UNITÀ DIDATTICA 3 FUNZIONI GONIOMETRICHE

Transcript

1 UNITÀ DIDATTICA FUNZIONI GONIOMETRICHE 1 La misura degli angoli In ogni circonferenza è possibile definire una corrispondenza biunivoca tra angoli al centro e archi: a ogni angolo al centro corrisponde un solo arco determinato dall intersezione dell angolo con la circonferenza Le lunghezze degli archi sono direttamente proporzionali alle ampiezze degli angoli al centro corrispondenti Quindi l intera circonferenza, che misura r, è direttamente proporzionale all angolo giro che misura 60 Questo significa che in una circonferenza di raggio r, indicato con α l ampiezza di un angolo e con h la lunghezza dell arco corrispondente, vale la seguente relazione: h r h α α 60 r 60 Teorema tenendo conto che la tante,1416k Esempio 11 Determinare in una circonferenza di raggio r le lunghezze degli archi corrispondenti agli angoli seguenti: α 0, β 60, γ 90, δ 180 Applicando la formula si trova che la lunghezza dell angolo: 1 α 0 è β 60 è γ 90 è 0 r r h r r h r r h 60 7

2 180 r 4 δ 180 è h r 60 Si chiama radiante l ampiezza dell angolo al centro corrispondente a un arco di circonferenza uguale al raggio della circonferenza L ampiezza di un angolo espressa in radianti si calcola dividendo la lunghezza dell arco corrispondente per il raggio: ampiezza angolo in radianti lunghezza arco corrispondente r Definizione di Radiante Per esempio, l angolo piatto corrisponde alla semicirconferenza, la cui lunghezza è r, q Per convertire la misura di un angolo da gradi a radianti e viceversa si utilizza la seguente proporzione: : α : 180 in cui abbiamo indicato con la lettera greca α l ampiezza dell angolo misurata in gradi e con la corrispondente misura in radianti Pertanto: 1 per passare da radiati ( ) a gradi (α ) si usa: α 180 α per passare da gradi (α )a radianti ( ) si usa: Tabella di conversione gradiradianti per alcuni angoli 8

3 Ricordiamo Generalmente per misurare l ampiezza di un angolo si usa il sistema sessagesimale In questo sistema il grado sessagesimale è definito come la 60-esima parte dell angolo giro È detto sessagesimale perché ogni grado si divide in 60 primi e ogni primo in 60 secondi Un altro sistema per la misura degli angoli è il sistema centesimale In questo sistema il grado centesimale è definito come la 400-esima parte dell angolo giro, ovvero la centesima parte dell angolo retto L unità di misura centesimale per gli angoli è poco usata, la si torva però sui calcolatori tascabili dove viene indicata con il simbolo Grad (grades), mentre il grado sessagesimale viene indicato con il simbolo Deg (degres) e con Rad è indicato il sistema di misura degli angoli in radianti Sistema Sessagesimale Sistema Centesimale Esempio 1 Quanti gradi misura l angolo di 1 radiante? Dalla formula si ricava: α 57958K Convertendo la parte decimale in primi e secondi si trova: o o o o 9

4 Esempio 1 A quanti radianti corrisponde un angolo di 10 0? Per convertire la misura di un angolo da gradi in radianti, prima si deve trasformare nella misura centesimale: di grado A questo punto applicando la formula si trova: Seno e coo Consideriamo nel sistema di riferimento cartesiano una circonferenza di centro l origine O e raggio unitario Tale circonferenza ha equazione y 1 ed è detta circonferenza goniometrica Consideriamo l angolo formato dalla rotazione compiuta da una semiretta attorno al suo vertice, posto nell origine del sistema, a partire dall asse positivo delle Assumiamo come verso positivo di rotazione quello antiorario e negativo quello orario Sia P il punto in cui la semiretta interseca la circonferenza goniometrica Per ogni valore reale si possono definire due funzioni: 1 il coo di (indicato con ) come l ascissa del punto P; il o di (indicato con ) come l ordinata del punto P Circonferenza goniometrica Seno e Coo 0

