Capitolo III : Calcolo combinatorio

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1 Liceo Lugao 1, N (Luca Rovelli) Capitolo III : Calcolo combiatorio 1 Itroduzioe I matematica, co Combiatoria 1 si idica la disciplia che si occupa dello studio degli isiemi fiiti i cui elemeti soddisfao proprietà be defiite Il calcolo combiatorio 2, i particolare, studia i modi di ordiare o raggruppare tali isiemi secodo determiate regole (le cofigurazioi o presetazioi), co particolare riferimeto all eumerazioe Esso si prefigge quidi lo scopo di cotare i maiera efficiete, specialmete ei casi i cui l eumerazioe diretta risulta impossibile Elechiamo alcui problemi tipici del calcolo combiatorio: I quati modi posso abbiare 3 camicie e 2 cravatte? I quati modi 10 persoe possoo disporsi attoro ad u tavolo? Quati soo gli aagrammi di LICEO? I quati modi posso compilare la schedia del lotto? Quati soo i quadrati magici di ordie? Quate soo le fuzioi f : {1, 2, 3, 4} {α, β, γ}? Quati sottoisiemi possiede u isieme di 10 elemeti? I quati modi posso realizzare il umero 100 come somma di 5 umeri aturali? La prima mezioe scritta di u problema combiatorio risale al 300 ac circa: i u testo sacro, il Bhagabati Sutra, veivao eumerati i modi i cui è possibile abbiare uo, due o tre sapori scelti tra 6 differeti Cosiderazioi di carattere combiatorio erao comuque già preseti ell I Chig, uo tra i più atichi testi ciesi Probabilmete ache Archimede da Siracusa (II sec ac) si occupò di problemi di eumerazioe el trattato Ostomachio (lo studio di u gioco simile al modero Tagram) Dopo secoli di predomiio orietale, la combiatoria si diffuse i occidete a partire dal XIII secolo, grazie soprattutto agli sforzi di Leoardo Fiboacci e Giordao da Nemi Nei secoli successivi la disciplia ebbe poi u evoluzioe spettacolare, ache grazie alle sue applicazioi al calcolo delle probabilità Alcui Gradi della matematica diedero cotributi allo sviluppo dell aalisi combiatoria (citiamo solo Pascal, Leibitz, de Moivre ed Eulero), e al gioro d oggi essa è parte itegrate della cosiddetta matematica discreta, u campo di studio fodametale per le applicazioi i ambito iformatico 1 o Combiatorica 2 chiamato ache aalisi combiatoria Calcolo combiatorio (V10) 48 LiLu1, 3N (Luca Rovelli)

2 2 U pricipio fodametale Esempio 1: i quati modi posso abbiare 3 camicie e 2 cravatte? Idicado co A, B e C le camicie e co a, b le cravatte potremmo facilmete elecare tutte le possibilità: (A, a), (A, b), (B, a), (B, b), (C, a), (C, b), cocludedo che il umero di modi è 6 Potremmo ache ragioare i u altro modo, rappresetado co u diagramma ad albero le scelte effettuate: i questo modo, i rami termiali dell albero rappresetao tutte le possibilità; cocludiamo immediatamete che 6 La realizzazioe (geeralmete metale) di u tale schema ad albero si rivela iteressate quado il umero delle cofigurazioi è cosiderevole Esempio 2: A, B, C, D, E soo 5 località, collegate el modo idicato da strade I quati modi posso raggiugere E partedo da A (suppoedo di mai torare idietro)? Disegado metalmete lo schema ad albero, cocludiamo che Potremmo ituire il seguete Pricipio fodametale: se, ell effettuare k scelte, vi soo 1 possibilità per la prima, per ogua di esse 2 per la secoda, per ogi scelta delle prime due 3 per la terza e così via, allora il umero totale di scelte possibili è pari a k Esempio 3: i quati modi posso compilare ua coloa del totocalcio? Per ogua delle 13 partite i schedia vi soo tre possibilità (1, X oppure 2); i modi possibili soo quidi } 3 3 {{ 3} fattori Calcolo combiatorio (V10) 49 LiLu1, 3N (Luca Rovelli)

