NUMERI NATURALI E INTERI

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1 NUMERI NATURALI E INTERI.L isiee dei ueri turli. Le operzioi fr ueri turli: ddizioe e oltipliczioe.2 L ordieto.3 Sottrzioe e divisioe.4 Divisibilità ell isiee dei turli.5 L eleveto potez.6 Rppresetzioe decile dei ueri turli.7 Nueri prii.8 Mssio cou divisore e iio coue ultiplo 2. L isiee dei ueri iteri 2. Operzioi fr ueri iteri: ddizioe, oltipliczioe, sottrzioe 2.2 L ordieto 2.3 Divisioe fr ueri iteri: l divisioe co resto (divisioe euclide) 2.4 L eleveto potez fr ueri iteri 3. Note: 3. Il liguggio tetico: espressioi siboliche 3.2 Verifiche e diostrzioi

2 . L INSIEME DEI NUMERI NATURALI Accettio qui u ozioe ituitiv di uero turle: quell che ci viee dll esperiez di cotre oggetti. I ltre prole i ueri turli soo:, 2, 3, ecceter. E chiro tutti cos sigific quell ecceter: che se l ostr esperiez ci perette di cotre solo u uero fiito di oggetti, fi dlle eleetri bbio ituito che fissto u uero turle è sepre possibile pesre uo più grde. L ozioe di uero turle si può fodre i odo rigoroso fcedo ricorso gli ssioi di Peo (logete quto si f i geoetri eleetre per fodre l ide di puto, rett, pio). L isiee dei ueri turli è di solito idicto co il sibolo Ν o che co {, 2, 3, }. Osservzioe: Il uero 0 è u uero turle? Per lcui tetici sì, per ltri o (ed ogi posizioe h delle giustificzioi seste). Quest cz di ccordo o cre problei, purché veg esplicitt fi dll iizio l scelt che si f, e soprttutto purché ci si coporti poi i odo coerete co tle scelt. L scelt che freo qui è di cosiderre 0 u uero turle. Per oi quidi N = {0,, 2, 3, }.. Le operzioi ell isiee dei ueri turli: ddizioe e oltipliczioe Nell'isiee N soo defiite due operzioi: l ddizioe e l oltipliczioe. Precisio cos si itede per operzioe i u isiee A: è u legge che ssoci due (o evetulete più) eleeti dell isiee u eleeto ch esso dell isiee A. L ddizioe e l oltipliczioe soo quidi operzioi ell isiee N perché due ueri turli ssocio u uero turle (chito so el cso dell ddizioe, prodotto el cso dell oltipliczioe). Cosiderio queste operzioi ote livello ituitivo (ch esse si potrebbero defiire rigorosete prtire dgli ssioi di Peo). L operzioe di ddizioe gode delle segueti proprietà: ) Proprietà couttiv Per qulsisi, pprteeti N: +=+ Osservzioe: l posto di per qulsisi o per ogi si può usre il sibolo (detto qutifictore uiversle) Osservzioe: l posto di pprteeti o pprtegoo si può usre il sibolo. 2) Proprietà ssocitiv,,h N: (+)+h=+(+h). Osservzioe: l proprietà ssocitiv dell ddizioe rede superflue le pretesi qudo si devoo ddiziore diversi ddedi. 3) Esistez dell eleeto eutro, cioè di u eleeto e co l proprietà che + e = e + = N. L'eleeto eutro per l'ddizioe è il uero 0, iftti per esso vle: N + 0 = 0+ =. Osservzioe: Quest proprietà turlete si perde se si f l scelt di o cosiderre 0 u eleeto dell isiee N. L operzioe di oltipliczioe gode delle segueti proprietà: ) Proprietà couttiv:, N: = 2

