Calcolo combinatorio. Disposizioni - Permutazioni - Combinazioni Coefficienti binomiali - Binomio di Newton Disposizioni semplici.

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1 Calcolo combiatorio. Disposizioi - Permutazioi - Combiazioi Coefficieti biomiali - Biomio di Newto Disposizioi semplici. Disposizioi semplici di oggetti di classe soo tutti gli allieameti che è possibile formare co oggetti scelti tra gli, seza essere ripetuti, i cui cota l ordie degli oggetti. Si cosiderao distiti due allieameti se - differiscoo per almeo elemeto - differiscoo per l ordie. Il loro umero si idica co D,. Teorema - D, (-) (-) (-(-)) fattori Rappreseta la situazioe mediate u diagramma ad albero. ( )

2 Qualche esempio per iiziare. ) I ua classe di alui, i quati modi distiti possoo essere occupati i 4 bachi di prima fila? N possibili 4 occupati 0 9 Quidi i totale: ) Cosiderado 00 giori di scuola all ao e 0 cambi al gioro, quati ai soo ecessari per provarli tutti? : ,78 ) Quate soo le possibili estrazioi di 0 pallie da u ura che e cotiee 00?

3 Disposizioi co ripetizioe. Disposizioi co ripetizioe di oggetti di classe soo tutti gli allieameti che è possibile formare co degli oggetti. Si cosiderao distiti due allieameti se differiscoo - per u oggetto, - per il umero di volte i cui compare u oggetto, oppure - per l ordie. - Il loro umero si idica co D *,. Teorema - D *,. 4

4 Esempio.. Se si voglioo preparare gli stampi per tutte le cifre (iiziali di ome e cogome) che si possoo formare co le 6 lettere dell alfabeto iterazioale, di quati stampi è ecessario disporre? N C

5 Cotiua.. Quate tere di umeri si possoo otteere laciado dadi?

6 Permutazioi semplici. Permutazioi semplici di oggetti soo tutti gli allieameti degli oggetti. Si cosiderao distite due permutazioi se differiscoo per l ordie. Il loro umero si idica co P D,. Teorema P. 7

7 Esempio. Aagrammi di ROMA Quati umeri di telefoo di 5 cifre diverse si possoo comporre co le cifre {,, 5, 7, 9}? Calcolo P Quati elemeti deve coteere u isieme perché le permutazioi di essi siao miori di oo? E maggiori di 0 000? < 00 5 >

8 N.B.: U cadidato alle elezioi politiche decide di teere comizi i città. Quati soo i possibili percorsi che può seguire? ^ tappa ^ tappa ^ tappa D, P 9

9 Permutazioi co ripetizioe. Permutazioi co ripetizioe soo allieameti i cui ogi oggetto può essere ripetuto u umero prefissato di volte. Sia il umero di elemeti di u allieameto; a, a, a,, a gli oggetti distiti allieati; il umero di volte i cui compare a, il umero di volte i cui compare a, ecc i modo che N. Teorema P*,,,, N K C.P.: P*, + N N N ( N ) 0

10 Esempio. Numero di aagrammi della parola orologio. a o 4 a r a l a 4 g 4 a 5 i 5 P* 4,,,, 8 / Uscita di due Teste e ua Croce i tre laci di ua moeta: * P, N.B.: servirsi di u diagramma ad albero

11 Cotiua. U gas è composto da N molecole. N soo i uo stato s, N soo i uo stato s,.. N soo i uo stato s ; N + +N N. Quate soo le possibili cofigurazioi del gas? N N N LN

12 Combiazioi semplici. Combiazioe semplice di oggetti di classe,, soo tutti i possibili isiemi di oggetti scelti tra gli oggetti. Si cosiderao distite due combiazioi che differiscoo per almeo oggetto. Il loro umero si idica co C,. Teorema: C, D, P N.B.: C, P *, - ( )( ) K( ( ) + ) ( ) coefficiete biomiale

13 4 Defiizioe ricorsiva. Calcoliamo : C C ) )( ( ) (,, + + E quidi possiamo dare ua defiizioe ricorsiva : ( ) * + + +,,,0 C C C

14 Combiazioi co ripetizioe. Combiazioe co ripetizioe di oggetti di classe è ogi isieme di oggetti comuque scelti tra gli assegati. Si cosiderao distite due combiazioi co ripetizioe se differiscoo per almeo oggetto oppure per il umero di volte i cui viee ripetuto. Il loro umero si idica co C*,. Teorema - C*, ( + )( + ) K( + ( )) C +, 5

15 6 Coefficieti biomiali. Defiizioe: Osservazioi : 0 ) (,, C C

16 7 Proprietà dei coefficieti biomiali K. 4. D, D, p * D -p, P<<

17 Triagolo di Tartaglia. Dati oggetti le possibili combiazioi soo di classe,,,,. Il umero delle diverse combiazioi sarà: C C L C,,, Che potrò scrivere.. 8

18 9 Triagolo di Tartaglia

19 0 Biomio di Newto. N.B.: isieme delle parti di u isieme A di elemeti D C... 0 ) (, * 0, ( ) ( + 0 b a b a ( ) ( b a b a 0 ) (

20 Passeggiate U ubriaco, uscito dalla porta di u bar, fa ogi 0 s u passo di u metro lugo il marciapiede del tutto casualmete i avati verso destra o siistra. -4 X - X - X X - X X 0 bar X X X X X X X 4 X Dove si troverà dopo 4 passi? E dopo 0? Completa la tabella fio a 0 passi.

