McGraw-Hill MECCANICA DEI FLUIDI. Mc Graw Hill. Education SOLUZIONI DEGLI ESERCIZI CAPITOLO

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1 g l i e s e r c i z i a r i d i McGraw-Hill Yunus A. Çengel John M. Cimbala per l'edizione italiana Giuseppe Cozzo Cinzia Santoro MECCANICA DEI FLUIDI III EDIZIONE SOLUZIONI DEGLI ESERCIZI CAPITOLO 10 Mc Graw Hill Education

2 SOLUZIONI APPROSSIMATE DELL EQUAZIONE DI NAVIER-STOKES CAPITOLO 10 SOMMARIO Nella pratica, la risoluzione del campo di moto di un fluido con l equazione di Navier-Stokes presenta difficoltà sormontabili solo se la geometria è molto semplice o attraverso l impiego di metodi di integrazione numerica. Pertanto, spesso, è necessario introdurre delle approssimazioni, che possono essere diverse in funzione delle caratteristiche del moto nelle varie regioni del campo analizzato. Per individuare il tipo di approssimazione più appropriato in una regione, adimensionalizzando l equazione di Navier-Stokes, si perviene all espressione St v t + (v )v = = 1 Fr 2 g Eu p + 1 Re 2 v (10.6) in cui figurano i parametri adimensionali St (numero di Strouhal), Fr (numero di Froude), Eu (numero di Eulero) e Re (numero di Reynolds). In tale equazione, essendo le variabili adimensionali (indicate con l asterisco) tutte di ordine di grandezza 1, l importanza relativa di ciascun termine dipende solo dall ordine di grandezza del proprio coefficiente rispetto a quello degli altri. Il termine che contiene la gravità diventa tanto più ininfluente quanto maggiore è il numero di Froude. Con l eccezione dei moti a superficie libera, il termine della gravità può essere trascurato. L unico effetto della gravità è quello di sovrapporre una distribuzione di pressione idrostatica al campo di pressione dinamica. Eliminando il termine della gravità, l equazione di Navier-Stokes adimensionalizzata diviene St v t + (v )v = Eu p + 1 Re 2 v Le regioni di moto in cui le forze viscose risultanti sono trascurabili rispetto alle forze di pressione o alle forze di inerzia sono chiamate regioni di moto non viscoso. In tali regioni, l equazione di Navier-Stokes perde il termine della viscosità e si semplifica nell equazione di Eulero [ ] v ρ + (v )v = ρg p (10.7) t Da tale equazione può essere ricavata l equazione di Bernoulli, valida lungo ciascuna linea di flusso all interno del campo di moto. Le regioni di un campo di moto in cui le singole particelle di fluido non ruotano vengono chiamate regioni di moto irrotazionale (o a potenziale). In tali regioni, la vorticità delle particelle di fluido è trascurabile e l equazione di Navier- Stokes, essendo trascurabile il termine viscoso, si semplifica nuovamente nell equazione di Eulero. L equazione di Bernoulli diventa, di conseguenza, più restrittiva, perché la costante risulta la stessa in tutto il campo di moto e non solo lungo ciascuna linea di flusso. Nei moti irrotazionali, soluzioni di campi di moto elementari possono essere sommate per ottenere soluzioni di campi più complessi (sovrapposizione).

3 2 Capitolo 10 Y. Çengel, J. Cimbala - per l edizione italiana G. Cozzo, C. Santoro L equazione di Eulero non è in grado di soddisfare la condizione di aderenza al contorno in corrispondenza di una parete. Per stabilire un legame tra la regione di moto in cui l equazione di Eulero costituisce un approssimazione soddisfacente dell equazione di Navier-Stokes e la regione prossima alla parete in cui tale approssimazione è inaccettabile, viene usata l approssimazione di strato limite. Si suppone cioè l esistenza di un moto non viscoso o irrotazionale ovunque, tranne che in una regione sottile in prossimità delle pareti solide o all interno di scie, getti e strati di mescolamento. L approssimazione di strato limite è valida per moti ad alti numeri di Reynolds. Si riconosce, però, che, per quanto alto possa essere il numero di Reynolds, all interno dello strato limite, essendo il moto viscoso e rotazionale, i termini viscosi non sono mai trascurabili. Le equazioni dello strato limite per il moto laminare, permanente, bidimensionale di un fluido incomprimibile nel piano y, in assenza di effetti gravitazionali, sono v + v y y = 0 (10.46) e v v + v v y y = V V + ν 2 v (10.63) y 2 Le caratteristiche dello strato limite vengono individuate da diverse grandezze, quali lo spessore δ, lo spessore di spostamento δ e lo spessore di quantità di moto θ. Queste quantità possono essere calcolate esattamente per uno strato limite laminare lungo una lastra piana, in condizioni di gradiente di pressione nullo nella direzione del moto. All aumentare del numero di Reynolds lungo la lastra, il regime di moto diventa turbolento. In tal caso, il profilo di velocità è esprimibile mediante relazioni semi-empiriche (legge di potenza o legge logaritmica). L equazione integrale di von Kármán d d (V 2 θ) + V dv d δ = τ 0 ρ (10.86) valida per strati limite laminari o turbolenti, consente di calcolare caratteristiche globali quali lo spessore o il coefficiente di attrito.

4 Meccanica dei fluidi - 3 a ed. - Soluzioni degli esercizi Soluzioni appross. dell equ. di Navier-Stokes 3 SOLUZIONI Problemi di base 10.1 Spiegare la differenza tra soluzione esatta e soluzione approssimata dell equazione di Navier-Stokes. Analisi Una soluzione dell equazione di Navier-Stokes è detta esatta se essa è la soluzione dell equazione completa di tutti i suoi termini. Una soluzione è detta approssimata se essa è la soluzione di una forma semplificata dell equazione, cioè priva di uno o più termini, che possono anche essere diversi per regioni diverse del campo di moto Un ventilatore è appoggiato sul pavimento di una stanza molto grande. Individuare le regioni dello spazio in cui (a) l aria può essere considerata in quiete; (b) il moto può essere considerato irrotazionale; (c) può essere considerata valida l approssimazione di strato limite e (d) nessuna approssimazione può essere considerata valida e, quindi, è necessario risolvere l equazione di Navier-Stokes completa. Analisi (a) (b) (c) (d) A monte del ventilatore, a grande distanza da esso, l aria può essere considerata in quiete. In vicinanza del ventilatore, il moto può essere considerato irrotazionale. In prossimità del pavimento, sia a monte che a valle del ventilatore, si sviluppa uno strato limite di velocità. A valle del ventilatore, a causa della presenza di vortici turbolenti, non può essere considerata valida alcuna approssimazione e, quindi, bisogna risolvere l equazione completa.