3 3 Permutazioi semplici Esempio 1: quati aagrammi possiede la parola LICEO? Chiaramete, il metodo meo coveiete cosiste ell elecare tali aagrammi Possiamo ivece procedere secodo il pricipio appea itrodotto: per la prima lettera di u aagramma ci soo 5 scelte possibili, per la secoda 4, per la terza 3, per la quarta 2 e per la quita ua sola Il umero degli aagrammi è quidi pari a }{{} 5! 120 otazioe Defiizioe 1: sia itero e positivo Allora il fattoriale di, idicato co!, è defiito come segue: 0! 1 e! ( 1) ( 2) Per 0, si tratta quidi del prodotto di tutti i umeri aturali miori o uguali a Esso può ache essere defiito ricorsivamete dalla regola { 0! 1! ( 1)!, 1 Ad esempio, quidi 1! 1 ; 2! 2 1! 2 ; 3! 3 2! 6 ; 4! 4 3! 24 ; 5! 5 4! 120 ; Esempio 2: i quati modi posso allieare 4 diverse piate orametali? Ragioado come sopra, cocludiamo immediatamete che il umero cercato è 4! Defiizioe 2: ua presetazioe ordiata di u isieme di elemeti dove le ripetizioi o soo ammesse è detta permutazioe semplice Ragioado come sopra, cocludiamo immediatamete quato segue: Lemma 1: sia P il umero di permutazioi semplici di u isieme di elemeti Allora vale P! Osservazioe: el calcolo combiatorio, è spesso coveiete disporre di u campioario di esempi stadard a cui fare riferimeto Per quato riguarda le permutazioi l esempio più adatto è forse quello degli aagrammi Calcolo combiatorio (V10) 50 LiLu1, 3N (Luca Rovelli)

4 Esempio 3: i quati modi ua classe di 23 allievi può predere posto i u aula co 12 bachi? Cosiderado il posto vuoto come ua sorta di fatasma, osserviamo che il problema si riduce all eumerazioe delle permutazioi di u isieme di 24 elemeti La risposta è quidi P 24 24! 6, Il problema delle permutazioi si complica leggermete se gli oggetti presetati o soo tutti diversi (ad esempio el caso di aagrammi co lettere ripetute o di u aula co più di u posto vuoto) 4 Permutazioi co ripetizioi Esempio 1: quati aagrammi possiede la parola BABBO? Immagiiamo iazitutto che le B siao distiguibili: gli aagrammi della parola B 1 AB 2 B 3 O soo 5! 120; dal mometo che le tre B soo ivece idistiguibili, dobbiamo idetificare gli allieameti i cui solo esse soo permutate, ad esempio B 1 AB 2 B 3 O, B 2 AB 3 B 1 O e B 3 AB 2 B 1 O Occorre quidi dividere 5! per il umero di permutazioi di B 1 B 2 B 3, cioè 3! : la risposta è quidi P 5 5! P 3 3! Defiizioe 3: ua presetazioe ordiata di u isieme di elemeti dove le ripetizioi soo ammesse è detta permutazioe co ripetizioi Suppoiamo quidi che degli elemeti k 1 siao uguali tra loro, k 2 siao uguali tra loro (ma diversi dai primi) e così via Ragioado come sopra, osserviamo che per cotare il umero di permutazioi occorre dividere! per k 1!, k 2! e così via al fie di idetificare gli allieameti idistiguibili Lemma 2: sia P k 1,k 2,,k m il umero di permutazioi co ripetizioi di elemeti di cui k 1, k 2,, k m soo uguali tra loro Allora vale P k 1,k 2,,k m! k 1! k 2! k m! Esempio 2: quati soo gli aagrammi di ANAGRAMMA? Dal mometo che la parola è composta di 9 lettere, co 4 A e 2 M, basta calcolare P 9 4,2 9! 4! 2! Calcolo combiatorio (V10) 51 LiLu1, 3N (Luca Rovelli)

