Calcolo Vettoriale] + Moti Relativi 3) Dinamica: + Forza e

Dettagli

Esercizi svolti. 1. Si consideri la funzione f(x) = 4 x 2. a) Verificare che la funzione F(x) = x 2 4 x2 + 2 arcsin x è una primitiva di

Esercizi svolti. 1. Si consideri la funzione f(x) = 4 x 2. a) Verificare che la funzione F(x) = x 2 4 x2 + 2 arcsin x è una primitiva di Esercizi svolti. Si consideri la funzione f() 4. a) Verificare che la funzione F() 4 + arcsin è una primitiva di f() sull intervallo (, ). b) Verificare che la funzione G() 4 + arcsin π è la primitiva

Dettagli

APPUNTI SU PROBLEMI CON CALCOLO PERCENTUALE

APPUNTI SU PROBLEMI CON CALCOLO PERCENTUALE APPUNTI SU PROBLEMI CON CALCOLO PERCENTUALE 1. Proporzionalità diretta e proporzionalità inversa Analizziamo le seguenti formule Peso Lordo = Peso Netto + Tara Ricavo = Utile + Costo Rata = Importo + Interesse

Dettagli

Forza. Forza. Esempi di forze. Caratteristiche della forza. Forze fondamentali CONCETTO DI FORZA E EQUILIBRIO, PRINCIPI DELLA DINAMICA

Forza. Forza. Esempi di forze. Caratteristiche della forza. Forze fondamentali CONCETTO DI FORZA E EQUILIBRIO, PRINCIPI DELLA DINAMICA Forza CONCETTO DI FORZA E EQUILIBRIO, PRINCIPI DELLA DINAMICA Cos è una forza? la forza è una grandezza che agisce su un corpo cambiando la sua velocità e provocando una deformazione sul corpo 2 Esempi

Dettagli

GEOMETRIA DELLE MASSE

GEOMETRIA DELLE MASSE 1 DISPENSA N 2 GEOMETRIA DELLE MASSE Si prende in considerazione un sistema piano, ossia giacente nel pian x-y. Un insieme di masse posizionato nel piano X-Y, rappresentato da punti individuati dalle loro

Dettagli

bensì una tendenza a ruotare quando vengono applicate in punti diversi di un corpo

bensì una tendenza a ruotare quando vengono applicate in punti diversi di un corpo Momento di una forza Nella figura 1 è illustrato come forze uguali e contrarie possono non produrre equilibrio, bensì una tendenza a ruotare quando vengono applicate in punti diversi di un corpo esteso.

Dettagli

2. Leggi finanziarie di capitalizzazione

2. Leggi finanziarie di capitalizzazione 2. Leggi finanziarie di capitalizzazione Si chiama legge finanziaria di capitalizzazione una funzione atta a definire il montante M(t accumulato al tempo generico t da un capitale C: M(t = F(C, t C t M

Dettagli

Seminario didattico Ingegneria Elettronica. Lezione 5: Dinamica del punto materiale Energia

Seminario didattico Ingegneria Elettronica. Lezione 5: Dinamica del punto materiale Energia Seminario didattico Ingegneria Elettronica Lezione 5: Dinamica del punto materiale Energia 1 Esercizio n 1 Un blocco di massa m = 2 kg e dimensioni trascurabili, cade da un altezza h = 0.4 m rispetto all

Dettagli

LA LEGGE DI GRAVITAZIONE UNIVERSALE

LA LEGGE DI GRAVITAZIONE UNIVERSALE GRAVIMETRIA LA LEGGE DI GRAVITAZIONE UNIVERSALE r La legge di gravitazione universale, formulata da Isaac Newton nel 1666 e pubblicata nel 1684, afferma che l'attrazione gravitazionale tra due corpi è

Dettagli

Seconda Legge DINAMICA: F = ma

Seconda Legge DINAMICA: F = ma Seconda Legge DINAMICA: F = ma (Le grandezze vettoriali sono indicate in grassetto e anche in arancione) Fisica con Elementi di Matematica 1 Unità di misura: Massa m si misura in kg, Accelerazione a si

Dettagli

Teoria in sintesi 10. Attività di sportello 1, 24 - Attività di sportello 2, 24 - Verifica conclusiva, 25. Teoria in sintesi 26

Teoria in sintesi 10. Attività di sportello 1, 24 - Attività di sportello 2, 24 - Verifica conclusiva, 25. Teoria in sintesi 26 Indice L attività di recupero 6 Funzioni Teoria in sintesi 0 Obiettivo Ricerca del dominio e del codominio di funzioni note Obiettivo Ricerca del dominio di funzioni algebriche; scrittura del dominio Obiettivo

Dettagli

Matematica 1 - Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica

Matematica 1 - Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica Matematica 1 - Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica Esercitazione su massimi e minimi vincolati 9 dicembre 005 Esercizio 1. Considerare l insieme C = {(x,y) R : (x + y ) = x } e dire se è una curva

Dettagli

LA FORZA. Il movimento: dal come al perché

LA FORZA. Il movimento: dal come al perché LA FORZA Concetto di forza Principi della Dinamica: 1) Principio d inerzia 2) F=ma 3) Principio di azione e reazione Forza gravitazionale e forza peso Accelerazione di gravità Massa, peso, densità pag.1

Dettagli

Università degli studi di Salerno corso di studi in Ingegneria Informatica TUTORATO DI FISICA. Lezione 5 - Meccanica del punto materiale

Università degli studi di Salerno corso di studi in Ingegneria Informatica TUTORATO DI FISICA. Lezione 5 - Meccanica del punto materiale Università degli studi di Salerno corso di studi in Ingegneria Informatica TUTORATO DI FISICA Esercizio 1 Lezione 5 - Meccanica del punto materiale Un volano è costituito da un cilindro rigido omogeneo,

Dettagli

Forze Conservative. Il lavoro eseguito da una forza conservativa lungo un qualunque percorso chiuso e nullo.

Forze Conservative. Il lavoro eseguito da una forza conservativa lungo un qualunque percorso chiuso e nullo. Lavoro ed energia 1. Forze conservative 2. Energia potenziale 3. Conservazione dell energia meccanica 4. Conservazione dell energia nel moto del pendolo 5. Esempio: energia potenziale gravitazionale 6.

Dettagli

EQUAZIONI DIFFERENZIALI. 1. Trovare tutte le soluzioni delle equazioni differenziali: (a) x = x 2 log t (d) x = e t x log x (e) y = y2 5y+6

EQUAZIONI DIFFERENZIALI. 1. Trovare tutte le soluzioni delle equazioni differenziali: (a) x = x 2 log t (d) x = e t x log x (e) y = y2 5y+6 EQUAZIONI DIFFERENZIALI.. Trovare tutte le soluzioni delle equazioni differenziali: (a) x = x log t (d) x = e t x log x (e) y = y 5y+6 (f) y = ty +t t +y (g) y = y (h) xy = y (i) y y y = 0 (j) x = x (k)

Dettagli

Misure di base su una carta. Calcoli di distanze

Misure di base su una carta. Calcoli di distanze Misure di base su una carta Calcoli di distanze Per calcolare la distanza tra due punti su una carta disegnata si opera nel modo seguente: 1. Occorre identificare la scala della carta o ricorrendo alle

Dettagli

LA CORRENTE ELETTRICA Prof. Erasmo Modica erasmo@galois.it

LA CORRENTE ELETTRICA Prof. Erasmo Modica erasmo@galois.it LA CORRENTE ELETTRICA Prof. Erasmo Modica erasmo@galois.it L INTENSITÀ DELLA CORRENTE ELETTRICA Consideriamo una lampadina inserita in un circuito elettrico costituito da fili metallici ed un interruttore.

Dettagli

F S V F? Soluzione. Durante la spinta, F S =ma (I legge di Newton) con m=40 Kg.

F S V F? Soluzione. Durante la spinta, F S =ma (I legge di Newton) con m=40 Kg. Spingete per 4 secondi una slitta dove si trova seduta la vostra sorellina. Il peso di slitta+sorella è di 40 kg. La spinta che applicate F S è in modulo pari a 60 Newton. La slitta inizialmente è ferma,

Dettagli

~ Copyright Ripetizionando - All rights reserved ~ http://ripetizionando.wordpress.com STUDIO DI FUNZIONE

~ Copyright Ripetizionando - All rights reserved ~ http://ripetizionando.wordpress.com STUDIO DI FUNZIONE STUDIO DI FUNZIONE Passaggi fondamentali Per effettuare uno studio di funzione completo, che non lascia quindi margine a una quasi sicuramente errata inventiva, sono necessari i seguenti 7 passaggi: 1.

Dettagli

1. calcolare l accelerazione del sistema e stabilire se la ruota sale o scende [6 punti];

1. calcolare l accelerazione del sistema e stabilire se la ruota sale o scende [6 punti]; 1 Esercizio Una ruota di raggio R = 15 cm e di massa M = 8 Kg può rotolare senza strisciare lungo un piano inclinato di un angolo θ 2 = 30 0, ed è collegato tramite un filo inestensibile ad un blocco di

Dettagli

Anche nel caso che ci si muova e si regga una valigia il lavoro compiuto è nullo: la forza è verticale e lo spostamento orizzontale quindi F s =0 J.

Anche nel caso che ci si muova e si regga una valigia il lavoro compiuto è nullo: la forza è verticale e lo spostamento orizzontale quindi F s =0 J. Lavoro Un concetto molto importante è quello di lavoro (di una forza) La definizione di tale quantità scalare è L= F dl (unità di misura joule J) Il concetto di lavoro richiede che ci sia uno spostamento,

Dettagli

2 R = mgr + 1 2 mv2 0 = E f

2 R = mgr + 1 2 mv2 0 = E f Esercizio 1 Un corpo puntiforme di massa m scivola lungo la pista liscia di raggio R partendo da fermo da un altezza h rispetto al fondo della pista come rappresentato in figura. Calcolare: a) Il valore

Dettagli

F 2 F 1. r R F A. fig.1. fig.2

F 2 F 1. r R F A. fig.1. fig.2 N.1 Un cilindro di raggio R = 10 cm e massa M = 5 kg è posto su un piano orizzontale scabro (fig.1). In corrispondenza del centro del cilindro è scavata una sottilissima fenditura in modo tale da ridurre

Dettagli

Matematica generale CTF

Matematica generale CTF Successioni numeriche 19 agosto 2015 Definizione di successione Monotonìa e limitatezza Forme indeterminate Successioni infinitesime Comportamento asintotico Criterio del rapporto per le successioni Definizione

Dettagli

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI TERAMO

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI TERAMO UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI TERAMO CORSO DI LAUREA IN ECONOMIA BANCARIA FINANZIARIA ED ASSICURATIVA (Classe 7) Corso di Matematica per l Economia (Prof. F. Eugeni) TEST DI INGRESSO Teramo, ottobre 00 SEZIONE

Dettagli

Proposta di soluzione della prova di matematica Liceo scientifico di Ordinamento - 2014

Proposta di soluzione della prova di matematica Liceo scientifico di Ordinamento - 2014 Proposta di soluzione della prova di matematica Liceo scientifico di Ordinamento - 14 Problema 1 Punto a) Osserviamo che g (x) = f(x) e pertanto g () = f() = in quanto Γ è tangente all asse delle ascisse,

Dettagli

FUNZIONI ELEMENTARI - ESERCIZI SVOLTI

FUNZIONI ELEMENTARI - ESERCIZI SVOLTI FUNZIONI ELEMENTARI - ESERCIZI SVOLTI 1) Determinare il dominio delle seguenti funzioni di variabile reale: (a) f(x) = x 4 (c) f(x) = 4 x x + (b) f(x) = log( x + x) (d) f(x) = 1 4 x 5 x + 6 ) Data la funzione

Dettagli

Oscillazioni: il pendolo semplice

Oscillazioni: il pendolo semplice Oscillazioni: il pendolo semplice Consideriamo il pendolo semplice qui a fianco. La cordicella alla quale è appeso il corpo (puntiforme) di massa m si suppone inestensibile e di massa trascurabile. Per

Dettagli

DINAMICA DEL PUNTO MATERIALE E CONCETTO DI FORZA. Dinamica: studio delle forze che causano il moto dei corpi

DINAMICA DEL PUNTO MATERIALE E CONCETTO DI FORZA. Dinamica: studio delle forze che causano il moto dei corpi DINAMICA DEL PUNTO MATERIALE E CONCETTO DI FORZA Dinamica: studio delle forze che causano il moto dei corpi 1 Forza Si definisce forza una qualunque causa esterna che produce una variazione dello stato

Dettagli

L EQUILIBRIO UNIVERSALE dalla meccanica celeste alla fisica nucleare

L EQUILIBRIO UNIVERSALE dalla meccanica celeste alla fisica nucleare L EQUILIBRIO UNIVERSALE dalla meccanica celeste alla fisica nucleare Cap.4 giroscopio, magnetismo e forza di Lorentz teoria del giroscopio Abbiamo finora preso in considerazione le condizionidi equilibrio

Dettagli

Definisci il Campo di Esistenza ( Dominio) di una funzione reale di variabile reale e, quindi, determinalo per la funzione:

Definisci il Campo di Esistenza ( Dominio) di una funzione reale di variabile reale e, quindi, determinalo per la funzione: Verso l'esame di Stato Definisci il Campo di Esistenza ( Dominio) di una funzione reale di variabile reale e, quindi, determinalo per la funzione: y ln 5 6 7 8 9 0 Rappresenta il campo di esistenza determinato

Dettagli

Prova scritta di Fisica Generale I Corso di studio in Astronomia 22 giugno 2012

Prova scritta di Fisica Generale I Corso di studio in Astronomia 22 giugno 2012 Prova scritta di Fisica Generale I Corso di studio in Astronomia 22 giugno 2012 Problema 1 Due carrelli A e B, di massa m A = 104 kg e m B = 128 kg, collegati da una molla di costante elastica k = 3100

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2004

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2004 ESAME DI STAT DI LICE SCIENTIFIC CRS SPERIMENTALE P.N.I. 004 Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 0 quesiti in cui si articola il questionario. PRBLEMA Sia la curva d equazione: ke ove k e

Dettagli

Problemi di dinamica del punto materiale (moto oscillatorio) A Sistemi di riferimento inerziali

Problemi di dinamica del punto materiale (moto oscillatorio) A Sistemi di riferimento inerziali Problemi di dinamica del punto materiale (moto oscillatorio) A Sistemi di riferimento inerziali Problema n. 1: Un corpo puntiforme di massa m = 2.5 kg pende verticalmente dal soffitto di una stanza essendo

Dettagli

Università Cattolica del Sacro Cuore ESPERERIENZA N 2 CABIBBO ANDREA SABATINI RICCARDO

Università Cattolica del Sacro Cuore ESPERERIENZA N 2 CABIBBO ANDREA SABATINI RICCARDO Università Cattolica del Sacro Cuore ESPERERIENZA N 2 CABIBBO ANDREA SABATINI RICCARDO ABSTRACT L esperienza si presenta divisa in tre parti: - Nella prima parte abbiamo verificato la validità della legge

Dettagli

1. Distribuzioni campionarie

1. Distribuzioni campionarie Università degli Studi di Basilicata Facoltà di Economia Corso di Laurea in Economia Aziendale - a.a. 2012/2013 lezioni di statistica del 3 e 6 giugno 2013 - di Massimo Cristallo - 1. Distribuzioni campionarie

Dettagli

Capitolo 13: L offerta dell impresa e il surplus del produttore

Capitolo 13: L offerta dell impresa e il surplus del produttore Capitolo 13: L offerta dell impresa e il surplus del produttore 13.1: Introduzione L analisi dei due capitoli precedenti ha fornito tutti i concetti necessari per affrontare l argomento di questo capitolo:

Dettagli

Moto circolare uniforme

Moto circolare uniforme Moto circolare uniforme 01 - Moto circolare uniforme. Il moto di un corpo che avviene su una traiettoria circolare (una circonferenza) con velocità (in modulo, intensità) costante si dice moto circolare

Dettagli

CORPO GIREVOLE ATTORNO AD UN ASSE E MOMENTI. TORNA ALL'INDICE

CORPO GIREVOLE ATTORNO AD UN ASSE E MOMENTI. TORNA ALL'INDICE CORPO GIREVOLE ATTORNO AD UN ASSE E MOMENTI. TORNA ALL'INDICE Consideriamo adesso un corpo esteso, formato da più punti, e che abbia un asse fisso, attorno a cui il corpo può ruotare. In questo caso l

Dettagli

PROBLEMI TRADIZIONALI SIMULAZIONE DELLA PROVA DI MATEMATICA

PROBLEMI TRADIZIONALI SIMULAZIONE DELLA PROVA DI MATEMATICA Simulazione 01/15 ANNO SCOLASTICO 01/15 PROBLEMI TRADIZIONALI SIMULAZIONE DELLA PROVA DI MATEMATICA DELL ESAME DI STATO PER IL LICEO SCIENTIFICO Il candidato risolva uno dei due problemi Problema 1 Nella

Dettagli

La distribuzione Normale. La distribuzione Normale

La distribuzione Normale. La distribuzione Normale La Distribuzione Normale o Gaussiana è la distribuzione più importante ed utilizzata in tutta la statistica La curva delle frequenze della distribuzione Normale ha una forma caratteristica, simile ad una

Dettagli

Verifica sperimentale del principio di conservazione dell'energia meccanica totale

Verifica sperimentale del principio di conservazione dell'energia meccanica totale Scopo: Verifica sperimentale del principio di conservazione dell'energia meccanica totale Materiale: treppiede con morsa asta millimetrata treppiede senza morsa con due masse da 5 kg pallina carta carbone

Dettagli

a t Esercizio (tratto dal problema 5.10 del Mazzoldi)

a t Esercizio (tratto dal problema 5.10 del Mazzoldi) 1 Esercizio (tratto dal problema 5.10 del Mazzoldi) Una guida semicircolare liscia verticale di raggio = 40 cm è vincolata ad una piattaforma orizzontale che si muove con accelerazione costante a t = 2

Dettagli

Vademecum studio funzione

Vademecum studio funzione Vademecum studio funzione Campo di Esistenza di una funzione o dominio: Studiare una funzione significa determinare gli elementi caratteristici che ci permettono di disegnarne il grafico, a partire dalla

Dettagli

LA TRASMISSIONE DELLE INFORMAZIONI QUARTA PARTE 1

LA TRASMISSIONE DELLE INFORMAZIONI QUARTA PARTE 1 LA TRASMISSIONE DELLE INFORMAZIONI QUARTA PARTE 1 I CODICI 1 IL CODICE BCD 1 Somma in BCD 2 Sottrazione BCD 5 IL CODICE ECCESSO 3 20 La trasmissione delle informazioni Quarta Parte I codici Il codice BCD

Dettagli

FASCI DI RETTE. scrivere la retta in forma esplicita: 2y = 3x + 4 y = 3 2 x 2. scrivere l equazione del fascio di rette:

FASCI DI RETTE. scrivere la retta in forma esplicita: 2y = 3x + 4 y = 3 2 x 2. scrivere l equazione del fascio di rette: FASCI DI RETTE DEFINIZIONE: Si chiama fascio di rette parallele o fascio improprio [erroneamente data la somiglianza effettiva con un fascio!] un insieme di rette che hanno tutte lo stesso coefficiente

Dettagli

Consideriamo due polinomi

Consideriamo due polinomi Capitolo 3 Il luogo delle radici Consideriamo due polinomi N(z) = (z z 1 )(z z 2 )... (z z m ) D(z) = (z p 1 )(z p 2 )... (z p n ) della variabile complessa z con m < n. Nelle problematiche connesse al

Dettagli

L analisi dei dati. Capitolo 4. 4.1 Il foglio elettronico

L analisi dei dati. Capitolo 4. 4.1 Il foglio elettronico Capitolo 4 4.1 Il foglio elettronico Le più importanti operazioni richieste dall analisi matematica dei dati sperimentali possono essere agevolmente portate a termine da un comune foglio elettronico. Prenderemo

Dettagli

Matematica e Statistica

Matematica e Statistica Matematica e Statistica Prova d esame (0/07/03) Università di Verona - Laurea in Biotecnologie - A.A. 0/3 Matematica e Statistica Prova di MATEMATICA (0/07/03) Università di Verona - Laurea in Biotecnologie

Dettagli

Esempi di funzione. Scheda Tre

Esempi di funzione. Scheda Tre Scheda Tre Funzioni Consideriamo una legge f che associa ad un elemento di un insieme X al più un elemento di un insieme Y; diciamo che f è una funzione, X è l insieme di partenza e X l insieme di arrivo.

Dettagli

Proprietà elastiche dei corpi

Proprietà elastiche dei corpi Proprietà elastiche dei corpi I corpi solidi di norma hanno una forma ed un volume non facilmente modificabili, da qui deriva la nozioni di corpo rigido come corpo ideale non deformabile. In realtà tutti

Dettagli

Dimensionamento delle strutture

Dimensionamento delle strutture Dimensionamento delle strutture Prof. Fabio Fossati Department of Mechanics Politecnico di Milano Lo stato di tensione o di sforzo Allo scopo di caratterizzare in maniera puntuale la distribuzione delle

Dettagli

Per studio di funzione intendiamo un insieme di procedure che hanno lo scopo di analizzare le proprietà di una funzione f ( x) R R

Per studio di funzione intendiamo un insieme di procedure che hanno lo scopo di analizzare le proprietà di una funzione f ( x) R R Studio di funzione Per studio di funzione intendiamo un insieme di procedure che hanno lo scopo di analizzare le proprietà di una funzione f ( x) R R : allo scopo di determinarne le caratteristiche principali.

Dettagli

Capitolo 2. Operazione di limite

Capitolo 2. Operazione di limite Capitolo 2 Operazione di ite In questo capitolo vogliamo occuparci dell operazione di ite, strumento indispensabile per scoprire molte proprietà delle funzioni. D ora in avanti riguarderemo i domini A

Dettagli

CONI, CILINDRI, SUPERFICI DI ROTAZIONE

CONI, CILINDRI, SUPERFICI DI ROTAZIONE CONI, CILINDRI, SUPERFICI DI ROTAZIONE. Esercizi x + z = Esercizio. Data la curva x, calcolare l equazione del cilindro avente γ y = 0 come direttrice e con generatrici parallele al vettore v = (, 0, ).

Dettagli

RAPPRESENTAZIONE GRAFICA E ANALISI DEI DATI SPERIMENTALI CON EXCEL

RAPPRESENTAZIONE GRAFICA E ANALISI DEI DATI SPERIMENTALI CON EXCEL RAPPRESENTAZIONE GRAFICA E ANALISI DEI DATI SPERIMENTALI CON EXCEL 1 RAPPRESENTAZIONE GRAFICA Per l analisi dati con Excel si fa riferimento alla versione 2007 di Office, le versioni successive non differiscono

Dettagli

Interesse, sconto, ratei e risconti

Interesse, sconto, ratei e risconti TXT HTM PDF pdf P1 P2 P3 P4 293 Interesse, sconto, ratei e risconti Capitolo 129 129.1 Interesse semplice....................................................... 293 129.1.1 Esercizio per il calcolo dell

Dettagli

Corrispondenze e funzioni

Corrispondenze e funzioni Corrispondenze e funzioni L attività fondamentale della mente umana consiste nello stabilire corrispondenze e relazioni tra oggetti; è anche per questo motivo che il concetto di corrispondenza è uno dei