3 2) Proprietà ssocitiv:,,h N: ( ) h = ( h) Osservzioe: l proprietà ssocitiv dell oltipliczioe rede superflue le pretesi qudo si devoo oltiplicre diversi fttori. 3) Esistez dell eleeto eutro. L'eleeto eutro per l oltipliczioe è il uero, iftti per esso vle: N = = C è ifie u proprietà l proprietà distributiv che leg oltipliczioe e ddizioe: d) Proprietà distributiv dell oltipliczioe rispetto ll ddizioe:, b, c N: ( b + c) = b + c.2 L ordieto i N Coe sppio i ueri turli si possoo ordire, cioè dti due ueri turli e diversi, o >, o >. I ltre prole l isiee N è dotto di u ordieto (o relzioe d ordie). Questo ordieto si può defiire prtire dll operzioe di ddizioe el odo seguete: Defiizioe: Sio, N. Direo che se esiste k N tle che = + k. Osservzioe: Prtedo dll defiizioe dt di possio defiire l relzioe <. Dicio che < b se b e b. Osservzioe: b sigific è iore oppure ugule b. Quidi le segueti disuguglize soo vere: Presi due ueri turli e qulsisi, si verific u e u sol delle segueti codizioi: = > > Si dice che che l isiee N è u isiee (totlete) ordito, cioè è u isiee i cui è defiit u relzioe d ordie (totle). U relzioe d ordie i u isiee A è u relzioe che verific le segueti proprietà: ) A (propriet' riflessiv) 2) se b e b llor = b ( proprietà tisietric) 3) se b e b c llor c (proprietà trsitiv). Se ioltre vle che l proprietà: 4), b A vle u sol delle segueti relzioi: < b ; b < ; = b (tricotoi) llor l relzioe si dice di ordie totle..3 Sottrzioe e divisioe fr ueri turli Forse vi siete chiesti perché bbio prlto di due operzioi soltto, e bbio trscurto sottrzioe e divisioe. 3

4 Il ftto è che sottrzioe e divisioe si defiiscoo prtire d ddizioe e oltipliczioe: l sottrzioe coe operzioe ivers dell ddizioe, l divisioe coe operzioe ivers dell oltipliczioe. Più precisete: A prtire dll ddizioe si può defiire l sottrzioe fr due ueri e (che si idic co il sego ) coe l operzioe che i ueri e ssoci quel uero x (detto differez di e ) tle che: + x = Alogete prtire dll oltipliczioe di può defiire l divisioe fr due ueri turli e (che si idic co il sego : ) coe l operzioe che i ueri e ssoci quel uero x tle che: x = A differez dell ddizioe e dell oltipliczioe, queste operzioi o soo itere N, perché i geerle presi due ueri turli qulsisi o è possibile fre l sottrzioe o l divisioe riedo detro N (cioè vedo coe risultto cor ueri turli). Ad esepio se = 5 e = 7 o c è essu uero turle x che soto 7 di 5. Se = 7 e = 2, o esiste essu uero x turle tle che 2 x = 7.4 Divisibilità ell isiee dei turli Quest ultio esepio ci port defiire u ltr relzioe d ordie i N: quell di divisibilità. Defiizioe: Se e soo due ueri turli per cui esiste k = k N tle che: si dice che è ultiplo di (o che è divisore di, o che divide ). Osservzioe: l posto di esiste si può usre il sibolo (detto qutifictore esistezile).5 Poteze A prtire dll oltipliczioe si defiisce ituitivete l operzioe di potez di bse il uero turle ed espoete il uero turle >0: =... volte Osservzioe: L operzioe di eleveto potez o gode é dell proprietà ssocitiv é di quell couttiv. (Diostrlo) Proprietà delle poteze: p),, N : p2) Se > e 0 p3),, N : = = ( ) = p4), b, N ( b ) = b + 4

