Numeri complessi Pag. 1 Adolfo Scimone 1998

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1 Numer compless Pag. Adolfo Scmoe 998 NUMERI COMPLESSI Come sappamo, o esstoo el campo de umer real le radc d dce par de umer egatv. Ammettamo pertato l esstea della radce quadrata del umero. Questo uovo ete umerco che dcheremo co la lettera o j o può essere u umero reale e vee chamato utà mmagara. S rese ecessaro qud amplare l campo de umer real. Def Dces umero complesso l espressoe a b dove l umero a è detto parte reale, b parte mmagara. Il umero complesso a b vee dcato co le lettere, w Due umer compless a b e w c d soo ugual se a c e b d coè se hao la stessa parte reale e ugual coeffcet delle part mmagare. Def. Dato l umero complesso a b, s dce opposto d l umero a b, per cu l umero complesso a b è ullo se e solo sea b 0. Nel campo de umer compless o s troducoo cocett d maggore e d more. Rappresetaoe cartesaa de umer compless a Rappresetaoe medate put del pao Fssamo u sstema d ass cartesa Oxy. Al umero complesso a b assocamo u puto A ( a, b e versamete al puto A ( a, b faccamo corrspodere l umero complesso a b. Rmae ì stablta ua corrspodea buvoca fra umer compless ed put del pao. A put dell asse x corrspodoo umer real, per cu l asse x prede l ome d asse reale, metre l asse y a cu corrspodoo umer mmagar prede l ome d asse mmagaro. Ifatt put dell asse x soo corrspodea buvoca co umer a 0 a, metre put dell asse y soo corrspodea buvoca co umer del tpo 0 b b Due umer compless tra loro oppost a b e a b hao per mmage, o dc, put smmetrc rspetto all orge.

2 Numer compless Pag. Adolfo Scmoe 998 A(a,b A (-a,-b Def. 3 I umer compless a b e a b predoo l ome d umer compless cougat ed hao gl dc smmetrc rspetto all asse x. A(a,b A (a,- b b Rappresetaoe medate vettor Ad og puto A(a,b del pao possamo assocare l vettore OA. D eguea ad og umero complesso a b s può far corrspodere l vettore OA e versamete. S stablsce ì ua corrspodea buvoca tra umer compless e put del pao d orge O. Il vettore OA sarà qud l vettore rappresetatvo del umero complesso a b; a rappreseta la proeoe del vettore sull asse x ed l coeffcete b rappreseta la proeoe del vettore sull asse y. I vettor rappresetatv d due umer compless oppost, soo tra loro oppost, vettor rappresetatv d due umer compless cougat soo smmetrc rspetto all asse x.

3 Numer compless Pag. 3 Adolfo Scmoe 998 y b A(a,b O a x y b A(a,b -a O a x A (-a,-b -b y b A(a,b O x -b A (a,-b Operao Fra umer compless Addoe Cosderamo due umer compless a b e c d La somma d e sarà ( a b ( c d ac ( b d.

4 Numer compless Pag. 4 Adolfo Scmoe 998 Idcado co P ( a, b e P ( c, d gl dc de due umer compless, l dce corrspodete a sarà l puto Q ( a c, b d avete come ascssa la somma delle ascsse e come ordata la somma delle ordate de put P e P. Vettoralmete s ha che l vettore sarà la somma de vettor e. Sottraoe Per dfferea tra due umer compless a b e c d e s dca co s tede l umero complesso x y tale che ( x y ( c d a b qud x c ( y d a b Per l prcpo d dettà de polom s ha: x c a x a c y d b y b d per cu x y a c ( b d Il vettore è rappresetato fg.

5 Numer compless Pag. 5 Adolfo Scmoe 998 Moltplcaoe Dat umer compless a b e c d l prodotto d per è dato da ( a b( c d ac ad bc bd ( ac bd ( bc ad S ha ache che la somma e l prodotto d due umer compless cougat soo umer real. Ifatt, se a b a b soo umer compless cougat, avremo ( a b ( a b a ( a b( a b a b Il terme a b vee chamato ache orma del umero complesso a b. Potea ad espoete tero postvo I modo aalogo al campo reale s ha che, dato l umero complesso a b 0 0 ( a b ( a b a b ( a b ( a b( a b...( a b oltre s ha: vplte Poché le potee s rpetoo perodcamete og 4 volte, le potee d formao u gruppo cclco d orde

