Probabilita' mediante l'analisi combinatoria D n,k =Disposizioni di n oggetti a k a k (o di classe k)

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1 Probabilita' mediante l'analisi combinatoria D n,k =Disposizioni di n oggetti a k a k (o di classe k) Nel calcolo del numero di modalita' con cui si presenta un evento e' utile talvolta utilizzare le definizioni del calcolo combinatorio D n,k =Disposizioni semplici ( senza reimmissione )di n oggetti a k a k (o di classe k) Se ho n oggetti distinti (le lettere dell'alfabeto) e voglio contare quante quadruple (k=4) distinte (che tengon conto dell'ordine) si possono costruire utilizzando (senza reimmissione) gli n oggetti devo calcolare n*(n-1)*(n-2)*(n-3)= Introducendo la notazione n!=(n-1)(n-2)...1 e generalizzando ad un k qualsiasi ottengo D n,k =n(n-1)(n-2)...(n-k+1)=n!/(n k)! D R n,k =Disposizioni con ripetizione (con reimmissione) di n oggetti a k a k (o di classe k) =n k

2 Probabilita' mediante l'analisi combinatoria P n =Permutazioni di n oggetti Se k=n le Disposizioni si chiamano permutazioni D n,n =P n =n! ovvero le Permutazioni di n oggetti sono il numero di tutte le n-ple che si possono costruire, tenendo conto dell'ordine, utilizzando tutti gli n oggetti (senza reimmissione -ripetizione) Esempio: gli oggetti sono le lettere dell'alfabeto italiano,il numero di permutazioni possibili e' P 21 =21! Esempio: quanti sono gli anagrammi di LUCIA? 5!=120

3 Probabilita' mediante l'analisi combinatoria P n =Permutazioni di n oggetti con elementi ripetuti Se degli n oggetti m sono uguali il numero delle permutazioni e' ridotto P n(m) = P n /P m =n!/m! Se degli n oggetti m sono di tipo A, r di tipo B... il numero delle permutazioni e' ridotto a P n(m,r,..) = n!/(m!r!..) Esempio: gli anagrammi di Massimo sono 7!/(2!2!)=420

4 Probabilita' mediante l'analisi combinatoria C n,k =Combinazioni semplici di n oggetti a k a k (o di classe k) k) C n,k sono tutte le k-uple che non tengono conto dell'ordine che si possono costruire utilizzando (senza ripetizione) k fra gli n oggetti: quindi si tratta di dividere le D n,k per il numero di permutazioni P k =k! ovvero C n,k =D n,k /k!= n! /(n k)!k! i numeri C n,k vengono anche detti( per un motivo che chiariremo piu' avanti) coefficienti binomiali e indicati con ( n k))= n! /(n k)!k!

5 Le variabili casuali o aleatorie Intuitivamente un numero casuale o aleatorio e' un numero sul cui valore non siamo certi per carenza di informazioni (ad esempio la durata di un macchinario,il valore di un titolofra 2 giorni...) Nella teoria della probabilita' il numero aleatorio e' definito formalmente con riferimento ad un esperimento casuale o aleatorio. Consideriamo ancora il risultato di un esperimentocasuale, (lancio di una moneta o di un dado...)e sia S il suo spazio campionario. Si puo' associare ad ogni evento semplice ( o complesso) di S un numero reale positivo legandolo ad una caratteristica dell'evento. Il numero associato e' una variabile casuale ( o aleatoria) poiche' e' stato riferito al risultato di un esperimento esso stesso casuale. L'intervallo di valori di X e' detto spazio campionario numerico

6 Esempio :lancio di 2 dadi indipendenti Sia S e' lo spazio campionario dell'esperimento lancio di 2 dadi indipendenti e si osservi la somma delle facce in ogni lancio si puo' immaginare di raccogliere in un unico evento complesso gli eventi semplici che danno la stessa somma e associare a detto evento complesso il numero reale positivo somma X delle facce (1,6) (2,5) 3,4) (4,3) (5,2) (6,1) 7 La variabile aleatoria X puo' assumere i valori interi da 2,..., 12.

7 Legge di probabilita' di un numero aleatorio X i La probabilita' di X i,che si indica P(X i ), e' la Probabilita' dell'evento elementare o complesso E i a cui e' stata associata la variabile X i Se gli eventi E i sono mutualmente eclusivi ed costituiscono una partizione dello spazio S ovvero E 1 E 2 E 3 E 4...=S la condizione di P(E i )=1 equivale alla condizione di normalizzazione P(X i )=1

8 Esempio: distribuzione di probabilita' della variabile somma dei numeri che appaiono sulle facce superiori nel lancio di 2 dadi simmetrici E' facile verificare che le probabilita' P(X i ) sono : P(2)=1/36, P(3)=2/36, P(4)=3/36, P(5)=4/36, P(6)=5/36 P(7)=6/36, P(8)=5/36, P(9)=4/36, P(10)=3/36, P(11)=2/36, P(12)=1/36

9 DISTRIBUZIONE DI PROBABILITA' di una variabile aleatoria discreta Siano X i N variabili aleatorie discrete e siano state definite le loro probabilita' P(X i ) che soddisfano le condizioni: a) 0 P(X i ) 1 b) Σ P(X i ) = 1 dove la Σ e' estesa a tutto lo spazio campionario delle variabili X i ( i =1,N). L'insieme degli N valori P(X i ) costituiscono una distribuzione di probabilita' discreta. L'assegnazione della Probabilita' alle variabili X i puo' procedere, come nell'esempio precedente,a partire dallo spazio degli eventi E i o direttamente assegnando ad ogni X i una probabilita' P(X i ) soddisfi le condizioni a) e b).