5 4 Capitolo 10 Y. Çengel, J. Cimbala - per l edizione italiana G. Cozzo, C. Santoro 10.3 Spiegare come un appropriata adimensionalizzazione dell equazione di Navier-Stokes possa essere di aiuto per ottenere soluzioni approssimate. Analisi Se le grandezze assunte per rendere adimensionali le variabili sono scelte in maniera opportuna, tale cioè che ciascuna di esse caratterizzi effettivamente il campo di moto, l ordine di grandezza delle variabili adimensionali è 1. Ne consegue che, a parte i coefficienti, i termini dell equazione di Navier-Stokes scritta in forma adimensionale sono tutti di ordine di grandezza 1. Pertanto, l importanza relativa di ciascun termine dipende solo dall ordine di grandezza del proprio coefficiente rispetto a quello degli altri. In tal modo, è facile capire se e quale termine può essere trascurato perché molto piccolo rispetto agli altri Qual è il criterio che consente di determinare se un approssimazione dell equazione di Navier-Stokes è appropriata o meno? Analisi Il criterio è quello di confrontare l ordine di grandezza dei diversi termini nell equazione: quando i termini trascurati risultano tanto piccoli da non essere significativi rispetto agli altri, l approssimazione è appropriata. Affinché tale criterio sia utile, è indispensabile che le variabili vengano adimensionalizzate usando grandezze effettivamente rappresentative del campo di moto. In caso contrario, l analisi degli ordini di grandezza può condurre a risultati errati.

6 Meccanica dei fluidi - 3 a ed. - Soluzioni degli esercizi Soluzioni appross. dell equ. di Navier-Stokes Nella forma adimensionale 10.6 dell equazione di Navier- Stokes per un fluido incomprimibile figurano quattro parametri adimensionali. Descrivere il significato fisico di ciascuno di essi, spiegando cosa succede fisicamente quando il parametro è molto piccolo o molto grande. Analisi Nell equazione di Navier-Stokes per un fluido incomprimibile scritta in forma adimensionale St v t + (v )v = 1 Fr 2 g Eu p + 1 Re 2 v figurano il numero di Strouhal, il numero di Froude, il numero di Eulero e il numero di Reynolds. Il numero di Strouhal St = f L/V è il rapporto tra un tempo caratteristico del moto L/V e un periodo caratteristico 1/f. Se il moto è permanente, il periodo è infinito ( f = 0) e, quindi, St = 0 per cui è nullo il primo addendo della 10.6 che contiene le derivate parziali rispetto al tempo. Se il periodo è molto grande rispetto al tempo caratteristico del moto, St è molto piccolo e il moto può essere considerato quasi-permanente, per cui il termine che contiene le derivate parziali rispetto al tempo può essere considerato trascurabile. Se, al contrario, St è molto grande, la frequenza caratteristica f è grande e il moto è vario, per cui il termine contenente le derivate parziali rispetto al tempo non può essere trascurato. Il numero di Froude Fr = V/ gl è proporzionale al rapporto tra forze di inerzia e forze di gravità. Nell equazione esso appare al denominatore. Per cui, se Fr è molto grande, il termine della gravità può essere trascurato in quanto le forze dovute alla gravità sono piccole rispetto alle forze di inerzia. Il numero di Eulero Eu = (p 0 p )/ρv 2 è il rapporto tra una differenza di pressione caratteristica del moto (forza di pressione) ed una pressione dinamica (forza di inerzia). Se Eu è molto piccolo, il termine di pressione può essere trascurato perché la forza di pressione è molto piccola rispetto alla forza di inerzia. Il numero di Reynolds Re = ρv D/µ è proporzionale al rapporto tra forze di inerzia e forze viscose. Nell equazione esso appare al denominatore. Per cui, se Re è molto grande, il termine viscoso può essere trascurato perché le forze viscose sono piccole rispetto alle forze di inerzia. Discussione Le approssimazioni di cui sopra possono essere valide in alcune regioni del campo di moto e non in altre; pertanto, nello stesso campo di moto è possibile che in regioni diverse valgano approssimazioni diverse.

7 6 Capitolo 10 Y. Çengel, J. Cimbala - per l edizione italiana G. Cozzo, C. Santoro V s D ρ, µ V e d h g 10.6 Si consideri l efflusso da una luce praticata sul fondo di un serbatoio cilindrico di diametro D, molto più grande del diametro d della luce e dello stesso ordine di grandezza dell altezza d acqua h. Si vuole giustificare matematicamente l assunzione di fluido in quiete ovunque tranne che in prossimità della luce. Si assuma come velocità caratteristica la velocità V s nel serbatoio, come lunghezza caratteristica l altezza d acqua h, come tempo caratteristico il tempo t s necessario perché il serbatoio si svuoti e come differenza di pressione caratteristica la quantità ρgh, pari alla differenza tra le pressioni sul fondo del serbatoio e sulla superficie libera, nell ipotesi di fluido in quiete. Sostituendo queste quantità nella forma adimensionale 10.6 dell equazione di Navier-Stokes per un fluido incomprimibile, verificare, analizzando gli ordini di grandezza, che per d D rimangono solo i termini di pressione e di gravità. Confrontare, in particolare, l ordine di grandezza di ciascun termine e i parametri adimensionali St, Eu, Fr e Re, ricordando che la velocità di efflusso V e gh. Analisi Indicando con il simbolo l ordine di grandezza, si ha t s h/v s e, pertanto, St = f L V = h t s V s 1 Per la continuità, si ha da cui Essendo risulta Q = πd2 4 V e = π D2 V s 4 V e = D2 V s d 2 V e gh Eu = p 0 p ρv 2 s = ρgh ρv 2 s V e 2 Vs 2 = D4 d 4 Analogamente, si ha Fr = V s gh V s V e = d2 D 2 e Re = ρv sh µ ρv s D µ = ρv ed µ V s V e D d Re e d 2 D D 2 d = Re e d D

