CENTRO DI MASSA. Il centro di massa C divide il segmento AB in parti inversamente proporzionali alle masse: AC. x C = m A x A + m B x B.

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1 Due paticelle: CENTRO DI MASSA 0 A m A A C m B B B C Il cento di massa C divide il segmento AB in pati invesamente popozionali alle masse: AC CB = m B m A C A B C = m B m A m A C m A A = m B B m B C ( m A + m B ) C = m A A + m B B L ascissa del cento di massa è: C = m A A + m B B m A + m B e analogia: n paticelle allineate: 0 m 1 m 2 m n c = m m m n n = m 1 + m m n m i i i i m i m = i i i M n paticelle nello spazio: z X c = i m i i M Y m c = i i y i M y m Z c = i i z i M Una distibuzione di paticelle simmetica ispetto ad un punto ha questo punto come cento di massa. 1

2 n paticelle nello spazio - velocità e acceleazione del cento di massa Componente della velocità: i m i i V c, = X ( C = M ) m i ( i ) i = m i v = i i, M M e analogamente pe le componenti y e z Componente della acceleazione: m i v a c, = V ( i i, ) m i ( v i, ) C = M i = m i a = i i, M M e analogamente pe le componenti y e z n paticelle nello spazio - foze estene e acceleazione del cento di massa Dalla seconda legge della dinamica: m i a i, a c, = i i, = i M M = TOT, TOT, = Ma c, M e analogamente pe le componenti y e z, pe cui: TOT = Ma c TOT = intene + estene = R intene + R estene Ma, pe il tezo pincipio delle dinamica: R intene = 0 Quindi: R estene = M a c 2

3 Il moto di taslazione di un sistema di paticelle si può idue al moto di un unico copo puntifome, posizionato nel cento di massa e avente massa pai alla massa totale del sistema, al quale si può consideae applicata la isultante di tutte le foze estene al sistema. In paticolae, se su un sistema di paticelle non agiscono foze estene oppue la isultante di queste ultime è nulla (sistema isolato), l acceleazione del cento di massa è nulla, cioè il cento di massa si tova in stato di quiete o si muove di moto ettilineo unifome: R estene = 0 a C = 0 V C = costante Baicento (G): punto di un copo esteso nel quale è applicata la foza peso Si può immaginae il copo (di massa M) come costituito di tanti punti di massa m i, ciascuno con il suo peso m i g: z m i g i X G = i Mg m i gy i Y G = i Mg m i g Mg G m i gy i Z G = i Mg y Se l acceleazione di gavità g è la stessa in tutti i punti del copo (come nei casi patici in possimità della supeficie della Tea), il baicento G coincide con il cento di massa C 3

4 Quantità di moto di una paticella e sua vaiazione 1 paticella: q = mv [ MLT ] kg ms 1 Inteazione con gli oggetti cicostanti: q = ( m v ) E se si può itenee costante la massa: q = m v q = m v = m a m = m q = m N s Consevazione della quantità di moto In un sistema di ifeimento ineziale, la quantità di moto di una paticella isolata o soggetta a foze con isultante nulla si conseva (alta fomulazione della legge di inezia). Quantità di moto di un sistema di paticelle Q = i m i v i Ricodiamo le coodinate del cento di massa e sciviamo: M c = i m i M z i M y c = i m i y i c = i m i z i Se le paticelle sono in moto: M c = m i i i M y c y = m i i i M z c z = m i i i M v c = i m i v i M v cy = i m i v iy M v cz = i m i v iz Alloa: M v c = i m i v i Ma anche: Q = i m i v i Quindi: Q = M v c dove: Q = quantità di moto totale del sistema M = massa totale del sistema v c = velocità del cento di massa 4

5 Vaiazione della quantità di moto di un sistema di paticelle Le paticelle del sistema possono inteagie ta di loo e/o con i copi esteni. eciò si può avee una vaiazione della quantità di moto del sistema. Q = M v c = R = R est + R int i q i = ( i i ) = R La somma vettoiale delle foze intene è nulla pe il pincipio di azione e eazione: R int = 0 Quindi: Q = R est R est = Q = M v c e pe tendente a zeo: R est = M a C Se Consevazione della quantità di moto di un sistema di paticelle R est = Q = M v Ricodiamo che: c R est = 0 Q Q = cost = M v c = 0 v c = cost In un sistema di ifeimento ineziale, la quantità di moto di un sistema isolato di paticelle, che inteagiscono ta di loo, si conseva. In un sistema di ifeimento ineziale, la quantità di moto di un sistema di paticelle si conseva anche in pesenza di foze estene con isultante nulla. Quando la quantità di moto di un sistema di paticelle esta costante, la velocità del cento di massa esta costante. 5

