Esercizi di Probabilità - Matematica Applicata a. a Doriano Benedetti

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1 Esercizi di Probabilità - Matematica Applicata a. a Doriano Benedetti 6 marzo 014

2 1 Esercizio 1 In quanti modi diversi si può vestire una persona che possiede 10 abiti, paia di scarpe e cappelli? Si deve scegliere un oggetto da ciascuna delle tre categorie, quindi: D n1,1 D n,1 D n,1 = 10 = 100 Esercizio In quanti modi posso disporre su uno scaffale due enciclopedie, ciascuna di volumi, e altre due enciclopedie, ciascuna di 4 volumi, in modo che volumi della stessa opera non siano mai separati? Si usano le permutazioni semplici P 4 (P ) (P 4 ) = 4!! 4! = dove P 4 il numero di modi in cui si possono riordinare le 4 opere tra loro. Gli altri termini fanno riferimento invece al modo in cui si possono riordinare i libri all interno delle varie opere. Esercizio Quante parole di 4 consonanti e vocali si possono formare usando 7 consonanti e vocali (senza nessun vincolo ortografico)? Si devono scegliere 4 consonanti tra le 7 a disposizione (senza ripetizione e l ordine in cui si pescano non conta) e lo stesso per le vocali. Poi calcoliamo

3 gli anagrammi, ovvero il numero di parole che si possono formare con le 7 lettere scelte. Quindi otterremo: 7 C 7,4 C, P 7 = 7! = Esercizio 4 Uno studente deve rispondere a 7 domande scelte a caso da una lista di 10. Quante possibili scelte ha, se: 1. non ha vincoli?. deve rispondere ad almeno delle prime domande?. deve rispondere a delle prime 4 e ad almeno delle ultime? 1. Se non ha vincoli saranno le combinazioni, visto che l ordine non conta: 10 C 10,7 = = Se deve rispondere ad almeno delle prime, potrà rispondere a delle prime e poi a 4 delle ultime, o a 4 delle prime e a delle ultime, oppure a tutte le prime e a delle restanti. Quindi: C, C,4 + C,4 C, + C, C, = Se deve rispondere a delle prime 4 e ad almeno delle ultime : C 4, C, C, + C 4, C, C, = 4 = 6 = 110

4 Esercizio 10 giocatori di tennis decidono di giocare un doppio: 1. quante coppie distinte si possono formare?. una volta formate le coppie, quante distinte partite (coppia contro coppia) si possono giocare? Le coppie che possiamo formare sono: 10 C 10, = = 4 Le partite che si possono disputare con coppie sono: C, = = 10 Esercizio 6 La biglietteria di un teatro dispone di 100 biglietti numerati. Scegliendone a caso, quante sono le possibilità: 1. di avere estratto dei biglietti consecutivi?. e se si considera anche l ordine con cui i biglietti vengono scelti? Partendo dal biglietto numero 1, i gruppi di biglietti consecutivi, sono D 96,1 = 96 Se cosideriamo anche l ordine con cui i biglietti sono scelti, dovremmo tener conto anche che i biglietti consecutivi, possono essere venduti in! modi. Per tale valore dovremo quindi moltiplicare il risultato del punto precedente 96! = = 11.0

5 4 Esercizio 7 Uno studente ha deciso di vendere libri fra i 6 di matematica, 7 di scienze, 4 di economia e di latino che possiede. Quante sono le possibili scelte se: 1. i libri devono trattare lo stesso argomento:. i libri devono trattare argomenti diversi;. almeno due libri venduti devono essere di latino. 1. Se i libri da vendere devono trattare lo stesso argomento, dobbiamo sommare le possibili scelte di matematica, di scienze, di economia e di latino: = 60. Se deveono trattare argomenti diversi, dovremmo considerare le possibili scelte di libri dai 4 gruppi = Se almeno due libri devono essere di latino, dovremmo considerare le combinazioni di libri in gruppi di di latino, per le possibili scelte del libro. Quindi Esercizio 8 (Maturità Europea 1986) 17 = Tre automobilisti si servono per i loro veicoli del medesimo parcheggio. Essi devono consegnare le chiavi delle loro automobili al custode del parcheggio. Costui è notoriamente piuttosto negligente e infatti custodisce le chiavi, ma non si cura di contrassegnarle con il

6 nome del rispettivo proprietario. Accade che i tre automobilisti si rechino contemporaneamente a riprendersi le chiavi e che il custode le restituisca a caso. Calcolare la probabilità che: (a) ciascun automobilista riceva proprio le sue chiavi; (b) un solo automobilista riceva proprio le sue chiavi; (c) nessun automobilista riceva le sue chiavi.. Ciascun automobilista ha dato 10 uro al custode del parcheggio; quest ultimo è obbilgato a dare 11 uro a ciascun automobilista che non riceva le sue chiavi. Calcolare la speranza matematica di guadagno del custode. 1. Calcoliamo le probabilità: (a) P (chiavi) = 1 P = 1! = 1 6 ; (b) P (1chiave) = C,1 P = ( 1 )! = 1 ; (c) P (0chiavi) = D,1 P = 6 = 1. Per rispondere al quesito è di grande utilità disporre una tabella in cui si riportano per ogni evento, le rispettive probabilità e il guadagno per il custode. N. di persone che hanno la propria chiave 0 1 Probabilità 1/ 1/ 0 1/6 Guadagno del custode Il guadagno medio del custode diventa allora G = = 8

