Attrito e Primo Principio della Termodinamica
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- Alfonso Quaranta
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1 Attrito e Primo Principio della Termodinamica Prof. G. Cagnoli In questa breve nota vedremo come l attrito possa portare alla non conservazione dell energia meccanica e di come successivamente la conservazione dell energia venga poi ristabilita considerando la variazione dell energia interna. Richiamiamo la definizione di energia interna U. Abbiamo detto che in tale energia ci mettiamo l energia meccanica ordinata E, che è la somma tra l energia cinetica totale E c e di quella potenziale V, e l energia disordinata, composta da tutte le energie cinetiche e potenziali delle particelle che compongono il sistema. Indicheremo questa energia disordinata con il simbolo E. Quindi: U = E + E = (E c + V ) + E (1) Un corpo fermo ha E c = 0 mentre V può essere diverso da zero. Se non ci sono nemmeno le forse allora anche V = 0 e la meccanica è costretta a dire che il corpo non ha nesuna energia. Nell ambito della termodinamica invece, fino a quando la temperatura è > 0 K, il corpo possiede comunque una energia interna E. Il primo principio è l estensione massima possibile del principio della conservazione dell energia, e cioè: U = L + Q (2) In parole: la variazione dell energia interna di un sistema è uguale alla somma tra il lavoro delle forze esterne, aleatorie, L e il calore Q immesso nel sistema dall esterno. È importante riflettere bene sui concetti di interno ed esterno: se vi ricordate dei problemi con piu corpi, uniti da funi, il sistema è la somma dei due corpi, per cui la forza della fune è interna. Oppure, se facciamo muovere anche il piano inclinato, allora questo oggetto farà parte anche lui del sistema e le forze di reazione saranno così interne. Andiamo ora a studiare un sistema semplice, ma al tempo stesso illuminante su come bisogna trattare l attrito nell ambito del primo principio della termodinamica: il boccale di birra che scivola sulla tavola del bar. Prima bisogna definire chi è il sistema: il sistema sarà costituito dal boccale e dalla tavola del bar. L attrito è quindi una forza interna. Per non far spostare la tavola del bar ci metteremo una forza di reazione, esterna, che ne blocchera la posizione. Calcolo secondo il teorema dell energia cinetica. L energia cinetica iniziale è 1/2 m v 2 mentre quella finale è zero. m è la massa del boccale. Il bancone, rimanendo fermo, non comparirà mai nelle equazioni energetiche. L unica forza che compie lavoro è l attrito: L A = µ m g s dove s è lo spazio di arresto. Secondo il teorema delle forze vive si ha che E c = L A ; il segno negativo di L A è proprio giusto perché l energia cinetica diminuisce. Sembra tutto a posto, non ci sono pezzi che mancano, eppure una considerazione ed un esperiemnto ci fanno capire che qualcosa manca davvero. La considerazione. Per come l abbiamo trattato l attrito esso è indistinguibile da qualunque altra forza costante che si oppone al moto. Potevamo per esempio mettere il bancone in verticale su un pianeta che avesse l accelerazione di gravità esattamente uguale a µ volte quella terrestre g, che i calcoli non avrebbero mostrato nessuna differenza. Invece sappiamo che in questo caso il boccale sarebbe ritornato giù mentre sul bancone del bar rimane dove si arresta. Oppure potevamo sostituire l attrito con l azione della nostra mano. L esperimento. Alla fine del suo tragitto la temperatura della birra, seppur di poco, è aumentata. Ma se il bilancio energetico che avevo fatto prima tornava, ora dove la troviamo una extra energia che ci fa riscaldare la birra? Chi avesse problemi nell immaginare il riscaldamento della birra, pensi ai fiammiferi che vengono accesi aumentandone la temperatura a seguito dello sfregamento.
2 Calcolo secondo il primo principio della termodinamica. L attrito è interno al sistema, non lo considero in L ma in U. Quindi, iniziamo il computo delle energie da quelle che conosco. L = 0 perché non ci sono forze esterne; Q = 0 perché non c è nessuno che fornisce calore al sistema. Quindi deve risultare U == 0. Andiamo ora a vedere cosa succede dentro U. Consideriamo l equazione (1); scriviamone la variazione per il nostro boccale di birra e bancone: U = E c + V + E Se il bancone fosse in salita, la precedente sarebbe: = 1 2 m v E (3) U = 1 2 m v2 + m g h + E (4) dove h è il dislivello dovuto al bancone in salita. In meccanica avevamo detto che l attrito era quella forza variabile che si adattava alla solelcitazione fino ad un certo limite massimo e che era sempre opposta al moto. A ben vedere questa forza si potrebbe ottenere anche con un uso sapiente della nostra mano... In termodinamica l attrito ha un altra caratteristica peculiare, che deriva dalla nostra esperienza (i fiammiferi!): l attrito è quella forza variabile che i) si adatta alla solelcitazione fino ad un certo limite massimo, ii) che è sempre opposta al moto, iii) che aumenta l energia interna disordinata dei corpi Di quanto l attrito aumenta l energia interna? Questo dipende da che tipo di attrito si tratta (di contatto, radente, viscoso, idrodinamico, ecc.). Per il nostro attrito che abbiamo conosciuto l anno scorso, l aumento dell energia interna risulta: E A = µ R s (5) dove R è la forza di reazione, s è lo spostamento e µ un coefficiente che dipende dalla natura delle superfici in contatto. A cosa corrisponde un aumento E dell energia interna disordinata? Esso corrisponde ad un aumento della temperatura del sistema. Se con C tot indichiamo la capacità termica totale del sistema, e cioè m boc c boc + m ban c ban dove boc e ban stanno per boccale e bancone, l aumento di temeperatura sarà: T = E (6) C tot Per esercizio consideriamo ora il sistema composto da un blocco S posto sopra ad un blocco B. Tra i due c è l attrito con coefficiente µ ed una forza costante F tira il blocco base B.
3 Caso 1 - S non scivola su B. In questo caso c è una sola accelerazione a che risulta essere: a = F m B + m S (7) Troviamo ora l energia cinetica E c e per far questo bisogna ricavare la velocità dei corpi dopo che la forza ha agito per un tratto s. Vogliamo cosi avere riprova ancora una volta che la variazione di energia cinetica è proprio uguale al lavoro fatto dalla forza. Essendo l accelerazione costante il moto è uniformemente accelerato e quindi possiamo scrivere: v = a t s = 1 2 a t2 (8) Ricavando t dalla seconda e sostituendola nella prima possiamo ricavare v 2 come funzione di a ed s e poi sostituiamo la a usando l equazione (7): Alla fine, ricordando la definizione di energia cinetica, otteniamo: v 2 F = 2 s a = 2 s (9) m B + m S E c = 1 2 (m B + m S )v 2 = F s (10) Come detto precedentemente, tutto il lavoro della forza viene impiegato nell aumentare l energia cinetica dei due blocchi. Non c è sfregamento e quindi non c è variazione di energia interna disordinata. Come fatto all inizio dell anno, non c è bisogno di scomodare la termodinamica per studiare il sistema. Caso 2 - S scivola su B. In questo caso i due blocchi avranno due accelerazioni e due velocità diverse e già sappiamo che la temepratura aumenterà, ce lo insegna l esperienza. L attrito avrà raggiunto il suo valore massimo A max = µ m S g e si può dimostrare come questa condizione di scivolamento è raggiunta quando la forza F deve rispettare la disuguaglianza F > µ (m B + m S )g. Le due accelerazioni risultano essere: a S = µ g (11) a B = F µ m Sg m B (12) Andiamo ora a trovare il quadrato della velocità del blocco B, come fatto precedentemente per il Caso 1. v 2 B = 2 s a B = 2 s F µ m Sg m B (13) Per il blocco S ci dobbiamo ricordare che lo spazio s è quello del blocco B e quindi le equazioni (8) si scrivono in questo caso: e quindi il quadrato della velocità del blocco S è: v S = a S t s = 1 2 a B t 2 (14) vs 2 = 2 s a2 S µ 2 g 2 m B = 2 s a B F µ m S g Siamo ora pronti a calcolare l energia cinetica totale, come nel Caso 1. Sostituendo le espressioni (13) e (15) nella definizione di energia cinetica, abbiamo: (15) E c = 1 2 m B v 2 B m S v 2 S = (F µ m S g) s + µ2 g 2 m B m S F µ m S g s (16)
