La fattorizzazione e la phi di Eulero
|
|
- Rosa Grillo
- 7 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 La fattorizzazione e la phi di Eulero Di Cristiano Armellini, cristiano.armellini@alice.it Supponiamo di voler trovare i fattori p, q del numero intero n (anche molto grande). Dalla Teoria dei numeri sappiamo che 11 è la phi di Eulero che rappresenta il numero interi minori di n e primi con n. Essendo p, q numeri primi saranno sicuramente dispari quindi p-1, q-1 sono numeri pari e ovviamente il loro prodotto (p-1)(q-1) sarà divisibile per 4 in quanto è il prodotto di due numeri pari. Ora osserviamo che 1111, dove s = p+q. Allora 1. Tuttavia è noto che se 0,,, deve essere 2 e quindi avremo che 12 e questo implica che 412. In realtà secondo una importante proprietà deve essere ma data la particolarità di n = pq abbiamo potuto ridurre questo limite inferiore. Tra le numerose proprietà dimostrate della funzione phi di Eulero è noto che (detta la costante di Eulero- Mascheroni ):,6,2 3 log log
2 Dunque se pongo max, 3 loglog loglog Allora abbiamo trovato che 12. Ora ci rimane solo da verificare quali numeri divisibili per 4 contenuti in questo intervallo sono tali,che posto 1 l equazione 0, ci dà soluzioni intere che sono proprio i fattori di n. Infatti,. E ovvio che più è piccolo l intervallo più è veloce la ricerca dei fattori. L obiettivo futuro è quello di trovare delle relazioni per la phi di Eulero che restringano ulteriormente questo range. In effetti dato che non è altro che il numero dei primi con n e minori di n sicuramente in questo insieme ci saranno tutti i numeri primi minori di n ovvero, per il teorema dei numeri primi, o anche. Ovviamente sarà. Tale approssimazione vale comunque per n sufficientemente grande. Quindi possiamo supporre di considerare il nuovo intervallo 2 1 dove,. Nel casi specifico dei problemi RSA, la chiave pubblica è determinata da una coppia di valori (e,n) dove n è il numero da fattorizzare n = pq ed e è un numero intero positivo tale che,1. Quindi in questo caso possiamo escludere dal range di possibili valori di tutti i numeri multipli di 4 e tali che il loro massimo comun divisore con e sia diverso da 1 ovvero tutti i numeri
3 del range della forma 4 ove m è un intero e è un divisore di e (che per forza di cose deve essere un numero dispari). Questa considerazione (crivello) ci aiuta ad affinare ulteriormente la nostra ricerca. Un altra importante proprietà della funzione phi è la seguente:! ovvero nel caso dei numeri RSA n = pq, p q numeri primi abbiamo cioè in latri termini 1. Questo vuol dire che 1. Chiamando con allora possiamo considerare l equazione di II grado per trovare,, ovvero p, q: 10, cioè e imponendo il delta maggiore di zero ho 4440 ovvero, dopo semplici passaggi sapendo che Q > 0, 2 1. Allo stesso risultato si poteva facilmente pervenire così: 11 2 cioè 22 quindi 2 1. Facendo variare Q (Q è sempre un numero pari perché è la somma di due numeri pari) si arriverà a quel valore che fornisce valori interi dell equazione di II grado che altro non sono che 1,1, quindi troviamo p, q. Osserviamo che, a titolo di curiosità, dalle relazione 111 discende 12 ovvero otteniamo la relazione già nota 12. Infine ricordiamo che vale dove la funzione sigma è proprio! e in generale ma nel caso degli RSA è vero che 12.
4 Ricordiamo anche che nei numeri RSA tipicamente, k è un numero razionale compreso tra 1 e 3 (nel 95% dei casi). Allora 1111 ma dato che q essendo il più piccolo dei fattori deve essere 2 allora quindi dopo semplici passaggi algebrici 11. Avere una stima anche di tipo statistico di k, ovvero del rapporto tra il fattore maggiore e il minore può ridurre io range per. Ai risultati precedenti si poteva anche giungere partendo dalla relazione ovvero 1 quindi / e ponendo, allora la relazione diventa 1 ovvero 10 e imponendo il delta maggiore di zero abbiamo soddisfatta per (il primo vincolo è quello che utilizziamo per i problemi RSA come estremo superiore della funzione ). Come pure se 1;1 allora 2 e n=pq porta a 20 dove. Ma ponendo sempre il delta maggiore di zero troviamo che 2 2 in accordo con quanto avevamo già scoperto. Se ci poniamo nel caso del problemi RSA allora possiamo scrivere e questo ci porta a pensare che ed n sono in realtà molto vicini. Facendo esempi anche con numero molto piccoli già stimiamo che 0,9. Se in
