CALCOLO COMBINATORIO

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1 CALCOLO COMBINATORIO Che cosa sigifica cotare Tutti coosciamo la successioe dei umeri iteri Naturali N = {0, 1,,, } si tratta di ua struttura metale fodametale, chiaramete presete alla ostra ituizioe che o viee defiita, ma assuta come u cocetto ituitivo Questa successioe è u isieme ordiato, che fa da isieme-campioe per tutti i procedimeti del cotare Dato u isieme fiito X, cotarlo sigifica porre ua corrispodeza biuivoca fra esso e u segmeto iiziale di questa successioe Precisamete, diremo che X ha u umero cardiale se è a possibile stabilire ua corrispodeza biuivoca fra l isieme d X e l isieme {0,1,,, -1} { 0, 1,, } c Il umero cardiale di X verrà el seguito idicato co (X) # b Pricipio di coservazioe del umero U isieme fiito o può essere messo i corrispodeza biuivoca co u suo sottoisieme proprio I altre parole, u isieme fiito o può essere messo i corrispodeza biuivoca co due distiti segmeti iiziali di N Tale pricipio o vale per gli isiemi ifiiti Ifatti se cosideriamo l isieme dei umeri quadrati A = {0, 1,, 9, 16, 5, } esso può essere messo i corrispodeza biuivoca co i umeri aturali N = {0, 1,,,, 5, } I defiitiva si hao le segueti difiizioi : U isieme A è fiito se è possibile stabilire ua corrispodeza biuivoca fra esso e u qualsiasi segmeto iiziale di N U isieme A è ifiito se è possibile stabilire ua corrispodeza biuivoca fra esso e ua sua parte propria Operazioi Siao A, B due isiemi fiiti : (A X B) # = A # B # Se A e B soo disgiuti (A U B) # = A # + B # Se A e B o soo disgiuti (A U B) # = A # + B # (A I B) # Dimostrazioe di : (A U B) # = A # + B # (A I B) # (A U B) # = [( A B) U ( B A) U ( A I B) ] # = essedo i tre isiemi disgiuti = (A B) # + (B Α) # + (A I B) # = [ A # (A I B) # ] + [ B # (A I B) #] + (A I B) # = = A # (A I B) # + B # (A I B) # + (A I B) # = A # + B # (A I B) # Problema 1 Cotare tutte le applicazioi di u isieme X di k elemeti i u isieme Y di elemeti Ogi elemeto del primo isieme può avere come corrispodete u elemeto qualsiasi del secodo Pertato per ogi elemeto di X ci soo applicazioi, ed avedo l isieme X k elemeti, le applicazioi i totale soo = k Sia X # = k e Y # = Idichiamo co F, k il umero delle applicazioi f : X Y Se k = 1 allora F, 1 = Se k = allora F, = = Se k = allora F, = = Pertato per k qualsiasi si ha F, k = k F, k può essere visto come il umero dei modi co cui si possoo disporre i fila k oggetti presi da u isieme di oggetti, co possibilità di ripetizioi Apputi di Matematica xoomervirgilioit/mimmocorrado 1