5 Il o e il coo sono due funzioni reali, il loro dominio e coodominio è l insieme R, e vengono chiamate funzioni goniometriche Per entrambe le funzioni l insieme di definizione è tutto l insieme di numeri reali R, mentre l immagine è l intervallo reale [ 1, 1] Infatti, poiché il punto P appartiene alla circonferenza goniometrica, l ascissa e l ordinata del punto P variano da 1 a 1, quindi, per ogni R 1 e 1 Dalla definizione geometrica delle funzioni o e coo deriva un altra caratteristica: il loro valore è uguale per numeri che differiscono di multipli di Infatti la posizione finale del lato che individua l angolo è la stessa se si aggiunge un numero qualsiasi di rotazioni di un angolo giro, cioè si ha: ( ) ( 4 ) K ( ) ( 4 ) K ( ) ( 4 ) K ( ) ( 4 ) K Questo si può esprimere scrivendo: ( k ) per ogni k Z ( k ) per ogni k Z Le due funzioni assumono quindi gli stessi valori a intervalli tanti di ampiezza, entrambe sono quindi funzioni periodiche di periodo Poiché la circonferenza goniometrica ha raggio unitario e centro nell origine, la sua equazione fornisce la relazione fondamentale fra o e coo: 1 Relazione fondamentale fra o e coo 1

6 Tale relazione permette di calcolare il valore di una delle due funzioni quando è nota l altra: ± 1 e ± 1 L ambiguità del segno è dovuta al fatto che per uno stesso valore del coo (o del o) si hanno due diverse situazioni geometriche Grafici di o e coo Il valore del o di un angolo varia al variare dell ampiezza dell angolo Più precisamente assume valori dell ordinata del punto P in cui il lato finale dell angolo incontra la circonferenza goniometrica Questo significa che, al pari dell ordinata di P, è positivo nel I e nel II quadrante e negativo nel III e nel IV quadrante Analogamente il coo di un angolo, al pari dell ascissa del punto P, è positivo nel I e nel III quadrante e negativo nel II e nel IV Iniziamo lo studio della variabilità di o e coo a partire dagli angolo corrispondenti ai quattro punti individuati dall intersezione della circonfeenza con gli assi cartesiani Questi punti sono: A ( ;0); A ( 0;1) ; A ( 1;0 ) ; ( 0; 1) 1 1 A4 corrispondenti agli angoli in radianti di ampiezza: 0 ; ; ; Osservando le figure è facile determinare il o e coo di questi angoli Si ha:

7 1 0 Arrivati al punto A 4 possiamo continuare il percorso lungo la circonferenza goniometrica, le ascisse e le ordinate non cambiano, ma gli angoli aumentano di Si ha quindi: ( ) 0 ( ) Possiamo inoltre dedurre che funzione o: 1 è crete (va da 0 a 1) nel I quadrante; è decrete (va da 1 a 0) nel II quadrante; è decrete (va da 0 a 1) nel III quadrante; 4 è crete (va da 1 a 0) nel IV è quadrante Analogamente la funzione coo: 1 è decrete (va da 1 a 0) nel I quadrante; è decrete (va da 0 a 1) nel II quadrante; è crete (va da 1 a 0) nel III quadrante; 4 è crete (va da 0 a 1) nel IV quadrante Vediamo ora i valori di o e coo per alcuni angoli particolari α 0 6 Seno e Coo di alcuni angoli particolari

8 Il caso è rappreteto nella figura seguente: Il triangolo HOP è rettangolo in H e l angolo acuto è quindi la metà di un triangolo equilatero di lato 1 HO ˆ P è di 0, Il cateto opposto all angolo di 0 (cioè 6 ) misura allora 1 (è metà dell ipotenusa OP 1) Esdo: 1 PH si ha Il cateto opposto all angolo di 60 (cioè ), HP ˆ O, misura allora 1, sappiamo infatti che PH, quindi applicando il Teorema di Pitagora si ottiene: 1 OH OP PH 1 4 Esdo: OH si ha α

9 Il caso è rappreteto nella figura seguente Il triangolo HOP è rettangolo in H, l angolo acuto HO ˆ P è di 45, quindi anche l altro angolo acuto HP ˆ O è di 45 Si viene a determinare un triangolo isoscele di ipotenusa 1 Poiché OP 1eOH PH, dal teorema di Pitagora segue che OH PH OP 1 da cui OH PH 1 Esdo PH si ha Esdo OH si ha 4 4 α 60 4 Il caso è rappreteto nella figura seguente: 5

10 Anche in questo caso il triangolo HOP è la metà di un triangolo equilatero di lato 1 OH è metà dell ipotenusa OP 1 e misura 1 Esdo 1 OH si ha 1 Il cateto opposto all angolo di 60 misura Esdo PH si ha Poiché a ogni punto della circonferenza goniometrica è associato un determinato valore di o e coo, utilizzando i risultati precedenti, possiamo disegnare per punti i grafici delle funzioni o e coo Ricordando che queste funzioni sono periodiche di periodo, è sufficiente disegnare il grafico in un periodo e ripeterlo in ogni altro periodo Si truiscono ì i grafici seguenti: Osserviamo che il grafico della funzione coo si può ottenere da quello della funzione o con una traslazione di 6

11 4 Tangente Si definisce tangente trigonometrica di un angolo l ordinata del punto T, eventuale intersezione tra la tangente t alla circonferenza goniometrica nel punto ( 1,0) A e il prolungamento del raggio OP 1 La tangente trigonometrica di un angolo viene indicata con tan Definizione geometrica di tangente Il prolungamento del raggio OP interseca t solo se non sono paralleli, e questo avviene quando P coincide con uno dei due punti A e A 4, cioè se : e Analizziamo i valori che assume la tangente al variare di tra 0 e Se 0 tan 0 poiché T A1 Se 0 < < tan > 0 poiché T appartiene al I quadrante Al crescere di da 0 a, tan assume valori via via più grandi Se < < tan < 0 poiché T appartiene al IV quadrante Al crescere dell angolo da a, anche tan cresce passando da valori negativi molto grandi a valori sempre più vicini a zero Se tan 0 poiché T A1 7

12 Se < < tan < 0 poiché T appartiene di nuovo al I quadran- te, tan assume gli stessi valori positivi assunti per quindi tan ( ) tan Se 0 < <, risulta < < tan < 0 poiché T appartiene di nuovo al IV qua- drante, tan assume gli stessi valori negativi assunti per < <, si ha ancora tan ( ) tan Se tan 0 poiché T coincide nuovamente con A 1 Questa analisi mette in evidenza che i valori della tangente negli intervalli 0; e ; ; e ;, cioè si ha: sono gli stessi assunti negli intervalli ( ) tan tan E quindi in generale la tangente è periodica di periodo, cioè: tan tan ( k), k Z Vediamo ora come si comporta la funzione tangente in un intorno di Quando il punto P si avvicina al punto ( 0;1 ) A mantenendosi nel I quadrante, cioè se tende a mantenendosi minore di, tan assume valori positivi sempre più grandi Questo si esprime dicendo che: il limite di tan, per che tende a, restando minore di, è uguale a In simboli lim tan 8

13 Quando il punto P si avvicina al punto ( 0;1 ) A mantenendosi nel II quadrante, cioè se tende a mantenendosi maggiore di, tan assume valori negativi sempre più grandi in valore assoluto Questo si esprime dicendo che: il limite di, mantenendosi maggiore di, è uguale a In simboli: lim tan tan, per che tende a Poiché la tangente è periodica di periodo, si ha lo stesso comportamento in corrispondenza di tutti gli altri angoli di misura k La figura seguente mostra il grafico della funzione tangente La curva ha infiniti asintoti verticali di equazioni: k, k Z 9

14 ed è simmetrica rispetto all origine, infatti si ha: tan (-) -tan per ogni k, k Z La tangente di un angolo può anche essere definita in modo funzionale Si definisce funzione tangente, e la si indica con tan tan, la funzione: Definizione funzionale di tangente Da questa definizione si osserva subito che la funzione, a differenza delle funzioni tan e, non è definita per ogni numero reale, non è definita infatti per tutti i valori che rendono nullo il denominatore, cioè tali che 0 Il suo insieme di definizione quindi è: R, k Mostriamo ora, limitandoci al I quadrante, che la definizione funzionale è equivalente alla definizione geometrica I triangoli OHP e OAT sono simili (sono rettangoli e hanno un angolo in comune), i lati sono quindi in proporzione e si ha: TA OA PH OH 40

15 Poiché TA tan, OA 1, PH, OH, segue che: tan 5 Cotangente Si definisce cotangente trigonometrica di un angolo l ordinata del punto T, eventuale intersezione tra la tangente t alla circonferenza goniometrica nel punto ( 0 ;1) A e il prolungamento del raggio OP La cotangente trigonometrica di un angolo viene indicata con cot Definizione geometrica di cotangente Il prolungamento del raggio OP interseca t solo se non sono paralleli, e questo avviene quando P coincide con uno dei due punti A 1 e A, cioè se: 0 e Analizziamo i valori che assume la tangente al variare di tra 0 e Se 0 < < cot > 0 poiché T appartiene al I quadrante Al crescere di da 0, cot assume valori positivi decrescenti Se cot 0 poiché T A 41