5 generale calcoliamo una buona stima di k sapendo che 2 1 quindi. Allora basterà prendere e considerare un numero di cifre di k pari alla parte intera b/2 ove b è il numero di cifre del numero intero n da fattorizzare. Quindi 2 1. Con questo procedimento, specifico per i problemi RSA dove i fattori p, q sono molto grandi ma hanno all incirca le stesse dimensioni (lo stesso numero di cifre intere) l algoritmo di fattorizzazione descritto sopra è molto veloce perché si giunge subito alla stima almeno della prima metà delle cifre di. Basterà poi selezionare gli multipli di 4 e compresi nell intervallo 2 1: quello che 2 1 (teorema di Eulero) sarà il valore cercato di. Una volta fatto ciò si ricava la somma di p+q quindi con l equazione di II grado associata i valori di p, q sapendo il valore di n. Osserviamo inoltre che 3,, allora, ovvero 1 1 1,, ovvero quindi moltiplicandi per n otteniamo cioè In generale se, / allora dove ovviamente R > 3. Resta sempre il problema di capire che valore dare ad R. Se p, q hanno le stesse dimensioni allora R potrebbe essere una potenza di 10 delle stesse dimensioni di p e di q (se n ha 100 cifre p, q avranno 50 cifre quindi R10. Dal momento che abbiamo provato 2 1
6 possiamo porre il limite superiore per cercare di trovare un R ottimale che limiti il range delle soluzioni nel caso dei numeri RSA. Sviluppando in R si ha 2 1 quindi possiamo pensare di adottare Un altro modo per calcolare la phi di Eulero consiste nell applicare proprio il teorema di Eulero: se a è intero coprimo con n, MCD(a,n)=1 allora 1. Questo vuol dire che deve esistere un k intero positivo tale che 1 ovvero log 1. Quindi senza perdere di generalità volendo trovare il minimo valore di k che soddisfa tale relazione potremmo pensare di prendere a = 2. Dalle considerazioni precedentemente fatte sul range della funzione phi sappiamo che dovrà essere: log 1 Quindi 2 1/ per n > 6. Ma è anche vero che nel nostro caso log 12 1 quindi 2 1/.Per questioni abbastanza semplici k deve essere dispari. Per finire qualche programma in C++ che sintetizza gli algoritmi descritti
7 #include <stdio.h> #include <iostream.h> #include <math.h> void main(void) { double n; double x, y; double s; cout << "inserisci il numero n "; cin >> n; s= 2*floor(sqrt(n)-1)+2; x = (s+2-sqrt(pow(s+2,2)-4*n))/2.0; while (floor(x)!= x){ s = s+2; x = (s+2-sqrt(pow(s+2,2)-4*n))/2.0; y = (s+2+sqrt(pow(s+2,2)-4*n))/2.0; cout << "primo fattore " << x; cout << " "; cout << "secondo fattore " <<y ;
8 #include <stdio.h> #include <iostream.h> #include <math.h> void main(void) { double n; double x, y; double s; double phi; cout << "inserisci il numero n "; cin >> n; phi = floor(n-2*sqrt(n)+1); while (phi/4.!= floor(phi/4)){ phi = phi-1; s = n-phi+1; x = (s-sqrt(pow(s,2)-4*n))/2.; while (x!= floor(x)){ phi = phi -4; s = n-phi+1; x = (s-sqrt(pow(s,2)-4*n))/2.; y = (s+sqrt(pow(s,2)-4*n))/2.; cout << "primo fattore " << x; cout << " "; cout << "secondo fattore " << y; #include <stdio.h> #include <iostream.h> #include <math.h> void main(void) { double n; double x, y; double s; double phi; cout << "inserisci il numero n "; cin >> n; phi = floor(n/(1.7*log(log(n)+3/log(log(n))))); while (phi/4.!= floor(phi/4)){ phi = phi-1; s = n-phi+1; x = (s-sqrt(pow(s,2)-4*n))/2.; while (x!= floor(x)){ phi = phi +4; s = n-phi+1; x = (s-sqrt(pow(s,2)-4*n))/2.; y = (s+sqrt(pow(s,2)-4*n))/2.; cout << "primo fattore " << x; cout << " "; cout << "secondo fattore " << y;
Fattorizzazione e curve ellittiche polinomi di II, II e IV grado
Fattorizzazione e curve ellittiche polinomi di II, II e IV grado Di Cristiano Armellini (cristiano.armellini@alice.it) Torniamo ancora una volta al problema della fattorizzazione p=ab e descriviamo un
Dettagli1. Esistono numeri della forma , ottenuti cioè ripetendo le cifre 2006 un certo numero di volte, che siano quadrati perfetti?
1 Congruenze 1. Esistono numeri della forma 200620062006...2006, ottenuti cioè ripetendo le cifre 2006 un certo numero di volte, che siano quadrati perfetti? No, in quanto tutti questi numeri sono congrui
DettagliSoluzioni di alcuni esercizi degli esoneri e di due esercizi dei fogli di esercizi. 1 2 n + 5 n 10 n n + 1.
Soluzioni di alcuni esercizi degli esoneri e di due esercizi dei fogli di esercizi NOTA: PER FARE PIÚ ALLA SVELTA NON HO SCRITTO TUTTI I DETTAGLI DELLE SOLUZIONI. HO CERCATO DI SPIEGARE LE IDEE PRINCIPALI.
DettagliTutti i numeri qui considerati sono interi. Se si tratta in particolare di numeri Naturali (quindi non negativi) verrà specificato.
LICEO B. RUSSELL A.S. 2010/2011 DALLA TEORIA DEI NUMERI ALLE CONGRUENZE Tutti i numeri qui considerati sono interi. Se si tratta in particolare di numeri Naturali (quindi non negativi) verrà specificato.