5 Esempio 3: i quati modi può distribuirsi ua classe di 23 allievi i u aula co 15 bachi? Vi soo 7 posti vuoti, e quidi idistiguibili Si tratta quidi di ua permutazioe co ripetizioi Il umero cercato è P ! 7! 5, Esempio 4: i quati modi posso compilare uo schema del lotto (6 su 45)? Uo schema può essere codificato da ua sequeza ordiata composta usado 2 caratteri (ad esempio O e X) dove O idica la casella vuota e X idica la casella crociata Ad esempio, la scelta dei umeri 1, 11, 12, 22, 35, 45 è idicata da XOOOOOOOOOXXOOOOOOOOOXOOOOOOOOOOOOXOOOOOOOOOX Di cosegueza, cotare gli schemi possibili equivale a cotare gli aagrammi di ua parola di 45 lettere composta da 6 X e 39 O : il umero cercato è quidi P 45 6,39 45! ! 39! Osservazioe: se k, il umero P k, k! k!( k)! è detto coefficiete biomiale, e viee ache idicato co ( k) Ce e occuperemo più tardi ei dettagli 5 Disposizioi semplici Esempio 1: i quati modi (ordiati) posso estrarre 10 tombolii da u sacchetto che e cotiee 90 (seza reimmissioe)? Ho 90 possibilità per la prima estrazioe, 89 per la secoda, 88 per la terza e così via: i totale ! 80! 2, modi Defiizioe 4: sia k ; ua presetazioe ordiata di k elemeti scelti tra dove le ripetizioi o soo ammesse è detta disposizioe semplice di elemeti presi k alla volta Ragioiamo come sopra: per la scelta del primo elemeto ho possibilità, per la scelta del secodo 1, e per la scelta del k-esimo ho ( k + 1) possibilità Vale quidi quato segue: Lemma 3: sia Dk il umero di disposizioi di k elemeti scelti da u isieme di elemeti ( k) Allora vale D k ( 1) ( 2) ( k + 2) ( k + 1)! ( k)! Si tratta cioè del prodotto dei umeri aturali compresi tra ( k + 1) e Calcolo combiatorio (V10) 52 LiLu1, 3N (Luca Rovelli)

6 Osservazioe: se k vale D! ( )!! 0!! 1! P ; ifatti ua permutazioe di elemeti distiti può essere vista come ua disposizioe co k (tutti gli elemeti dell isieme vegoo scelti) Esempio 3: da ua commissioe compredete 15 membri devo scegliere u presidete, u vicepresidete ed u cassiere Quate possibilità ho? Ua tera (presidete,vice,cassiere) possiede u ordie Si tratta quidi di disposizioi semplici, e il loro umero è pari a D ! 12! 6 Disposizioi co ripetizioi Esempio 1: i quati modi (ordiati) posso estrarre 10 tombolii da u sacchetto che e cotiee 90, se ad ogi estrazioe il tombolio viee reimmesso? Ho 90 possibilità per ogua delle 10 estrazioi: i totale 90 } 90 {{ 90} , volte modi Defiizioe 5: ua presetazioe ordiata di k elemeti scelti tra dove le ripetizioi soo ammesse è detta disposizioe co ripetizioi di elemeti presi k alla volta Nota che, dal mometo che u elemeto può ripetersi, o è più ecessario supporre che valga k Ragioado come sopra, cocludiamo immediatamete quato segue: Lemma 4: sia D k il umero di disposizioi co ripetizioi di di elemeti presi k alla volta Allora vale D k k Esempio 2: il totocalcio Come abbiamo già visto (pag 49), le possibilità per compilare ua coloa soo pari a D Esempio 3: quate parole di 4 lettere, ache prive di seso, posso formare co u alfabeto di 26 lettere? Si tratta evidetemete di disposizioi co ripetizioi: la risposta è D Calcolo combiatorio (V10) 53 LiLu1, 3N (Luca Rovelli)