2 L espressioe F, k può idicare il umero dei modi co cui m oggetti possoo essere colorati co colori, ache o diversi tra loro Il ome tradizioale co cui si idicao le file di m oggetti di tipi, co possibilità di ripetizioi, è disposizioi co ripetizioe e si idica co D I, k = k Problema Cotare tutte le applicazioi iiettive di u isieme X di k elemeti i u isieme Y di elemeti Il primo elemeto dell isieme X può essere associato ad uo degli elemeti di Y; Essedo poi, le applicazioi iiettive, dopo aver fissato la corrispodeza del primo elemeto, il secodo può essere associato ad uo degli -1 elemeti di Y E cosi via il terzo elemeto dell isieme X può essere associato ad uo degli - elemeti di Y; Sia X # = k e Y # = Idichiamo co D, k il umero delle applicazioi iiettive f : X Y Se k = 1 allora D, 1 = Se k = allora D, = ( 1) Se k = allora D, = ( 1) ( ) 1 - k + 1 Pertato per k qualsiasi si ha D, k = D, k può essere visto come il umero dei modi co cui si possoo disporre i fila k oggetti presi da u isieme di oggetti L espressioe D, k può idicare il umero dei modi co cui m oggetti possoo essere colorati co colori diversi tra loro Il ome tradizioale co cui si idicao questi allieameti è disposizioi semplici Osservazioe Si ricorda che deve essere k, altrimeti o ci soo applicazioi iiettive La cardialità del codomiio è sempre maggiore od uguale della cardialità del domiio Teorema Ogi applicazioe iiettiva è biuivoca Se Domiio # = Codomiio # Ogi applicazioe suriettiva è biuivoca Se l isieme Y = X, ogi applicazioe f : X X (di X i sé) iiettiva è automaticamete bigettiva e, ua applicazioe suriettiva è automaticamete bigettiva Problema Cotare tutte le applicazioi bigettive di u isieme X di elemeti i se stesso Le applicazioi bigettive di X i sé o soo altro che le applicazioi iiettive del problema, co k = = ( 1) ( ) 1=! Pertato D, = Le applicazioi bigettive di u isieme fiito i sé si dicoo sostituzioi o permutazioi Il ome tradizioale co cui si idicao le permutazioi di oggetti, è sostituzioi o permutazioi e si idica co P Ricordiamo che P = D, =! Apputi di Matematica xoomervirgilioit/mimmocorrado

3 Problema Determiare il umero dei sottoisiemi di k elemeti che si possoo estrarre da u isieme di elemeti 0 k Idichiamo co C, k il umero cercato Ricordiamo che le applicazioi iiettive di u isieme X di k elemeti i u isieme Y di elemeti è D,k Osserviamo che queste applicazioi possoo essere ripartite i tate classi mettedo i ua stessa classe quelle che hao la stessa immagie Notiamo che, essedo esse iiettive, la loro immagie ha i ogi caso k elemeti Duque, il umero di queste classi è uguale al umero dei sottoisiemi di k elemeti che si possoo estrarre dall isieme Y, cioè è uguale a C, k Calcoliamo ora il umero delle applicazioi coteute i ciascua classe, evidetemete esse soo k!, ifatti se cosideriamo u sottoisieme qualsiasi T di Y costituito da k elemeti, le applicazioi iiettive di X (fatto di k elemeti) i K (formato ach esso da k elemeti) soo k! E questo umero è uguale per tutte le classi Allora possiamo stabilire la seguete relazioe : D, k = C, k k! D,k ( 1) ( ) ( k + 1) Pertato C,k = = moltiplicado umeratore e deomiatore k! k! per ( k)! si ottiee : ( 1) ( ) ( k + 1) ( - k)!! C, k = = k! ( - k)! k! ( - k)! La otazioe che si applica più frequetemete per idicare le combiazioi semplici di elemeti k a k è :! C, k = = X Y k k! ( - k)! a 1 A maggior facciamo u Esempio : b Siao X = {a, b, c} e Y = {1,,, } due isiemi c I questo caso k = e = Le classi delle applicazioi iiettive che hao le stesse immagii soo : C 1 C C C {(a,1), (b,), (c,)} {(a,1), (b,), (c,)} {(a,1), (b,), (c,)} {(a,), (b,), (c,)} {(a,1), (b,), (c,)} {(a,1), (b,), (c,)} {(a,1), (b,), (c,)} {(a,), (b,), (c,)} {(b,1), (a,), (c,)} {(b,1), (a,), (c,)} {(b,1), (a,), (c,)} {(b,), (a,), (c,)} {(b,1), (a,), (c,)} {(b,1), (a,), (c,)} {(b,1), (a,), (c,)} {(b,), (a,), (c,)} {(c,1), (a,), (b,)} {(c,1), (a,), (b,)} {(c,1), (a,), (b,)} {(c,), (a,), (b,)} {(c,1), (a,), (b,)} {(ac1), (a,), (b,)} {(c,1), (a,), (b,)} {(c,), (a,), (b,)} Queste classi soo =, ed i ogua di esse figurao k! =! = = 6 fuzioi iiettive C, 1 = = 1 Ifatti il umero di sottoisiemi di zero elemeti che si possoo estrarre da u isieme di 0 elemeti è 1, cioè è soltato l isieme vuoto C, = = 1 Ifatti il umero di sottoisiemi di elemeti che si possoo estrarre da u isieme di elemeti è 1, cioè è soltato l isieme medesimo Apputi di Matematica xoomervirgilioit/mimmocorrado

