Disequazioni esponenziali e logaritmiche

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1 Disequazioni esponenziali e logaritmiche Saranno descritte alcune principali tipologie di disequazioni esponenziali e logaritmiche, riportando un esempio per ciascuna di esse. Daniela Favaretto Università Ca Foscari di Venezia Dipartimento di Management Per risolvere una disequazione esponenziale o logaritmica bisogna seguire lo stesso procedimento visto con le altre disequazioni. Prima di tutto bisogna individuare il campo di esistenza della disequazione. Spesso è utile risolvere l equazione associata alla disequazione. Infine bisogna scrivere quale sia l insieme delle soluzioni, confrontandolo con il campo di esistenza. 1

2 Nel risolvere le disequazioni esponenziali e logaritmiche è molto importante osservare la base: Se a > 1 le curve sono entrambe crescenti e quindi z < w se e solo se a z < a w 0 < z < w se e solo se log a z < log a w Quindi se dobbiamo risolvere una disequazione tra esponenziali o logaritmi, passeremo alla disequazione tra i corrispondenti argomenti. Per esempio, per risolvere la disequazione 3 x+1 > 3 2 basta passare agli esponenti conservando il verso: x + 1 > 2 cioè x > 1 Anche per risolvere la disequazione log 3 (x + 1) > log 3 2 basta passare agli esponenti conservando il verso, ottenendo la stessa soluzione x + 1 > 2 cioè x > 1 2

3 Se 0 < a < 1 le curve sono entrambe decrescenti e quindi z < w se e solo se a z > a w 0 < z < w se e solo se log a z > log a w Quindi se dobbiamo risolvere una disequazione tra esponenziali o logaritmi, passeremo alla disequazione tra i corrispondenti argomenti, ricordandosi però di cambiare il verso. Per esempio, per risolvere la disequazione (1/3) x+1 > (1/3) 2 basta passare agli esponenti cambiando il verso: x + 1 < 2 cioè x < 1 Anche per risolvere la disequazione log (1/3) (x + 1) > log (1/3) 2 basta passare agli esponenti cambiando il verso, ottenendo la soluzione x + 1 < 2 cioè x < 1 3

4 Disequazioni del tipo a f(x) > a g(x) Si tratta di passare alla disuguaglianza tra gli esponenti, avendo l accortezza di cambiare il verso se la base è minore di x > 5 5 2x > 5 se e solo se 2x > 1 se e solo se x > 1/2 4

5 (1/2) x > 4 (1/2) x > 4 se e solo se (1/2) x > (1/2) -2 se e solo se x < - 2 Disequazioni del tipo a f(x) > b g(x) Si tratta sfruttare la proprietà log k m x = x log k m per abbassare l esponente. 5

6 2 x x Applichiamo il logaritmo in base 10: log2 x+1 log5 1-x (x+1)log2 (1 x)log5 xlog2 + xlog5 log5 log2 x (log2 + log5) log5 log2 x (log5 log2) / (log2 + log5) Disequazioni del tipo f(a x ) > c Spesso tali disequazioni si risolvono per sostituzione. 6

7 64 2 * 3 x > x * 3 x 3 2-x > 0 se e solo se 19 2 * 3 x 9 / 3 x > 0 Poniamo 3 x = t, t > 0, da cui si ottiene: 2t + 9/t 19 < 0 e quindi 2t 2 19t + 9 < 0 L equazione associata è 2t 2 19t + 9 = 0 che ha come soluzioni t = 9 e t = ½ 64 2 * 3 x > x Risoluzione L equazione associata è 2t 2 19t + 9 = 0 che ha come soluzioni t = 9 e t = 1/2 La disequazione ha quindi come soluzione ½ < t < 9 Tornando alla variabile x si ottiene ½ < 3 x < 9. Da 3 x > 1/2 si ha x > log 3 (1/2) Da 3 x < 9 si ha x < 2 Quindi log 3 (1/2) < x < 2 7

8 Disequazioni del tipo log a f(x) > log a g(x) Si tratta di passare alla disuguaglianza tra gli argomenti, avendo l accortezza di cambiare il verso se la base è minore di 1. log 2 3 > log 2 x Il logaritmo a secondo membro ha senso se x > 0. Sotto tale ipotesi la disequazione si può riscrivere 3 > x. Quindi la soluzione è 0 < x < 3. 8

9 log 1/2 x < log 1/2 5 Il logaritmo a primo membro ha senso se x > 0. Sotto tale ipotesi la disequazione si può riscrivere x > 5 Equazioni del tipo log a f(x) > c Poiché il secondo membro è una costante si tratta di scriverlo come logaritmo in base k e procedere poi come fatto nelle equazioni dello stesso tipo. 9

10 log(x 3) < 1 log(x 3) < log10 x 3 < 10 x < 13 Ovviamente deve essere x 3 > 0, da cui x > 3 Quindi la soluzione è: 3 < x < 13 Equazioni del tipo f(log a x) > c Si tratta di procedere per sostituzione. 10

11 logx 2 / logx Le condizioni di esistenza sono: x > 0 e log x 0 e quindi x 1. Il campo di esistenza è quindi (0, 1) U (1, + ) Se x < 1 e moltiplichiamo tutti gli addendi per logx < 0, ci dobbiamo ricordare di cambiare il verso: (logx) 2 + logx 2 0 Poniamo log x = t: t 2 + t 2 0 e quindi 2 t 1 Da ciò si ha log10-2 logx log10 da cui ha 10-2 x 10 Tenendo conto del campo di esistenza si ottiene 10-2 x < 1. logx 2 / logx Risoluzione Se x > 1 e moltiplichiamo tutti gli addendi per log x > 0, il verso si conserva: (logx) 2 + logx 2 0 Poniamo log x = t: t 2 + t 2 0 e quindi t 2 o t 1 Da ciò si ha logx log10-2 o logx log10 da cui ha x 10-2 o x 10 Tenendo conto del campo di esistenza si ottiene x 10 11