Moltiplicazione. Divisione. Multipli e divisori

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1 Addizione Sottrazione Potenze Moltiplicazione Divisione Multipli e divisori

2 LE QUATTRO OPERAZIONI Una operazione aritmetica è quel procedimento che fa corrispondere ad una coppia ordinata di numeri (termini dell operazione) un terzo numero (risultato) ADDIZIONE: E l operazione che associa a una coppia ordinata di numeri un terzo numero che si ottiene contando dopo il primo numero tante unità quante sono quelle del secondo numero. I termini dell addizione si dicono addendi il risultato somma o totale. Es : 5+6 =11 (5 e 6 addendi ; 11 somma) L insieme N è chiuso rispetto all addizione perché la somma di due numeri naturali è sempre un numero naturale : a + b = c con a, b, c appartengono a N L addizione si può rappresentare graficamente : si scrive l immagine del primo addendo, si contano a partire da questa tante unità quante sono quelle del secondo addendo; il punto in cui si arriva è l immagine della somma data. Es : 1+6 =7

3 PROPRIETA DELL ADDIZIONE 1. Proprietà commutativa : cambiando l ordine degli addendi la somma non cambia Es : 4+6 = Proprietà associativa : Se a due o più addendi sostituiamo la loro somma, la somma finale non cambia. Es: = 3+(2+ 8) = Proprietà dissociativa : La somma non cambia se al posto di un addendo se ne sostituiscono altri aventi per somma l addendo sostituito. Es : = =80 TUTTE LE PROPRIETA DELLE OPERAZONI SERVONO PER RENDERE PIU RAPIDI I CALCOLI, OVVIAMENTE NON CAMBIA MAI IL RISULTATO

4 LA SOTTRAZIONE E l operazione che fa corrispondere a una coppia ordinata di numeri la loro differenza. La differenza è quel numero, se esiste, che addizionato al secondo dà per somma il primo, per questo motivo la sottrazione è l operazione inversa dell addizione I termini della sottrazione sono : Minuendo, sottraendo, il risultato è la differenza Es : = 31 (45 minuendo ; 14 sottraendo; 31 differenza) la prova : = 45 La sottrazione si può rappresentare graficamente : si parte dal minuendo e ci si sposta verso sinistra di tante unità quante sono quelle del sottraendo, il punto incui si arriva, se esiste, è l immagine della differenza. Es (vedi fig.) 9-4 =5 L insieme N non è chiuso rispetto alla sottrazione perché per poterla eseguire in N il minuendo deve essere maggiore del sottraendo.

5 PROPRIETA DELLA SOTTRAZIONE Proprietà invariantiva : Aggiungendo o sottraendo, se possibile, sia al minuendo che al sottraendo uno stesso numero diverso da zero, la differenza non cambia Es : = 7 Applicando la proprietà : (45-5) (38-5) = = 7 Oppure (45 + 2) (38 +2) = =7

6 LA MOLTIPLICAZIONE La moltiplicazione è l operazione che associa a due numeri (FATTORI) un terzo numero (PRODOTTO) che si ottiene sommando tanti addendi uguali al primo quante sono le unità del secondo. ES: 4 x 8= 32 cioè = 32 La moltiplicazione è una operazione interna all insieme N, esso pertanto si dirà chiuso rispetto alla moltiplicazione. Il prodotto di tre o più fattori si ottiene moltiplicando al prodotto tra i primi due il terzo fattore e così via. ES: 3 x 4 x5 = 12 x5 = 60. La moltiplicazione si può rappresentare sulla retta orientata: si deve individuare il primo fattore, successivamente si compiono tanti salti pari al primo fattore quante sono le unità del secondo fattore, il punto in cui si arriva è l immagine del prodotto ES : 2 x 4