8 Meccanica dei fluidi - 3 a ed. - Soluzioni degli esercizi Soluzioni appross. dell equ. di Navier-Stokes 7 Pertanto, nell equazione di Navier-Stokes adimensionale 10.6 St v t + (v )v = 1 Fr 2 g Eu p + 1 Re 2 v i termini a primo membro hanno ordine di grandezza 1, mentre i termini a secondo membro risultano 1 Fr 2 g D4 d 4 Eu p D4 d 4 1 Re 2 v 1 D Re e d Essendo D d, i termini a primo membro sono trascurabili rispetto ai primi due a secondo membro, mentre se D/d Re e anche l ultimo termine a secondo membro ha ordine di grandezza 1 ed è, quindi, trascurabile. In tale ipotesi, nell equazione rimangono solo i termini di gravità e di pressione, per cui la forma dimensionale dell equazione approssimata è p = ρg

9 8 Capitolo 10 Y. Çengel, J. Cimbala - per l edizione italiana G. Cozzo, C. Santoro Moto non viscoso 10.7 In che senso l equazione di Eulero può essere considerata un approssimazione dell equazione di Navier-Stokes? In quali regioni del campo di moto ne costituisce un approssimazione ragionevole? Analisi Poiché l equazione di Eulero coincide con l espressione che l equazione di Navier-Stokes assume quando si trascura il termine viscoso, essa può essere considerata un approssimazione dell equazione di Navier-Stokes per un fluido perfetto, cioè privo di viscosità. Tale approssimazione risulta valida anche per i fluidi reali nelle regioni del campo di moto in cui le forze viscose risultano trascurabili, cioè quelle in cui il moto è caratterizzato da numeri di Reynolds molto alti. Discussione In prossimità di pareti solide le forze viscose sono sempre significative. Pertanto, in tali regioni l equazione di Eulero non è valida. Essa è, invece, valida nelle regioni di moto irrotazionale Scrivere l equazione di Eulero nella forma più esplicita possibile in coordinate cartesiane, assumendo che la gravità agisca secondo una direzione qualunque. Analisi Dalla forma vettoriale [ ] v ρ + (v )v = ρg p (10.7) t si ottengono le corrispondenti relazioni scalari ( v ρ t ( vy ρ t v + v + v v y y + v z v y + v + v v y y y + v z ( vz v z ρ + v t + v v z y y + v z ) v = ρg p z ) v y = ρg y p z y ) v z = ρg z p z z uguali alle espressioni scalari dell equazione di Navier-Stokes 9.60b, 9.60c e 9.60d senza i termini viscosi.

10 High Med low Off Meccanica dei fluidi - 3 a ed. - Soluzioni degli esercizi Soluzioni appross. dell equ. di Navier-Stokes In una regione di un campo di moto permanente bidimensionale di un fluido incomprimibile il campo di velocità è dato dalla v = (v, v y ) = (a + b) i + ( ay + c) j Provare che in questa regione il moto può essere considerato non viscoso. Analisi Essendo 2 v 2 = 2 v y 2 = 2 v y 2 = 2 v y y 2 = 0 i termini viscosi delle 9.60b e 9.60c risultano identicamente nulli. Pertanto, nella regione data, il moto può essere considerato non viscoso. Moto irrotazionale Quale proprietà del moto determina se in una regione il moto è rotazionale o irrotazionale? Analisi La vorticità. Se essa è zero (o, comunque, trascurabile), il moto è irrotazionale; nel caso contrario, il moto è rotazionale. Discussione Un altra proprietà che può essere usata per determinare se il moto sia rotazionale o irrotazionale è la velocità angolare: il vettore velocità angolare è infatti pari alla metà del vettore vorticità Con riferimento al campo di moto attorno a un asciugacapelli, identificare le regioni in cui il moto può essere considerato irrotazionale e quelle in cui l approssimazione di moto irrotazionale risulterebbe inadeguata. Analisi Se l aria parte dalla quiete, il moto può certamente essere considerato irrotazionale lontano dall asciugacapelli. Esso si mantiene irrotazionale anche via via che l aria si avvicina all asciugacapelli, tranne che nelle immediate vicinanze della superficie di aspirazione. All interno dell asciugacapelli, invece, il moto è certamente rotazionale.

11 10 Capitolo 10 Y. Çengel, J. Cimbala - per l edizione italiana G. Cozzo, C. Santoro Qual è la differenza tra l equazione di Bernoulli per una regione di moto non viscoso rotazionale e una di moto viscoso irrotazionale? Quale delle due rappresenta una condizione più restrittiva? Analisi L equazione di Bernoulli gz + p ρ + v2 2 = C è la stessa sia per una regione di moto non viscoso rotazionale che per una di moto viscoso irrotazionale. Però, nella prima l equazione è valida solo lungo ciascuna linea di flusso, per cui il valore di C è lo stesso su ciascuna linea di flusso ma può variare da linea a linea. Invece, in una regione di moto viscoso irrotazionale, il valore di C è lo stesso in tutto il campo di moto. Pertanto, l approssimazione di moto irrotazionale è più restrittiva dell approssimazione di moto non viscoso. linee di flusso In figura sono tracciate alcune linee di flusso relative a un moto permanente bidimensionale di un fluido incomprimibile, in una regione in cui il moto può essere considerato anche irrotazionale. Tracciare qualitativamente alcune curve equipotenziali. Analisi Per tracciare le linee equipotenziali si deve tenere conto del fatto che esse intersecano le linee di flusso sempre perpendicolarmente. A questo scopo, può essere utile tracciare per interpolazione alcune linee aggiuntive tra le linee di flusso assegnate, riportate in figura con tratto più sottile. linee di flusso 90 linee equipotenziali

12 Meccanica dei fluidi - 3 a ed. - Soluzioni degli esercizi Soluzioni appross. dell equ. di Navier-Stokes Si consideri il campo di velocità di un moto permanente bidimensionale di un fluido incomprimibile v = (v, v y ) = (a + b) i + ( ay + c) j Provare che in questa regione il moto è irrotazionale e scrivere un espressione della funzione potenziale di velocità. Analisi Affinché il moto sia irrotazionale la vorticità deve essere ovunque nulla. Essendo il moto bidimensionale nel piano y, l unica componente della vorticità che potrebbe essere non nulla è quella in direzione z ω z = v y v y = ( ay + c) (a + b) = 0 0 = 0 y che risulta identicamente nulla. Pertanto, il moto è irrotazionale. È, quindi, possibile generare una funzione potenziale di velocità φ. Per le 10.17, si ha v = φ e v y = φ y Esplicitando la componente della velocità secondo, dalla prima si ha v = φ = a + b che, integrando e aggiungendo una funzione arbitraria di y, piuttosto che una costante, perché l integrazione è parziale, fornisce φ = 1 2 a 2 + b + f (y) Per la seconda delle 10.17, si ha v y = ay + c = φ y che, eguagliando con la derivata dell espressione di φ, fornisce Integrando, si ha v y = ay + c = φ y = f (y) f (y) = 1 2 ay2 + cy + C per cui l espressione finale di φ è φ = 1 2 a( 2 y 2 ) + b + cy + C