DettagliLezione 3 - Teoria dei Numeri
Lezione 3 - Teoria dei Numeri Problema 1 Trovare il più piccolo multiplo di 15 formato dalle sole cifre 0 e 8 (in base 10). Il numero cercato dev'essere divisibile per 3 e per 5 quindi l'ultima cifra deve
DettagliUniversità del Piemonte Orientale
Compito di Algebra del 13 Gennaio 2009 1) Trovare l ordine di [11] 112 in Z 112. Si dica poi per quali valori di k si ha [11] k 112 [34] 112 = [31] 112. Soluzione. L ordine di [11] 112 è 12. k 12 8. 2)
DettagliA.A CORSO DI ALGEBRA 1. PROFF. P. PIAZZA, E. SPINELLI. SOLUZIONE ESERCIZI FOGLIO 5.
A.A. 2015-2016. CORSO DI ALGEBRA 1. PROFF. P. PIAZZA, E. SPINELLI. SOLUZIONE ESERCIZI FOGLIO 5. Esercizio 5.1. Determinare le ultime tre cifre di n = 13 1625. (Suggerimento. Sfruttare il Teorema di Eulero-Fermat)
DettagliEsercizi di Algebra. 25 marzo Soluzione Si tratta di trovare una soluzione del sistema di equazioni congruenziali
Esercizi di Algebra 25 marzo 2010 1. Soluzione Si tratta di trovare una soluzione del sistema di equazioni congruenziali X 2 mod 5 X 3 mod 7 X 7 mod 9, che sia prossima a 1000. Dalla prima equazione abbiamo
DettagliALGEBRA I: SOLUZIONI TERZA ESERCITAZIONE 11 aprile 2011
ALGEBRA I: SOLUZIONI TERZA ESERCITAZIONE 11 aprile 2011 Esercizio 1. Siano m e n due numeri interi positivi tali che m + n è un numero primo. Mostrare che m e n sono coprimi. Soluzione. Sia d = (m, n)
DettagliSoluzioni delle Esercitazioni II 24 28/09/2018 = 1 2 = 1±3 4. t = 1± 1 4
oluzioni delle Esercitazioni II 4 8/09/08 A Equazioni intere i ha: + = 3 4 Portando a sinistra le e a destra le costanti diventa 6 =, = 3 + = 0 Raccogliendo si può riscrivere come ( + ) = 0, che ha per
DettagliA.A CORSO DI ALGEBRA 1. PROFF. P. PIAZZA, E. SPINELLI. SOLUZIONE ESERCIZI FOGLIO 4.
A.A. 2015-2016. CORSO DI ALGEBRA 1. PROFF. P. PIAZZA, E. SPINELLI. SOLUZIONE ESERCIZI FOGLIO 4. Esercizio 4. 1. Data una coppia a, b N, consideriamo la loro fattorizzazione in primi. Esprimere in termini
DettagliCrittografia ed Aritmetica Modulare IV incontro
Crittografia ed Aritmetica Modulare IV incontro PLS - CAM Padova, 7 novembre 2014 1 Aritmetica modulare Sia n un intero positivo fissato. Denotiamo con Z n = {0, 1, 2,..., n 1} l insieme delle classi resto
DettagliAritmetica 2009/10 Compitino 1/12/2009. (a) Contare gli elementi nilpotenti di A. (b) Contare gli elementi zero-divisori di A.
Aritmetica 2009/10 Compitino 1/12/2009 1. Sia A = Z2[x]/(x 5 + x 4 + 1). (a) Contare gli elementi nilpotenti di A. (b) Contare gli elementi zero-divisori di A. Possibile risoluzione: Il polinomio f(x)
DettagliAncora sui criteri di divisibilità di Marco Bono
Ancora sui criteri di divisibilità di Talvolta può essere utile conoscere i divisori di un numero senza effettuare le divisioni, anche se la diffusione delle calcolatrici elettroniche, sotto varie forme,
Dettagliuna possibile funzione unidirezionale
una possibile funzione unidirezionale moltiplicare due interi a n bit è facile (in O(n 2 ) con l algoritmo usuale) trovare un primo a n bit, e verificare che è primo, è facile (vedremo poi) fattorizzare
DettagliCompito di MD 13 febbraio 2014
Compito di MD 13 febbraio 2014 IMPORTANTE: Non si possono consultare libri e appunti. Non si possono usare calcolatrici, computer o altri dispositivi elettronici. Non si può scrivere con il lapis. Motivare
DettagliANALISI VETTORIALE COMPITO IN CLASSE DEL 8/11/2013
ANALISI VETTORIALE COMPITO IN CLASSE DEL 8//3 Premessa (Cfr. gli Appunti di Analisi Vettoriale / del Prof. Troianiello) Nello studio degli integrali impropri il primo approccio all utilizzo del criterio
DettagliAnalisi Matematica I modulo Soluzioni prova scritta preliminare n. 2
Analisi Matematica I modulo Soluzioni prova scritta preinare n 2 Corso di laurea in Matematica, aa 2004-2005 22 dicembre 2004 1 (a) Calcolare il seguente ite A******* ( ) n 2 n 2 + n n 1 n + 2n 2 Soluzione
DettagliL1 L2 L3 L4. Esercizio. Infatti, osserviamo che p non può essere un multiplo di 3 perché è primo. Pertanto, abbiamo solo due casi
Sia p 5 un numero primo. Allora, p è sempre divisibile per 4. Scriviamo p (p ) (p + ). Ora, p 5 è primo e, quindi, dispari. Dunque, p e p + sono entrambi pari. Facciamo vedere anche che uno tra p e p +
DettagliRiassumiamo le proprietà dei numeri reali da noi utilizzate nel corso di Geometria.
