Statistiche quantiche

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1 Statstch quatch Rflttamo su asptt bas dlla Mccaca quatstca ch hao fluto sull aals statstca d sstm d partcll. Cosguz dl prcpo d dtrmazo Sulla bas dl prcpo d dtrmazo d Hsbrg o è possbl dfr lo stato mcroscopco d u sstma d partcll quatstch assgado l poszo vloctà d tutt l partcll. Cò fluza sa cotgg d mcrostat corrspodt allo stsso macrostato sa la possbltà d dstgur du partcll dstgubltà:. No possamo pù mmagar u mcrostato com u sm d put poszo-quattà d moto ma com u sm d volum dat dal prodotto tra trvall d poszo d quattà d moto: V = x y z mv x mv y mv z h 3 Qusto sgfca ch tutt l partcll co poszo quattà d moto comprs qull trvallo s trovao llo stsso mcrostato. Lo spazo dll fas v così suddvso cll d cu è assgato u volum mmo da cu dpd l cotggo dl umro d mcrostat accssbl fssato lo stato macroscopco.. Altra cosguza dl prcpo d dtrmazo è la dstgubltà dll partcll dtch. Ifatt, o potdo assocar a cascua partclla u valor pr la poszo pr la vloctà o possamo ach parlar d trattora ch qusta sgu l tmpo, prcò s provamo a fotografar du partcll dtch du stat d tmpo dstt ss rsultao dstgubl. Dal momto ch la mccaca statstca tratta solo l proprtà ossrvabl, qust dvoo ssr dpdt dalla dstgubltà o mo dll partcll. L ossrvabl pù smplc, mccaca quatstca, è qullo ch dtrma la probabltà d trovar l partcll dll poszo. Suppoamo d avr du partcll d volr dtrmar la probabltà ch ss s trovo ll poszo r d r : s l loro stato è rapprstato dalla fuzo d oda r,, allora qusta probabltà sarà par a r, r r. Essa, propro pr l dstgubltà dll partcll, dv rmar varata s s scambao tra d loro l du partcll: dv coè ssr, r r =, r r V soo du possbltà prchè tal rlazo sa soddsfatta. La fuzo d oda dll du partcll può ssr smmtrca o atsmmtrca rsptto allo scambo. Può coè valr ua d qust rlazo: S r, r S r, r

2 A r, r A r, r Da cò sgu ch l partcll atura s dvdoo du class dstt, a scoda dlla proprtà d smmtra o atsmmtra ch possdoo: boso fuzo d oda smmtrca frmo fuzo d oda atsmmtrca. Cascua d ss ha comportamt statstc assolutamt dvrs. La prma class d partcll sgurà la statstca d Bos-Est 94, la scoda qulla d Frm-Drac 96. Tal suddvso dpd da ua proprtà fsca carattrstca d og partclla: l valor dl suo momto agolar trsco, o sp. S trova, fatt, ch boso soo partcll co u valor tro dllo sp, utà d h/, mtr frmo qull co valor sm-tro dllo sp. Ad smpo, l lttro ch ha u valor / pr lo sp è u frmo, mtr l foto ch ha u valor dllo sp par a è u boso. Cosdrazo aalogh s possoo far sugl atom o sull molcol, tdo coto dgl sp lttroc uclar: gas quatstc s dvdoo gas d Bos gas d Frm, qual prstao proprtà d dgrazo ttamt dvrs. La dffrza sostazal tra frmo boso ch dscd propro dal carattr frmoco atsmmtrco dlla fuzo d oda pr partcll o tragt portrà al prcpo d scluso d Paul pr frmo vd allgato A. Sulla bas d tal prcpo, du o pù frmo dpdt dvoo dspors stat quatc dvrs o possoo avr gl stss umr quatc. Cosa camba l cotggo dgl stat? Dfamo du lvll d dscrzo d u sstma d partcll: qullo macroscopco qullo mcroscopco. Dal momto ch o c è pù possbl dfr cotmporaamt poszo vloctà d cascua partclla, allora scglamo d utlzzar com gradzza damca l rga, ch sappamo carattrzza gl stat quatc dll partcll. Suppoamo d avr u sstma costtuto da N partcll dtch. L rga dll sgol partcll d u sstma spazalmt lmtato, a causa dll codzo al cotoro può assumr solo valor dscrt, ma, u sstma d dmso macroscopch, tal valor soo molto vc tra loro: lo stato mcroscopco dl sstma è dfto assgado l umro d partcll ch s trovao su og lvllo rgtco. Suddvdamo allora l tro trvallo d rga pccol ma ft, dcado co g l umro d lvll rgtc lla clla -sma, dfamo lo stato macroscopco attravrso umr md d partcll cascua clla. L partcll possoo ssr dspost W mod dstt su g lvll d og clla. Dfamo la probabltà W W W W W3... W dllo stato macroscopco com l umro total dgl stat mcroscopc dstt. Ad smpo ll lo qust proprtà s rtrovao tramb a scoda dll sotopo ch cosdramo, fatt pr l 4 H lo sp rsulta tro, pr l sotopo 3 H rsulta sm-tro. Qusta dffrza l valor dllo sp dtrma l dvrs proprtà, tra cu qulla dlla suprfludtà.