7 PROPRIETA DELLA MOLTIPLICAZIONE PROPRIETA COMMUTATIVA : cambiando l ordine dei fattori il prodotto non cambia ES : 5 x 6 = 6 x 5 PROPRIETA ASSOCIATIVA : Il prodotto di più fattori non cambia se a due o più di essi si sostituisce il loro prodotto. ES : 5 x2 x 6 = 10 x6 =60 PROPRIETA DISSOCIATIVA : Il prodotto di due o più fattori non cambia se a un fattore se ne sostituiscono altri aventi per prodotto il fattore sostituito. ES : 80 x 5 = 8 x 10 x 5 = 400 PROPRIETA DISTRIBUTIVA: Per moltiplicare una somma (o una differenza) per un numero si può moltiplicare ogni singolo termine per quel numero e poi addizionare (o sottrarre) i prodotti ottenuti. ES : (7 + 3) x 5 = (7 x 5 ) + (3 x 5) = 50 ( 8-5) x 2 = (8 x2) (5 x 2) = 6

8 LA DIVISIONE La divisione è l operazione che associa a due numeri (dividendo e divisore) un terzo numero, se esiste, quoto che moltiplicato al divisore dà come risultato il dividendo. Es : 20 : 4 = 5 perché 5 x4 =20 Questa divisione si dice propria. Una divisione si dice impropria se non è esatta, cioè rimane il resto Es: 34 : 4 = 8 resto 2 perché 8 x4 = = 34 La divisione non è sempre possibile in N quindi l insieme N è aperto rispetto alla divisione e la divisione non è una operazione interna all insieme N La divisione si può rappresentare sulla retta numerica: si parte dal dividendo e si fanno tanti salti fino allo 0 ampi quante sono le unità del divisore. Il numero dei salti sarà il quoto. Es : 12 :4 =3

9 QUOZIENTE APPROSSIMATO Il risultato di una divisione impropria si dice quoziente. Se non si continua la divisione e si conclude con un quoziente intero questo sarà approssimato a meno di una unità. Potrà essere approssimato per difetto, o per eccesso Es : 43 : 6 = 7 7 è il quoziente approssimato per difetto a meno di una unità, 8 è il quoziente approssimato per eccesso a meno di una unità 7 < (43 : 6) < 8 Continuando la divisione fino ai decimi, se la divisione continua ad avere resto ci sarà un quoziente approssimato per difetto a meno di un decimo Es : 43 : 6 = 7,1 7,1 è il quoziente approssimato per difetto a meno di un decimo 7,2 è il quoziente approssimato per eccesso a meno di un decimo 7,1< (43 : 6) < 7,2 Maggiore è il numero di cifre decimali più corretto è il quoziente.

10 Proprietà della divisione Proprietà invariantiva: Se moltiplichiamo o dividiamo, se possibile, con un numero diverso da zero, sia il dividendo che il divisore, il quoto non cambia. Se la divisione è impropria il resto rimane moltiplicato o diviso per quel numero Es : 40 :10 = 4 con la p. invariant. (40 x2) : (10 x 2) = moltiplico per 2 80 : 20 =4 43 : 6 = 7 resto 1 con la p. invariant. (43 x10) : (6 x 10) = moltiplico per : 60 = 7 resto 10. Questa proprietà si usa obbligatoriamente quando il divisore è decimale perché bisogna sempre che sia un numero naturale e quindi si moltiplicano sia il divisore che il dividendo per 10 o sue potenze. Proprietà distributiva rispetto alla somma o alla differenza : Questa proprietà si può applicare solo se la somma o la differenza sono al posto del dividendo e se entrambi i termini sono divisibili per il divisore dato. Es: (65 +15) : 5 = (65 : 5) + (15 : 5) = = 16 (85-14) : 7 = non si può applicare perché 85 : 7 non è una divisione propria

11 ELEVAMENTO A POTENZA L elevamento a potenza è l operazione che associa a due numeri a (base) n (esponente) un terzo numero (potenza) che si ottiene moltiplicando la base per se stessa tante volte quante sono le unità del esponente Es : 5 3 = 5 x 5 x5 = = base; 3 = esponente 125 = potenza Per elevare a potenza un numero decimale, si esegue la potenza considerando la base un numero intero infine si mette la virgola separando da destra a sinistra tante cifre quante sono le cifre decimali della base moltiplicate l esponente Es: 1,5 2 = 15 x 15 = 225 quindi 2,25 Es : 2,41 3 = 241 x 241 x 241 = quindi 13, Una potenza che ha esponente 2 si dice anche al quadrato, se ha l esponente tre si dice al cubo. Es: 16 2 si può dire 16 al quadrato o 16 alla seconda 16 3 si può dire 16 al cubo o 16 alla terza.