5 .6 Rppresetzioe decile dei ueri turli I ueri turli soo di solito rppresetti d u sequez fiit di cifre. Nell scrittur i bse dieci (o decile) le cifre soo dieci: 0; ; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9. L scrittur 207, d esepio, sigific: L scrittur 27 sigific ivece Problei: ) Scrivete il uero l cui cifr delle uità è p, quell delle decie è q e quell delle cetii è r. 2) Scrivete il uero l cui cifr delle uità è p, quell delle decie è q e quell delle iglii è r. 3) Scrivete il uero l cui cifr delle uità è p, quell dei decii è q e quell dei cetesii è r. 4) Scrivete il più grde uero di tre cifre co le segueti crtteristiche: u delle tre cifre è 4 e l so delle restti cifre è 8. 5) Scrivete il più grde uero di 4 cifre per cui l so delle cifre delle uità e delle decie si il doppio dell so delle cifre delle cetii e delle iglii. 6) È dto u uero itero p l cui rppresetzioe i bse dieci è di due cifre. L so delle due cifre di p è 0, il uero otteuto scbido le cifre super p di 36. Trovte p. 7) Che cos succede se, ell stess situzioe del proble precedete, l so delle cifre è 4 ivece che 0? 8) È possibile che esist u uero di due cifre p, tle che il uero otteuto scbido le cifre si il doppio di p?.7 Nueri prii Defiizioe: U itero positivo è detto prio se h esttete 2 divisori positivi. I ltri terii, soo prii gli iteri positivi diversi d e divisibili soltto per sé stessi e per. Esepi 2 è prio perché h esttete 2 divisori positivi: e 2. 0 o è prio perché o è positivo. 8 o è prio perché h più di 2 divisori positivi; iftti e h 6 (quli?). È spesso utile rppresetre i ueri iteri coe prodotto di poteze di ueri prii. Quest rppresetzioe, dett scoposizioe i fttori prii, è possibile i ogi cso, ed è uic, coe ssicurto dl teore che segue. TEOREMA FONDAMENTALE DELL ARITMETICA: Ogi itero positivo h u e u sol scoposizioe i fttori prii. Diostrzioe Diostrio per ssurdo: igiio che esisto dei ueri iteri positivi co due fttorizzzioi e si il iio di tli ueri iteri: = p p2... pr = q q2... qs () i cui le p e le q soo prii. Cbido se ecessrio l ordie delle p e delle q, possio supporre che p p2... p r e q q2... qs. Or p o può essere ugule q perché ltrieti si potrebbe seplificre di due ebri dell ugugliz () il prio fttore e si otterrebbero due scoposizioi essezilete diverse i fttori prii di u uero turle itero iore di, cotro l ipotesi che si l itero più piccolo per cui questo è possibile. 5

6 Quidi o è Suppoio p < q p < q oppure p q <. ( per l ltro cso è sufficiete scbire le lettere p e q i ciò che segue). Forio il uero: = - ( p... q2 qs ) (2) Sostituedo le due espressioi dell ugugliz () si ottiee: = p p... p p q q = p ( 2 s s p... p q... q 2 r s 2 ) (3) = q q... q 2 s s p q q = ( q p) ( q q3... qs 2 ) (4) p < segue dll (4) che è u uero itero positivo e dll (2) che è iore di. Essedo Quidi l scoposizioe i fttori prii di deve essere uic, prte l ordie dei fttori. M dll (3) risult che p è u fttore di perciò ell (4) p deve coprire coe u fttore o di q ( q p) o di q2 q3... qs (ciò dll suppost uicità dell scoposizioe i fttori prii di ). Il secodo cso è ipossibile perché tutte le q soo ggiori di p. p deve essere u fttore di ( q p) ( q ) = p h Quidi, cosicché deve esistere u itero h per cui che p ovvero q = p( h + ). M d questo risult che p è u fttore di q cotro l ipotesi che q si prio. Quest cotrddizioe ostr l ssurdità delle ipotesi iizili e coplet l diostrzioe del teore. Esepi 600 = = Problei: ) Soo dti due ueri turli, x e y. Si s che y=x+ e che x, y soo etrbi prii. Trovte x e y ) Spedo che M = , rivete l scoposizioe i fttori prii di M 2. 3) M è lo stesso del proble precedete. Secodo voi copre il fttore 2 ell scoposizioe i fttori prii di M+? Osservzioe: Forse l defiizioe che ricordvi di uero prio er U uero si dice prio se h coe divisori solo se stesso e. Co tle defiizioe risulterebbe essere u uero prio. Questo creerebbe problei sull uicità dell scoposizioe i fttori prii, perché potreo itrodurre fr i fttori prii di u uero il uero co qulsisi espoete. Per questo otivo si preferisce o cosiderre il uero coe uero prio. U defiizioe equivlete quell che bbio dto e più siile quell che probbilete ricordvi è: U uero ggiore di si dice prio se h coe divisori solo se stesso e..8 Mssio cou divisore e iio coue ultiplo di due ueri turli Se due ueri turli e b soo etrbi divisibili per il uero turle k, dicio che k è u divisore coue di e b. Ad esepio i ueri 08 e 44 ho coe divisori coui i ueri :, 2, 3, 4, 6, 9, 2, 8, 36. Siccoe l isiee dei divisori coui di due ueri e b è u isiee fiito (cioè h u uero fiito di eleeti) esiste il ssio di tle isiee, cioè il più grde dei divisori coui di e b: tle uero si chi ssio cou divisore (M.C.D.) dei ueri e b. (I reltà esiste che il iio dell isiee dei divisori coui, è poco iteresste. Perché?). 6