Capitolo 2 Campi 2.1 Introduzione Studiamo ora i campi. Essi sono una generalizzazione dell insieme R dei numeri reali con le operazioni di addizione e di moltiplicazione. Nel secondo paragrafo ricordiamo
DettagliCapitolo 5 Campi finiti
Capitolo 5 Campi finiti Definizione 5.1. Un campo finito K (cioè composto da un numero finito di elementi) si dice campo di Galois. Il numero dei suoi elementi si dice ordine e si denota con K. Un campo
DettagliStudieremo le congruenze lineari, cioe le equazioni del tipo
Congruenze lineari 1. Oggetto di studio - Definizione 1. Studieremo le congruenze lineari, cioe le equazioni del tipo dove ax b (mod n) (1) n, il modulo della congruenza, e un intero positivo fissato x,
Dettaglic A (a c = b) Le ipotesi che abbiamo ci dicono che esistono h, k A tali che:
Definizione 1. Dato un insieme A, un operazione su A è una applicazione da A A a valori in A. Definizione 2. Se A è un insieme con una operazione, dati a, b A diciamo che a divide b (e scriviamo a b) se
DettagliTeoria dei numeri e Crittografia: lezione del 9 gennaio L algoritmo del crivello quadratico di Pomerance.
Teoria dei numeri e Crittografia: lezione del 9 gennaio 2012 L algoritmo del crivello quadratico di Pomerance. Il maggior successo di questo algoritmo è stato, nel 1994, la fattorizzazione del numero RSA-129,
DettagliLUISS Laurea specialistica in Economia e Finanza Anno Accademico 2010/2011
LUISS Laurea specialistica in Economia e Finanza Anno Accademico 1/11 Corso di Metodi Matematici per la Finanza Prof. Fausto Gozzi, Dr. Davide Vergni Soluzioni esercizi 4,5,6 esame scritto del 13/9/11
DettagliANNO ACCADEMICO 2017/2018 CORSO di LAUREA in BIOTECNOLOGIE MATEMATICA I appello 29/5/2018 1
ANNO ACCADEMICO 2017/2018 CORSO di LAUREA in BIOTECNOLOGIE MATEMATICA I appello 29/5/2018 1 Esercizio 1. Una classe di liceo è composta da 12 ragazze e 9 ragazzi. La professoressa di matematica interroga
DettagliMetodo delle curve ellittiche ECM. Sia n un numero intero. Sia E una curva ellittica su Z n. Y 2 = X 3 + AX + B, = 4A B 2 Z n.
TEN 2008. Il metodo delle curve ellittiche ECM Sia n un numero composto e sia p un suo divisore primo. Il metodo di fattorizzazione delle curve ellittiche ricalca il metodo p 1 di Pollard con la diferenza
Dettagliuna possibile funzione unidirezionale
una possibile funzione unidirezionale moltiplicare due interi a n bit è facile (in O(n 2 ) con l algoritmo usuale) trovare un primo a n bit, e verificare che è primo, è facile (vedremo poi) fattorizzare
DettagliA titolo di esempio proponiamo la risoluzione del sistema sia con il metodo della matrice inversa sia con il metodo di Cramer.
) Trovare le soluzioni del seguente sistema lineare: x+ y+ z = 3x y + z = 0 x + 5y 4z = 5 Osserviamo in primo luogo che il sistema dato è un sistema quadrato di tre equazioni in tre incognite, precisamente
DettagliEsercizi 3, 1. Prof. Thomas Parisini. Esercizi 3, 3 Regola:
Esercizi 3, 1 Esercizi 3, 2 Esercizi Stabilità per sistemi a tempo continuo Analisi degli autovalori Analisi del polinomio caratteristico, criterio di Routh-Hurwitz Stabilità per sistemi a tempo continuo
DettagliStabilità per sistemi a tempo continuo
Esercizi 3, 1 Stabilità per sistemi a tempo continuo Analisi degli autovalori Analisi del polinomio caratteristico, criterio di Routh-Hurwitz Calcolo di Esercizi 3, 2 Esercizi Stabilità per sistemi a tempo
DettagliCompito di MD 1 0 aprile 2014
Compito di MD aprile 24 IMPORTANTE: Non si possono consultare libri e appunti. Non si possono usare calcolatrici, computer o altri dispositivi elettronici. Non si può scrivere con il lapis. Motivare in
DettagliTEOREMA DEL RESTO E REGOLA DI RUFFINI
TEOREMA DEL RESTO E REGOLA DI RUFFINI ALCUNI TEOREMI IMPORTANTI Prendiamo una divisione intera tra numeri: 6 : 3 = 2. Il resto di questa divisione è 0, e questo significa che moltiplicando il quoziente
DettagliEsercizi di Algebra. 3 aprile 2006
Esercizi di Algebra 3 aprile 2006 1 Sia n 2 un intero (a) Trovare due interi a b > 0 tali che siano richiesti 5 passi dell algoritmo euclideo per stabilire che MCD(a, b) = n (b) Trovare due interi x n,
DettagliNUMERI PRIMI E TEORMA FONDAMENTALE DELL ARITMETICA Definizione 1. Sia p Z, p ±1. Si dice che p è primo se
NUMERI PRIMI E TEORMA FONDAMENTALE DELL ARITMETICA Definizione 1. Sia p Z, p ±1. Si dice che p è primo se ( a, b Z) (p ab = (p a p b). Teorema 1. Sia p Z, p ±1. Allora p è primo se e solo se ( a, b Z)
DettagliProposizione 2 Il polinomio minimo di t corrisponde all annullatore minimale di M V.