3 Cosdramo zalmt u smpo smplc pr capr l dffrz cotgg statstc dovut all dstgubltà dll partcll d al carattr bosoco o frmoco. Suppoamo d dsporr du partcll tr scatol dffrt cll. S l cosdramo dstgubl l dchamo ua rossa d ua blu ottamo 9 dffrt stat Boltzma, s l cosdramo dstgubl, tutt ross, ma co carattrstch bosoch ossa o val l prcpo d scluso d Paul ottamo 6 dffrt stat, f s troducamo l prcpo d scluso d Paul, pr cu du partcll dtch o possoo occupar lo stsso stato, allora ottamo solo tr dffrt stat. Esguamo ora, l caso classco d Boltzma, qullo d frmo d boso, l cotggo dl umro d mcrostat dvrs, coè l umro d mod cu possamo dsporr N partcll dtch ovvro dstgubl K cll, podo gl stat g, dlla -sma clla co l sol rstrzo ch N Et. Vsta l dstgubltà dll partcll o è pù possbl dstgur l squz cu abbamo sclto l partcll dall N, po l dall N-, così va. Qualsas squza è dstgubl dall altr: cotgg cocroo solo mod dstt d collocar l partcll og clla. a Boltzma Sclt l partcll pr la clla -sma, ss dvoo ssr dspost gl g lvll dlla clla: poché o v soo rstrzo sul umro d partcll pr lvllo, la prma può ssr collocata g mod dstt, la scoda g mod, così va, modo ch l partcll possoo ssr collocat g mod dstt. Alla f, dvddo pr l umro N! d prmutazo dll N partcll, pr 3