7 I ltre prole si h l: Defiizioe: Si dice ssio cou divisore (M.C.D.) di due ueri e b il più grde dei divisori coui di e b. Esepi: Il M.C.D. di 08 e 44 è 36. Si us che scrivere (08, 44) = 36. Defiizioe: Se il M.C.D. di due ueri e b è (cioè qudo è l uico divisore coue di e b), dicio che e b soo prii fr loro. Esepio: 74 e 75 soo prii fr loro. Se due ueri e b ho etrbi coe ultiplo u uero, si dice che è ultiplo coue dei due ueri. L isiee dei ultipli coui di due ueri è u isiee ifiito, che o h ssio, h iio (cioè esiste il uero più piccolo dell isiee). Tle uero si chi iio coue ultiplo (.c..) di e b. I ltre prole si h l: Defiizioe: Si dice iio coue ultiplo (.c..) di due ueri e b il più piccolo dei ultipli coui di e b. Problei: ) Diostrre che l relzioe di divisibilità è u relzioe d ordie o totle. Ricordio l defiizioe di relzioe d ordie totle. U relzioe d ordie i u isiee A è u relzioe che verific le segueti proprietà: ) A (propriet' riflessiv) 2) se b e b llor = b ( proprietà tisietric) 3) se b e b c llor c (proprietà trsitiv). Se ioltre vle che l proprietà: 4), b A vle u sol delle segueti relzioi: < b ; b < ; = b (tricotoi) llor l relzioe si dice di ordie totle. 2) Se e b soo prii fr loro, qul è il loro.c..? Osservzioe: Si può diostrre che dti due ueri turli e b, il uero è iio coue ultiplo di e b se e solo se vlgoo le segueti tre proprietà: (i) divide (ii) b divide (iii) ogi uero che divide e b divide che. Problei: ) Cos vuol dire se e solo se? 2) Scrivi l proprietà (iii) usdo il siboliso tetico 7

8 2. L INSIEME DEI NUMERI INTERI Coe bbio visto ell isiee N dei ueri turli o sepre è possibile fre l sottrzioe. Ad esepio 3 5 o si può fre, el seso che o esiste essu uero turle che soto 5 di 3. Per poter eseguire tutte le sottrzioi possibili si estede l isiee N ll isiee dei ueri iteri reltivi, idicto co Ζ, o che {, 2,, 0,, 2, }: l isiee dei reltivi si ottiee dll isiee dei turli ggiugedo gli iteri egtivi (quest costruzioe si può fre i odo rigoroso, oi qui o iteress). Possio che dire che per ogi uero turle itroducio il suo opposto : il uero egtivo che idichio co -. I questo odo divet possibile eseguire l sottrzioe fr due ueri iteri quluque. Nell isiee Z ogi uero h u opposto: se il uero è positivo (d esepio =5), l opposto srà egtivo (-5); se il uero è egtivo (d esepio = - 4) l opposto srà positivo (4). I geerle l opposto del uero si idic co. L isiee Z cotiee coe sottoisiee l isiee dei ueri positivi (cioè {, 2, }, che si possoo che scrivere {+, +2, }), cioè l isiee N. Defiizioe: Si chi vlore ssoluto, o odulo, di u uero itero, e si idic co, il uero stesso se è positivo o ullo, il suo opposto se è egtivo. Proprietà del vlore ssoluto: ) x 0 x Z x = 0 x = 0 2) x y = x y x, y Z 3) x + y x + y x, y Z (disugugliz trigolre) (diostrrlo) Defiizioe: Due ueri iteri, diversi dllo zero, si dicoo cocordi se soo etrbi positivi o etrbi egtivi. I cso cotrrio si dicoo discordi. 2. Operzioi fr ueri iteri Voglio or defiire ddizioe e oltipliczioe ell isiee Z, prtire dlle operzioi di ddizioe e oltipliczioe defiite i N. Si trtt quidi di defiire, presi e b iteri reltivi: - l so + b - il prodotto b Nel dre queste defiizioi ci poio due vicoli: ) voglio che queste operzioi, qudo effettute fr i ueri iteri positivi (cioè i vecchi ueri turli) dio lo stesso risultto che dvo i N. Ad esepio voglio che ( + 5) = + 2 e che: ( + 7) ( + 5) =