13 12 Capitolo 10 Y. Çengel, J. Cimbala - per l edizione italiana G. Cozzo, C. Santoro Commentare le differenze e le analogie tra l approssimazione di moto irrotazionale e quella di moto non viscoso. Citare un esempio per ciascun tipo di moto. Analisi L approssimazione di moto irrotazionale e quella di moto non viscoso comportano entrambe l eliminazione del termine viscoso dall equazione di Navier-Stokes, che si semplifica così nell equazione di Eulero. In entrambi i casi, per integrazione, si ottiene l equazione di Bernoulli. Nell approssimazione di moto non viscoso si assume che il termine viscoso sia trascurabile: per esempio, in un fluido in moto di rotazione rigida gli effetti della viscosità sono nulli e quindi il fluido, pur essendo viscoso, può essere studiato come se non lo fosse. Nell approssimazione di moto irrotazionale si assume che la vorticità, che è una misura della rotazionalità delle particelle di fluido, sia tanto piccola da risultare trascurabile. In tal caso, le particelle di fluido non ruotano anche se si deformano per effetto della viscosità. In altre parole, in una regione di moto irrotazionale ciascuna particella di fluido è soggetta a sforzi viscosi a risultante nullo. Esempi di moto irrotazionale viscoso sono i moti irrotazionali con linee di flusso curve, come i vortici piani o il moto irrotazionale attorno ad un cilindro. Discussione In entrambi i casi, l equazione di Navier-Stokes non contiene i termini viscosi, anche se per ragioni diverse: nell approssimazione di moto non viscoso perché si trascura la viscosità; nell approssimazione di moto irrotazionale perché, essendo nulla la vorticità, i termini viscosi sono a due a due uguali e opposti.

14 Meccanica dei fluidi - 3 a ed. - Soluzioni degli esercizi Soluzioni appross. dell equ. di Navier-Stokes Con riferimento al campo di velocità di un moto permanente bidimensionale e irrotazionale di un fluido incomprimibile, caratterizzato dalla funzione potenziale di velocità φ = 5( 2 y 2 ) + 2 4y a) calcolare le componenti della velocità v e v y ; b) verificare che in questa regione il moto sia effettivamente irrotazionale; c) scrivere un espressione della funzione di corrente. Analisi (a) Per le è v = φ = v y = φ y = 10y 4 (b) Affinché il moto sia irrotazionale, la vorticità deve essere ovunque nulla. Essendo il moto bidimensionale nel piano y, l unica componente della vorticità non nulla può essere quella in direzione z ω z = v y v y = ( 10y 4) (10 + 2) = 0 0 y che risulta identicamente nulla. Pertanto, il moto è effettivamente irrotazionale. (c) Per la prima delle 9.20, si ha ψ y = v = che, integrando rispetto a y e aggiungendo una funzione arbitraria di, piuttosto che una costante, perché l integrazione è parziale, fornisce ψ = 10y + 2y + f () Derivando rispetto a, uguagliando a v y per la seconda delle 9.20, integrando e sostituendo nell espressione di ψ, si ha ψ = 10y f () = v y = 10y 4 f () = 4 f () = 4 + C ψ = 10y y + C

15 14 Capitolo 10 Y. Çengel, J. Cimbala - per l edizione italiana G. Cozzo, C. Santoro V y α Si consideri un moto bidimensionale di un fluido incomprimibile, con direzione inclinata di α sull orizzontale e distribuzione di velocità V costante in direzione trasversale. Nell ipotesi in cui il moto sia irrotazionale, derivare la funzione potenziale di velocità e la funzione di corrente. Analisi Si tratta di un moto irrotazionale piano, per il quale le componenti della velocità rispetto agli assi coordinati valgono v = φ = ψ y = V cos α v y = φ y = ψ = V sen α Integrando la prima rispetto a e aggiungendo una funzione arbitraria di y, piuttosto che una costante, perché l integrazione è parziale, si ottiene φ = V cos α + f (y) Derivando rispetto a y, uguagliando a v y e integrando, si ha v y = φ y = f (y) = V sen α f (y) = V y sen α + C 1 Poiché la funzione potenziale è definita a meno di una costante, C 1 può assumere un valore arbitrario, che conviene porre uguale a zero. Per cui, l espressione finale di φ è φ = V cos α + V y sen α Analogamente, integrando la v rispetto a y e aggiungendo una funzione arbitraria di, piuttosto che una costante, perché l integrazione è parziale, si ottiene ψ = V y cos α + g() Derivando rispetto a, uguagliando a v y e integrando, si ha v y = ψ = g () = V sen α g() = V sen α + C 2 Poiché la funzione di corrente è definita a meno di una costante, C 2 può assumere un valore arbitrario, che conviene porre uguale a zero. Per cui, l espressione finale di ψ è ψ = V y cos α V sen α

16 Meccanica dei fluidi - 3 a ed. - Soluzioni degli esercizi Soluzioni appross. dell equ. di Navier-Stokes 15 Strati limite Dire se ciascuna delle seguenti affermazioni, che si riferiscono allo strato limite laminare su una lastra piana, è vera o falsa, giustificando la risposta: y regione esterna V a) in qualunque punto sulla lastra, di ascissa generica, all aumentare del numero di Reynolds, aumenta anche lo spessore dello strato limite; b) all aumentare della velocità all esterno dello strato limite, aumenta anche lo spessore dello strato limite; c) all aumentare della viscosità del fluido, aumenta anche lo spessore dello strato limite; d) all aumentare della densità del fluido, aumenta anche lo spessore dello strato limite. V strato limite δ() Analisi (a) (b) (c) (d) Falso. All aumentare del numero di Reynolds, a parità di tutto il resto, il rapporto tra le forze viscose e le forze di inerzia diminuisce e lo spessore dello strato limite diminuisce. Falso. All aumentare di V aumenta anche il numero di Reynolds e lo spessore dello strato limite diminuisce. Vero. Poiché il numero di Reynolds è inversamente proporzionale alla viscosità, quando aumenta la viscosità Re diminuisce e, pertanto, lo spessore dello strato limite aumenta. Falso. Poiché il numero di Reynolds è proporzionale alla densità, quando aumenta la densità aumenta anche Re e, pertanto, lo spessore dello strato limite diminuisce Gli strati limite sono di solito associati alla presenza di una parete. Ci sono, però, altri casi in cui l approssimazione di strato limite risulta appropriata. Citare tre di tali casi, spiegando perché è possibile usare l approssimazione di strato limite. Analisi Altre regioni di moto per le quali l approssimazione di strato limite può essere appropriata sono i cosiddetti strati limite liberi, cioè quei casi in cui, pur in assenza di pareti solide, le forze viscose e la vorticità non sono trascurabili. È questo il caso di getti, scie e strati di mescolamento.