12 USO DELLE TAVOLE NUMERICHE Le tavole numeriche riportano i quadrati, i cubi, la radice quadrata e la radice cubica dei primi mille numeri. Sono divise in colonne: nella colonna n sono riportati i numeri, nella colonna n 2, nella colonna n 3 sono riportate rispettivamente la potenza al quadrato e la potenza al cubo di n.

13 Potenze con lo stesso esponente: PROPRIETA DELLE POTENZE a. Prodotto tra potenze che hanno base uguale e esponente diverso: E la potenza che ha per base la stessa base e per esponente la somma degli esponenti. Es : a n x a m = a n + m Es: 5 4 x 5 3 = = 5 7 b. Quoto tra potenze che hanno la stessa base e esponente diverso : E la potenza che ha per base la stessa base e per esponente la differenza degli esponenti. Es : a n x a m = a n - m Es: 5 4 x 5 3 = = 5 1 (con n >m) c. La potenza di una potenza : E una potenza che ha per base la stessa base e per esponente il prodotto tra gli esponenti: Es : [(a) n ] m = a n x m [(5) 3 ] 2 = a 3 x 2 = 5 6

14 Potenze con lo stesso esponente: PROPRIETA DELLE POTENZE a. Prodotto tra potenze che hanno base diversa e lo stesso esponente: E la potenza che ha per base il prodotto tra le basi e per esponente lo stesso esponente Es : a n x b n x c n = (axbxc) n 3 2 x 4 2 x 5 2 = (3 x 4 x 5) 2 = 60 2 b. Quoto tra potenze che hanno base diversa e lo stesso esponente: E la potenza che ha per base il quoto tra le basi e per esponente lo stesso esponente: a n : b n = (a : b) n 15 2 : 5 2 = (15 : 5) 2 = 3 2 Proprietà distributiva della potenza rispetto alla moltiplicazione o alla divisione: Per elevare a potenza un prodotto (o un quoto) si possono elevare a potenza i singoli termini e fare poi la moltiplicazione o il quoto. (a x b x c ) n = a n x b n x c n (a : b ) n = a n : b n

15 CASI PARTICOLARI Potenze con esponente 1 : La potenza con esponente 1 è sempre uguale alla base : Es : a 1 = a Es. con i numeri : 7 1 = 7 Potenza con esponente 0 : La potenza con base diversa da 0 e esponente 0 è sempre uguale a 1 qualunque sia la base: a 0 = 1 Es. con i numeri 78 0 = non ha significato Potenza con base 1: E sempre uguale a 1 perché 1 moltiplicato per se stesso dà sempre come prodotto 1 1 n = 1 Es. con i numeri 1 8 = 1 Potenza con base 0 ed esponente diverso da 0: E sempre uguale a 0 Es 0 n = 0 Es. con i numeri 0 56 = 0

16 Operazioni inverse La radice: Estrarre la radice, di indice n di un numero (radicando) significa determinare il numero (radice) che elevato a n dà il radicando è il radicando, l indice è 2 (non si scrive) la radice quadrata di 81 è 9 perché 9 2 = è il radicando, l indice è 3, la radice cubica di 27 è 3 perché 3 3 =27 16 è il radicando, l indice è 4, la radice quarta di 16 è 2 perché 2 4 =16 La radice è quindi l operazione inversa della potenza che ci permette di calcolare la base conoscendo la potenza (radicando) e l esponente (indice)

17 Il logaritmo: Calcolare il logaritmo in una determinata base di un numero (argomento) significa trovare quel numero (logaritmo) a cui bisogna elevare quella base per trovare l argomento log 2 16 = 4 perché 2 4 =16 log = 4 perché 5 4 =625 2 è la base, 16 è l argomento, 4 è il logaritmo 5 è la base, 625 è l argomento, 4 è il logaritmo Il logaritmo è l operazione inversa della potenza che dati la base e la potenza (argomento) ci consente di trovare l esponente (logaritmo)