Fogli NON riletti. Grazie per ogni segnalazione di errori. L esempio qui sviluppato vuole mostrare in concreto il significato dei risultati trattati a lezione e qui velocemente riassunti. Si assume che
DettagliTeoria dei numeri 2. Alberto Saracco. Università di Parma Udine, 18 ottobre 2015
Teoria dei numeri 2 Alberto Saracco Università di Parma alberto.saracco@unipr.it Udine, 18 ottobre 2015 Alberto Saracco Teoria dei numeri Udine, 18 ottobre 2015 1 / 16 Esercizio Es. 12 gara distrettuale
DettagliMetodi per la risoluzione di sistemi lineari
Metodi per la risoluzione di sistemi lineari Sistemi di equazioni lineari. Rango di matrici Come è noto (vedi [] sez.0.8), ad ogni matrice quadrata A è associato un numero reale det(a) detto determinante
Dettagli04 - Numeri Complessi
Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia CdS Statistica per l Analisi dei Dati Appunti del corso di Matematica 04 - Numeri Complessi Anno Accademico 2013/2014 M. Tumminello, V. Lacagnina e
DettagliUNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI TERAMO FACOLTÀ DI SCIENZE POLITICHE CORSO DI LAUREA IN ECONOMIA BANCARIA FINANZIARIA ED ASSICURATIVA
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI TERAMO FACOLTÀ DI SCIENZE POLITICHE CORSO DI LAUREA IN ECONOMIA BANCARIA FINANZIARIA ED ASSICURATIVA II Parziale - Compito C 3/5/25 A. A. 24 25 ) Risolvere il seguente sistema
DettagliLezione 4. Problemi trattabili e soluzioni sempre più efficienti. Gianluca Rossi
Lezione 4 Problemi trattabili e soluzioni sempre più efficienti Gianluca Rossi Trattabile o intrattabile? Consideriamo ora il problema, ben noto a tutti gli studenti a partire dalla scuola media, di calcolare
DettagliIstituzioni di Matematiche Modulo A (ST)
Istituzioni di Matematiche Modulo A ST) V I foglio di esercizi ESERCIZIO. Si calcoli + sin t) dt t cos t + log + t))dt e + tg t + e t )dt cos t dt t. Calcoliamo il primo dei due. Si tratta di un ite della
DettagliIstituzioni di Matematiche, Integrali fratti. corso di laurea in Scienze geologiche. Mauro Costantini
Istituzioni di Matematiche, Integrali fratti corso di laurea in Scienze geologiche. Mauro Costantini tipo: Il nostro obiettivo è studiare gli integrali (indefiniti e definiti delle funzioni razionali,
DettagliSappiamo che una funzione definita in un intervallo aperto I ed ivi derivabile è anche differenziabile, ossia che, fissato x 0 I, si ha.
La formula di Taylor Sappiamo che una funzione definita in un intervallo aperto I ed ivi derivabile è anche differenziabile, ossia che, fissato x 0 I, si ha dove f(x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + ω(x)(x
DettagliSol. Sia P = (x, y) un punto che soddisfa l equazione Y 2 = X 3 + ax + b. Ricordiamo che per definizione P = (x, y) è un punto regolare di E se
Teoria Elementare dei Numeri. Soluzioni Esercizi 5. Curve ellittiche. 1. Sia E una curva su R di equazione Y 2 = X 3 + ax + b. Verificare che è una curva regolare di R 2 (senza punti singolari) se e solo
Dettagli24 : 3 = 8 con resto 0 26 : 4 = 6 con resto 2
Dati due numeri naturali a e b, diremo che a è divisibile per b se la divisione a : b è esatta, cioè con resto 0. In questo caso diremo anche che b è un divisore di a. 24 : 3 = 8 con resto 0 26 : 4 = 6
DettagliLa funzione esponenziale e logaritmica
La funzione esponenziale e logaritmica Roberto Boggiani Versione 4. 8 aprile 24 Le potenze dei numeri reali. Potenza con esponente intero di un numero reale Diamo la seguente Definizione. Sia a R ed n
DettagliLezione 3 - Teoria dei Numeri
Lezione 3 - Teoria dei Numeri Problema 1 Determinare il più piccolo numero primo p che divide Q(n) = n 2 + n + 23 per qualche n intero. Soluzione: Osserviamo che Q(1) = 25, quindi p può essere 2, 3 oppure
DettagliIl coefficiente angolare è 3/2 mentre Q ha coordinate (0;0). La retta passa per l origine.
SOLUZIONI ESERCIZI GEOMETRIA ANALITICA ) y Il coefficiente angolare è mentre Q ha coordinate (0;) ) y E necessario passare alla forma esplicita della retta y Il coefficiente angolare è mentre Q ha coordinate
DettagliRisoluzione del compito n. 4 (Giugno 2014)
Risoluzione del compito n. 4 Giugno 2014) PROBLEMA 1 Determinate le soluzioni z, w), con z, w C,delsistema { z = w 2 w i Dalla prima equazione ricaviamo 2iz +4i z = w 2. che sostituito nella seconda la
DettagliRiassumiamo le proprietà dei numeri reali da noi utilizzate nel corso di Geometria.