4 vtar l paradosso d Gbbs d ottr l corrtto lmt classco dll statstch quatch, ottamo: N! g W g g g. N!!!!! Dal momto ch sappamo ch l N partcll s trovrao llo stato pù probabl, coè qullo a cu compta la massma probabltà, allora dobbamo calcolar l valor massmo d log W. No tramo dttagl dl procdmto, ma c lmtamo ad dcar alcu asptt qualtatv d cu bsoga tr coto. E qusto u problma d massmo assoluto bsoga dtrmar u sm d valor,,, ch rda massmo W ch cotmporaamt soddsf du codzo fsch vcol: l umro total dll partcll dv rmar costat, N l rga total dl sstma dva rmar costat, E Tal problma s rsolv d solto co l mtodo d moltplcator d Lagrag. Il rsultato è g xp[ ]. Qusta sprsso, ch forsc l umro d partcll ch popolao u dato lvllo coformtà alla rchsta d massma probabltà, sgu la lgg spozal dtta dstrbuzo d Maxwll- Boltzma. La costat s cosdra fuzo d N s dmostra ch ha u carattr uvrsal, dpdt dal partcolar sstma d è vc ucamt lgata alla tmpratura,. T Prtato la dstrbuzo d Maxwll-Boltzma s scrv lla forma: g Tal rlazo c dc ch l umro d partcll co rga dpd dal umro d stat a cu compt l rga dcrsc spozalmt all aumtar dll rga ; altr parol, tra cll d ugual dmso, qull co rga maggor soo mo popolat d qull co rga mor. b Frm-Drac. I qusto caso, l dsporr l partcll gl g lvll dlla -sma clla dobbamo tr coto dl prcpo d scluso d Paul qud o possamo porr pù d ua partclla pr og lvllo g dlla -sma clla, oltr è charo ch dovrà ssr smpr g. La prma partclla può ssr collocata g mod dstt. Pr cascua d qust sclt la scoda partcll ha a dsposzo solo g - lvll lbr può qud ssr collocata g - mod dstt; la trza g - mod, così va. Abbamo allora u umro complssvo d mod: z! z z z... z. z! Qusto calcolo val pr ua data squza dll partcll, ma soo possbl! squz dvrs, da cu l umro d mod dstt d dsporr l partcll lla clla è: z! W! z! E l umro total d mcrostat, ovvro la probabltà d qul macrostato, è dato dal prodotto sull K cll g! W! g! T 4

5 a cu, procddo com prma, assocamo la massma probabltà d occupazo dl sstma: g, A b lla qual l paramtro b ha lo stsso sgfcato dl corrspodt trm classco, b=/ B T mtr A s dtrma a partr dalla ormalzzazo sul umro total d partcll, =N. S usa prò trodurr ua otazo spcal pr A, podo F = A B T, dov F è dtta rga d Frm. I bas a qusta dfzo, la dstrbuzo rsultat, dtta d Frm-Drac, è data da g. F / BT c Bos-Est. I qusto caso o v soo lmt al umro d partcll su og lvllo. Pr calcolar l umro d mod dstt cu possamo dsporr l partcll g lvll dlla -sma clla possamo srvrc d u artfco. Rapprstamo fla +g - pall, pall r rapprstao l partcll, g - pall azzurr lvll dlla -sma clla. Prmutamo tra loro tutt l +g - pall, tdo coto ch l prmutazo tra l o costtuscoo dstrbuzo dvrs data l dstgubltà dll partcll, così pur l prmutazo tra l z - pall azzurr. Il umro dll prmutazo complssv va dvso pr umr dll prmutazo! g -!, s ott: g! W! g! alla qual applcado l tcch d massmzzazo vcolat, d cu sopra, s gug alla forma dlla dstrbuzo dlla popolazo d lvll bosoc, dtta dstrbuzo d Bos-Est data da A g b, dov acora l paramtro b è collgato alla tmpratura assoluta dl sstma d A è lgato alla cosrvazo dl umro total dll partcll. E cosutud assgar la dstrbuzo d Bos-Est lla forma g. E / BT A 3 Cofroto tra l statstch: A qusto puto c chdamo quado usar ua statstca puttosto ch u altra? Qual soo l aalog l dffrz? 5