7 7 Combiazioi semplici Esempio 1: ho 20 bevade diverse; quati cocktails composti da quattro di esse posso realizzare? Se cotasse l ordie i cui le bevade vegoo aggiute, il problema sarebbe ricoducibile ad ua disposizioe: le sequeze possibili sarebbero D ! 16! ; ma l ordie o cota: occorre quidi dividere tale risultato per il umero di modi i cui le 4 bevade possoo essere ordiate: il risultato è D 20 4 P ! 20! 16! 4! Defiizioe 6: ua presetazioe di k elemeti scelti tra dove l ordie o ha importaza e le ripetizioi o soo ammesse è detta combiazioe semplice di elemeti presi k alla volta Per ricavare il umero di tali combiazioi possiamo procedere come sopra: Dk è il umero di disposizioi di k elemeti presi fra ; se l ordie o ha importaza, occorre idetificare le k! permutazioi dei k elemeti Vale quidi : Lemma 5: sia Ck Allora vale il umero di combiazioi semplici di elemeti presi k alla volta C k D k k!! k!( k)! Defiizioe 7: siao, k N co k Il umero (aturale) ( )! ( 1) ( k + 2) ( k + 1) k k!( k)! k (k 1) è detto coefficiete biomiale Per le combiazioi di oggetti presi k alla volta vale quidi C k ( k) Esempio 2: quati soo i sottoisiemi coteeti k elemeti di u isieme di elemeti? Dal mometo che ella presetazioe di u isieme l ordie o ha importaza, cocludiamo che si tratta proprio delle combiazioi ( k) Questa caratterizzazioe può essere usata come alterativa per la defiizioe di combiazioe semplice Calcolo combiatorio (V10) 54 LiLu1, 3N (Luca Rovelli)

8 Esempio 3: è dato u isieme I di 50 puti del piao Quati triagoli aveti i vertici ell isieme I posso disegare? Si tratta di cotare tutte le tere {A, B, C} I di puti (diversi), cioè i sottoisiemi di I aveti 3 elemeti Il loro umero è (al massimo) pari a ( ) 50 C ! !47! 3 2 Esempio 4: quate parole di 10 lettere posso formare utilizzado 4 volte la lettera A e 6 volte la lettera B? Si tratta di scegliere, tra 10 posizioi possibili, le 4 posizioi da occupare co la lettera A (le posizioi rimaeti soo automaticamete occupate da B ) Dal mometo che l ordie di scelta o ha importaza, si tratta di combiazioi Il loro umero è quidi Osservazioi: C 10 6 ( 10 6 ) 10! 6!4! ) Avremmo ache potuto trattare l es 4 facedo uso delle permutazioi co ripetizioi (vedi III4): si tratta degli aagrammi di AAAABBBBBB! I effetti, è immediatamete evidete che vale ( ) Ck! k k!( k)! P k, k (cfr co l osservazioe a pag 52) 2) Sempre ell es 4, avremmo potuto scegliere dapprima le 6 posizioi per la lettera B Ciò mostra che C4 10 C6 10 Si tratta di u caso particolare di ua proprietà del coefficiete biomiale che approfodiremo i seguito 8 Combiazioi co ripetizioi Iiziamo co u esempio apparetemete fuori cotesto Esempio 1: i quati modi posso riporre 4 oggetti (idistiguibili) i tre cassetti? Rappresetiamo la situazioe, e i seguito codifichiamo co X gli oggetti e co I i separatori tra i cassetti, ad esempio 1 el 1 o cassetto, 1 el 2 o, 2 el 3 o XIXIXX 0 el 1 o cassetto, 3 el 2 o, 1 el 3 o IXXXIX 4 el 1 o cassetto, 0 el 2 o, 0 el 3 o XXXXII Risulta immediatamete chiaro che il umero di modi cercati è pari al umero di aagrammi di XXXXII, vale a dire ( 6 4) 15 Calcolo combiatorio (V10) 55 LiLu1, 3N (Luca Rovelli)