16 Se < < cot < 0 poiché T appartiene al II quadrante Al crescere dell angolo da a, anche cot decresce Se < < cot > 0 poiché T appartiene di nuovo al I quadran- te, cot assume gli stessi valori positivi assunti per quindi cot ( ) cot Se cot 0 poiché T A4, in particolare cot cot 0 0 < <, risulta Se < < cot < 0 poiché T appartiene di nuovo al II qua- drante, cot assume gli stessi valori negativi assunti per < <, si ha ancora cot ( ) cot Questa analisi mette in evidenza che i valori della tangente nell intervallo ] 0 ; [ sono gli stessi assunti nell intervallo ] [ cot cot ( ) ;, cioè si ha: E quindi anche la cotangente è periodica di periodo, cioè: cot cot ( ), k Z Vediamo ora come si comporta la funzione tangente in un intorno di 0 Quando il punto P si avvicina al punto ( 1;0) A mantenendosi nel I quadrante, cioè se tende a 0 mantenendosi maggiore di 0, 1 cot assume valori positivi sempre più grandi Questo si esprime dicendo che: il limite di cot, per che tende a 0, restando maggiore di 0, è uguale a 4

17 In simboli: lim cot 0 Quando il punto P si avvicina al punto ( 1;0) A mantenendosi nel IV quadrante, cioè se tende a 0 mantenendosi minore di 0, cot assume valori negativi sempre più grandi in valore assoluto Questo si esprime dicendo che: il limite di mantenendosi minore di 0, è uguale a In simboli: lim 1 cot cot, per che tende a 0, Poiché la cotangente è periodica di periodo, si ha lo stesso comportamento in corrispondenza di tutti gli altri angoli di misura k La figura seguente mostra il grafico della funzione cotangente: La curva ha infiniti asintoti verticali di equazioni: k, k Z 4

18 ed è simmetrica rispetto all origine, infatti si ha: ( ) cot cot per ogni k, k Z 6 Significato geometrico del coefficiente angolare di una retta Sia r la retta passante per l origine degli assi di equazione: Y mx Sia la misura in radianti dell angolo che la semiretta positiva dell asse X forma con la semiretta di r i cui punti hanno ordinata non negativa Il coefficiente angolare della retta r è il rapporto tra l ordinata e l ascissa di un qualunque punto della retta diverso dall origine: m Y X Consideriamo la circonferenza goniometrica di equazione: X Y 1 e le tangenti, t e t, nei punti A ( 1;0) e A ( 0;1) 1 Siano P, T, T i punti di intersezione della retta r con la circonferenza goniometrica, con t e con t Per quanto visto nei paragrafi precedenti i punti P, T, T hanno coordinate: P ( ; ) T ( 1 ; tan) ( cot ;1) T 44

19 Poiché P è un punto della retta r deve essere: tan m tan, 1 cioè il coefficiente angolare di una retta r è la tangente goniometrica dell angolo orientato di misura Dall appartenenza di T a risulta anche che: m e quindi tan per ogni k Dall appartenenza di T a risulta anche che: m 1 cot e quindi 1 tan per ogni cot k da cui cot per ogni k Le relazioni: tan tan 1 cot cot Relazioni fondamentali della goniometria insieme a 1 tituiscono le relazioni fondamentali della goniometria Esempio 61 Determinare tangente e cotangente di

20 Si ha: 1 1 tan 6 6 ; cot Tali valori si potevano determinare anche dalla definizione geometrica di tangente e cotangente Esempio 6 Determinare tangente e cotangente di 45 4 Si ha: 1 1 tan 4 1; cot Esempio 6 Determinare tangente e cotangente di 60 Si ha: tan 1 ; 1 1 cot 7 Archi associati Per simmetria della circonferenza goniometrica ci sono copie di angoli, detti angoli o archi associati, per i quali è possibile ricavare facilmente i valori di o e coo l uno dall altro Due angoli si dicono supplementari se insieme formano un angolo piatto, in altre parole quando la somma delle loro misure in radianti è Angoli supplementari 46