Capitolo 2 Campi 2.1 Introduzione Studiamo ora i campi. Essi sono una generalizzazione dell insieme R dei numeri reali con le operazioni di addizione e di moltiplicazione. Nel secondo paragrafo ricordiamo
DettagliSoluzioni ottava gara Suole di Gauss
Soluzioni ottava gara Suole di Gauss 25 Marzo 2019 1. Risposta: 6435 Per la soluzione di questo problema possiamo considerare le cifre da 1 a 9 come bambini a cui devono essere distribuite in totale 7
DettagliAppunti di Teoria dei numeri e algebra modulare
Appunti di Teoria dei numeri e algebra modulare 29 novembre 2013 0.1 Equazioni di II grado Le soluzioni dell equazione ax 2 + bx + c = 0 con b 2 4ac 0 sono Tra le soluzioni valgono le relazioni x 1,2 =
Dettagli1 Ampliamento del piano e coordinate omogenee
1 Ampliamento del piano e coordinate omogenee Vogliamo dare una idea, senza molte pretese, dei concetti che stanno alla base di alcuni calcoli svolti nella classificazione delle coniche. Supponiamo di
DettagliSCUOLA GALILEIANA DI STUDI SUPERIORI CLASSE DI SCIENZE NATURALI ESAME DI AMMISSIONE, PROVA DI MATEMATICA 13 SETTEMBRE 2011
1 SCUOLA GALILEIANA DI STUDI SUPERIORI CLASSE DI SCIENZE NATURALI ESAME DI AMMISSIONE, PROVA DI MATEMATICA 13 SETTEMBRE 011 Problema 1. Sia Z l insieme dei numeri interi. a) Sia F 100 l insieme delle funzioni
DettagliLAUREA IN INGEGNERIA CIVILE ED AMBIENTE-TERRITORIO Corso di Matematica 2 Padova TEMA n.1
LAUREA IN INGEGNERIA CIVILE ED AMBIENTE-TERRITORIO Corso di Matematica Padova -8-8 TEMA n.1 PARTE 1. Quesiti preliminari Stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false giustificando brevemente
DettagliUNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI TERAMO FACOLTÀ DI SCIENZE POLITICHE CORSO DI LAUREA IN ECONOMIA BANCARIA FINANZIARIA ED ASSICURATIVA
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI TERAMO FACOLTÀ DI SCIENZE POLITICHE CORSO DI LAUREA IN ECONOMIA BANCARIA FINANZIARIA ED ASSICURATIVA II Parziale - Compito B 3/05/005 A. A. 004 005 ) Risolvere il seguente sistema
DettagliSoluzioni della verifica scritta 1 B Scientifico 24/01/2009
Soluzioni della verifica scritta 1 B Scientifico 4/01/009 Esercizio 1. Il polinomio x +x 4 5 xy + y non èordinatoné rispetto a x nè rispetto a y. E completo rispetto a y ma non rispetto a x. Nonè omogeneo.
Dettagliuna possibile funzione unidirezionale
una possibile funzione unidirezionale moltiplicare due interi a n bit è facile (in O(n 2 ) con l algoritmo usuale) trovare un primo a n bit, e verificare che è primo, è facile (vedremo poi) fattorizzare
DettagliSuccessioni ricorsive
Successioni ricorsive Emanuele Paolini Analisi Matematica I, 015 016 In queste note prenderemo in considerazione le successioni a n definite per ricorrenza o ricorsivamente dalle condizioni: a1 = α, (1)
DettagliCorso di Matematica per la Chimica. Dott.ssa Maria Carmela De Bonis a.a
Dott.ssa Maria Carmela De Bonis a.a. 2013-14 Risoluzione di Equazioni non lineari Sia F C 0 ([a, b]), cioé F è una funzione continua in un intervallo [a, b] R, tale che F(a)F(b) < 0 1.5 1 F(b) 0.5 0 a
Dettagliy + P(x) y + Q(x) y = 0 y(x) = c 1y 1(x) + c 2 y 2(x).
Proposizione 4. Se y 1(x) e y (x) sono soluzioni linearmente indipendenti di y + P(x) y + Q(x) y = 0 ogni altra soluzione della stessa equazione si scrive nella forma per una scelta opportuna delle costanti
DettagliTEORIA DEI NUMERI. Progetto Giochi matematici. Mail:
TEORIA DEI NUMERI Progetto Giochi matematici Referente: prof. Antonio Fanelli Mail: fanelli.xy@gmail.com TEORIA DEI NUMERI Parte della Matematica che studia i numeri naturali ed interi e le relative proprietà.