17 16 Capitolo 10 Y. Çengel, J. Cimbala - per l edizione italiana G. Cozzo, C. Santoro Nella figura, che schematizza lo strato limite laminare che si sviluppa lungo una lastra piana, sono riportati alcuni profili di velocità e lo spessore dello strato limite δ(). Tracciare qualitativamente alcune linee di flusso nel campo di moto e indicare se la curva δ() è una linea di flusso. V y V δ() strato limite Analisi In figura sono riportate 5 linee di flusso, le quali per rispettare la conservazione della massa devono attraversare la curva δ(), che, pertanto, non può essere essa stessa una linea di flusso. V y V linee di flusso δ() strato limite Discussione Sempre per la conservazione della massa, all aumentare dello spessore dello strato limite, le linee di flusso devono allontanarsi l una dall altra e, al crescere di, dalla parete solida. Lo spostamento verso l alto delle linee di flusso con è, però, inferiore all aumento di δ.

18 Meccanica dei fluidi - 3 a ed. - Soluzioni degli esercizi Soluzioni appross. dell equ. di Navier-Stokes Una lastra piana liscia è immersa in aria a 30 C (ρ = 1,164 kg/m 3 e µ = 1, Pa s) che si muove con velocità di 25,0 m/s. Per quale valore di sulla lastra, all interno dello strato limite insorge la turbolenza? E per quale valore di sulla lastra, all interno dello strato limite il moto diventa puramente turbolento? Analisi Nel caso di una lastra piana liscia in una corrente indefinita e uniforme, il processo di transizione al regime turbolento inizia per il valore del numero di Reynolds critico Re,critico = 10 5 e continua finché lo strato limite non diventa assolutamente turbolento per Re = Pertanto, essendo Re,critico = ρv µ = 105 la turbolenza, all interno dello strato limite, insorge all ascissa i = 10 5 µ ρv = 1, , = 0,06 m Lo strato limite diventa assolutamente turbolento per Re = , cioè all ascissa f = µ ρv = 30 i = 30 0,06 = 2 m Discussione I risultati sono riportati con una sola cifra significativa per mettere in rilievo il fatto che essi derivano da relazioni approssimate. Nei problemi reali, i valori di i e di f per i quali, rispettivamente, insorge la turbolenza e lo strato limite diventa assolutamente turbolento dipendono da diversi fattori, quali la scabrezza della superficie, disturbi nel campo di moto, curvatura della parete...

19 18 Capitolo 10 Y. Çengel, J. Cimbala - per l edizione italiana G. Cozzo, C. Santoro V c strato limite Un piccolo mezzo sottomarino si muove in acqua a 5 C (ρ = 999,9 kg/m 3 e µ = 1, Pa s) con una velocità di 10 km/h. Il veicolo ha una pinna con una corda di 50 cm. Lo strato limite sulla pinna è laminare o turbolento? Analisi Anche se la pinna non è una lastra piana, si possono usare le relazioni valide per le lastre piane per avere una risposta che può ritenersi corretta con sufficiente approssimazione. In corrispondenza del bordo posteriore della pinna, ponendo l ascissa pari al valore della corda, il numero di Reynolds vale Re = ρv c µ 999,9 10 0,50 = = 9, ,6 1, Per una lastra piana liscia, il processo di transizione inizia per Re,critico = 10 5 e continua finché lo strato limite non diventa assolutamente turbolento per Re = Con riferimento a tali valori e considerando che, abitualmente, viene ignorata la fase di transizione e si usa il valore Re,cr = per stabilire se uno strato limite sia più probabilmente laminare (Re < Re,cr ) o turbolento (Re > Re,cr ), si può affermare che nel caso in esame lo strato limite sulla pinna è più probabilmente turbolento In una piccola galleria del vento, la velocità dell aria nel tratto in cui si effettuano le prove, lungo 50 cm, è di 2,25 m/s. La temperatura dell aria è di 25 C (ρ = 1,184 kg/m 3 e µ = 1, Pa s). Supponendo che, a monte del tratto in cui si effettuano le prove, lo spessore dello strato limite sia trascurabile, stabilire se in tale tratto lo strato limite è laminare o turbolento. Analisi Alla fine del tratto, il numero di Reynolds vale Re L = ρv L µ = 1,184 2,25 0,50 1, = 7, Essendo Re L inferiore al valore Re,critico = 10 5 in corrispondenza del quale nello strato limite insorge la turbolenza, nel tratto in questione lo strato limite è laminare.

20 Meccanica dei fluidi - 3 a ed. - Soluzioni degli esercizi Soluzioni appross. dell equ. di Navier-Stokes Con riferimento all esercizio precedente, supponendo che il regime di moto si mantenga laminare, stimare lo spessore dello strato limite, lo spessore di spostamento e lo spessore di quantità di moto alla fine del tratto in cui si effettuano le prove. Confrontare i tre risultati e commentarli. Analisi Alla fine del tratto in cui si effettuano le prove, essendo Re L = 7, , lo spessore dello strato limite, per la 5 dell Esempio 10.1, risulta δ = 4,91 ReL L = 4,91 0,50 7, = 0,00915 m = 9,15 mm Per la 10.67, lo spessore di spostamento è δ = 1,72 ReL L = 1,72 0,50 7, = 0,00321 m = 3,21 mm mentre lo spessore di quantità di moto, per la 10.73, risulta θ = 0,664 0,664 0,50 L = = 0,00124 m = 1,24 mm ReL 7, In uno strato limite laminare su lastra piana, è maggiore lo spessore dello strato limite o lo spessore di spostamento? Perché? Analisi È maggiore lo spessore dello strato limite. Infatti, a parità di, esso è circa il triplo dello spessore di spostamento. Quest ultimo è la distanza di cui, per effetto dello strato limite, viene allontanata dalla parete la linea di flusso appena fuori lo strato limite. Essendo pari allo spessore di una corrente uniforme che sostituisce il deficit di portata di massa all interno dello strato limite, esso deve necessariamente risultare minore dello spessore dello strato limite.