21 uguale a Se è la misura di un angolo α, è la misura dell angolo α supplementare di α Sulla circonferenza goniometrica, i lati finali di due angoli supplìmentari individuano due punti P e P che sono simmetrici rispetto all asse delle ordinate Le loro ordinate pertanto sono uguali, mentre le loro ascisse hanno segno opposto Tenendo conto che P ha coordinate ( ; ) ( ( ) ; ( ) ), per qualunque, risulta: e P ha coordinate ( ) e ( ) Per quanto riguarda la tangente e la cotangente ne seguono le relazioni: tan cot ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) tan cot Riassumendo: angoli supplementari hanno o uguale e coo, tangente e cotangente opposti Consideriamo ora due angoli α e α le cui misure in radianti siano rispettivamente e I lati finali di due angoli individuano, sulla circonferenza goniometrica, due punti P e P che sono estremi di uno stesso diametro e quindi sono simmetrici rispetto all origine L ascissa e l ordinata di P sono perciò opposte all ascissa e all ordinata di P Le coordinate di P sono ( ; ) ( ( ); ( ) ) e le coordinate di P sono:, risulta quindi: ( ) - e ( ) Angoli le cui misure differiscono di 47

22 Per quanto riguarda la tangente e la cotangente si ha: ( ) ( ) tan ( ) tan ( ) ( ) cot ( ) cot Riassumendo: angoli le cui misure differiscono di hanno o e coo opposti, tangente e cotangente uguali Consideriamo ora due angoli opposti, cioè due angoli che hanno la stessa ampiezza in valore assoluto ma segno diverso Sulla circonferenza goniometrica uno è orientato in verso orario, l altro in verso antiorario, sono quindi simmetrici rispetto all asse delle ascisse Le loro ascisse pertanto sono uguali, mentre le loro ordinate hanno segno opposto Quindi, per qualunque, risulta: ( ) e ( ) Angoli opposti Per quanto riguarda la tangente e la cotangente ne seguono le relazioni: tan cot ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) tan cot Riassumendo: angoli supplementari hanno coo uguale e o, tangente e cotangente opposti Due angoli si dicono esplementari se la somma delle loro misure in radianti è uguale a Se è la misura di un angolo α, la misura dell angolo esplementare α è Poiché l angolo di misura si ottiene aggiungendo all angolo un intero giro, gli angoli di misura e hanno lo stesso estremo P Angoli esplementari 48

23 Valgono quindi le seguenti relazioni: ( ) ( ) tan cot ( ) ( ) ( ) tan( ) tan ( ) cot( ) cot Riassumendo: angoli esplementari hanno coo uguale e o, tangente e cotangente opposti Due angoli si dicono complementari se insieme formano un angolo retto, in altre parole quando la somma delle loro misure in radianti è uguale a Se è la misura di un angolo α, allora è la misura dell angolo α complementare di α Sulla circonferenza goniometrica, i lati finali di due angoli supplementari individuano due punti P e P che sono simmetrici rispetto alla bisettrice del I e III quadrante Pertanto le ascisse e le ordinate si scambiano tra loro Infatti i triangoli rettangoli OHP e uguali perché hanno uguali ipotenuse e angoli Tenendo conto che P ha coordinate ( ; ) OK P sono e P ha coordinate Angoli complementari ;, risulta: e Ne segue che: tan cot 49

24 cot tan Riassumendo: o, coo, tangente e cotangente di angoli complementari sono rispettivamente coo, o, cotangente e tangente Sia la misura dell angolo α e Supponiamo la misura dell angolo α 0 < <, cioè che P appartenga al I quadrante, allora 0 < < e quindi P si trova nel II quadrante I triangoli rettangoli OHP e OK P sono uguali perché hanno uguali ipotenuse e angoli, risulta quindi: OK HP e K P OH Angoli le cui misure differiscono di / Le coordinate di P sono ( ; ) e le coordinate di P sono: ;, tenendo conto che P si trova nel II quadrante e che quindi ha ascissa negativa, risulta: e Inoltre valgono le relazioni: tan cot cot tan 50

25 51 Sia la misura dell angolo α e la misura dell angolo α Possiamo scrivere: Angoli le cui misure differiscono di / Questo significa che e rappretano le ampiezze di due angoli esplementari, e quindi, tenendo conto anche delle relazioni fra angoli complementari, si ha: Da cui: cot tan tan cot Sia la misura dell angolo α e la misura dell angolo α Possiamo scrivere: Angoli le cui misure hanno somma / Questo significa che le misure e differiscono di

26 Quindi si ha: Da cui: tan cot cot tan Misura dell angolo o coo tangente cotangente Tabella riassuntiva per gli archi associati tan cot tan cot tan cot tan cot tan cot cot tan cot tan cot tan cot tan 5