4 Ora ci poniamo la stessa domanda: anche in questo caso l energia cinetica è uguale al lavoro F s? Sembrerebbe di no a giudicare da quanto complicata è l espressione precedente. Comunque, per provare matematicamente la nostra supposizione, andiamo a calcolare proprio la differenze E c F s. Dopo una serie di passaggi algebrici si ottiene l espressione: E c F s = [ 1 µ m B g F µ m S g ] µ m S g s (17) Se la forza F fosse esattamente uguale a µ m S g + µ m B g = µ (m S + m B )g allora la precedente differenza sarebbe esattamente zero: cioè l energia cinetica è uguale al lavoro della forza. Invece nel caso che stiamo discutendo ora, dello scivolamento, la forza risulta F > µ (m B + m S )g e quindi la precedente differenza è negativa, cioè il lavoro della forza risulta più grande dell energia cinetica acquistata dal sistema. Dove è andata l energia? Il sistema dei due blocchi riceve energia solo dalla forza F e quindi e isolato: l energia fornita da F entra nel sistema e lì deve rimanere. Vediamo ora tutte le equazioni energetiche che non tornano. Innazi tutto l energia meccanica non si conserva: l energia cinetica aumenta senza che ci sia una variazione di potenziale. E = (E c + V ) > 0 (18) Questo perché c è l azione della forza aleatoria F che non ha un potenziale. Il teorema dell energia cinetica è anch esso in crisi. Come abbiamo visto nel Caso 2, abbiamo: E c < L (19) Qualcuno potrebbe dire che nel computo dei lavori non abbiamo messo il lavoro della forza di attrito, ed avrebbe ragione. Infatti tale forza fa un lavoro negativo sul blocco base ed uno positivo sul blocco S, ma il blocco base compie uno spostamento s maggiore di quello del blocco S che scivola e quindi la somma dei due lavori è negativa, esattamente quello che ci vuole per avere un bilancio perfetto tra L e E c. Il teorema delle forze vive non fallisce! Però non descrive la realtà bene come invece riesce al primo principio della termodinamica. Infatti il principio delle forze vive non contempla la variazione di temperatura che invece si osserva. Vediamo allora il problema dal punto di vista della termodinamica. Tre quantità, U, Q e L. Iniziamo da quello che sappiamo. Q = 0, infatti nessuno riscalda niente. Il lavoro L è anch esso facile da calcolare e deve essere solo quello delle forze esterne al sistema: L = F s. Vediamo ora l energia interna U. U = E c + V + E = 1 2 m S v 2 S m B v 2 B E (20) C è qualcuno che cambia l energia interna disordinata? Sì, l attrito. E di quanto la cambia? Se il blocco B si sposta di s dobbiamo supporre che il blocco S si sposti di s δ, perchè S scivolando rimane indietro di δ metri. Quindi lo spostamento relativo tra i due, e che è quello che conta per il calcolo energetico, è lo spostamento δ, quindi: E = E A = µ m S g δ (21) Sostituendo la precedente nell espressione (20) posso scrivere l equazione completa del primo principio della termodinamica. U = L + Q 1 2 m S vs m B vb 2 + µ m S g δ = F s + 0 (22)
5 Come si vede il pezzo di energia interna disordinata è esattamente quello che ci vuole per trasformare la disuguaglianza (20) in una uguaglianza perfetta. L aumento di temperatura è quindi: T = E C tot = µ m S g δ m S c S + m B c B (23) Concludendo, commentiamo come utilizzare l equazione (22). Le variabili sono 4: v S, v B, δ e s. Se facessimo un esperimento, la variabile s, come F, sarebbe sotto il nostro controllo. Le altre variabili potrebbero essere misurate al termine della trazione della forza F. Se volessimo fare un calcolo, avere una equazione con 4 incognite non è il massimo... L equazione (23) ci dà un altra relazione, ma anche un altra incognita, T. Per avere più equazioni dobbiamo ritornare alla buon vecchia meccanica e cioè al risultato espresso dall equazione (16). In tale equazione le variabili v S e v B sono sostituite da una espressione contenente solo la s. Inoltre non è difficile immaginare come legare δ ad s eseguendo semplici calcoli di cinematica. Quindi alla fine ci troviamo con due equazioni e due incognite, s e T. San Giustino, 8/11/2009
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