ESERCIZI RISOLUBILI IN BASE ALLA DEFINIZIONE DI LOGARITMO

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Gianluigi Conte
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1 ESERCIZI RISOLUBILI IN BASE ALLA DEFINIZIONE DI LOGARITMO Ripassiamo la definizione di logaritmo Definizione di logaritmo di in ase a Dati due numeri positivi a e, il logaritmo di un numero, detto argomento, rispetto a numero a, detto ase, è l esponente x a cui si deve elevare a per avere Si indica con x= ; x è il logaritmo di rispetto ad a se a x = Esempi: log 7= perché =7 log = perché - =/ IMPORTANTE Non esiste il logaritmo di 0 né di un numero negativo, perchè per definizione a e sono numeri positivi La ase del logaritmo a deve essere diverso da perché x = è un equazione impossiile se o indeterminata se = Ricordiamo che: =0 perché ogni numero elevato a zero è uguale a a= perché ogni numero elevato ad uno è uguale a se stesso Vediamo ora degli esercizi sui logaritmi che si risolvono applicando la definizione di logaritmo Una prima tipologia di esercizi è la seguente: calcolare i seguenti logaritmi ) log 6 ) log 9 6 ) log ) log 9 ) log a a 6) log 00 Risolvere questi esercizi significa trovare l esponente a cui doiamo elevare la ase per avere l argomento Sostanzialmente si risolvono riscrivendo l argomento come potenza della ase del logaritmo ) log 6 : calcolare questo logaritmo significa trovare l esponente a cui elevare per avere 6, quindi riscriviamo 6 come potenza di si ha che 6= 6, quindi si ha che log 6 = log 6 Ora è semplice rispondere alla domanda: a quale numero doiamo elevare per avere 6? La risposta è 6 ) log 9 : riscriviamo 9 come potenza di ase : poiché applicando la proprietà delle potenze a x a y =a x+ y si ha che + = = ; quindi log 9 =-/ 9 = = / 9 + = ) log : notiamo che è la radice quadrata di quattro cioè = quindi perciò si ha log =/ = ;

2 ) log 6 9 : notiamo che 6= e 9= quindi 6 9 = ( ) negativo fa passare al proprio reciproco la ase di una potenza); per cui log (ricordiamo che l esponente 6 9 =- ) log a a : riscriviamo la ase a come a = a e ora rispondo alla domanda a quale numero devo elevare a per avere a? Rispondere a questa domanda significa trovare un numero che moltiplicato per / dia, matematizzando, significa risolvere l equazione x= che porta alla soluzione x=6; quindi log a a = 6 6) log 00 questo esercizio è estremamente semplice purché ci si ricordi che quando la ase non è espressamente scritta come in log00 è sottintesa la ase 0, mentre con ln si sottintende la ase e; quindi log 00 =log0 = Una seconda tipologia di esercizi è la seguente: calcolare l argomento dei seguenti logaritmi ) log = ) log = ) log = ) log 0 = 7 Poiché il logaritmo è in pratica un esponente a cui doiamo elevare la ase per avere l argomento, questi esercizi si risolvono elevando la ase al risultato del logaritmo ) log = in ase alla definizione di logaritmo, è il numero a cui devo elevare per avere quindi = cioè l argomento è = ) log = : la ase, sottintesa, è 0 quindi =0 =0000 ) log = : = da cui poiché il segno meno dell esponente fa passare al reciproco della ase della potenza e l esponete frazionario indica una radice si ha che = = = ) log 0 = 7 : =(0) 7 da cui poiché il segno meno dell esponente fa passare al reciproco della ase della potenza e l esponete frazionario indica una radice si ha che =(0 ) 7 = ( 0) 7 = 7 ( 0) Una terza ed ultima tipologia di esercizi è la seguente: calcolare la ase a dei seguenti logaritmi ) = ) 8 = ) = ) =