21 20 Capitolo 10 Y. Çengel, J. Cimbala - per l edizione italiana G. Cozzo, C. Santoro D sezione iniziale D 2δ sezione finale In una galleria del vento, il tratto in cui si effettuano misure in regime laminare è lungo 60 cm e ha un diametro di 400 mm. L aria è a 20 C (ρ = 1,204 kg/m 3 e µ = 1, Pa s). Se all imbocco del tratto la velocità dell aria è di 2,0 m/s, di quanto aumenta alla δ fine del tratto, in corrispondenza dell asse della galleria? Analisi Alla fine del tratto in cui si effettuano le prove, il numero di Reynolds è Re L = ρv L µ = 1,204 2,0 0,60 1, = 7, Pertanto, per la 10.67, lo spessore di spostamento risulta δ = 1,72 ReL L = 1,72 0,60 7, = 0,00367 m = 3,67 mm Se V i e A i sono, rispettivamente, la velocità e l area della sezione trasversale della galleria all imbocco e V f e A f i corrispondenti valori alla fine del tratto di prova, per la conservazione della massa, è V i A i = V f A f A causa dello strato limite, il raggio della sezione finale si riduce dello spessore di spostamento δ. Pertanto, A f < A i e V f = V i A i A f ( = 2,0 = V i ( ) D 2 i = D i 2δ 0,400 0, ,00367 ) 2 = 2,08 m/s cioè, a causa dello spessore di spostamento, la velocità aumenta di circa il 4%. a a 2δ Risolvere l esercizio precedente ipotizzando che la sezione trasversale della galleria sia quadrata, con lato di 40 cm. Confrontare i risultati con quelli del caso precedente e commentarli. a sezione iniziale a 2δ Analisi Essendo il numero di Reynolds e lo spessore di spostamento uguali a quelli del problema precedente, la velocità nella δ sezione finale sezione finale del tratto di prova risulta ( ) A i a 2 V f = V i = V i = A f a 2δ ( = 2,0 0,400 0, ,00367 ) 2 = 2,08 m/s cioè la velocità aumenta ancora del 4% circa, come nel caso precedente.

22 Meccanica dei fluidi - 3 a ed. - Soluzioni degli esercizi Soluzioni appross. dell equ. di Navier-Stokes In corrispondenza di due punti 1 e 2 all interno di uno strato limite laminare di un fluido di densità ρ e viscosità µ, tramite due prese statiche vengono misurate, rispettivamente, le pressioni p 1 e p 2. La distanza tra i due punti è piccola rispetto alla dimensione caratteristica L del corpo ( = 2 1 L). Essendo V 1 la velocità all esterno dello strato limite in corrispondenza del punto 1, scrivere un espressione della velocità V 2 all esterno dello strato limite in corrispondenza del punto 2 in funzione di p 1, p 2,, V 1, ρ e µ. V 1 V 2 regione esterna strato limite δ p 1 parete 1 prese statiche p 2 2 Analisi In uno strato limite, la pressione nella direzione normale alla parete è praticamente costante, pur potendo variare in direzione lungo la parete. Pertanto, per ciascun valore di, la pressione subito all esterno dello strato limite è uguale al valore in corrispondenza della parete solida. All esterno dello strato limite, dalla dp ρ d + V dv d = 0 si ha dv d = 1 dp ρv d Se la distanza è piccola, si può porre V 2 = V1 + dv d e p 2 = p1 + dp d per cui la relazione precedente, moltiplicando ambedue i membri per, diviene V 2 V 1 = dv d = 1 ρv 1 dp d = 1 ρv 1 (p 2 p 1 ) da cui V 2 = V1 p 2 p 1 ρv 1 Discussione La velocità V 2 non dipende da né da µ, ma soltanto da p 1, p 2, V 1 e ρ.

23 22 Capitolo 10 Y. Çengel, J. Cimbala - per l edizione italiana G. Cozzo, C. Santoro Un trasduttore di pressione differenziale molto sensibile collegato a due prese statiche, poste in corrispondenza di due punti 1 e 2 sulla parete di uno strato limite laminare, indica che p 1 p 2 = 2,44 Pa. Il fluido è aria a 25 C (ρ = 1,184 kg/m 3 e µ = 1, Pa s). Essendo V 1 = 10,3 m/s la velocità all esterno dello strato limite in corrispondenza del punto 1, calcolare la velocità V 2 all esterno dello strato limite in corrispondenza del punto 2. Analisi Nell ipotesi che la distanza tra i punti 1 e 2 sia piccola, si può utilizzare il risultato del problema precedente, per cui V 2 = V1 p 2 p 1 ρv 1 = 10,3 2,44 = 10,5 m/s 1,184 10,3 In conseguenza della piccola diminuzione di pressione si ha, quindi, un piccolo aumento di velocità Descrivere le cinque fasi della procedura di risoluzione dello strato limite. Analisi Quando si usa l approssimazione di strato limite, si utilizza la seguente procedura di risoluzione: Fase 1 Risoluzione del moto esterno, ignorando lo strato limite e assumendo che la regione al di fuori dello strato limite sia approssimativamente non viscosa e/o irrotazionale. Trasformazione delle coordinate, se necessario, per ottenere V (). Fase 2 Assunzione dell ipotesi di strato limite sottile, così da poterlo considerare ininfluente sulla risoluzione del moto esterno. Fase 3 Risoluzione delle equazioni dello strato limite e 10.63, usando le condizioni al contorno appropriate. Sulla parete solida, la condizione di aderenza: v = v y = 0 per y = 0; sul bordo dello strato limite, le condizioni di moto esterno note: v V () per y e in una posizione a monte, per = in, un profilo di velocità iniziale v = v,in (y). Fase 4 Calcolo delle quantità di interesse nel campo di moto: lo spessore δ(), lo sforzo tangenziale alla parete, la forza di trascinamento totale, ecc. Fase 5 Verifica dell approssimazione di strato limite: lo strato limite deve risultare sottile.

