In questo capitolo descriveremo il sistema numerico internazionale e le operazioni in esso definite. Indice del capitolo

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1 Capitolo 1 Operare con i Numeri In questo capitolo descriveremo il sistema numerico internazionale e le operazioni in esso definite Indice del capitolo 1.1 Mettiamoci d accordo!!! Il Sistema di Misura Internazionale Struttura di un numero Non tutto è sempre positivo Mettiamo un pò di ordine Le operazioni elementari La somma e la sottrazione La moltiplicazione e la divisione Elevamento a potenza Tabelle 1.1 Combinazione dei segni Figure 1.1 Somma e sottrazione

2 2 Operare con i N umeri 1.1 Mettiamoci d accordo!!! Ogni nazione, paese o popolo che sia, porta con se una propria cultura che la distingue dalle altre nelle proprie abitudini, nel suo linguaggio e soprattutto nel modo di valutare gli oggetti. Quest ultimo aspetto è quello che ci interessa da vicino e che permette a tutte queste culture, di trovare il primo punto di partenza per una visione comune delle proprie esperienze. Il problema fondamentale è la comunicazione. Prendiamo in considerazione, ad esempio, due persone, di due nazionalità diverse, come possono essere un italiano e un americano, che passeggiano insieme fianco a fianco. Il primo (l italiano), dopo la lunga passeggiata, alla domanda: Che distanza hai percorso? risponderà: Circa 2 chilometri!!, mentre il secondo (l americano), alla stessa domanda, risponderà Poco più di un miglio!!. Nonostante entrambi abbiano percorso fianco a fianco la stessa strada,lunga uguale, esprimono la misura dello spazio percorso in maniera diversa. Nasce quindi la necessità di trovare, un linguaggio comune, semplicemente per capirci ed evitare spiacevoli incomprensioni. Esempi di questo genere se ne posso fare a migliaia, si pensi ad esempio ai soldi e alle varie valute che esistono in circolazione. Grazie all arrivo dell euro molte di queste valute (lira, franco, marco, etc...) hanno perso di significato, rendendo i nostri popoli sempre più comunicativi e in sintonia Il Sistema di Misura Internazionale Così come sta accadendo alle varie valute, anche per le unità di misura di lunghezza, peso e tempo è stato trovato un accordo, con il quale, le persone si impegnano, indipendentemente dalla loro cultura, a esprimere le lunghezze in metri, i pesi in chilogrammi e il tempo in secondi. Questo sistema di misura prende il nome di Sistema di Misura Internazionale e si indica con il simbolo M.K.S., dove M sta per metro, K per chilo, e S per secondo. Ovviamente per ognuna di queste unità esistono multipli e sottomultipli, ad esempio esistono i chilometri (mille metri) così come esistono i millimetri (un millesimo di metro). Vediamo quindi la struttura del nostro sistema di numerazione e le operazioni in esso definite.

3 1.2 Struttura di un numero Struttura di un numero Il sistema di numerazione internazionale discende da quello arabo dove i numeri sono composti da cifre, generalmente diverse tra loro, che variano da 0 a 9. Questo sistema prende il nome di sistema in base 10 o sistema decimale. Consideriamo per esempio il numero 1296 (milleduecentonovantasei). Questo è composto da quattro cifre, ognuna delle quali ha un importanza diversa. Leggendo il numero da destra verso sinistra la prima cifra che incontriamo sono le unità (6) quindi le decine (9), le centinaia (2) e poi le migliaia (1). Il numero che abbiamo qui considerato viene chiamato numero intero in quanto presenta solo multipli delle unità. Se invece avessimo voluto scrive un numero nel sul completo, ovvero sia con multipli che con sottomultipli delle unità, avremmo dovuto aggiungere una virgola di separazione tra questi. A titolo d esempio consideriamo il numero 123,456 (centoventitre virgola quattrocentocinquantasei). Come balza subito all occhio questo numero è diviso in due parti da una virgola. Questa ha la funzione di spaccare il numero, separando la parte intera (123) formata dai multipli delle unità, dalla parte decimale (o mantissa) (456) costituita dai sottomultipli delle unità Non tutto è sempre positivo Fino ad ora abbiamo visto come è strutturato un numero, la sua suddivisione in cifre, i suoi multipli e sottomultipli. Vediamo adesso l ultimo elemento importante per definire un numero: il segno. Procediamo con un esempio e immaginiamo di osservare un termometro luminoso posto nella piazza di una città. Durante il periodo estivo su questo compariranno numeri come +29 o addirittura +35, mentre nel bello dell inverno osserviamo numeri come 0, -5 o -9. Come possiamo constatare questi numeri portano davanti a sè un segno che li distingue inequivocabilmente, tranne uno: 0. Da questo capiamo che 0 è la linea di confine tra tutti i numeri con segno positivo (+) e quelli con segno negativo (-).

