UNITA 4. LE DISEQUAZIONI GONIOMETRICHE.

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1 UNITA. LE DISEQUAZIONI GONIOMETRICHE.. Generalià sulle disequazioni goniomeriche.. Disequazioni goniomeriche elemenari con seno, coseno, angene e coangene.. Disequazioni riconducibili a disequazioni goniomeriche elemenari.. Disequazioni lineari in seno e coseno. 5. Disequazioni omogenee di secondo grado in seno e coseno.. Disequazioni goniomeriche riconducibili a disequazioni omogenee di secondo grado. 7. Sudio del segno delle funzioni goniomeriche. 8. Esercizi vari e problemi di applicazione.. Generalià sulle disequazioni goniomeriche. Le disequazioni goniomeriche sono disequazioni che conengono l incognia all inerno di qualche funzione goniomerica (seno, coseno, angene, secane, cosecane, coangene). Risolvere la disequazione goniomerica significa ricavare gli angoli incognii (in radiani) oppure (in gradi) che verificano la disuguaglianza ra il primo membro e il secondo membro. Le disequazioni goniomeriche servono per risolvere problemi di Geomeria o di Fisica in cui le incognie sono degli angoli. Ci sono vari ipi di disequazioni goniomeriche; le più frequeni sono le segueni: a- disequazioni goniomeriche elemenari; b- disequazioni riconducibili a disequazioni goniomeriche elemenari; c- disequazioni lineari in seno e coseno; d- disequazioni omogenee di secondo grado in seno e coseno; e- disequazioni riconducibili a disequazioni omogenee di secondo grado.

2 . Disequazioni goniomeriche elemenari con seno, coseno, angene e coangene. Sono disequazioni goniomeriche abbasanza semplici che si possono risolvere in due modi: a- ricordando i valori delle funzioni goniomeriche di alcuni angoli paricolari e ricordando la periodicià di quese funzioni goniomeriche. E molo uile disegnare la circonferenza goniomerica. b- uilizzando la calcolarice scienifica, in paricolare i asi sin -, cos -, an -. Esempio sen Disegnando la circonferenza goniomerica si osserva che il seno di un angolo è uguale a quando l angolo è uguale a oppure a 7 e si deduce che il seno dell angolo è maggiore di quando l angolo è compreso ra 7 e. Perciò si può scrivere la soluzione: 7 Esempio cos Disegnando la circonferenza goniomerica si osserva che il coseno di un angolo è uguale a quando l angolo è uguale a oppure a e si deduce che il coseno dell angolo è maggiore di quando l angolo è compreso ra e. Perciò si può scrivere: da cui si oiene la soluzione:

3 Esempio g Disegnando la circonferenza goniomerica si osserva che la angene di un angolo è maggiore di quando l angolo è compreso ra e. Perciò si può scrivere: ; cioè ; ; ; Esempio co g Disegnando la circonferenza goniomerica si osserva che la coangene di un angolo è minore di quando l angolo è compreso ra e. Perciò si può scrivere: ; cioè ; ; ; 5 5

4 . Disequazioni riconducibili a disequazioni goniomeriche elemenari. Quese disequazioni si risolvono rasformando ue le funzioni goniomeriche in funzione di una sola di esse, porando ui i ermini al primo membro e scomponendo il primo membro nel prodoo di più faori di primo grado o di secondo grado. Si sudia la posiivià di ciascun faore risolvendo varie disequazioni goniomeriche elemenari e successivamene, applicando la regola dei segni, si sabilisce il segno complessivo del primo membro, da cui si ricavano le soluzioni della disequazione. A vole, prima di risolvere la disequazione, può essere necessario imporre alcune condizioni di acceabilià. Esempio sen cos 5cos ( cos cos ) cos cos cos 5cos 0 5cos 0 5cos 0 Si risolve l equazione associaa: cos 5cos cos 5 La disequazione è verificaa per i valori eserni: cos cos cos cos non ha soluzioni.