Dettagli

Analisi Matematica 2 per Matematica Esempi di compiti, primo semestre 2011/2012

Analisi Matematica 2 per Matematica Esempi di compiti, primo semestre 2011/2012 Analisi Matematica 2 per Matematica Esempi di compiti, primo semestre 211/212 Ricordare: una funzione lipschitziana tra spazi metrici manda insiemi limitati in insiemi limitati; se il dominio di una funzione

Dettagli

19 Il campo elettrico - 3. Le linee del campo elettrico

19 Il campo elettrico - 3. Le linee del campo elettrico Moto di una carica in un campo elettrico uniforme Il moto di una particella carica in un campo elettrico è in generale molto complesso; il problema risulta più semplice se il campo elettrico è uniforme,

Dettagli

Politecnico di Milano. Facoltà di Ingegneria Industriale. Corso di Analisi e Geometria 2. Sezione D-G. (Docente: Federico Lastaria).

Politecnico di Milano. Facoltà di Ingegneria Industriale. Corso di Analisi e Geometria 2. Sezione D-G. (Docente: Federico Lastaria). Politecnico di Milano. Facoltà di Ingegneria Industriale. Corso di Analisi e Geometria 2. Sezione D-G. (Docente: Federico Lastaria). Aprile 20 Indice Serie numeriche. Serie convergenti, divergenti, indeterminate.....................

Dettagli

CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi risolti

CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi risolti CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi risolti. Determinare kπ/ [cos] al variare di k in Z. Ove tale ite non esista, discutere l esistenza dei iti laterali. Identificare i punti di discontinuità della funzione

Dettagli

Esercitazione di Laboratorio - Leve di 1-2 - 3 genere TITOLO ESERCITAZIONE: VERIFICA DELLE LEGGI DELLE LEVE

Esercitazione di Laboratorio - Leve di 1-2 - 3 genere TITOLO ESERCITAZIONE: VERIFICA DELLE LEGGI DELLE LEVE TITOLO ESERCITAZIONE: VERIFICA DELLE LEGGI DELLE LEVE PREREQUISITI RICHIESTI PER LO SVOLGIMENTO DELL ATTIVITÀ DI LABORATORIO L alunno deve conoscere la definizione di forza, la definizione di momento.

Dettagli

Complementi di Analisi per Informatica *** Capitolo 2. Numeri Complessi. e Circuiti Elettrici. a Corrente Alternata. Sergio Benenti 7 settembre 2013

Complementi di Analisi per Informatica *** Capitolo 2. Numeri Complessi. e Circuiti Elettrici. a Corrente Alternata. Sergio Benenti 7 settembre 2013 Complementi di Analisi per nformatica *** Capitolo 2 Numeri Complessi e Circuiti Elettrici a Corrente Alternata Sergio Benenti 7 settembre 2013? ndice 2 Circuiti elettrici a corrente alternata 1 21 Circuito

Dettagli

LA CORRENTE ELETTRICA

LA CORRENTE ELETTRICA L CORRENTE ELETTRIC H P h Prima che si raggiunga l equilibrio c è un intervallo di tempo dove il livello del fluido non è uguale. Il verso del movimento del fluido va dal vaso a livello maggiore () verso

Dettagli

CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi proposti. 1. Determinare lim M(sinx) (M(t) denota la mantissa di t)

CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi proposti. 1. Determinare lim M(sinx) (M(t) denota la mantissa di t) CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi proposti 1. Determinare lim M(sin) (M(t) denota la mantissa di t) kπ/ al variare di k in Z. Ove tale limite non esista, discutere l esistenza dei limiti laterali. Identificare

Dettagli

FISICA. Le forze. Le forze. il testo: 2011/2012 La Semplificazione dei Testi Scolastici per gli Alunni Stranieri IPSIA A.