10 Esempio lancio di 3 monete indipendenti Si associ ad ogni evento dello spazio campionario S il numero totale X di teste che possono essere 0,1,2,3. La variabile aleatoria X i puo' quindi assumere i valori 0,1,2,3 Si assegna alla X i la probabilita' P(X i ) che e' la Probabilita' definita sull'insieme da cui la X i proviene come mostrato in figura

11 DISTRIBUZIONE DI PROBABILITA' di una variabile aleatoria continua Se la variabile casuale X puo' assumere tutti i valori in un intervallo continuo (a,b),la variabile e' detta continua. Si noti che la variabile casuale continua e' un'astrazione: essa non osservabile nella realta'. Cio' non toglie che le variabili casuali continue abbiano grande impotanza nella statistica come modelli approssimati di situazioni reali.

12 Esempio variabile continua Si supponga di voler considerare l'altezza di adulti maschi estraendo un campione a caso da una popolazione. L'altezza di una popolazione e' di per se' una variabile continua, ma la misura di un numero finito della variabile altezza estratta dai un campione porta ad un numero discreto di valori.pur tuttavia si puo' immaginare di procedere intuitivamente assegnando a intervalli contigui della variabile altezza una probabilita' che soddisfi la definizione assiomatica.

13 Rappresentazione della distribuzione di probabilita' per variabili aleatorie continue- La rappresentazione grafica che corrisponde ad una suddivisione in intervalli dello spazio campionario di una variabile aleatoria continua e' un istogramma a intervalli, ossia con rettangoli aventi per basi segmenti uguali all'ampiezza dell'intervallo scelto e per altezza la probabilita' dell'intervallo diviso.

14 Si immagini ora di prendere intervalli sempre piu' piccoli. Il profilo del grafico diventa sempre piu' regolare mentre resta invariato il significato dell'altezza e dell'area dell'istogramma il cui valore totale e' 1. L'istogramma e' normalizzato ad 1 ovvero che la probabilita' che una variabile X sia compresa nell'intero range o spazio campionario e' la certezza.

15 Funzione densita' di probablita' Spingendo al limite 0 l'intervallo si puo' immaginare che la spezzata diventi una curva continua f(x) detta Funzione di densita di probabilita.l'area f(x)dx del rettangolo infinitesimo evidenziato in figura e' la probabilita' che la variabile X sia compresa fra x e x+dx

16 Definizione di funzione densita' di probabilita' Si chiama funzione densita' di probabilita' di una variabile casuale continua X definita nell'intervallo (a,b) una funzione che possiede le seguenti proprieta': a) f(x) 0 b) a b f(x)dx =1

17 Valore atteso e varianza di una distribuzione di probabilita' Si definisce valore atteso o media della variabile casuale X,il numero E(X)= Σ i X i P(X i ) per distribuzioni discrete E(X)= a b X f(x)dx per distribuzioni continue. Indicando con µ il valore E(X) si definisce varianza di X, e si indica con σ 2 σ 2 =Σ i (X i µ) 2 P(X i ) per distribuzioni discrete 2 = a b (X µ) 2 f(x)dx per distribuzioni continue.

18 Momenti Per una variabile casuale X (discreta o continua)avente una funzione di distribuzione di probabilita' P(X) ( funzione di densita' di probabilita' f(x))e' possibile introdurre i cosidetti momenti (rispetto all'origine) µ k di ordine k µ k =E(X k ) Il momento di ordine 1 e' il valore atteso E(X)=µ Il momento di ordine 2 µ 2 =E(X 2 )= Σ i X i 2 P(X i ) per distribuzioni discrete µ 2 =E(X 2 )= a b X 2 f(x)dx per distribuzioni continue.)

19 -Calcolo della varianza σ 2 =µ 2 µ 2 Dalla definizione di varianza σ 2 =Σ i (X i µ)2 P(X i ) per distribuzioni discrete sviluppando il quadrato si ottiene: σ 2 =Σ i (X i2 2µX i + µ 2 ) P(X i )= = Σ i (X i2 ) P(X i ) 2µ Σ i X i P(X )+µ 2 i Σ i P(X i )= =E(X 2 ) 2µΕ(X)+ µ 2 =E(X 2 ) µ 2 la dimostrazione procede analogamente per distribuzioni continue