7 6 Esercizio 9 (Esercizi tratti da Mood-Graybill-Boes, 1997)... Un urna contiene palle rosse, bianche e 1 blu. Una seconda urna contine 1 palla rossa, bianche e blu. 1. Si estrae a caso una palla da ogni urna. (a) descrivere uno spazio campionario per questo esperimento; (b) trovate la probabilità che entrambe le palle siano dello stesso colore; (c) la probabilità di estrarre due palle rosse è maggiore di quella di estrarre due palle bianche?. Si mescolano insieme in una stessa urna tutte le palle e quindi si estrae da questa un campione di tre palle. Trovate la probabilità che siano rappresentati tutti e tre i colori se il campionamento avviene 1. (a) con reimmissione (b) senza reimmissione. spazio campionario ω p (ω) R, R 1/1 R, Bi 1/6 R, Bl 1/4 Bi, R 1/18 Bi, Bi 1/9 Bi, Bl 1/6 Bl, R 1/6 Bl, Bi 1/18 Bl, Bl 1/1 1 (a) Vedi tabella; (b) P [stesso colore] = P [R, R] + P [Bi, Bi] + P [Bl, Bl] = /18;

8 7 (c) No, infatti P [R, R] < P [Bi, Bi].. U tot =4R, 4Bi, 4Bl (a) P [una per ciascun colore] = P 4 1 = 9 (b) P [una per ciascun colore] = (4 1 ) (4 1 ) (4 1 ) ( 1 ) = 16 ; Esercizio 10 Un urna contiene palle numerate da 1 a, delle quali le prime sono nere e le ultime due dorate. Si estrae con reimmissione un campione di ampiezza. Sia B 1 l evento connesso al fatto che la prima palla estratta sia nera, e B l evento connesso al fatto che la seconda palla estratta sia nera. 1. Descrivete uno spazio campionario dell esperimento e mostrate gli eventi B 1, B e B 1 B.. Trovate P [B 1 ], P [B ], P [B 1 B ].. Ripetete i punti precedenti con il campionamento senza reimmissione. spazio campionario ω p (ω) 1. NN = 9 ND 6 DN 6 DD 4 1,. B 1 P [B 1 ] N 9 + 6, B P [B ] N 9 6, B 1 B P [B 1 B ] NN 9

9 8. ω p (ω) NN 4 = ND 0 6 DN 0 DD 0 1, B 1 P [B 1 ] N 0 6, B P [B ] N 6, B 1 B P [B 1 B ] NN 10 Esercizio 11 In una catena di montaggio, 1/ degli oggetti prodotti è difettoso. Se si prelevano oggetti a caso, qual è la probabilità che: 1. esattamente 1 di essi sia difettoso;. almeno 1 di essi sia difettoso; 1. La probabilità che prelevati oggetti esattamente 1 sia difettoso (D) è P [1 oggetto D] = 1 = 1 = La probabilità cha almeno 1 sia difettoso è dato da Esercizio 1 P [almeno 1 D] = 1 P [ D D D] = 1 = 19 = 0, Supponete che A e B siano due squadre ugualmente forti. E più probabile che A batta B in incontri su 4, o in incontri su 7?. Supponete ora che la propabilità che A batta B in un singolo incontro sia p, e rispondete ora alla domanda del punto precedente. La vostra risposta dipende da p?

10 9 1. La probabilità che A batta B in incontri su 4 è data da 4 P [/4] = p q = 4 p 4 = 0. 1 supposto che le due squadre siano ugualmente forti (p = q = 0.). La probabilità che A batta B in incontri su 7 è data da 7 P [/7] = p q = 1 p 7 = quindi è più probabile che A batta B in incontri su 4.. Dovremmo porre e riarrangiando avremo 4 p (1 p) 1 p (1 p) p (1 p) 4 1 E possibile verificare che per valori di p compresi tra [0, 1], è sempre verificata p p < 4 1 e quindi è confermato che è maggiore la probabilità di riuscire a battere una squadra in incontri su 4, piuttosto che in su 7 e la risposta non dipende da p. Esercizio 1 Su un gruppo di persona, qual è la probabiltà che abbiano compleanni diversi? (Assumete un anno di 6 giorni e che tutti i giorni siano ugualmente equiprobabili).

11 10 La probabilità è P [ compleanni diversi] = D 6, D r 6, = = 0, 41 Esercizio 14 Dato P [A] = 0. e P [A B] = 0.6, trovate P [B] se: 1. A e B sono incompatibili;. A e B sono indipendenti;. P [A B] = P [B] = 0.1;. P [B] = 0.. Si dimostra ponendo per indipendenza P [A B] = P [A] = P[AB] P[B] ;. P [B] = 1 6 ; Esercizio 1 Se P [B] = P [A B] = P [C AB] = 1, quanto vale P [ABC]? P [ABC] = P [B] P [A B] P [C AB] = 1 8.

12 11 Esercizio 16 Le urne A e B contengono ognuna palle bianche e nere. Si sceglie una palla dall urna A e la si trasferisce nell urna B, poi se ne sceglie una dall urna B, che risulta essere bianca. Qual è la probabilità che la palla trasferita fosse bianca? Conviene risolvere il quesito costruendo un albero degli eventi e rifarsi a teorema delle probabilità totali. Sia A = {la pallina estratta dalla seconda urna è bianca} e sia B = {la pallina estratta dalla prima urna è bianca}, allora la probabilità richiesta è P [B A] = P [A B] P [B] P [A B] P [B] + P [A B] P [ B] = =