FISICA. Le forze. Le forze. il testo: 2011/2012 La Semplificazione dei Testi Scolastici per gli Alunni Stranieri IPSIA A. 01 In questa lezione parliamo delle forze. Parliamo di forza quando: spostiamo una cosa; solleviamo un oggetto; fermiamo una palla mentre giochiamo a calcio; stringiamo una molla. Quando usiamo (applichiamo)

Dettagli

LE SUCCESSIONI 1. COS E UNA SUCCESSIONE

LE SUCCESSIONI 1. COS E UNA SUCCESSIONE LE SUCCESSIONI 1. COS E UNA SUCCESSIONE La sequenza costituisce un esempio di SUCCESSIONE. Ecco un altro esempio di successione: Una successione è dunque una sequenza infinita di numeri reali (ma potrebbe

Dettagli

Come visto precedentemente l equazione integro differenziale rappresentativa dell equilibrio elettrico di un circuito RLC è la seguente: 1 = (1)

Come visto precedentemente l equazione integro differenziale rappresentativa dell equilibrio elettrico di un circuito RLC è la seguente: 1 = (1) Transitori Analisi nel dominio del tempo Ricordiamo che si definisce transitorio il periodo di tempo che intercorre nel passaggio, di un sistema, da uno stato energetico ad un altro, non è comunque sempre

Dettagli

Lezione 10: Il problema del consumatore: Preferenze e scelta ottimale

Lezione 10: Il problema del consumatore: Preferenze e scelta ottimale Corso di Scienza Economica (Economia Politica) prof. G. Di Bartolomeo Lezione 10: Il problema del consumatore: Preferenze e scelta ottimale Facoltà di Scienze della Comunicazione Università di Teramo Scelta

Dettagli

B. Vogliamo determinare l equazione della retta

B. Vogliamo determinare l equazione della retta Risoluzione quesiti ordinamento Quesito N.1 Indicata con α la misura dell angolo CAB, si ha che: 1 Area ( ABC ) = AC AB sinα = 3 sinα π 3 sinα = 3 sinα = 1 α = Il triangolo è quindi retto in A. La misura

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2004

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2004 ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 004 Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario. PROBLEMA 1 Sia f la funzione definita da: f

Dettagli

Siamo così arrivati all aritmetica modulare, ma anche a individuare alcuni aspetti di come funziona l aritmetica del calcolatore come vedremo.

Siamo così arrivati all aritmetica modulare, ma anche a individuare alcuni aspetti di come funziona l aritmetica del calcolatore come vedremo. DALLE PESATE ALL ARITMETICA FINITA IN BASE 2 Si è trovato, partendo da un problema concreto, che con la base 2, utilizzando alcune potenze della base, operando con solo addizioni, posso ottenere tutti

Dettagli

Transitori del primo ordine

Transitori del primo ordine Università di Ferrara Corso di Elettrotecnica Transitori del primo ordine Si consideri il circuito in figura, composto da un generatore ideale di tensione, una resistenza ed una capacità. I tre bipoli

Dettagli

Cosa determina il moto? Aristotele pensava che occorresse uno sforzo per mantenere un corpo in movimento. Galileo non era d'accordo.

Cosa determina il moto? Aristotele pensava che occorresse uno sforzo per mantenere un corpo in movimento. Galileo non era d'accordo. Introduzione Cosa determina il moto? Aristotele pensava che occorresse uno sforzo per mantenere un corpo in movimento. Galileo non era d'accordo. riassunto Cosa determina il moto? Forza - Spinta di un

Dettagli

Grandezze scalari e vettoriali

Grandezze scalari e vettoriali Grandezze scalari e vettoriali Esempio vettore spostamento: Esistono due tipi di grandezze fisiche. a) Grandezze scalari specificate da un valore numerico (positivo negativo o nullo) e (nel caso di grandezze

Dettagli

SPC e distribuzione normale con Access

SPC e distribuzione normale con Access SPC e distribuzione normale con Access In questo articolo esamineremo una applicazione Access per il calcolo e la rappresentazione grafica della distribuzione normale, collegata con tabelle di Clienti,

Dettagli

La pista del mio studio Riflettiamo sulla pista. Guida per l insegnante

La pista del mio studio Riflettiamo sulla pista. Guida per l insegnante Riflettiamo sulla pista Guida per l insegnante Obiettivi educativi generali Compito di specificazione - possiede capacità progettuale - è in grado di organizzare il proprio tempo e di costruire piani per

Dettagli