Dettaglim = a k n k + + a 1 n + a 0 Tale scrittura si chiama rappresentazione del numero m in base n e si indica
G. Pareschi COMPLEMENTI ED ESEMPI SUI NUMERI INTERI. 1. Divisione con resto di numeri interi 1.1. Divisione con resto. Per evitare fraintendimenti nel caso in cui il numero a del Teorema 0.4 sia negativo,
DettagliParte II. Incontro del 20 dicembre 2011
Parte II Incontro del 20 dicembre 2011 12 I quadrati modulo 4 Cerchiamo di determinare i possibili resti nella divisione per 4 del quadrato x 2 di un numero intero x. Se x = 2h è un numero pari allora
DettagliCONGRUENZE. proprietà delle congruenze: la congruenza è una relazione di equivalenza inoltre: Criteri di divisibilità
CONGRUENZE I) Definizione: due numeri naturali a e b si dicono congrui modulo un numero naturale p se hanno lo stesso resto nella divisione intera per p. Si scrive a b mod p oppure a b (p) proprietà delle
DettagliE := 2. a k := 2(2n 1) (2n 1) + 1 ( 1)n+1 = ( 1) n+1( 2 1 ) 1 2m 1 ;
Ingegneria Elettronica e Informatica Analisi Matematica a Foschi) Compito dell 8..08. Determina tutti i punti di accumulazione dell insieme { k E := k + k sin π ) } : k N. Soluzione: L insieme E è formato
DettagliUniversità degli Studi di Roma La Sapienza
Università degli Studi di Roma La Sapienza Dipartimento di Informatica e Sistemistica A. Ruberti Proff. Gianni Di Pillo and Laura Palagi Note per il corso di OTTIMIZZAZIONE (a.a. 2007-08) Dipartimento
DettagliApplicazioni dell Algoritmo di Euclide
Applicazioni dell Algoritmo di Euclide Applicazione dell Algoritmo di Euclide al calcolo del Massimo Comune Divisore tra due interi Mostriamo un esempio di come l algoritmo di Euclide permetta di calcolare
DettagliScomposizione di un numero primo come somma di due quadrati
Scomposizione di un numero primo come somma di due quadrati M. Alessandra De Angelis Relatore : Prof. Andrea Loi Università degli studi di Cagliari Corso di laurea triennale in Matematica 31 Marzo 2015
DettagliFunzioni derivabili (V. Casarino)
Funzioni derivabili (V. Casarino) Esercizi svolti 1) Applicando la definizione di derivata, calcolare la derivata in = 0 delle funzioni: a) 5 b) 3 4 c) + 1 d) sin. ) Scrivere l equazione della retta tangente
DettagliAnalisi Matematica 3/Analisi 4 - SOLUZIONI (20/01/2016)
Corso di Laurea in Matematica Docente: Claudia Anedda Analisi Matematica 3/Analisi 4 - SOLUZIONI (//6) ) i) Dopo averla classificata, risolvere l equazione differenziale tẋ x = t cos(t), t >. ii) Scrivere
DettagliNUMERI PRIMI E CRITTOGRAFIA
NUMERI PRIMI E CRITTOGRAFIA Parte I. Crittografia a chiave simmetrica dall antichità all era del computer Parte II. Note della Teoria dei Numeri concetti ed algoritmi a supporto della Crittografia Parte
DettagliPrima lezione. Gilberto Bini. 16 Dicembre 2006
16 Dicembre 2006 Vediamo alcune nozioni di teoria ingenua degli insiemi. Vediamo alcune nozioni di teoria ingenua degli insiemi. Un insieme è una collezione di oggetti di cui possiamo specificare una proprietà
DettagliTemi di Aritmetica Modulare
Temi di Aritmetica Modulare Incontri Olimpici 013 SALVATORE DAMANTINO I.S.I.S. MALIGNANI 000 - CERVIGNANO DEL FRIULI (UD) 15 Ottobre 013 1 Relazione di congruenza modulo un intero Definizione 1.1. Sia
Dettagli11. Misure con segno.
11. Misure con segno. 11.1. Misure con segno. Sia Ω un insieme non vuoto e sia A una σ-algebra in Ω. Definizione 11.1.1. (Misura con segno). Si chiama misura con segno su A ogni funzione ϕ : A R verificante
Dettagli1 Il polinomio minimo.
Abstract Il polinomio minimo, così come il polinomio caratterisico, è un importante invariante per le matrici quadrate. La forma canonica di Jordan è un approssimazione della diagonalizzazione, e viene
DettagliNumeri Perfetti: gioco, estetica e pragmatica. Andrea Previtali
Numeri Perfetti: gioco, estetica e pragmatica Andrea Previtali Menaggio, 16 Maggio 2003 Protagonisti Già Euclide (325-265 a.c.) aveva definito il concetto di essere divisibile, numero primo e divisori
DettagliCorso di Calcolo Numerico
Corso di Calcolo Numerico Dott.ssa M.C. De Bonis Università degli Studi della Basilicata, Potenza Facoltà di Ingegneria Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica Risoluzione di Equazioni non lineari Sia
DettagliEsercizi Proposti - 7 Gli o-piccoli - seconda parte T1] Derivabilità e piccoli: Come è noto una funzione reale ( ) è continua in seesoloseper!
Esercizi Proposti - 7 Gli o-piccoli - seconda parte T] Derivabilità e piccoli: Come è noto una funzione reale () è continua in seesoloseper! risulta () = ( )+() vericare che () è derivabile in se e solo
DettagliLiceo Scientifico Statale S. Cannizzaro Palermo Classe III D EQUAZIONI POLINOMIALI Divisione di polinomi, teorema del resto e teorema di Ruffini
Divisione di polinomi, teorema del resto e teorema di Ruffini Teorema (della divisione con resto tra due polinomi in una variabile). Dati due polinomi A x e B x, con B x 0, esistono sempre, e sono unici,
DettagliPreparazione Olimpiadi della Matematica
Preparazione Olimpiadi della Matematica Marco Vita Liceo Scientifico G. Galilei Ancona 18 novembre 2015 ( Liceo Scientifico G. Galilei Ancona) Preparazione Olimpiadi della Matematica 18 novembre 2015 1
DettagliCorso di GEOMETRIA Dipartimento di Ingegneria ed Architettura Università degli Studi di Trieste Prof. Fabio Perroni. 3. Sistemi di equazioni lineari
Corso di GEOMETRIA Dipartimento di Ingegneria ed Architettura Università degli Studi di Trieste Prof Fabio Perroni 3 Sistemi di equazioni lineari Siano m, n N \ {}, sia K un campo Definizione a) Un sistema
DettagliFunzioni implicite - Esercizi svolti
Funzioni implicite - Esercizi svolti Esercizio. È data la funzione di due variabili F (x, y) = y(e y + x) log x. Verificare che esiste un intorno I in R del punto di ascissa x 0 = sul quale è definita
DettagliINSIEME N. L'insieme dei numeri naturali (N) è l'insieme dei numeri interi e positivi.