9 2) Voglio che l ddizioe e l oltipliczioe i Z godo delle stesse proprietà di cui godevo le loghe operzioi i N, quidi: - proprietà couttiv si per l ddizioe che per l oltipliczioe - proprietà ssocitiv si per l ddizioe che per l oltipliczioe - proprietà distributiv dell ddizioe rispetto ll oltipliczioe. Si può diostrre che ssuedo questi vicoli, l uico odo per defiire ddizioe e oltipliczioe fr ueri iteri reltivi è quello che hi iprto ll scuol edi, e che ricordio di seguito. Addizioe fr iteri - Per defiire l so + b di due ueri iteri procedio distiguedo più csi: ) Se leo uo dei due ueri è 0, defiio + 0 = o b + 0 = b 2) Se e b soo etrbi positivi, li possio vedere coe ueri turli, e defiio + b coe er defiit ei turli. 4) Se e b soo etrbi egtivi, - e b soo positivi, quidi sppio quto vle + ( b) (vedi puto 2). Defiio + b coe l opposto del uero (positivo) + ( b). 3) Se è positivo e b è egtivo (cioè e b soo discordi), distiguio tre csi. Se (cioè il uero positivo) è quello co vlore ssoluto ggiore defiio l so + b coe l differez b. Se b è quello co vlore ssoluto ggiore defiio l so + b coe l opposto dell differez b. Alogete se è egtivo e b è egtivo (Coplet tu.). Esepi: +5+(-4)= + (i qule dei precedeti csi ricde?) Moltipliczioe fr iteri Per l oltipliczioe si procede el seguete odo: - il prodotto di due ueri iteri cocordi e b si defiisce coe il uero itero positivo c che h per vlore ssoluto il prodotto dei vlori ssoluti di e di b. - il prodotto di due ueri iteri discordi e b si defiisce coe il uero itero egtivo c che h per vlore ssoluto il prodotto dei vlori ssoluti di e di b. Ad esepio: ( 5) ( 4) = 20 ( + 3) ( 2) = 6 D quto detto sopr risult che il prodotto di due ueri etrbi positivi o etrbi egtivi è u uero positivo, e che il prodotto di due ueri di cui uo è positivo e l ltro è egtivo è u uero egtivo. E l cosiddett regol dei segi, che recit così più per più f più; eo per eo più; più per eo eo. Osservzioe: Il prodotto di u uero itero per 0 è 0. I siboli: Z 0 = 0 = 0 Per diostrrlo possio scrivere: 9

10 0 = ( ) = + ( ) = = 0 proprietà distributiv Sottrzioe di ueri iteri Per coe è stto defiito l isiee Z, è sepre possibile eseguire l sottrzioe fr due ueri iteri e b. Più precisete si defiisce; b = + ( b), dove b è l opposto di b. Osservzioe: Il sego - viee usto quidi per idicre l opposto di u uero itero, che per idicre l sottrzioe fr due ueri. Problei: ) Perché o si può dividere per zero? (Suggerieto: Abbio defiito l divisioe fr due ueri e (che si idic co il sego : ) coe l operzioe che i ueri e ssoci quel uero x tle che: x = Quidi dividere u uero per 0 vorrebbe dire trovre u uero x tle che ) 2.2 L ordieto i Z L ordieto di N si estede Z:... < 4 < 3 < 2 < < 0 < < 2 < 3 < 4 <... Ache i questo cso, logete quto è stto ftto ell isiee N, si può defiire l relzioe d ordie usule prtedo dll ddizioe. Precisete: Defiizioe: Sio, b Z. Dicio che b se e solo se c N : + c = b. Ad esepio 5 2. Iftti è vero che c N : 5 + c = 2. (Chi è c?) U defiizioe equivlete è: Defiizioe: Sio, b Z. Dicio che b se e solo se b N. Dicio poi che < b se b e b. Ache i Z vlgoo le segueti proprietà: ) Z (propriet' riflessiv) 2) se b e b llor = b ( proprietà tisietric) 3) se b e b c llor c (proprietà trsitiv). 4) Tricotoi, b Z vle u sol delle segueti relzioi: < b ; b < ; = b 0

