Costruzioni in Zona Sismica
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- Gloria Rosa
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1 Costruzioni in Zona Sismica Lezione 9 Sistemi a più gradi di libertà Oscillazioni libere non smorzate
2 Oscillazioni libere non smorzate Espansione modale degli spostamenti Ogni insieme di N vettori indipendenti può essere utilizzato come una base per rappresentare qualunque vettore di ordine N Segue dunque che I modi naturali di vibrazione possono essere utilizzati come una base per descrivere i vettori spostamento: dove q r sono scalari detti coordinate modali.
3 Oscillazioni libere non smorzate Espansione modale degli spostamenti Per un determinato vettore u è possibile determinare q r : E considerando l ortogonalità dei modi, tutti I termini della sommatoria svaniscono tranne I termini per i quali r=n: scalari
4 Oscillazioni libere non smorzate Espansione modale degli spostamenti Giocano un ruolo importante sia nelle oscillazioni libere sia nelle oscillazioni forzate
5 Oscillazioni libere non smorzate Espansione modale degli spostamenti esempio Espansione modale del vettore u=<1 1 > T
6 Oscillazioni libere non smorzate Espansione modale degli spostamenti EXAMPLE Determine the modal expansion of the displacement vector u=<11> T
7 Oscillazioni libere in assenza di smorzamento
8 Oscillazioni libere non smorzate u(t) Sovrapponendo la risposta di ogni singolo modo
9 Oscillazioni libere non smorzate sono 2N costanti di integrazione che possono essere determinate sulla base delle condizioni iniziali. Considerando anche la velocità:
10 Oscillazioni libere non smorzate E ponendo t=0: Ognuno di questi due set di equazioni rappresenta N equazioni algebriche nelle incognite An e Bn.
11 Oscillazioni libere non smorzate Considerando che: Possiamo scrivere: dove:
12 Oscillazioni libere non smorzate Poichè queste equazioni sono equivalenti, segue:
13 Oscillazioni libere non smorzate conseguentemente: O in forma compatta: dove: È la variazione nel tempo delle coordinate modali, analogo al caso del sistema a un grado di libertà
14 Oscillazioni libere assenza di smorzamento esempi Con riferimento al telaio shear-type riportato in figura, si determinino: - Le pulsazioni naturali - I modi di vibrazione normalizzati rispetto la matrice delle masse - La risposta della struttura soggetta a vibrazioni libere con spostamenti iniziali sia diversi dai modi e sia uguali ai modi di vibrazione
15 Svolgimento utilizzando Matlab %modi di vibrazione e oscillazioni libere - telaio shear type a due piani clear all clc %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % DATI % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% k=1; m=1; % matrice delle rigidezze K=[3*k -k; -k k] %matrice delle masse M=[2*m 0; 0 m] K = M =
16 Svolgimento utilizzando Matlab %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % PULSAZIONI E MODI NATURALI DI VIBRAZIONE %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %risoluzione problema agli autovalori [Fi_p, OM_q_p]=eig(inv(M)*K) % %riordino autovalori-autovettori [OM_q_p,index]=sort(diag(OM_q_p)) OM_q=diag(OM_q_p) %AUTOVALORI ORDINATI for ii=1:2 Fi(:,ii)=Fi_p(:,index(ii)); end Fi OM=sqrt(OM_q) Fi_p = OM_q_p =
17 Svolgimento utilizzando Matlab %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % PULSAZIONI E MODI NATURALI DI VIBRAZIONE %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %risoluzione problema agli autovalori [Fi_p, OM_q_p]=eig(inv(M)*K) % %riordino autovalori-autovettori [OM_q_p,index]=sort(diag(OM_q_p)) OM_q=diag(OM_q_p) %AUTOVALORI ORDINATI for ii=1:size(om_q,1) Fi(:,ii)=Fi_p(:,index(ii)); end Fi OM=sqrt(OM_q) OM_q_p = index = 2 1
18 Svolgimento utilizzando Matlab %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % PULSAZIONI E MODI NATURALI DI VIBRAZIONE %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %risoluzione problema agli autovalori [Fi_p, OM_q_p]=eig(inv(M)*K) % %riordino autovalori-autovettori [OM_q_p,index]=sort(diag(OM_q_p)) OM_q=diag(OM_q_p) %AUTOVALORI ORDINATI for ii=1:size(om_q,1) Fi(:,ii)=Fi_p(:,index(ii)); end Fi OM=sqrt(OM_q) OM_q =
19 Svolgimento utilizzando Matlab %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % PULSAZIONI E MODI NATURALI DI VIBRAZIONE %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %risoluzione problema agli autovalori [Fi_p, OM_q_p]=eig(inv(M)*K) % %riordino autovalori-autovettori [OM_q_p,index]=sort(diag(OM_q_p)) OM_q=diag(OM_q_p) %AUTOVALORI ORDINATI for ii=1:size(om_q,1) Fi(:,ii)=Fi_p(:,index(ii)); end Fi OM=sqrt(OM_q) Fi = OM =
20 Svolgimento utilizzando Matlab %matrice modale delle masse Mf=Fi'*M*Fi %matrice modale delle rigidezze Kf=Fi'*K*Fi %normalizzazione modi for ii=1:size(k,2) Fim(:,ii)=Fi(:,ii)*1/sqrt(Mf(ii,ii)); end Fim Fim'*M*Fim Fim'*K*Fim Mf = Kf =