24 Meccanica dei fluidi - 3 a ed. - Soluzioni degli esercizi Soluzioni appross. dell equ. di Navier-Stokes Elencare alcuni dei limiti dell approssimazione di strato limite. Analisi L approssimazione di strato limite è condizionata dai seguenti fattori: Perché l approssimazione dello strato limite sia sufficientemente accurata, bisogna che il numero di Reynolds sia sufficientemente alto (cioè che δ/l sia sufficientemente piccolo). Per la 10.59, se Re L = 1 000, si ha δ/l 0,03 (3%); per Re L = , si ha δ/l 0, 01 (1%). La 10.54, secondo la quale il gradiente di pressione nella direzione y è nullo, non vale se il raggio di curvatura della parete è dello stesso ordine di grandezza dello spessore δ (Fig ). In tal caso, infatti, non è possibile trascurare gli effetti dell accelerazione centripeta dovuti alla curvatura delle linee di flusso. Per cui, affinché lo strato limite sia sufficientemente sottile in modo che l approssimazione sia valida, deve essere δ R. Se il numero di Reynolds è troppo alto, lo strato limite non rimane laminare. In particolare, lo strato limite laminare su lastra piana liscia comincia la transizione verso la turbolenza per Re = 10 5, anche se, nella pratica, imperfezioni della parete, vibrazioni, rumori e oscillazioni nella corrente possono portare ad un innesco precoce del processo di transizione. Se il moto è di transizione o turbolento, la non è valida. Se il fluido si distacca dalla parete, nella regione di separazione l approssimazione di strato limite non vale. Il motivo principale è che in tale regione il moto si può invertire, non essendo così soddisfatta la natura parabolica delle equazioni dello strato limite Immergendo una lastra rettangolare in una corrente d aria, su entrambi i lati della lastra si forma uno strato limite laminare. Se un lato ha lunghezza doppia dell altro, la resistenza al moto è maggiore quando è ortogonale alla velocità (a) il lato minore o (b) il lato maggiore? Perché? Analisi La resistenza al moto è maggiore nel caso (b). Infatti, la resistenza al moto è data dal prodotto dello sforzo tangenziale medio per l area della superficie della lastra, che è uguale in entrambi i casi. All interno di uno strato limite laminare, lo sforzo tangenziale alla parete è inversamente proporzionale alla radice quadrata della distanza dall origine (vedi Esempio 10.1). Pertanto, tanto minore è la lunghezza della parete nella direzione del moto, tanto più grande è il valore medio dello sforzo. Ne consegue che, a parità di area, la resistenza al moto è tanto maggiore quanto più corto è il lato parallelo alla velocità, come appunto nel caso (b). V (a) V (b)

25 24 Capitolo 10 Y. Çengel, J. Cimbala - per l edizione italiana G. Cozzo, C. Santoro Su una lastra piana liscia, lunga 3 m, scorre aria a 20 C (ρ = 1,204 kg/m 3 e µ = 1, Pa s) con una velocità di 5 m/s. Stabilire se lo strato limite sulla lastra è più probabilmente laminare, di transizione o turbolento. Calcolare gli spessori dello strato limite alla fine della lastra, nel caso in cui lo strato limite sia ovunque laminare e ovunque turbolento e confrontarli. Analisi Al bordo di uscita della lastra il numero di Reynolds è Re L = ρv L µ = 1,204 5,0 3 1, = 9, Per una lastra piana liscia, il processo di transizione inizia per Re,critico = 10 5 e continua finché lo strato limite non diventa assolutamente turbolento per Re = Con riferimento a tali valori e considerando che, abitualmente, viene ignorata la fase di transizione e si usa il valore Re,cr = per stabilire se uno strato limite sia più probabilmente laminare (Re < Re,cr ) o turbolento (Re > Re,cr ), si può affermare che nel caso in esame lo strato limite è laminare nella parte iniziale della lastra e di transizione più a valle. In presenza di qualche causa di disturbo (quali, per esempio, vibrazioni o irregolarità nella regione esterna), nella parte finale della lastra lo strato limite potrebbe essere puramente turbolento. Se lo strato limite è ovunque laminare, al bordo di uscita dalla lastra il suo spessore, per la 5 dell Esempio 10.1, è δ = 4,91 ReL L = 4,91 3 9, = 0,0148 m = 14,8 mm Se lo strato limite è ovunque turbolento, lo spessore e le altre proprietà dello strato limite possono essere determinate solo per via empirica o semi-empirica, in funzione dell espressione adottata per esprimere il profilo di velocità all interno dello strato limite. Se tale profilo viene espresso con la legge di potenza 10.74, lo spessore dello strato limite turbolento al bordo di uscita dalla lastra piana liscia risulta δ = 0,16 Re 1/7 L = L 0,16 3 = 0,0668 m = 66,8 mm (9, ) 1/7 Quindi, se lo strato limite fosse ovunque turbolento, il suo spessore sarebbe circa 4,5 volte il valore che avrebbe se fosse ovunque laminare, a parità di numero di Reynolds. Nel caso in esame, il valore reale dello spessore è compreso, probabilmente, tra questi due valori estremi.

26 Meccanica dei fluidi - 3 a ed. - Soluzioni degli esercizi Soluzioni appross. dell equ. di Navier-Stokes Su una lastra piana liscia, lunga 40 cm, scorre aria a 20 C (ρ = 1,204 kg/m 3 e µ = 1, Pa s) con una velocità di 5 m/s. La lastra, che ha il bordo d attacco arrotondato, è spessa 7,5 mm. Calcolare lo spessore apparente della lastra alla distanza di 25 cm, così come viene percepito dalla corrente all esterno dello strato limite. V h Analisi Alla distanza di 25 cm dal bordo di attacco, è Re = ρv µ = 1,204 5,0 0,25 1, = per cui lo strato limite è più probabilmente laminare. Lo spessore di spostamento, per la 10.67, è δ = 1,72 Re = 1,72 0,25 8, = 0,00150 m = 1,50 mm e, pertanto, avendo la lastra spessore h = 7,5 mm, lo spessore apparente h a alla distanza di 25 cm è h a = h + 2δ = 7, ,5 = 10,5 mm Discussione Il numero di Reynolds è molto prossimo al valore Re,critico = 10 5 in corrispondenza del quale insorge la turbolenza. Pertanto, se nel campo di moto fossero presenti dei disturbi o se la lastra fosse scabra, lo strato limite sarebbe di transizione e lo spessore di spostamento risulterebbe maggiore.