11 Cioè l relzioe che bbio defiito è u relzioe d ordie (prie tre proprietà) totle (qurt proprietà). 2.4 L eleveto potez fr ueri iteri Per estedere l defiizioe di eleveto potez fr ueri iteri si procede coe bbio ftto per l ddizioe e l oltipliczioe. Cioè el defiire tle operzioe ci poio due vicoli: ) Voglio che quest operzioe, qudo effettut fr i ueri iteri positivi (cioè i vecchi ueri turli) di lo stesso risultto che dvo i N Ad esepio voglio che (+7) (+2) = ) Voglio che l eleveto potez i Z god delle stesse proprietà di cui godev l log operzioe i N, quidi: Proprietà delle poteze: + p),, N : = p2) Se > e 0 p3),, N : p4), b, N ( = ( ) = b ) = b Si può diostrre che ssuedo questi vicoli, l uico odo per defiire l operzioe di eleveto potez fr ueri iteri reltivi è quello che hi iprto ll scuol edi, e precisete: - Se l bse è u itero egtivo, e è u uero turle, si defiisce cor: =... volte - Qulsisi si l bse divers d zero (positiv o egtiv) se l espoete è egtivo, si defiisce: = - Ioltre si defiisce: 0 = Osservzioe: Si può diostrre che l operzioe così defiit gode delle proprietà electe sopr. Se ell p) sostituio ll isiee N l isiee Z: + p),, Z : = quest coprede che l proprietà p2). (Perché?) Osservzioe: No vrebbe seso defiire l potez espoete u itero egtivo coe 4 oltipliczioe ripetut. Cos vorrebbe dire che 3 è il prodotto di -4 fttori uguli 3? Osservzioe: Se Z e N, llor: - se è dispri h lo stesso sego di ; - se è pri, è positivo, qulsisi si il sego di. Perché?

12 2.3 Divisioe di ueri iteri: l divisioe co resto (divisioe euclide ) Coe bbio visto ell isiee dei ueri turli, l divisioe si defiisce coe operzioe ivers dell oltipliczioe. Ache el cso degli iteri quidi si può defiire l divisioe fr due ueri iteri e b coe l operzioe che i ueri e b ssoci quel uero x tle che: b x = I geerle presi due ueri iteri qulsisi e b, o è detto che tle x esist. A esepio se = -7 e b = 2, o esiste essu uero x itero tle che: b x = cioè tle che 2 x = 7 Possio estedere ll isiee Z l relzioe di divisibilità dt i N. Defiizioe: Se e b soo due ueri iteri per cui esiste b k = k Z tle che: si dice che è ultiplo di b (o che b è divisore di, o che b divide ). I ogi cso è possibile fr due ueri iteri effetture l divisioe co resto. Si trtt sepliceete dell divisioe che oguo di oi h iprto d eseguire ll scuol eleetre fr u uero detto dividedo e u uero b diverso d 0- detto divisore- otteedo u quoziete e u resto. I terii teorici, questo corrispode l seguete teore (di cui oettio l diostrzioe). TEOREMA (DIVISIONE EUCLIDEA) Per ogi coppi di iteri,, co 0, esistoo e soo uici gli iteri q, r tli che 0 r <. Esepi: - Se =9, =5, llor q=3, r=4 Si può scrivere: 9 = Se = 2, = 6, llor q = 4, r = 3 Si può scrivere: 2 = 6 ( 4) + 3 q + = r e Problei: ) Nell eucito del teore: - qule letter desig il dividedo? - qule letter desig il divisore? - qule letter desig il quoziete? - qule letter desig il resto? 2) Clcolte quoziete e resto dell divisioe euclide di 53 per 3 3) Clcolte quoziete e resto dell divisioe euclide di 53 per 3 4) Clcolte quoziete e resto dell divisioe euclide di 53 per 3 2