9 Esempio 2: U ura cotiee pallie verdi, rosse e blu (i umero sufficiete, almeo quattro per tipo) Effettuo quattro estrazioi (seza reimmissioe) Quati soo gli esiti possibili, se l ordie i cui le pallie vegoo estratte o ha importaza (cioè se aoto soltato il umero di pallie rosse, verdi risp blu estratte)? Suppoiamo di riporre le pallie estratte i cassetti diversi a secoda del colore, ad es Rosse Verdi Blu 1 rossa, 1 verde, 2 blu XIXIXX 0 rosse, 3 verdi, 1 blu IXXXIX 4 rosse, 0 verdi, 0 blu XXXXII Ci rediamo immediatamete coto che la situazioe è equivalete a quella descritta el primo esempio Gli esiti possibili soo quidi uovamete ( 6 4) 15 Defiizioe 8: ua presetazioe di k elemeti scelti tra dove l ordie o ha importaza e le ripetizioi soo ammesse è detta combiazioe co ripetizioi di elemeti presi k alla volta Per cotare tali combiazioi ragioiamo come sopra: il loro umero è pari al umero di modi i cui k oggetti possoo essere riposti i cassetti (co 1 separatori), e quidi al umero di aagrammi di X X X }{{} k I I I }{{} 1 Lemma 6: sia C k il umero di combiazioi co ripetizioi di di elemeti presi k alla volta Allora vale ( ) C k + 1 k k Esempio 3: I quati modi possoo presetarsi i gruppi saguigi di 10 persoe? I tipi possibili soo 4 (0, A, B e AB); si tratta quidi di combiazioi di 10 persoe scelte tra 4 tipi; il loro umero è pari a ( ) ( ) C Nota che, come mostra il terzo esempio, o si suppoe più che valga k Calcolo combiatorio (V10) 56 LiLu1, 3N (Luca Rovelli)

10 9 Proprietà del coefficiete biomiale Lemma 7 Sia k ( ) ( ) (i) 1 ; 0 ( ) ( ) (ii) ; k k ( ) ( ) ( ) + 1 (iii) + k k + 1 k + 1 La relazioe (iii) è ota come formula di Stifel 3 Dimostrazioe: ( )! (i) 0 0!( 0)!! ( )! 1 e ( )! (ii) k ( k)!( ( k))!! k!( k)! ( ) ( )! (iii) + k k + 1 k!( k)! +! (k + 1)!( k 1)!!!( 0)!!! 1 ; ( ) ; k scegliedo (k + 1)!( k)! quale deomiatore comue si ricava ;! k!( k)! +! (k + 1)! + ( k)! (k + 1)!( k 1)! (k + 1)!( k)! ( k k)! (k + 1)!( k)! ( + 1)! (k + 1)!( k)! D altro cato, ( ) + 1 k + 1 ( + 1)! (k + 1)!( +1 k 1)! ( + 1)! (k + 1)!( k)! Ricordado che ( k) rappreseta il umero di sottoisiemi di k elemeti coteuti i u isieme di elemeti, il lemma appea dimostrato possiede ache u iteressate iterpretazioe combiatoria: (i) sia I u isieme di elemeti; I cotiee u solo sottoisieme di 0 elemeti (l isieme vuoto) e u solo sottoisieme di elemeti (I stesso); 3 Michael Stifel, fu dapprima moaco agostiiao e i seguito seguace di Marti Lutero; oltre che per i suoi risultati matematici (fra cui spicca l ivezioe delle tavole logaritmiche idipedetemete da Bürgi e Napier) egli è oto per aver profetizzato l Apocalisse per il 3 ottobre 1533 e per aver idetificato l Aticristo co la figura di Papa Leoe X Calcolo combiatorio (V10) 57 LiLu1, 3N (Luca Rovelli)