27 26 Capitolo 10 Y. Çengel, J. Cimbala - per l edizione italiana G. Cozzo, C. Santoro La separazione del moto è più difficile quando lo strato limite è laminare o quando è turbolento? Perché? punto di distacco Analisi Quando un fluido scorre a velocità sufficientemente elevata su una superficie curva, esiste un punto in corrispondenza del quale esso si stacca dalla superficie; tale processo è chiamato separazione dello strato limite. A valle del punto di distacco, si ha una regione di ricircolo nella quale la direzione del moto in prossimità della parete solida si inverte. Infatti, quando un fluido scorre su una superficie curva (ad esempio, un profilo alare), il fluido può accelerare (attorno alla parte anteriore del profilo) o decelerare (attorno alla parte posteriore). Poiché nella regione esterna allo strato limite vale l equazione di Bernoulli, dalla quale deriva la dp ρ d + V dv d = 0 se il fluido accelera, V aumenta nella direzione del moto e la pressione p diminuisce lungo. Viceversa, ad una diminuzione di velocità corrisponde un aumento di pressione nella direzione del moto. Quest ultima condizione, se il gradiente di pressione è sufficientemente elevato, può determinare la separazione dello strato limite. Ciò perché, al crescere del gradiente di pressione nella direzione del moto, aumenta l inclinazione della tangente al profilo della velocità in prossimità della parete, fino a diventare verticale, in corrispondenza del verificarsi della separazione, e addirittura ad invertirsi, nella regione di ricircolo. y δ 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 laminare turbolento 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 v /V δ() y τ 0 V () v y δ() V () τ 0 v y δ() V () τ 0 v y δ() V () τ 0 = 0 v y δ() V () τ 0 v zona di inversione del moto In uno strato limite turbolento, il profilo di velocità è molto più pieno di quanto non lo sia in uno strato limite laminare. Pertanto, affinché uno strato limite turbolento si separi è necessario un gradiente di pressione molto più grande di quello sufficiente a far separare uno strato limite laminare.

28 Meccanica dei fluidi - 3 a ed. - Soluzioni degli esercizi Soluzioni appross. dell equ. di Navier-Stokes Calcolare il fattore di forma H per uno strato limite laminare e per uno turbolento lungo una lastra piana, supponendo che quello turbolento lo sia fin dall inizio. Perché H viene chiamato fattore di forma? Analisi Il fattore di forma, definito come rapporto tra lo spessore di spostamento δ e lo spessore di quantità di moto θ, è così chiamato perché il suo valore dipende dalla forma del profilo di velocità. Per uno strato limite laminare lungo una lastra piana, per le e 10.73, il fattore di forma H lam è pari a H lam = δ θ = 1,72 Re 0,664 Re = 2,59 Per uno strato limite turbolento, lo spessore di spostamento e lo spessore di quantità di moto possono essere determinati solo per via empirica o semi-empirica, in funzione dell espressione adottata per esprimere il profilo di velocità al suo interno. Se tale profilo viene espresso con la legge di potenza 10.74, lo spessore di spostamento e lo spessore di quantità di moto dello strato limite turbolento (nell ipotesi che sia ovunque turbolento) su una lastra piana liscia risultano, rispettivamente, δ = 0,020 Re 1/7 e θ = 0,016 Re 1/7 Esprimendo, invece, il profilo di velocità con la legge di potenza corretta sulla base di dati sperimentali, lo spessore di spostamento e lo spessore di quantità di moto risultano, rispettivamente, δ = 0,048 Re 1/5 e θ = 0,037 Re 1/5 Nei due casi, il fattore di forma H turb per uno strato limite turbolento su lastra piana liscia risulta, rispettivamente, H turb = δ θ = 0,020 0,016 = 1,25 H turb = δ θ = 0,048 0,037 = 1,30 Quindi, per uno strato limite laminare su lastra piana liscia, il fattore di forma risulta poco più del doppio di quello che si ha per uno strato limite ovunque turbolento. Se ne deduce che il fattore di forma è tanto più piccolo quanto più il profilo di velocità è pieno e, conseguentemente, quanto meno il fluido tende a staccarsi dalla parete.

29 28 Capitolo 10 Y. Çengel, J. Cimbala - per l edizione italiana G. Cozzo, C. Santoro Riepilogo Dire quale delle seguenti affermazioni è vera o falsa, spiegando la risposta: a) la funzione potenziale di velocità può essere definita per moti tridimensionali; b) affinché sia possibile definire la funzione di corrente, la vorticità deve essere nulla; c) affinché sia possibile definire la funzione potenziale di velocità, la vorticità deve essere nulla; d) la funzione di corrente può essere definita solo per campi di moto bidimensionali. Analisi (a) (b) (c) (d) Vero. Per definire la funzione potenziale di velocità non è necessario che il moto sia bidimensionale. Infatti, essa può essere definita per qualunque moto irrotazionale. Falso. La funzione di corrente può essere definita per qualunque campo di moto bidimensionale, indipendentemente dal valore della vorticità. Vero. La funzione potenziale di velocità può essere definita solo per campi di moto irrotazionali, dove cioè la vorticità è nulla. Vero. La funzione di corrente è definita dall equazione di continuità e vale solo per campi di moto bidimensionali. V strato limite δ() Una canoa di alluminio si muove sulla superficie di un lago alla velocità di 8 km/h. La temperatura dell acqua è di 10 C. Il fondo della canoa è piatto e lungo 4 m. Stabilire se lo strato limite sul fondo della canoa è laminare o turbolento. Proprietà Per l acqua alla temperatura di 10 C è ρ = 999,7 kg/m 3 e µ = 1, Pa s. Analisi Il numero di Reynolds in corrispondenza del punto terminale della canoa risulta Re = ρv µ = 999,7 1, = 6, ,6 Poiché Re è molto più grande di Re,cr = , nella parte terminale della canoa lo strato limite è turbolento. Discussione Essendo il fondo della canoa non perfettamente regolare né perfettamente piatto e per la presenza di perturbazioni nell acqua dovute al moto ondoso, alle pagaiate ecc. è da ritenere che la transizione alla turbolenza avvenga molto più rapidamente che nel caso ideale di Fig