6 Izamo co l dfr gl ambt d applcazo dll tr statstch: a. La statstca d Maxwll-Boltzma s applca a gas d molcol a tmpratura ambt o a tmpratur pù alt. b. La statstca d Bos-Est s applca a gas d crt partcll, ch da ora chamrmo boso, stato d dgrazo. I boso soo partcll a cu o s applca l prcpo d Paul, d o o hao sp o hao sp tro com ad smpo: foto rcordo ch Bos, co la sua statstca, rtrovò la formula data da Plac pr l'msso d radazo da part d u corpo ro trattado statstcamt foto, foo, mso, mso K, gas ral drogo d lo. c. La statstca d Frm-Drac s applca a gas d altr partcll, ch da ora chamrmo frmo, ch oltr ad ssr stato d dgrazo soo ach soggtt al prcpo d Paul. I frmo soo partcll ch hao sp smtro com ad smpo: lttro, proto, utro. Possamo qud dr ch l'applcazo d ua o dll'altra statstca dpd dal tpo d partcll covolt ach dall partcolar codzo fsch cu qust partcll s trovao. Dfamo la fuzo dstrbuzo f com l rapporto /g ottamo pr tr cas :. f fuzo d dstrbuzo d Maxwll-Boltzma. 3. B T f fuzo d dstrbuzo d Bos-Est E T f fuzo d dstrbuzo d Frm-Drac. F T F Nll tr fuzo d dstrbuzo possamo dvduar T pr la statstca d Maxwll- Boltzma pr qulla d Bos-Est, F T pr la statstca d Frm-Drac u paramtro d dgrazo. Ifatt, quado T ovvro F T è molto mor d s è codzo d dgrazo, o potdos trascurar l - al domator dlla B-E d l + al domator dlla F-D, valgoo l statstch quatstch. Quado vc T ovvro F T rsultao molto grad, allora potdos trascurar l - + al domator dll B-E F-D rspttvamt, val la statstca d Maxwll-Boltzma. Duqu, la statstca classca è u'approssmazo dll altr du quado l gas ch stamo cosdrado è codzo o dgr. Rportamo ora lla sgut fgura l grafco dll dstrbuzo cosdrazo, a T pr u fssato valor d = F : 6

7 Da grafc s può vdr subto ch pr la f E l lvllo rgtco, ssdo l lvllo vrso cu f E td pr T, è l pù basso lvllo possbl pr l sstma d boso costtut l gas; pr la f F l lvllo pù basso possbl pr l sstma d fmo costtut l gas è qullo corrspodt ad = ; pr la f B s ha vc ua stuazo trmda pr l sstma d molcol costtut l gas. Qusto fatto rvla la profoda dffrza fra l statstch d Maxwll-Boltzma Bos- Est da ua part la statstca d Frm-Drac dall' altra. Quado l'rga dl gas cosdrazo s abbassa d molto, quado coè la tmpratura dvta molto bassa T, l molcol classch tdrbbro ad occupar tutt lo stsso stato corrspodt ad rga =. Qusto fatto raltà o s vrfca poché, trovadoc stato d dgrazo occorr applcar l statstch quatstch: qulla d Frm l caso d partcll a sp smtro soggtt al prcpo d Paul, qulla d Bos l caso d partcll a sp tro o soggtt al prcpo d Paul. Comuqu, pr coè pr T, quado s ha a ch far co u gas d boso, s orga ua codsazo dl gas stsso, coè, boso costtut l gas tdoo ad occupar tutt lo stsso stato rgtco =. Ua cosa dl tutto dvrsa accad quado s ha a ch far co u gas d frmo: u solo frmo s trovrà llo stato a cu compt rga zro, tutt gl altr adrao ad occupar stat ad rga supror fo a ch o sao saurt frmo stss lvllo rgtco F. Vdamo mglo qusto fomo cosdrado, pr smplctà, o stat, cu v può ssr u solo lttro, ma lvll rgtc, cu v possoo ssr du lttro a sp atparalllo. Vdamolo mglo u cofroto co u gas d molcol d u gas d boso, l caso partcolar d u umro N d partcll ugual a : 7