11 (ii) sia uovamete I u isieme di elemeti; per ogi sottoisieme S di k elemeti, esiste esattamete u sottoisieme di I co ( k) elemeti (il complemeto S I \S); quidi, I cotiee tati sottoisiemi di k elemeti quati di ( k) elemeti; (iii) sia ora I u isieme di + 1 elemeti, e sia x I; allora I cotiee ( k) sottoisiemi di (k +1) elemeti compredeti x (oguo di essi è ua scelta di k elemeti tra, dal mometo che u posto è già occupato da x), ( k+1) sottoisiemi di (k + 1) elemeti o compredeti x (l elemeto x è escluso a priori, quidi le scelte dispoibili soo soltato ) Assommado i sottoisiemi privi dell elemeto x co quelli coteeti x otteiamo tutti i sottoisiemi di I coteeti k + 1 elemeti Quidi ( ) ( k + ) ( k+1 +1 k+1) La formula di Stifel permette di calcolare i maiera ricorsiva i valori di tutti i coefficieti biomiali ( ( k) a partire dal fatto che 0 ( 0) 1 ( 0) 2 ( 0) 1 e 0 ( 0) 1 ( 1) 2 2) 1 Dispoiamo i coefficieti biomiali i ua struttura triagolare i modo tale che l -esima riga (partedo da 0) sia formata dai coefficieti biomiali ( ( 0), ( 1), ( 2),, ) : ( ) 0 ( ) 1 0 ( ) 1 ( ) 2 0 ( ) 2 1 ( ) 2 ( ) 3 0 ( ) 3 1 ( ) 3 2 ( ) 3 ( ) 4 0 ( ) 4 1 ( ) 4 2 ( ) 4 3 ( ) 4 ( ) 5 0 ( ) 5 1 ( ) 5 2 ( ) 5 3 ( ) 5 4 ( ) e così via La formula di Stifel ( ( +1 k+1) ) ( k + k+1) implica che ogi coefficiete biomiale all itero del triagolo è somma dei coefficieti biomiali a siistra e a destra di esso ella riga sovrastate: ad esempio ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , +, +, +, Dal mometo che i umeri all estero del triagolo soo tutti pari ad 1, è facile calcolare ricorsivamete i coefficieti biomiali: Calcolo combiatorio (V10) 58 LiLu1, 3N (Luca Rovelli)

12 e così via Vale quidi, ad esempio, ( ) ( ) ( ) , 5, 10, ( ) 5 10, 3 ( ) 5 5, 4 ( ) Lo schema umerico otteuto è oto come triagolo di Pascal, dal ome del celebre matematico e filosofo Blaise Pascal ( ) che e mise i evideza le proprietà combiatorie el Traité di triagle arithmétique Nel 600, comuque, esso era già oto da secoli I particolare era già stato descritto da Niccolò Fotaa (detto il Tartaglia, ), da Yag Hui ( , v disego a destra) e da Omar Khayyám ( ) 10 La formula biomiale I questo paragrafo fiale ci propoiamo iazitutto di giustificare il metodo per lo sviluppo delle poteze (a + b) ( 0) di u biomio, già icotrato el programma di I Liceo Iiziamo co ua semplice cosiderazioe: dato che (a + b) (a + b) (a + b) (a + b) }{{} volte, ogi termie dello sviluppo risulterà dal prodotto di fattori scelti tra a e b, cioè di moomi la cui parte letterale è pari a a k b k co k Idichiamo (provvisoriamete) co X k (k,, 0) il coefficiete di a k b k : (a + b) X 0 a + X 1 a 1 b + X 2 a 2 b X 2 a 2 b 2 + X 1 ab 1 + X b Qual è il sigificato di X k? Notiamo immediatamete che si tratta del umero di modi i cui k fattori a e ( k) fattori b possoo essere moltiplicati seza teer coto della commutatività, cioè degli aagrammi della parola a} a {{ a}} b b {{ } b ( k) k Si tratta quidi di combiazioi semplici di elemeti presi k alla volta (vedi III7) 4 I particolare, vale quidi ( ) X k Ck k 4 oppure ache di permutazioi co ripetizioi (vedi III4) Calcolo combiatorio (V10) 59 LiLu1, 3N (Luca Rovelli)