4 4 Operare con i N umeri Mettiamo un pò di ordine... Dopo aver acquisito la capacità di descrivere i numeri, necessitiamo ora di doverli mettere in ordine tra di loro e quindi decidere qual è il più piccolo e il più grande. Introduciamo innanzitutto due nuovi simboli matematici che chiameremo maggiore e minore e che indicheremo con i simboli >, <. Questi ci permettono di scrivere una relazione tra due numeri e quindi dire quale dei due sia il più grande o il più piccolo. Considerando le dieci cifre a nostra disposizione possiamo quindi scrivere 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < 6 < 7 < 8 < 9 Da ciò discende che la cifra più piccola a nostra disposizione è 0 mentre quella più grande è 9. Questo discorso è valido nel momento in cui il nostro numero è composto dalle sole unità. Nel caso in cui cosideriamo anche numeri con dei multipli delle unità (p.es. le decine) possiamo dire che questi saranno sempre più grandi di qualsiasi numero formato dalle sole unità ed è lecito quindi scrivere 56 > 9 Ovviamente vale il contrario, ovvero che i numeri con sola parte decimale saranno sempre più piccoli dell unità, cioè di 1 1 > 0, 356 Per quanto detto prima, se consideriamo numeri con segno negativo possiamo scrivere +35 > 29 >... > 0 >... > 5 > Le operazioni elementari Adesso che sappiamo descrivere i numeri nelle varie parti e capire chi è maggiore o minore di un altro, possiamo definire dei metodi per lavorare con essi chiamati operazioni La somma e la sottrazione Sommare due numeri vuol dire partire dal valore indicato dal primo numero e aggiungere a questo tante unità quante sono indicate nel secondo. Supponi-

5 1.3 Le operazioni elementari = = 2 Figura 1.1: Somma e sottrazione amo di avere a che fare con il numero +3 e di volere sommare il numero +2. Partiamo quindi da 3 e spostiamoci in avanti di 2 unità raggiungendo così il numero +5. Questo sarà il risultato della nostra somma = +5 Immaginiamo ora di avere anche a che fare con numeri negativi. Partiamo sempre da +3 ma questa volta sommiamo -2. Il fatto che -2 sia negativo implica che al posto di spostarci in avanti, come abbiamo fatto prima, dobbiamo spostarci all indietro di 2 unità. Quindi partendo da +3 raggiungiamo +1. Questa operazione prende il nome di sottrazione. Altri esempi sono riportati in figura = La moltiplicazione e la divisione La moltiplicazione può essere vista come una somma continua e quindi moltiplicare un numero per un altro vuol dire sommare il primo numero a se stesso tante volte quante indicate dal secondo. Supponiamo di voler moltiplicare 3 per 2 e quindi scriviamo 3 2 = = 6 La divisione ha un signifato ben diverso. Questa conta quante volte un numero può essere sottratto ad un altro fino a portarlo allo 0 o a un numero più piccolo di quello. Scriviamo un esempio: 15 5 = 3 ovvero = 0

6 6 Operare con i N umeri Segno Segno Segno Risultante Tabella 1.1: Combinazione dei segni 17 5 = 3 ovvero = 2 dove 2 < 5 Il gioco dei segni Ogni volta che si opera tramite la divisione o la moltiplicazione, bisogna fare attenzione ai segni. Osservando la tabella 1.1, dove sono riportate tutte le combinazioni possibili tra due numeri al variare del segno, possiamo notare che, se i due segni sono concordi, ovvero uguali tra di loro, questi daranno come risultato sempre un numero positivo, mentre se sono discordi il risultato sarà sempre negativo. Noi abbiamo considerato il caso in cui i numeri siano solo due, ma questo è facilmente estendibile anche al caso in cui i numeri sia molti: basta ragionare sui primi due e utilizzare il risultato con il terzo numero e quello che risulta a sua volta con il quarto e così via Elevamento a potenza Elevare a potenza un numero significa moltiplicarlo per se stesso tante volte quante indicate dal numero soprastante. La potenza è quindi formata da due parti: la base e l esponente. Per esempio: 2 3 = = 8 dove 2 è la base e 3 l esponente Proprietà delle potenze Ricordiamo brevemente le proprietà delle potenze con i relativi esempi: Due potenze che hanno la stessa base e si moltiplicano tra di loro danno origine a una potenza che per base ha la stessa base e per esponente la somma degli esponenti = = 2 5

7 1.3 Le operazioni elementari 7 Due potenze che hanno la stessa base e si dividono tra di loro danno origine a una potenza che per base ha la stessa base e per esponente la differenza degli esponenti = 25 3 = 2 2 La potenza di una potenza è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti ( 2 3 ) 4 = = 2 12 Una particolarità Per quanto abbiamo appena detto, possiamo dimostrare, anche se non rigorosamente, una particolarità delle potenze ovvero: ogni potenza con base diversa da 0 e esponente nullo è pari a 1. Pensiamo ora di scrivere una divisione di potenze con la stessa base e stesso esponente, per quanto detto prima sarà lecito scrivere: = 23 3 = 2 0 proviamo ora riscrivere il tutto traducendo le potenze in numeri decimali 8 8 = = 23 3 = 2 0 = 1 Abbiamo quindi scoperto una cosa importante: elevare un numero qualsiasi a 0 vuol dire dividerlo per se stesso. Questo comporta inoltre che l unico numero che elevato a esponente nullo non dia come risultato 1 sia lo 0, in quanto il rapporto 0 è una forma indeterminata e quindi può fornire qualsiasi 0 risultato.