8 S gl lttro fossro partcll classch, allo zro assoluto s trovrbbro tutt l lvllo rgtco =. Pr portar qust lttro classc dal lvllo = al lvllo, ralmt occupato allo zro assoluto, F, occorrrbb u alzamto d tmpratura coè u aumto d rga par a crca. K rcordado quato abbamo dtto sull'rga d puto zro, s può dr ch gl lttro hao ua altssma rga d puto zro com gl lttro tutt frmo. S alzamo la tmpratura, tutt l partcll d Boltzma d Bos acqustao rga saltado, sza ssua lmtazo ll'occupazo d lvll, su lvll ad rga pù alta; l partcll d Frm vc s comportao modo dvrso: qull ch stao lvll rgtc pù bass o possoo, alcu modo, acqustar rga poché ad u acqusto d rga corrspod l salto u lvllo supror l qual ssdo gà occupato da du lttro o prmtt ch s agguga u altro; l uch partcll ch acqustao rga soo qull prossm al lvllo d Frm ch hao, mmdatamt sopra, lvll rgtc lbr ch possoo occupar: Dal lvllo * cu o v soo pù lttro, s può applcar la statstca d Boltzma; l grafco dll fuzo d dstrbuzo, fatt, l lvllo * è propro qullo cu s raccordao l fuzo d Frm d Boltzma: 8

9 Qud l caso d frmo, quato T, solo qu frmo ch hao u'rga dll'ord d F = T possoo subr crmt d rga, portados al massmo ad ua rga *. Tutt gl altr frmo soo, pr così dr, coglat l loro stato o possoo subr alzamt d rga co u solo alzamto d tmpratura. APPENDICE S rportao qu alcu smp comu d sstm d boso o d frmo, l cu proprtà possoo ssr approfodt qualuqu tsto d Mccaca Statstca.. La radazo lttromagtca ch c crcoda s trprta com u gas d partcll d Bos-Est, foto, d massa ulla, sp utà d h/ d rga =h. Fu propro Bos l 94, partdo dall'dstgubltà dll partcll, dalla quatzzazo dlla loro rga d ach qualch modo dal prcpo d dtrmazo pur o ssdo qust'ultmo acora stato ucato - 97 quado fssò h 3 com volum dll clltt a dsposzo dll partcll, ad applcar l uovo cotggo statstco pr rcavar la formula dlla radazo dl corpo ro.. Cosdramo la coduzo dll rga lttrca u mtallo: s cosdramo gl lttro d coduzo com partcll ch soddsfao la fsca classca sorgoo dll cogruz, qulla pù faclmt comprsbl rguarda l calcolo dl calor spcfco. I u mtallo possamo cosdrar ch l umro d lttro d coduzo prst è dllo stsso ord d gradzza dl umro dgl atom dl rtcolo: ch cosa ottamo s applchamo ad tramb tp d partcll l torma d qupartzo dll rga? Il calor forto va ad cctar part l vbrazo dgl atom dl rtcolo attoro alla loro poszo d qulbro part l rga ctca dgl lttro. Og atomo può ssr cosdrato u oscllator armoco trdmsoal, duqu la sua rga è la somma d s trm quadratc, tr pr qulla ctca tr pr qulla potzal. Pr gl lttro d altro cato l rga è solo la somma d tr trm 9