21 Svolgimento utilizzando Matlab %matrice modale delle masse Mf=Fi'*M*Fi %matrice modale delle rigidezze Kf=Fi'*K*Fi %normalizzazione modi for ii=1:size(k,2) Fim(:,ii)=Fi(:,ii)*1/sqrt(Mf(ii,ii)); end Fim Fim'*M*Fim Fim'*K*Fim Fim = ans = ans =
22 Svolgimento utilizzando Matlab %figure figure(1) axis([ ]); X1=[0 0 0]'; Y1=[0 2 4]'; X1m=[0 Fi(1,1) Fi(2,1)]'; X2m=[0 Fi(1,2) Fi(2,2)]'; hold on plot(x1, Y1,'-*') plot(x1m, Y1,'r-*') plot(x2m, Y1,'g-*')
23 Svolgimento utilizzando Matlab %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % oscillazioni libere % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % %condizioni iniziali u_0=[fi(1,1) Fi(2,1)]'; q1_0 = up_0=[ ]'; % 1 %coordinate modali all'istante iniziale q1_0=(fi(:,1)'*m*u_0)/(fi(:,1)'*m*fi(:,1)) q2_0=(fi(:,2)'*m*u_0)/(fi(:,2)'*m*fi(:,2)) q1p_0=(fi(:,1)'*m*up_0)/(fi(:,1)'*m*fi(:,1)) q2_0 = q2p_0=(fi(:,2)'*m*up_0)/(fi(:,2)'*m*fi(:,2)) OM_1=OM(1,1); 0 OM_2=OM(2,2); q1p_0 = 0 q2p_0 = 0
24 Svolgimento utilizzando Matlab index=1; for t=0:0.2:25 u(1:2,index)=(fi(:,1)*q1_0*cos(om_1*t)+om_1^- 1*Fi(:,1)*q1p_0*sin(OM_1*t))+(Fi(:,2)*q2_0*cos(OM_2*t)+OM_2^-1*Fi(:,2)*q2p_0*sin(OM_2*t)); T(1,index)=t; figure (2) grid on hold on plot(t(1,:),u(1,:)','b-*') 1 plot(t(1,:),u(2,:)','r-+') piano legend('piano 1', 'piano 2') piano 2 index=index+1; 0.6 end
25 Vibrazioni libere in presenza di smorzamento
26 Equazioni del moto: E condizioni iniziali: Considerando i modi di vibrazione in assenza di smorzamento: E pre-moltiplicando per T si ottiene:
27 (*) La matrice quadrata C può essere o non essere diagonale, a seconda della distribuzione dello smorzamento nel sistema. se C è diagonale, la (*) rappresenta N equazioni differenziali disaccoppiate nelle N coordinate modali q n,eil sistema viene detto classicamente smorzato.
28 (*) Questi sistemi posseggono gli stessi modi di vibrazione del caso di assenza di smorzamento Sistemi con smorzamento tale che C non risulta diagonale vengono detti non classicamente smorzati: hanno modi di vibrazione diversi dal caso non smorzato.
29 esempio 1: sistema non classicamente smorzato
30 Esempio 1: sistema non classicamente smorzato Modi naturali
31 Esempio 1: sistema non classicamente smorzato C non è diagonali e le equazioni risultano accoppiate!
32 Esempio 1: sistema non classicamente smorzato Spostamenti iniziali proporzionali al primo modo di vibrare
33 Esempio 1: sistema non classicamente smorzato Spostamenti iniziali proporzionali al secondo modo di vibrare
34 Esempio 1: sistema non classicamente smorzato osservazioni: La deformata iniziale varia durante le oscillazioni.
35 Esempio 1: sistema non classicamente smorzato osservazioni: Il moto per ogni grado di libertà non è più un armonica semplice smorzata con un unica frequenza.
36 Esempio 2: sistema classicamente smorzato Solo una differente distribuzione di smorzamento nella struttura
37 Esempio 2: sistema classicamente smorzato Sono le stesse Èdiverso
38 Esempio 2: sistema classicamente smorzato i modi naturali sono gli stessi
39 Esempio 2: sistema classicamente smorzato C è diagonale e le due equazioni sono disaccoppiate
40 Esempio 2: sistema classicamente smorzato Ognuna delle N equazioni differenziali in coordinate modali risulta: ha la stessa forma del caso dell oscillatore semplice.
41 Esempio 2: sistema classicamente smorzato Può essere definito un rapporto di smorzamento per ogni modo di vibrazione come nell oscillatore semplice:
42 Esempio 2: sistema classicamente smorzato Spostamenti iniziali proporzionali al primo modo di vibrare
43 Esempio 2: sistema classicamente smorzato Spostamenti iniziali proporzionali al secondo modo di vibrare
44 Esempio 2: sistema classicamente smorzato osservazioni: La deformata iniziale si conserva durante le oscillazioni
45 Esempio 2: sistema classicamente smorzato osservazioni: Il moto di ogni massa è simile a quello del sistema senza smorzamento ma l ampiezza del moto decresce
46 Esempio 2: sistema classicamente smorzato osservazioni: Il moto di ogni piano è un armonica semplice smorzata con un unica frequenza come nel caso dell oscillatore semplice.
47 Soluzione equazioni del moto: sistemi classicamente smorzati
48 Dividendo per M n : è della stessa forma delle equazioni che governano l oscillatore semplice con smorzamento: where:
49 L effetto dello smorzamento sulle frequenze naturali e sui periodi è trascurabile per valori di n inferiori al 20%
50 L ampiezza dello spostamento relativo a ogni grado di libertà diminuisce ad ogni ciclo è la riduzione dipende dal rapporto di smorzamento legato ad ogni modo.
51 Metodi di risoluzione per il problema agli autovalori
52 Equazione caratteristica La valutazione degli N coefficienti può richiedere un elevato onere computazionale con radici numericamente molto sensibili Sono stati sviluppati molti metodi basati su tecniche iterative
53 Quoziente di Rayleigh (è diverso da zero poichè m è definita positiva)
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