13 5) Perché è ecessri l codizioe 0? Che cos potrebbe succedere se o fosse verifict? 6) Secodo te srebbe eglio ggiugere l codizioe? 7) Che cos succede se =0? 8) Che cos succederebbe se eliissio le due codizioi su r? 9) *Che cos succederebbe se l posto delle codizioi 0 r< ettessio <r 0? Defiizioe: Se, dti, co 0 si ottiee r=0 coe resto dell divisioe euclide, cioè se esiste u itero q tle che = q, si dice che è divisibile per (o che è u divisore di o divide o è u ultiplo di ). Esepi 54 è divisibile per 6 perché il resto dell divisioe di 54 per 6 è 0. 7 o è divisibile per 4 perché il resto dell divisioe di 7 per 4 è 3. Attezioe! L divisibilità è u relzioe e dà origie u forul, l divisioe è u operzioe e dà origie u terie. Quidi 2 è divisibile per 3 è u fferzioe ver. 2 diviso 3 dà 4 coe quoziete e resto 0 è u ltr fferzioe ver. 2 diviso 3 o è u fferzioe, può essere u odo ltertivo di rppresetre il uero 4. Osservzioe: Il teore precedete ci suggerisce odi per rppresetre prticolri clssi di ueri iteri. Coe possio rppresetre u geerico uero dispri? Dto che i ueri dispri soo tutti e soli quelli l cui divisioe euclide per 2 dà coe resto, possio rppresetre u geerico uero dispri co l scrittur 2k+, dove k può vrire egli iteri. Alogete, u geerico uero pri srà rppresetto dll scrittur 2k. Per spere se u uero è pri o dispri ci serve soltto il suo resto ell divisioe euclide per 2, o il quoziete. Problei: ) Qule scrittur potrebbe rppresetre u geerico ultiplo di 3? 2) L scrittur 0k v bee per rppresetre u geerico ultiplo di 5? 3) Qul è l isiee descritto dll espressioe 3k+2, l vrire di k egli iteri? 4) Tre studeti devoo stbilire se è vero che 0 30 è divisibile per Il prio studete dice: No è vero perché i fttori prii di 0 30 soo 2 e 5, etre o è ultiplo é di 2 é di 5. Il secodo studete dice: È vero perché se provi co l clcoltrice ti dà u risultto estto: 0 0. Il terzo studete dice: No è possibile sperlo, soo ueri troppo grdi. Secodo te, chi h rgioe? Perché? È possibile che bbio tutti rgioe? I cso cotrrio, dove sbglio quelli che sbglio? ) Uo studete deve risolvere il proble: se = , è vero che +5 è ultiplo di 0? Lo studete pes: Sicurete l rppresetzioe i bse dieci di h u 5 coe cifr delle uità. Secodo te, è vero quello che pes lo studete? È utile per rispodere l proble? 6) Di u uero itero si s che è divisibile per 7 ed è divisibile per 9. Si può cocludere che è divisibile per 63? 7) Di u uero itero k si s che è divisibile per 4 ed è divisibile per 6. Si può cocludere che è divisibile per 24? 3