6 CONSERVAZIONE DELLA QUANTITA DI MOTO Es: Uto di 2 copi Q pima = Q dopo (m 1 v 1 + m 2 v 2 ) pima = (m 1 v 1 + m 2 v 2 ) dopo La quantità di moto totale si conseva: m 1 v pima = (m 1 + m 2 ) v 2,dopo CONSERVAZIONE DELLA QUANTITA DI MOTO Es: Uto di 2 copi Q pima = Q dopo (m 1 v 1 + m 2 v 2 ) pima = (m 1 v 1 + m 2 v 2 ) dopo y Q finale Q ossa θ Q blu Q blu = Q finale, Q ossa = Q finale,y La quantità di moto totale si conseva: m 1 v 1,pima + m 2 v 2,pima = (m 1 + m 2 ) v 1+2,dopo Q finale = Q 2 2 blu + Q ossa tgθ = Q finale,y Q finale, = Q ossa Q blu 6

7 Abbiamo visto che, nei moti di taslazione, applicae una foza ad un copo equivale a impimele un acceleazione a (a paità di massa m del copo, l acceleazione impessa ad esso da un ceta foza ha sempe il medesimo valoe a = /m) e i moti di otazione la situazione è diffeente: ad esempio, pe chiudee una pota (cioè pe fala uotae intono all asse passante pe i cadini) noi la spingiamo in un punto vicino al bodo della pota più lontano dai cadini, peché la nosta espeienza quotidiana ci ha insegnato che, a paità di foza applicata, la pota uota meno facilmente se spingiamo in un punto vicino ai cadini > 2 1 < Quindi, nelle otazioni è impotante non solo la foza, ma anche il punto in cui essa viene applicata olo O L medio pollice MOMENTO ANGOLARE indice α q=mv L = m v L = m v sen α Il vettoe momento angolae ha diezione pependicolae al piano individuato dal vettoe posizione e dal vettoe quantità di moto, veso stabilito dalla egola della mano desta. dimensioni M [ L 2 T ] 1 unità di misua kg m 2 s 1 7

8 aticella in moto cicolae unifome. Calcoliamo il momento angolae con polo in O, cento della ciconfeenza. L L = mv L = mv sen π 2 = mv ω v = ω L = m 2 ω I = m 2 è il momento di inezia della paticella, quindi: O mv L = I ω avendo intodotto il vettoe velocità angolae che ha la diezione dell asse di otazione e veso tale da vedee la paticella uotae in veso antioaio (diezione e veso del momento angolae). L = Iω è il momento angolae della paticella in moto cicolae unifome, quando il polo è nel cento della ciconfeenza. Vaiazione del momento angolae di una paticella: L = mv L = ( q Si può ) = q dimostae che: = Il podotto M = vettoiale: è il momento della foza, MOMENTO DI UNA ORZA calcolato ispetto allo stesso polo scelto pe il momento angolae. M olo O b b = sen α = senα α // Diezione pependicolae al piano individuato dai vettoi e. Veso stabilito con la egola della mano desta. Modulo: M = senα = = b Il momento della foza // è nullo 8

9 L = M I ω = M Vaiazione e consevazione del momento angolae di una paticella L = I ω I α = M dove α è l acceleazione angolae. Se M = 0 L = 0 L = cost Il momento angolae di una paticella si conseva, se è nulla la somma vettoiale dei momenti delle foze, che agiscono sulla paticella. Momento angolae di un sistema di paticelle L Tot = = i L i i i q i Vaiazione del momento angolae di un sistema di paticelle: L Tot L = i i = i M i = M Tot = i i i M Tot è la somma vettoiale dei momenti di tutte le foze che agiscono sulle paticelle del sistema, calcolati ispetto allo stesso polo scelto pe il momento angolae. M T = M Tint + M Test ma M Tint = 0 L Tot = M Test Se il sistema è isolato, oppue se la somma vettoiale dei momenti delle foze estene è nulla, il momento angolae si conseva: L Tot = 0 L Tot = cost 9