18 NOTAZIONE SCIENTIFICA Consideriamo le potenze con base 10: 10 1 = = = = = Una potenza di base 10 ed esponente positivo è un numero formato da 1 e da tanti 0 quante sono le unità dell esponente Consideriamo le potenze che hanno per base 0,1: 0,1 1 = 0,1 corrisponde a ,1 2 = 0,01 corrisponde a ,1 3 = 0,001 corrisponde a ,1 4 = 0, 0001 corrisponde a ,1 6 = 0, corrisponde a 10-6 Una potenza di base 10 ed esponente negativo è un numero formato da 0 e da tanti 0 decimali tranne l ultima cifra che è 1 quante sono le unità dell esponente

19 UTILIZZO DELLE POTENZE DI10 Le potenze di 10 ci permettono di scrivere numeri molto grandi e/o numeri molto piccoli, sotto forma di un prodotto tra un numero decimale compreso tra 1 e 10 per una potenza di 10 Per numeri molto grandi : Es : 5698 = 5,698 x = 3, x 10 6 Come si procede : 5698 : 1000 = 5,698 x : = 3, x 10 6 Lo stesso si fa per i numeri molto piccoli utilizzando le potenze di 10 con esponente negativo Es: 0,0098 =9,8 x , = 8,76 x 10-5 Questo modo di scrivere, utilizzando le potenze di 10, numeri molto grandi o molto piccoli si dice Notazione scientifica

20 ORDINE DI GRANDEZZA L ordine di grandezza di un numero è la potenza di 10 più vicina a quel numero Per individuarla bisogna: Scrivere il numero in notazione scientifica e considerare a quali potenze di 10 è vicino Se l unità del numero scritto in notazione scientifica è uguale o maggiore di 5 si sceglie la potenza di 10 maggiore Se l unità del numero scritto in notazione scientifica è minore di 5 si sceglie la potenza di 10 minore Es : 7897 in notazione scientifica : 7,897 x 10 3 Quindi 10 3 < 7,897 x 10 3 < 10 4 L ordine di grandezza è 10 4 Per i numeri molto piccoli si usano le potenze di 10 con esponente negativo: all esponente con il valore numerico maggiore corrisponde il numero decimale minore Es : 0,02325 in notazione scientifica : 2,325 x 10-2 Quindi 10-2 < 2,325 < 10-1 L ordine di grandezza è 10-2

21 SCRITTURA POLINOMIALE Il nostro sistema di numerazione è decimale (o in base 10, perché si usano solo 10 simboli o cifre) e posizionale (perché ogni cifra assume valore in base al posto che occupa. Ora che conosciamo le potenze possiamo scrivere qualsiasi numero nella forma polinomiale usando le potenze di 10 Es : = 3 x x x x x 10 Es: 456,764 = 4 x x x 10 +7x x x 10-3 In un sistema a base 5 le cifre che si possono utilizzare sono 5 e cioè: Utilizzando anche per questo sistema la base polinomiale avremo: (2314) 5 = 2 x x x x 5 0 Eseguendo i calcoli troverò il numero espresso in base 10: 2 x x25 +1x5 +4 x1 = = 334

22 SISTEMA BINARIO E il sistema di numerazione a base 2. Ha solo due cifre : 0-1. E il linguaggio utilizzato in elettronica perché convertibile in segnale elettrico. Per trasformare un numero dal sistema binario a quello decimale si usa la forma polinomiale: Es. (10110) 2 = 1x x x x x 2 0 Calcolando: =22 Per passare da un numero in base 10 al corrispondente in base 2 bisogna effettuare divisioni consecutive: 35 : 2 = 17 resto : 2 = 8 resto : 2 = 4 resto ; 2 = 2 resto : 2 =1 resto : 2 = 0 resto Il numero in base 2 è (100011) 2