13 Ad esempio, (a + b) 3 (a + b)(a + b)(a + b) a(a + b)(a + b) + b(a + b)(a + b) I questo modo si dimostra il aa(a + b) + ab(a + b) + ba(a + b) + bb(a + b) aaa + aab + aba + abb + baa + bab + bba + bbb }{{} aaa + } aab + aba {{ + baa } 1 a 3 Teorema 8 (Formula biomiale) Sia N {0} Allora ( ) ( ) (a+b) a + a 1 b a 2 b a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 ( ) ( ) ( ) a 3 + a 2 b + ab abb } + bab {{ + bba } 3 ab 2 ( ) 3 ab bbb }{{} 1 b 3 ( ) ( ) ( ) a 2 b a 2 b 2 + ab ( ) b Nota che vale ( ( 0) ) 1, e quidi che i coefficieti di a e b soo pari a 1, e ioltre che da ( ) ( 1 1) segue che i coefficieti di a 1 b e ab 1 soo pari a La formula biomiale (così come il triagolo che e descrive i coefficieti) viee geeralmete attribuita a Blaise Pascal ( ), ma i realtà era già ota i precedeza: Euclide (IV sec ac) e il matematico idiao Pigala (II sec a C) e cooscevao alcui casi particolari, e i già mezioati Omar Khayyàm ( ) e Yag Hui ( ) l avevao derivata el caso geerale A volte il risultato viee ache attribuito a Isaac Newto ( ), il quale e aveva ricavata ua geeralizzazazioe al caso di espoeti qualsiasi (quidi o per forza iteri) el cotesto delle serie ifiite 5 Esempio: calcoliamo lo sviluppo di (a + b) 6 ; ( ) ( ) ( ) (a + b) 6 a 6 + a 5 b + a 4 b 2 + a 3 b ( ) 6 a 2 b ( ) 6 ab 5 + b 6 ; 5 possiamo leggere i valori dei coefficieti biomiali ella settima riga del triagolo di Pascal (1,6,15,20,15,6,1), ricavado (a + b) 6 a 6 + 6a 5 b + 15a 4 b a 3 b a 2 b 4 + 6ab 5 + b 6 5 el modo della fizioe, ioltre, il professor Moriarty (la emesi di Sherlock Holmes) viee idicato come l autore di u Trattato sul teorema biomiale Calcolo combiatorio (V10) 60 LiLu1, 3N (Luca Rovelli)

14 I alterativa, otado che per k > 0 vale ( )! ( 1) ( 2) ( k + 2) ( k + 1) k k!( k)! 1 2 (k 1) k avremmo potuto calcolare i coefficieti facedo a meo del triagolo di Pascal: (a + b) 6 a a5 b a4 b a3 b a2 b ab5 + b 6 a 6 + 6a 5 b + 15a 4 b a 3 b a 2 b 4 + 6ab 5 + b 6 (il calcolo può essere semplificado ulteriormete sfruttado la simmetria dei coefficieti!) Applicazioe: poedo a b 1 ella formula biomiale, si ricava ( ) ( ) (1+1) ( ) ( ) ( ) ( ) , cioè 2 ( ) + 0 ( ) + 1 ( ) ( ) ( ) ( ) La somma di tutti i coefficieti biomiali da ( ( 0) a ) è quidi pari a 2 Ricordado che ( k) è il umero di sottoisiemi coteeti k elemeti di u isieme che e cotiee (vedi pag 54), osserviamo che i questo modo abbiamo cotato tutti i sottoisiemi di u isieme di elemeti: Corollario 9 U isieme di elemeti cotiee 2 sottoisiemi Questo risultato possiede ache u iteressate dimostrazioe combiatoria che fa uso soltato del cocetto di disposizioe co ripetizioi: sia M u isieme di elemeti; scelto u ordie al suo itero, i suoi sottoisiemi possoo essere rappresetati per mezzo di sequeze che utilizzao soltato le cifre 0 e 1 (cioè come sequeze biarie ) 6 ; ad esempio, co M {a, b, c, d, e, f} idicheremo co l isieme vuoto, co l isieme {a} ( c è solo il primo elemeto ), co l isieme {b, e, f} ( ci soo il secodo, il quito e il sesto elemeto ), co l isieme {a, c, e}, co l itero isieme M e così via Grazie a questa rappresetazioe, ivece di dover cotare i sottoisiemi di M, possiamo semplicemete cotare le sequeze di 0 e 1 di lughezza ; il loro umero è proprio pari a 2 (vedi III6) Ciò coclude la dimostrazioe alterativa 7 6 i maiera aaloga a quato visto per cotare le combiazioi del lotto, vedi pag 52 7 ota ioltre che i codice biario (cioè ella otazioe i base 2) le sequeze da 000 }{{ 0 } a 111 }{{ 1 } rappresetao i umeri da 0 a 2 1 Calcolo combiatorio (V10) 61 LiLu1, 3N (Luca Rovelli)