6 Numer compless Pag. 6 Adolfo Scmoe 998 Dvsoe Dat umer compless a b e c d co 0 defamo quoete d e quel umero complesso x y tale che a b ( c d ( x y che s può ache scrvere a b cx dy ( dx cy e qud per l prcpo d dettà de polom s ha cx du a dx cy b Rsolvedo l sstema co l metodo d Cramer s ha c d det A c d 0 perché somma d quadrat d c a d det A ac bd b c c a det A bc ad d b Avremo: det A ac bd x det A c d det A bc ad x det A c d Il quoete sarà ac bd bc ad x y c d c d I pratca l quoete s può determare moltplcado umeratore e deomatore per l cougato d. S ha: a b ( a b( c d ac bd ( bc ad ac bd bc ad c d ( c d( c d c d c d c d Coordate polar Fssat el pao u puto O, polo ed ua semretta, asse polare, uscete da O ed u verso d rotaoe, ad u puto P del pao s assoca la sua dstaa dal polo e l ascssa agolare della semretta OP. Alla a coppa (, s dà l ome d coordate polar del pao. Esse soo legate alle coordate cartesae dalle relao: x y s

7 Numer compless Pag. 7 Adolfo Scmoe 998 s chama raggo vettore e aomala del puto P. Per passare dalle coordate cartesae a quelle polar elevamo al quadrato le x y s x y s sommado membro a membro otteamo x y ( s e qud x y x y Avremo qud x x x y y y s x y. Forma trgoometrca de umer compless S dcoo modulo e argometo del umero complesso e l aomala, defta a meo d multpl d. a b rspettvamete l modulo

8 Numer compless Pag. 8 Adolfo Scmoe 998 Cosderamo l umero complesso a b, sa P(a,b l puto corrspodete pao complesso che dvdua l vettore rappresetatvo corrspodete. S ha P(a,b a b s a b a a a b b b s a b da cu, suppoedo 0 s ha ache b tg a Il umero complesso a b assumerà la forma ( s Moltplcaoe d umer compless Chamamo prodotto d due umer compless u umero complesso che ha modulo uguale al prodotto de modul de fattor e argometo uguale alla somma degl argomet de fattor. Dat umer compless ( s ( s avremo:

9 Numer compless Pag. 9 Adolfo Scmoe 998 ( s ( s s s s s ( ( s s ( s s ( e qud s [ ( ( ] Il teorema s estede al caso d u prodotto d pù fattor, dmostrado che se,...,, soo umer compless,,,..., loro modul e,,..., loro argomet, rsulta: [ (... s(... ] Dvsoe d umer compless Se (, è l modulo e l argometo d e (, l modulo e l argometo d e se 0 avremo: ( s ( s ( s ( s ( s ( s s s s s ( s s s ( s( Qud l quoete d due umer compless è u umero complesso avete modulo uguale al quoete de modul de fattor e argometo uguale alla dfferea degl espoet de fattor. Elevaoe a potea Applcado la formula precedetemete vsta al caso d fattor ugual otteamo ua regola che permette d elevare u umero complesso ad ua potea tera postva. [ ( s ] ( s coè: Per elevare u umero complesso a ua potea tera postva, è ecessaro elevare a questa potea l modulo e moltplcare l argometo per l espoete della potea. Dmostramo che vale ache se è u umero tero egatvo.

10 Numer compless Pag. 0 Adolfo Scmoe 998 Se m > 0 poamo m, avremo: m [ ( s ] ( s m m m ( m s m ( m m ( m s m che s può scrvere: m ( s [ ] m s m s m m [ ] [ ( m s ( m ] Radc d u umero complesso Dato u umero complesso e u umero tero postvo, dces radce esma d og umero complesso w tale che s abba w Supposto 0 scrvamo e w sotto forma trgoometrca. S ha: ( s w r (ψ sψ co, umer ot e r e ψ cogt. Se w è ua radce esma d dovrà avers: [ r (ψ sψ ] ( s Per la formula d De Movre avremo: r (ψ s ψ ( s Affché s verfch l eguaglaa, umer compless dovrao avere lo stesso modulo e loro espoet devoo dfferre d multpl d. Dovrà rsultare: r ψ k co k Z poché > 0, dovrà essere r > 0 e qud r e oltre k ψ Pertato: Le radc esme del umero complesso soo tutt e soltato valor che s ottegoo dalla formula k k w k s Sembrerebbe che la formula forsse ft valor per wk poché ft soo umer k Z, vedamo vece che s possoo dedurre solo valor dstt. Vedamo che gl umer compless che s deducoo attrbuedo a k valor 0,,,... soo tra loro dstt. S ha

11 Numer compless Pag. Adolfo Scmoe 998 s w 0 per k 0 s w per k s w 4 4 per k. s w ( ( per k s s w w 0 s per k Alla stessa coclusoe s pervee se k è u umero egatvo: s s w ( ( w s e ì va. Possamo pertato eucare l Teorema Og umero complesso o ullo ( s ammette radc esme che soo date dalla k s k w k co 0,,,..., k

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