21 Altre domade.. Ogi posizioe può essere raggiuta i u solo modo? I geerale la posizioe p (N p) può essere raggiuta i m p modi, dove m p co N umero totale di passi, d passi a destra e s passi a siistra. N.B. N s + d e p d s. N d N s

22 N di modi per raggiugere p bar

23 esercizio, diverse richieste. I u reticolato x-y ci si può muovere da siistra a destra (x) e dal basso verso l alto (y). Quati modi ci soo per arrivare ad u puto tale che x + y 9? I quati modi posso arrivare a D(6,)? Oppure : lacio 9 volte ua moeta: se esce testa mi muovo da destra a siistra, se esce croce dal basso verso l alto. Dove posso arrivare? I quati modi? Oppure : quate sequeze di 9 cifre biarie (0/, T/C) si possoo formare co somma 6? Oppure : quati sottoisiemi di 6 elemeti ho i u isieme di 9 elemeti? 4

24 Esercizi BINOMIO DI NEWTON. Dato il biomio (a+/(9a) ) 6 determiare, se esistoo, il termie oto, i termii di a -4 e di a -5.. Dato il biomio (x - / (x ) ) 5 determiare, se esistoo, i termii x 6, x 5, il termie oto.. Dato (x+y), determiare i modo che il 4 coefficiete sia 5 volte il 6 coefficiete. 4. Dato (a + b), determiare i modo che il 5 coefficiete sia i 5/6 del 6 coefficiete. 5. Determiare il termie medio di ( 8 ) 5

25 ESERCIZI CALCOLO COMBINATORIO. Quati soo i possibili aagrammi della parola ROMA?. Quate soo le possibili uscite del gioco del lotto?. I quati modi si possoo estrarre 0 pallie su 00 pallie, seza reimbussolameto? 4. I quati modi si possoo estrarre 0 pallie su 00 pallie, co reimbussolameto? 5. Quate soo le combiazioi di 4 oggetti su 9? 6. Quate soo le combiazioi di 5 oggetti su 9? 7. Quate badiere tricolori a righe verticali si possoo fare co i 7 colori dell iride? 8. Quati umeri di 4 cifre si possoo scrivere co,,,4,5 (seza ripetizioe)? 9. Quate applicazioi iiettive si possoo fare tra u isieme di oggetti e u isieme di m oggetti? 0. Le molecole di u gas si distribuiscoo el seguete modo i 4 celle comuicati: 0 i A, 00 i B, 80 i C e 00 i D. Quate soo le possibili cofigurazioi del gas? 6

26 . Quate soo le possibili uscite di TESTA e CROCE i tre laci di ua moeta?. Quati umeri < 0000 si possoo scrivere co le cifre,,,4,5 (seza ripetizioe)?. Quati umeri di tre cifre si possoo formare co il umero 97, seza ripetere le cifre? 4. I quati modi si possoo allieare oggetti seza che i primi due occupio i primi due posti? 5. I quati modi si possoo allieare oggetti seza che i primi tre occupio i primi tre posti? 6. Quate soo le diagoali i u poligoo di lati? 7. Quati soo i triagoli aveti per vertici i vertici di u poligoo di lati? 8. Quati ci ci si effettuao tra 0 persoe? 9. Quate sequeze di 8 cifre si possoo fare co le cifre biarie (0,)? 0. Quate sequeze di 8 cifre co le cifre biarie hao 6 esiti e esiti 0? 7

27 . Quate sequeze di 8 cifre biarie hao almeo 6 esiti?. Cosiderate le sequeze di 8 cifre biarie, qual è la probabilità di avere almeo 6 esiti?. Si distribuiscoo 5 carte da u mazzo di 5 carte. Calcolare la probabilità di otteere: a. 4 assi b. 4 assi e re c. dieci e fate d. ove, dieci, fati e. picche e fiori f. carte di u seme e carte di u altro seme g. almeo u asso h. u tris 4. Su 0000 biglietti di ua lotteria, di cui vicerao 0 biglietti, e compero 00. Qual è la probabilità di avere almeo u biglietto vicete? 8

28 5. Da u mazzo di 0 carte da a 0 si estraggoo a caso 5 carte. Qual è la probabilità che le carte estratte siao tutte da a 5? 6. a) I u piao cartesiao è possibile muoversi spostadosi di ua uità o verso destra o verso l alto. Quati soo i possibili percorsi che coducoo al puto (6, )? b) Quate sequeze di 9 cifre biarie si possoo formare co somma 6? c) Quate sequeze di 9 laci di ua moeta presetao 6 volte Testa? d) Dato u isieme di 9 elemeti, quati soo i sottoisiemi di 6 elemeti? e) Su 900 molecole, 600 devoo occupare la cella A e le rimaeti la cella B. Quate soo le possibili cofigurazioi? 7. U ura cotiee 0 pallie Biache, 0 Rosse, 50 Nere. Si estraggoo pallie. Calcolare la probabilità di otteere: a.tutte Rosse b.tutte Nere c.due Rosse e ua Nera 9 d. Nessua Nera e. Almeo ua Nera f. Né Nere, é Rosse