23 MULTIPLI E DIVISORI Si dice multiplo di un numero a diverso da zero, ogni numero naturale che si ottiene moltiplicando a per ciascun elemento di N. Poiché N = { 0,1,2, , } Zero è multiplo di tutti i numeri quindi non lo si considera, inoltre poiché l insieme N è infinito anche i multipli di un numero sono infiniti. L insieme dei multipli di un numero si indica Es : M 4 = { 0,4,8,12,16,20,...44,...100, } Solo lo zero ha un solo multiplo : 0 Altri esempi : M 8 = { 0,8,16,24,32,...40,...104, } M 7 = { 0,7,14,21,35,...49,...105, }

24 DIVISORI Se una divisione è esatta o propria cioè non ha resto, Es : a:b = c il divisore dato b sarà detto anche divisore di a o sottomultiplo di a a = multiplo di b b = sottomultiplo di a a= divisibile per b b = divisore di a Se la divisione a : b = c + resto non è esatta si dirà che: a non è divisibile per b b non è divisore di a. I sottomultipli di un numero diverso da zero si dicono fattori di quel numero, l insieme dei divisori si indica: D 8 = { 1,2,4,8} D 10 = { 1,2,5,10} D 13 = { 1,13} OSSERVAZIONI L insieme dei divisori di un numero è finito. 1 è divisore di tutti i numeri. Ogni numero è divisibile per se stesso. Se un numero a è divisibile per il numero b saranno divisibile per b anche i sui multipli Es : 21 è divisibile per 3 e per 7, anche 42, 63, 210 saranno divisibili per 3 e per 7

25 CRITERI DI DIVISIBILITA PER 2 : Un numero è divisibile per 2 se l ultima sua cifra a destra è pari o zero ( ). Es: Sono divisibili per 2 : 34; 876; 900; 654; Non sono divisibili per 2 : 65; 87; 549; 8761,. PER 5 : Un numero è divisibile per 5 se l ultima sua cifra a destra è 5 o zero (0 5). Es: Sono divisibili per 5 : 35; 875; 900; 170; Non sono divisibili per 5 : 643; 887; 2549; 80761,. PER : Un numero è divisibile per se l ultima sua cifra a destra è uno zero, due zeri, tre zeri. ( ). Es: Sono divisibili per 10 : 30; 870; 950; 170; Non sono divisibili per 10 : 643; 887; 2549; 80761,. Sono divisibili per 100: 400, 5300, 7400, , ) Non sono divisibili per 100: 340, 5320, 2189, )

26 PER 3 e per 9 : Un numero è divisibile per 3 se sommando tutte le sue cifre si ottiene un multiplo di 3. Es: Sono divisibili per 3 : 36 perché 3+6 =9; 876 perché = 21; 900 perché =9 ; 654 perché = 15 Non sono divisibili per 3 : 65 perché 6+5 = 11; 82 perché 8+2 =10; 841 perché 8+4+1=13; Un numero è divisibile per 9 se sommando tutte le sue cifre si ottiene un multiplo di 9. Es: Sono divisibili per 9 : 405 perché = perché = 18 Non sono divisibili per 9: 329 perché = perchè =14

27 PER 4: Un numero è divisibile per 4 se le ultime due cifre sono 00 oppure multipli di 4 ( ) Es : Sono divisibili per 4 : 340, 520, 7656 Non sono divisibili per 4 : 342, 574, 4321 PER 25: Un numero è divisibile per 25 se le ultime due cifre sono 00 oppure multipli di 25 ( ) Es : Sono divisibili per 25 : 350, 2500, 7675 Non sono divisibili per 25 : 340, 5472, 43205

28 PER 11: Un numero è divisibile per 11 se la differenza tra la somma delle sue cifre di posto dispari e quella delle sue cifre di posto pari (o viceversa) è zero, 11 o multiplo di 11. Sono divisibili per 11 : 363 perché (3+3) 6 =0, 3509 perché (5+9) (3 + 0) =14-3=11, 7656 perché (7+5) (6+6) = =0 Non sono divisibili per 11 : 342, 574, 4321 perché..

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