10 Sistema di paticelle simmetico ispetto all asse di otazione mv 2 2 z L O 1 mv 1 olo in O m 1 = m 2 = m v 1 = v 2 = v 1 = 2 = L = L 1 + L 2 = 1 mv mv 2 L = 2 mv sen π 2 = 2 mv = 2m 2 ω momento di inezia del sistema di due paticelle: I = m 2 + m 2 = 2m 2 momento angolae: L = I ω Si può dimostae che Il momento angolae ispetto ad un punto qualsiasi dell asse di otazione (momento ispetto all asse), di un copo igido simmetico ispetto all asse, ha la diezione dell asse e vale: L = I ω Quindi pe due paticelle simmetiche ispetto all asse di otazione: L = I ω = ( m m ) ω In geneale pe un copo simmetico ispetto all asse di otazione: L = ( m i 2 i ) 2 ω Dove I = m i i i è il momento di inezia ispetto all asse. Si può dimostae che pe un copo non simmetico la componente del momento angolae lungo l asse di otazione è: L z = I ω Se l asse di otazione è fisso la componente pependicolae all asse non ha effetto. i 10

11 e un L z = I v copo igido con asse di otazione fisso quindi: 2 ω I = i m i i e un disco omogeneo: I = 1 2 M R 2 L La L vaiazione = M del momento angolae è: z T Se il copo è isolato o se L = 0 L = cost N.B. Se M z T 0 I ω = M ( z ) T dove α = ω ( z M ) T = M ( z ) Test si ha: I α = M T ( z ) M T z = 0 L = ( I ω ) si ha: = M T ( z ) è l acceleazione angolae. = M ( z ) est = M ( z ) Rest = i M i z ω Moto di una paticella taslatoio m v a q = mv q = otatoio I, momento di inezia ω, velocità angolae α, acceleazione angolae M =, momento della foza L = mv, momento angolae L = M = ma M = Iα 11

12 Moto di un copo igido taslatoio Q = m i Se i v i Q = R est R est = 0 otatoio (asse di otazione fisso) L = i i q i L z = ( z ) M Test ( z ) Se M Test = 0 si ha la consevazione della quantità di moto si ha la consevazione del momento angolae valide in un sistema di ifeimento ineziale STATICA Rifeimento ineziale aticella in moto ettilineo unifome: equilibio dinamico. aticella fema: equilibio statico. e l equilibio di una paticella è necessaio e sufficiente che: R = i i = 0 N equilibio indiffeente equilibio stabile, enegia potenziale minima equilibio instabile, enegia potenziale massima 12

13 Equilibio di un copo igido Sistema di ifeimento ineziale equilibio z z dinamico taslatoio v= cost y z y y equilibio dinamico otatoio equilibio statico ω = cost α (acceleazione angolae) = 0 v Cento di massa = 0 y z ω = cost v c = cost a Cento di massa = 0 equilibio dinamico ototaslatoio α (acceleazione angolae) = 0 a Cento di massa = 0 Statica dei copi igidi con asse di otazione fisso Ricodiamo che: Q = M v C = L R z est = I α = ( z ) M Test Condizioni necessaie e sufficienti di equilibio: La isultante delle foze estene deve essee nulla: R est = = 0 a CM = 0 i iest Contempoaneamente deve essee nulla anche la componente lungo l asse di otazione della somma vettoiale dei momenti delle foze estene è nulla: ( z ) M Test = ( i i iest ) z = 0 α = 0 13

14 Esempio = 600 N O M T = 0 = 2 l l 2 = 200 N l = 1.6 m Dov è il cento di massa? R est = 0 2 = = 0 = = 8 00 N olo nel punto di applicazione di 1 ; asse oizzontale con oigine nel polo O. = 2l = = 0.4 m a ( otenza ) STATICA e LEVE N (Reazione vincolae ) O( ulco) b R (Resistenza ) Condizioni necessaie affinché una leva sia in quiete 1) 2) + R + N = 0 ( equilibio delle foze) M + M R + M N = 0 a= Rb ( equilibio dei momenti ) G= R = a b (Guadagno Meccanico) G< 1 ( > R;a< b): leva svantaggiosa G =1 ( = R;a = b): levaindiffeente G >1 ( < R;a > b): levavantaggiosa 14