10 quadratc dll rga ctca. N sgu ch l calor spcfco dl gas d lttro dovrbb ssr mtà d qullo dl rtcolo, mtr sprmtalmt s trova ch sso è crca /4. S cosdramo gl lttro d coduzo com partcll d Frm-Drac tal cogruza può ssr spgata. Ifatt, u sstma d frmo obbdsc al prcpo d scluso d Paul ch fa s ch a lvllo pù basso d rga alla tmpratura dllo zro assoluto N partcll occupao gl N lvll rgtc pù bass: l umro d occupazo è pr lvll pù bass occupat pr gl altr. Qualora foramo al sstma ua pccola rga d cctazo T, la traszo è prmssa solo agl lttro collocat lvll ad alta rga, al d sopra d qual sstoo lvll acora lbr; mtr è vtata agl lttro d lvll fror dal momto ch lvll supror soo gà occupat. I umr d occupazo rmagoo sattamt pr tutt lvll, tra ch pr qull collocat u trvallo T attoro al lvllo pù alto occupato, solo ua pccola frazo dgl lttro duqu può vr cctata dal moto d agtazo trmca a tmpratura ambt cotrbusc qud all assorbmto dll rga trmca, coè al calor spcfco. 3. La trattazo quatstca dll vbrazo dl rtcolo porta alla troduzo d mod ormal d vbrazo com quas-partcll: tal partcll soo dtt foo, d obbdscoo alla statstca d Bos-Est avdo sp tro. N drva ch tutt l partcll, o ssdo soggtt al prcpo d scluso d Paul, possoo ssr cctat. N sgu ch l valor dl calor spcfco calcolato usado tal statstca, ach s s dscosta da qullo calcolato usado la statstca d Boltzma, rsulta molto pù grad rsptto a qullo dgl lttro. 4. Ach la suprfludtà dll 4 H può qualtatvamt ssr spgata com cosguza dl fatto ch gl atom d 4 H hao sp tro qud soo boso. Quado avvcamo la tmpratura dl sstma a qulla dllo zro assoluto, sso tdrà ad adar lla cofgurazo d rga total mma. Dato ch l partcll o obbdscoo al prcpo d scluso d Paul, ss tdrao a codsars tutt llo stato fodamtal, coè qullo d rga pù bassa codsazo d Est. V è prò ua dffrza mportat rsptto all traszo ordar: mtr qust la codsazo avv llo spazo ordaro, ad smpo l lqudo s spara dal vapor, l procsso d cu stamo parlado l partcll o acqustao valor prossm ll coordat, ma lo stsso valor dll rga, o dll mpulso. L proprtà d suprfludtà vgoo assocat propro alla comparsa dlla fas codsata. 5. La tmpratura crtca pr la codsazo d Est corrspod alla cofgurazo pr la qual s ha l dtrmazo mma possbl dll mpulso scodo la rlazo h d dtrmazo d Hsbrg x p. Assumdo, fatt, com dtrmazo 3 x la dstaza mma tra l N partcll, x V N 3, s ott h N p ch corrspod all rga d puto zro V p m h 4 N m V 8 m V 3 3 alla qual s può assocar la tmpratura h N T c ch ha propro fattor gust d è dll ord d gradzza dll sprsso ch s ott da u calcolo satto.

11 Appdc A Cosdramo u sstma fsco costtuto da du partcll dtch o tragt: s dscrvamo lo stato co la fuzo r,, l'quazo d Schrodgr cu r, soddsfa, r r H r, r h d r, r dt sarà sparabl du quazo gual pr l fuzo d'oda r r ottut da r, pr sparazo dll varabl: r, = r r. S a r b r soo du r r soluzo dll rspttv quazo, rlatv a du partcolar stat quatc a b, ua qualsas loro combazo lar soddsfrà l'quazo, ma l'dstgubltà dll du partcll mplca ch l quattà msurabl, com la dstà *, o dpdao dall'vtual scambo dll partcll allora possamo accttar com soluzo l sol combazo lar ch possdao uo dfto stato d smmtra pr l'oprazo d scambo. Qust rsultao ssr la combazo smmtrca qulla atsmmtrca r, r a r b r a r b r r, r a r b r a r b r S l du partcll soo dscrtt dalla combazo atsmmtrca, o s potrao ma trovar llo stsso stato quatco: s a = b fatt la fuzo d'oda r, rsulta r dtcamt ulla. Cò può ssr stso sza dffcoltà a fuzo d'oda ch dscrvao N partcll dtch, dato ch s può smpr costrur uo stato totalmt atsmmtrco utlzzado l dtrmat d Slatr. Qusto è, com gà accato, l prcpo d scluso d Paul lla sua formulazo pù gral: sstm cott lttro dvoo ssr dscrtt da fuzo d'oda atsmmtrch pr l'oprazo d scambo. E raltà, l prcpo ha valdtà acora pù gral, poché s applca a tutt l partcll d sp sm-tro, ovvro a tutt frmo. Pr sstm d partcll a sp tro boso, soo vc cssar fuzo d'oda totalmt smmtrch pr lo scambo d cascua d ss. Du o pù frmo dpdt dvoo dspors stat quatc dvrs o possoo avr gl stss umr quatc.