3 Sfruttando la definizione di logaritmo e conoscendo l argomento e l esponente a cui elevare la ase, questi esercizi si risolvono in sostanza con il calcolo di un radicale con radicando uguale all argomento del logaritmo e con l indice uguale al logaritmo ) = : poiché in ase alla definizione di logaritmo a = si ha che la ase a sarà uguale, cioè a= ) 8 = : poiché in ase alla definizione di logaritmo a =/8 si ha che la ase a sarà uguale 8 e poiché 8= risulta a=/ ) = : poiché in ase alla definizione di logaritmo a - = si ha che la ase a= = = ) = : poiché in ase alla definizione di logaritmo a = si ha che la ase a sarà uguale cioè a =

4 ESERCIZI SULLE PROPRIETA DEI LOGARITMI - Ripassiamo la definizione di logaritmo Definizione di logaritmo di in ase a Dati due numeri positivi a e, il logaritmo di un numero, detto argomento, rispetto a numero a, detto ase, è l esponente x a cui si deve elevare a per avere Si indica con x= ; x è il logaritmo di rispetto ad a se a x = Esempi: log 7= perché =7 log = perché - =/ IMPORTANTE Non esiste il logaritmo di 0 né di un numero negativo, perchè per definizione a e sono numeri positivi La ase del logaritmo a deve essere diverso da perché x = è un equazione impossiile se o indeterminata se = Ricordiamo che: =0 perché ogni numero elevato a zero è uguale a a= perché ogni numero elevato ad uno è uguale a se stesso - Ripassiamo ora le proprietà dei logaritmi Le proprietà fondamentali dei logaritmi sono tre: I) c= + c : il logaritmo del prodotto di due numeri positivi è uguale alla somma dei logaritmi dei singoli fattori Questa formula viene applicata anche al contrario ossia + c= c II) c = c : il logaritmo del quoziente di due numeri positivi è uguale alla differenza tra il logaritmo del dividendo e il logaritmo del divisore Questa formula è letta anche al contrario ossia c= c III) n =n : il logaritmo della potenza di un numero positivo è uguale al prodotto dell esponente della potenza per il logaritmo della ase Questa formula può essere applicata anche al contrario ossia n = n Queste formule, applicate da sinistra verso destra, si usano per risolvere i seguenti esercizi: - Applicando le proprietà dei logaritmi sviluppare le espressioni di seguito indicate: ) log a ) log a ) log ( ) log ) a (a +) ) log a c : per sviluppare tale espressione si applica la formula del logaritmo di un quoziente c = c in cui si sostituiscono = e c=a si ha dunque log a =log log

5 ) log ( ) quoziente e si ha : per sviluppare tale espressione si applica prima la formula del logaritmo di un log ( ) = log log In seguito al termine log si applica la formula del prodotto c= + c dove = e c= e si ha log = log +log, poi al termine log applichiamo la formula del logaritmo di una potenza n =n con = e n= / e si ha log = log Analogamente il secondo termine - log diventa - log Unendo il tutto si ha log ( ) = log + log log Per finire, poiché log = si ha che log = = 6 6 = a ( a + ) log ) : per sviluppare tale espressione si applica prima la formula del logaritmo di a ( a + un quoziente e si ha log ) = (a +) log In seguito al termine (a + ) si applica la formula del prodotto c= + c dove =a e c= (a +) si ha (a + ) = +log(a +) poi al termine applichiamo la formula del logaritmo di una potenza n =n con =a e n= e si ha = Analogamente il secondo termine - log diventa - log Unendo il tutto si ha (a +) = +log( a + ) log (si noti che il termine log(a +) rimane invariato perchè non c è una formula che coinvolge la somma degli addendi nell argomento del logaritmo!) ) log a c : per sviluppare tale espressione si applica prima la formula del logaritmo di un prodotto si ha log a c = log + c In seguito al termine log a c si applica la formula del quoziente e si ha log a c = log a log c ; in seguito con

6 le formule del prodotto e del logaritmo di una potenza si continua a sviluppare gli addendi log a e log c e si ha: log a = log a +log = log a+ log log c = ( log + log Unendo tutti i pezzi si ha log c ) = ( log a c = log + log c ) + log a+ log ( log + log c ), ma log = si ha log a c log a log log c =+ log a+ log log + log c =+ 6

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