14 3. NOTE 3. Il liguggio tetico: espressioi siboliche Fior bbio utilizzto espressioi tetiche sez pesrci troppo sopr. Adesso provio gurdrle u po eglio. Le espressioi (trdiziolete deoite lgebriche el cso cotego lettere) si dividoo i due ctegorie: quelle che rppreseto oggetti o fuzioi (dette che terii) e quelle che esprioo proprietà o relzioi (dette che forule). I terii soo il corripodete sibolico dei oi, o delle costruzioi che el liguggio verble svolgoo le fuzioi dei oi. Le forule soo il corrispodete sibolico delle proposizioi (o euciti). I tetic si uso espressioi si siboliche si verbli, volte che escolte isiee. Esepi Le segueti espressioi soo terii 7+2 Quest scrittur è equivlete scritture coe: 9; 2+7; 8 2 ; +9 7+x Quest scrittur l vrire di x egli iteri rppreset u uero itero Quest scrittur rppreset u uero itero. Spreste scrivere u rppresetzioe i bse dieci sez l iuto dell clcoltrice? Le segueti espressioi soo forule 7+2=9 Quest è u forul ver. 8 3=6 Quest è u forul fls 5=5 Quest è u forul ver se =3, fls i tutti gli ltri csi. 0<x 2 + Quest è u forul ver per ogi vlore rele di x. Uso delle Pretesi Per scrivere espressioi lgebriche si uso lcue covezioi che rigurdo l precedez degli opertori. U forul coe sez u criterio di lettur potrebbe essere iterprett coe (3+7) 5 oppure coe 3+(7 5). Nell scuol edi bbio iprto che l secod iterpretzioe è quell dottt uiverslete i tetic. Le pricipli covezioi soo: b+c si legge coe ( b)+c +b si legge coe ( )+b /b c si legge coe (/b) c /b+c si legge coe (/b)+c [e o (b+c)] [e o (+b)] [e o /(b c)] [e o /(b+c)] b c si legge coe (b c ) [e o ( b) c ] +b c si legge coe +(b c ) [e o (+b) c ] Si us che dire che i cz di pretesi l oltipliczioe h l precedez sull ddizioe, e l eleveto potez h l precedez sull ddizioe e sull oltipliczioe. Ioltre: b c b c b che equivle bc ] st per ( ) [e o per ( ) c 4

15 3.2Verifiche e diostrzioi Abbio visto che u forul può essere verifict per tutti, lcui o essu vlore delle lettere che vi copioo. Il odo più iedito per verificre se u forul è ver per u certo vlore di u cert letter è di fre l sostituzioe. Se però voglio spere se u forul vle per u isiee ifiito di vlori, coe d esepio per tutti i ueri turli, o è possibile eseguire tutte le sostituzioi ecessrie. Occorre trovre ltri odi. Vedio qulche esepio. Esepi Cosiderte l proprietà L so di u uero dispri col uero dispri seguete è u ultiplo di 4. Fccio qulche prov: +3=4; 3+5=8; 5+7=2; 7+9=6, Possio essere certi che l proprietà vle i geerle? I bse lle sole prove eseguite, o. Possio però rgiore coe segue. U uero dispri geerico può essere rppresetto d 2+, dove è u itero. Il dispri seguete può essere rppresetto d 2+3. L loro so è 4+4 che è certete u ultiplo di 4, idipedeteete dl vlore di. Iftti 4+4 = 4(+). L cogettur di Goldbch (forult el 742) ffer che ogi uero pri ggiore di 2 può essere rppresetto coe so di due ueri prii. I tutte le prove ftte fior, che co clcoltori di grde potez, per tutti i ueri pri testti si è sepre trovt u rppresetzioe coe so di due prii. Tuttvi l cogettur di Goldbch o è u teore perché o c è u diostrzioe che vlg per tutti gli ifiiti ueri pri ggiori di 2. Quidi, per quto e sppio oggi, u gioro qulcuo potrebbe trovre u uero pri (olto grde, evideteete) che o è l so di due prii, oppure qulcu ltro potrebbe trovre u diostrzioe geerle dell cogettur, trsfordol i teore. È vero che, l vrire di x ei turli, l espressioe x 2 +x+5 rppreset u uero prio? L fferzioe è verifict per x=0, x=, x=2, x=3. Uo studete pigro potrebbe ccotetrsi di queste verifiche e dire e così vi. Ivece per x=4 si ottiee 25, che o è prio. Quidi l fferzioe o è ver i geerle. Problei ) Secodo voi è ver o o l proprietà: Per ogi uero turle x il uero turle x 2 x+ è prio.? 2) Secodo voi è ver o o l proprietà: Per ogi uero turle x il uero turle x 2 +x+4 è prio.? 3) Spete trovre u vlore itero di x per il qule il vlore dell espressioe x 3 +x 2 +x+47 è u uero prio? E uo per cui il vlore dell espressioe è u uero o prio? 5