INSIEME N L'insieme dei numeri naturali (N) è l'insieme dei numeri interi e positivi. N = {0;1;2;3... Su tale insieme sono definite le 4 operazioni di base: l'addizione (o somma), la sottrazione, la moltiplicazione
DettagliMetodi per la risoluzione di sistemi lineari
Metodi per la risoluzione di sistemi lineari 1 Sistemi di equazioni lineari 1.1 Determinante di matrici quadrate Ad ogni matrice quadrata A è associato un numero reale det(a) detto determinante della matrice
DettagliEQUAZIONI DISEQUAZIONI
EQUAZIONI DISEQUAZIONI Indice 1 Background 1 1.1 Proprietà delle potenze................................ 1 1.2 Prodotti notevoli................................... 1 2 Equazioni e disequazioni razionali
DettagliIl nano sulle spalle del gigante
Il nano sulle spalle del gigante il sottile legame che separa matematica e informatica Miriam Di Ianni Università di Roma Tor Vergata Cosa è un problema? Dal dizionario: In matematica e in altre scienze,
DettagliElementi di Algebra e di Matematica Discreta Numeri interi, divisibilità, numerazione in base n
Elementi di Algebra e di Matematica Discreta Numeri interi, divisibilità, numerazione in base n Cristina Turrini UNIMI - 2016/2017 Cristina Turrini (UNIMI - 2016/2017) Elementi di Algebra e di Matematica
Dettagli2.1 Numeri naturali, interi relativi, razionali
2.1 Numeri naturali, interi relativi, razionali Definizione L insieme N = {0, 1, 2, 3,...} costituito dallo 0 e dai numeri interi positivi è l insieme dei numeri naturali. Se a, b 2 N, allora mentre non
DettagliMATEMATICA DISCRETA CLAUDIA MALVENUTO PRIMA PROVA IN ITINERE 24 APRILE 2014
MATEMATICA DISCRETA CLAUDIA MALVENUTO PRIMA PROVA IN ITINERE 4 APRILE 014 1. Trovare il numero di stringhe di lunghezza n che si possono formare usando le lettere A, B, C, D, E in modo che ogni stringa
DettagliA =, c d. d = ad cb. c d A =
Geometria e Algebra (II), 271112 1 Definizione D ora innanzi, al posto di dire matrice quadrata di tipo n n o matrice quadrata n n diremo matrice quadrata di ordine n o in breve matrice di ordine n Il
DettagliLezione 3 - Teoria dei Numeri
Lezione 3 - Teoria dei Numeri Problema 1 Nel cortile esterno di Villa San Saverio vivono molti animali fantastici. Tra unicorni, ippogri, sici, ed altre creature della cui esistenza il mondo non è a conoscenza,
Dettagli3/10/ Divisibilità e massimo comun divisore
MCD in N e Polinomi 3/10/2013 1 Divisibilità e massimo comun divisore 1.1 Divisibilità in N In questa sezione introdurremo il concetto di divisibilità e di massimo comun divisore di due numeri naturali
DettagliSi calcoli prezzo e quantitá d equilibrio quando il reddito R = 25 e quando il reddito è R = 50.
1 Domanda e Offerta Exercise 1. Supponiamo di avere un unico bene x, la quantitá domandata di tale bene è descritta dalla curva Q D = 300 P + 4 R mentre la quantitá offerta è descritta dalla curva Q O
DettagliFrancesco Zumbo
La retta - Teorema di Talete - Equazione della retta: passante per due punti, implicita, esplicita - Parallele e Perpendicolari - Fascio Propio e improprio - Intersezione tra rette Francesco Zumbo www.francescozumbo.it
DettagliMATEMATICA PER LO STUDIO DELLE INTERAZIONI STRATEGICHE: TEORIA DEI GIOCHI. Anna TORRE
MATEMATICA PER LO STUDIO DELLE INTERAZIONI STRATEGICHE: TEORIA DEI GIOCHI Anna TORRE Dipartimento di Matematica, Università di Pavia, Via Ferrata 1, 27100, Pavia, Italy. E-mail: anna.torre@unipv.it 1 SOLUZIONI:
DettagliAllenamenti di matematica: Algebra e Teoria dei Numeri
Brescia, 18 novembre 2011 Allenamenti di matematica: Algebra e Teoria dei Numeri 1. (a) Risolvi l equazione x 3 12x 2 + 29x 18 = 0. (b) Risolvi l equazione precedente utilizzando il seguente metodo. Effettua
DettagliLezione 3 - Teoria dei Numeri
Lezione 3 - Teoria dei Numeri Problema 1 Sia k un numero pari. È possibile scrivere 1 come la somma dei reciproci di k interi dispari? Soluzione: Siano n 1,..., n k interi dispari tali che 1 = 1 n 1 +
Dettagli