15 altalena, fobici, piede. V Leva di pimo tipo = potenza R = esistenza = fulco 1 2 R i iest = 0 V + + R = 0 V = + R M T = i = 0 i iest polo nel fulco : 1 = R 2 Guadagno della leva: G = R = 1 2 Leva di pimo tipo: G può assumee qualsiasi valoe. Leva di pimo tipo: potenza non pependicolae alla leva. y V i iest = 0 Vy V + + R = 0 α y b 1 2 M T = 0 polo nel fulco : 1 sen α = R 2 1 sen α = b V R - + V = 0 Vy - y - R = 0 Vy = y + R b = R 2 senα = y = 1 = R 2 Il podotto della potenza pe il baccio della potenza è uguale al podotto della esistenza pe il baccio della esistenza. 15

16 Leva di secondo tipo 1 G = 1 2 > 1 2 R Leva di tezo tipo caiola schiaccianoci schiena 1 2 R canna da pesca pinzetta avambaccio G = 1 2 < 1 VINCOLI La mobilità di un copo può essee limitata dalla pesenza di qualche vincolo N situazione di non equilibio! vincolo di appoggio vincolo di sostegno: fune, molla (la foza vincolae è lungo la fune) V 2 V + = v = 0 el + el = 0 Vy 1 2 Che alta foza occoe? ulco (diezione da deteminae) V V T α T T y 16

17 LEVE DEL CORO UMANO Leva 1 o genee e bilanciae il peso del capo, applicato nel suo baicento,ed evitae che la testa ciondoli in avanti, viene esecitata una 'potenza da pate dei muscoli nucali, che si tovano dall'alto lato ispetto al fulco. L'intensità della foza ealizzata dal muscolo saà tale da podue un momento esattamente uguale a quello podotto dalla 'esistenza'. Si noti anche che l'insieme delle due foze tendeebbe a causae un abbassamento del sistema: il fulco ealizza anche una eazione vincolae che si oppone alla taslazione: pe questo dopo un ceto tempo l'aticolazione è affaticata! LEVE DEL CORO UMANO Leva di 2 o genee Resistenza (peso) e potenza (muscolo) si tovano dalla medesima pate ispetto al fulco, e la potenza ne è più lontana (maggio baccio). 17

18 LEVE DEL CORO UMANO Leva di 3 o genee la potenza (tensione muscolae del bicipite) è molto vicina al fulco (gomito), mente la esistenza (peso del baccio, più eventuale peso sostenuto dalla mano) è più distante. M = 80 kg, 1 = 6.5 cm, 2 = 3 cm, α =75 α R Leva di I tipo R = mg 2 = 392 N Vy iede V 1 2 α y 1 θ V 2 R 1 sen α = R 2 R = 2 1 sen α = N Vy = sen = 573 N V = cos75 = 48.5 N V = R + + V = 0 2 V + 2 Vy = = 575 N sen α + R = Vy cosα = V ϑ = actg Vy V =

19 schiena leva di II tipo 1 = 0.84 m, 2 = 0.72 m, α =12 m = 50 kg V R schiena 1 = 0.84 m, 2 = 0.72 m, α =12 m = 50 kg R = 490 N V M T = 0 Vy y polo in β α R = 0 V R 2 1 sen α R 2 = 0 1 R = = = N 1 sen α 0.84 sen 12 + R + V = 0 Vy + sen α R = 0 V cosα = 0 Vy = sen 12 = 70 N V = cos12 = 1976 N V = 2 V + 2 Vy = 1977 N β = a ctg Vy V =

20 Avambaccio leva di III tipo 1 = 5 cm 2 = 15 cm 3 = 35 cm 1 R 1 R 2 m 1 = 1.3 kg, m 2 = 3 kg, 2 R 1 =12.7 N, R 2 =29.4 N v 3 + R 1 + R 2 + V = 0 V + R 1 R 2 = 0 V = R 1 + R 2 M T = 0 1 R 1 2 R 2 3 = 0 = R R 2 3 = N 1 V = = N La eazione vincolae del fulco è oientata in veso opposto alla potenza, quindi veso il basso. Mandibola y O 20

21 Es: usando gli incisivi: m = 500 N θ = 60 b 2 = 4 b m R 2 m my V M θ m V β 2 b 2 b m y O Vy + senθ m m = = + cos θ + M = 0 V T Vy m msen θ = 4 2 V V = 0 V + b 2 Vy = 0 Vy 2 = m = 0 = m = V b m m cos θ; = m 1 cos θ = 500 = 250 N 2 sin θ 3 / my = senθ = m m 3 / 2 = N bm sinθ 500 = b 4 2 = N β = actg 3 / 2 Vy V = N =

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