4 Facciamo u esempio co gli isiemi : Cosideriamo l isieme A = {a, b, c, d} e rappresetiamo graficamete l isieme parti di A, P ( A ) suddividedolo i sottoisiemi di isiemi che cotegoo zero elemeti, u elemeto, due elemeti, tre elemeti e quattro elemeti Dal grafico si osserva che i sottoisiemi di k elemeti soo tati quati C, k = k P ( A ) {a,b,c,d} {a,b,c} {a,b,d,} {a,c,d} {b,c,d} {a,d} {b,d} {a,b} ( ) {a,c} {b,c} {c,d} {b} {d} 1 {a} {c} { } 0 Lo sviluppo del biomio Sappiamo calcolare : ( x ) = ( x + ) ( x + ) ( x ) = ( x + ) ( x + ) ( x + ) + = xx + x + x + = x + x + + = xxx + xx + xx + xx + x + x + x + = x + x + x + Troviamo adesso ua regola geerale per ( x + ) Guardado ache gli esempi precedeti, osserviamo che ello sviluppo del biomio, compare ua somma di prodotti (oguo formato da fattori che possoo essere uguali a x oppure a ) Applicado la proprietà commutativa e raccogliedo tutti i termii che hao lo stesso umero di x e di (questi soo tati quati soo i modi di selezioare k caselle fra caselle date, e cioè ), possiamo k cocludere co la seguete formula : ( x + ) = x 0 + x x + + x m m m + + od ache : ( x + ) = k= 0 x m k k Esercizio 1 Dieci alpiisti, per attraversare u ghiacciaio, si legao i cordata, i modo però che due di loro, che soo pricipiati, o siao é al primo é all ultimo posto I quati modi diversi possoo farlo? o o Determiiamo i quati modi posso iserire l alpiista pricipiate A e l alpiista pricipiate B elle 8 celle dalla alla 9 ( la cella 1 e la cella 10 o possoo essere utilizzate perché pricipiati) Essi soo D 8, Dopo aver sistemato i due alpiisti pricipiati, occorre sistemare gli altri 8 egli altri 8 posti dispoibili Il umero di queste sistemazioi è D 8, 8 = P 8 = 8! I defiitiva le diverse cordate soo : D 8, P8 = = 5790 Apputi di Matematica xoomervirgilioit/mimmocorrado

5 Esercizio Quati soo i umeri di ottocifre che si possoo scrivere seza utilizzare lo zero? Fra essi soo i umero maggiore quelli i cui compare la cifra 1, o quelli i cui o compare? Se elimiiamo lo zero le cifre a disposizioe soo 9 : 1,,,,5,6,7,8,9 Co queste ove cifre occorre fare umeri (raggruppameti) di 8 cifre Pertato essi soo D I 9, 8 = 9 8 = 0671 Di questi quelli che o cotegoo il umero 1 soo D I 8, 8 = 8 8 = , poiché soo i raggruppameti di 8 cifre co le 8 cifre,,,5,6,7,8,9 (o c è il umero 1) Metre i umeri che cotegoo il umero 1 soo D I 9, 8 D I 8, 8 = = Pertato soo i umero maggiore quelli che cotegoo il umero 1 Esercizio Si devoo suddividere ragazzi per formare tre squadre di calcio I quati modi diversi lo si può fare? Occorre fare dei raggruppameti di 11 elemeti co i a disposizioe Si ituisce che i gruppi soo differeti solo per atura e o per ordie Pertato soo C, 11 = Apputi di Matematica xoomervirgilioit/mimmocorrado 5