5 . Disequazioni lineari in seno e coseno. Sono disequazioni in cui si rovano sia il seno che il coseno di un angolo come funzioni di primo grado, e perciò si dicono lineari. Hanno quesa forma: asen bcos c 0 dove a,b,c sono numeri reali qualsiasi e dove il simbolo > può essere sosiuio dal simbolo, oppure, oppure. Nel caso paricolare in cui c 0 la disequazione divena: asen bcos 0 Se cerchiamo di risolverla come le equazioni lineari, dividendo ambo i membri per cos, non conoscendo il segno di cos non sappiamo se la disequazione cambia verso oppure no. Dovremmo considerare enrambi i casi, ma la procedura sarebbe roppo lunga. Conviene, invece, uilizzare le formule parameriche razionali, sia quando c 0, sia quando c 0. Esempio. sen cos 0 ; Se g esise, cioè e quindi, si possono usare le formule parameriche razionali e la disequazione divena: 0 ; 0 Si risolve l equazione associaa: 0; ; 0; 0; La disequazione è verificaa per i valori eserni: g g Se invece g non esise, cioè e quindi, non si possono usare le formule parameriche ma bisogna sosiuire queso valore di nella disequazione daa e si oiene: 0 0 sen ( ) cos( ) 0 0 Siccome la disuguaglianza è verificaa, anche l angolo è soluzione della disequazione. Le soluzioni della disequazione sono perano: che si possono unificare in un unico inervallo:

6 Esempio sen cos 0 Se g esise, cioè e quindi, si possono usare le formule parameriche razionali e la disequazione divena: 0 z l 0 ; 0; 0; 0; 8 Si risolve l equazione associaa: 0 ; ( ) 0 La disequazione è verificaa per i valori eserni: g 0 g Se invece g non esise, cioè e quindi, non si possono usare le formule parameriche ma bisogna sosiuire queso valore di nella disequazione daa e si oiene: sen ( ) cos( ) Siccome la disuguaglianza è verificaa, anche l angolo è soluzione della disequazione. Le soluzioni della disequazione sono perano: che si possono unificare in un unico inervallo:

7 5. Disequazioni omogenee di secondo grado in seno e coseno. Sono disequazioni in seno e coseno che hanno ui i ermini di secondo grado e perciò si dicono omogenee. In generale hanno la forma: asen bsen cos ccos 0 dove il simbolo > può essere sosiuio dal simbolo, oppure, oppure. Osserviamo che deve essere necessariamene cos 0 Se cos 0 si possono dividere ambo i membri per cos oenendo una disequazione equivalene con lo sesso verso e con l incognia g : a g bg c 0 Se cos 0, cioè cos 0 e quindi, non si possono dividere ambo i membri per cos ma bisogna sosiuire queso valore di nella disequazione daa per vedere se la disuguaglianza è verificaa. Esempio. sen ( ) sen cos cos 0 Se cos 0 si possono dividere ambo i membri per cos oenendo una disequazione equivalene ed equiversa con l incognia g : g 0 g Si risolve l equazione associaa: g g 0 g La disequazione è verificaa per i valori eserni: g g g g Se cos 0, cioè cos 0 e quindi, non si possono dividere ambo i membri per cos ma bisogna sosiuire queso valore di nella disequazione daa per vedere se la disuguaglianza è verificaa. La disequazione divena: sen 0 0 che è una disuguaglianza vera e perano anche l angolo è una soluzione della disequazione. Le soluzioni della disequazione sono quindi: che si possono unificare in un unico inervallo:.

8 . Disequazioni goniomeriche riconducibili a disequazioni omogenee di secondo grado. Sono disequazioni del ipo: asen bsen cos ccos d 0 dove il simbolo > può essere sosiuio dal simbolo, oppure, oppure. Quese disequazioni non sono omogenee per la presenza del ermine d che non è di secondo grado. Tuavia si possono ricondurre a disequazioni omogenee di secondo grado moliplicando il ermine d per il numero sen cos oenendo: asen bsen cos ccos ( a d) sen d( sen bsen cos ( c d)cos cos 0 che è una disequazione omogenea di secondo grado in seno e coseno. Esempio 5sen sen cos cos 0 ) 0 5sen sen sen cos cos sen cos cos sen 0 cos 0 Se cos 0 si possono dividere ambo i membri per cos oenendo una disequazione equivalene ed equiversa con l incognia g : g g 0 Si risolve l equazione associaa: g g 0 8 g 8 La disequazione è verificaa per i valori inerni: g cioè Se cos 0, cioè cos 0 e quindi, non si possono dividere ambo i membri per cos ma bisogna sosiuire queso valore di nella disequazione daa per vedere se la disuguaglianza è verificaa. La disequazione divena: sen che non è una disuguaglianza vera e perano l angolo non è una soluzione della disequazione. Perciò le soluzioni della disequazione sono solano quelle rovae prima: