EQUAZIONI ESPONENZIALI

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1 Equazioni esponenziali elementari EQUAZIONI ESPONENZIALI Le equazioni esponenziali del tipo (o riconducibili ad esso) a =b, dove a>0 è la base e b>0 un qualunque numero positivo, sono dette elementari. La loro risoluzione equivale a determinare l'ascissa del punto di incontro tra i grafici della funzione esponenziale di equazione y =a e la retta orizzontale di equazione y =b nei due differenti casi rispettivamente, di basi a> e 0<a<, come mostra la figura. Y y=a, a> y=a, 0<a< Y y=b, b>0 y=b, b>0 o X o X y=b, b<0 y=b, b<0 Nei casi in cui il termine b è negativo, non esiste nessuna intersezione e l'equazione corripondente è impossibile. Quando invece il termine b è positivo esiste sempre una soluzione che viene ottenuta uguagliando gli esponenti a sinistra e a destra del simbolo di uguale, se i due membri dell'equazione possono porsi in forma di potenze della stessa base. Esempi svolti ) 0 = = 0 = = 6 = 5 5 ) = 8 = 5 = = 8 + ) = 8 ( ) = = + = = ) 7 = / 49 7 = 7 + = = = ) 5 = 5 5 = 5 5 = 5 5 = 5 = = Prof. I. Savoia Equazioni esponenziali e logaritmiche - p.

2 9 ( ) 6) = = = + = = = 7) 6 = 6 6 = 6 = = 4 = ± 4 = ± 5 5 = 0 0 8) 5 = 5 = 5 5 = 0 ( 5) = 0 5 = 0 = 5 4 9) = 6 CE : 0 = = 4 = ) = 4 = = + = 0 =, = + CE: + ) = + 7 = = = + = = CE: ) 4 = = = = + = + = + = 0 = 0 ( ) = 0 = 0 = { } S { } + ) 7 = S Φ Eq.impossibile ; 5) = 0 Φ Eq.impossibile : CE 4) = 9 = ( ) = + = = 0 + =0 =, = a 6 = = ) a = a = a = = = = 0 =, = ( + ) ( + 6 ) = 0 + = 0 = Prof. I. Savoia Equazioni esponenziali e logaritmiche - p.

3 + 6 + ( + ) 6 ( ) 6) 7 :7 = 49 7 :7 = 7 7 = 7 + = = 7) 5 = 0.00 ( 5) = 0 = 0 = = = = 4 8) 5 7 Log 5 9 = Log = Log 7 = Log ( 5) 5 ( 5 ) / ( 5) 9) = 5 Log = Log 5 = + Log 5 Log 5 = Log 5 + Log = Log + = Log + Log 4 CE: ) = = = 5 4 = 5 = 4 = CE: + 4 ) a a = a a a = a a = a = 6 8 = 6 = Esercizi proposti [ ] [ ] [ ] ) 0 = 0., ) 4 =, ) 0 0 = 00, ; [ ] [ ] [ ] ) =, 0; 5) 7 = 49, 6) = 8, 7 ± 7) 5 = 5, + [ ] [ ] [ ] [ ] 8) 4 =, 9) 9 =, 4 0) = 4, ; ) + =, Φ [ ] [ ] ) =, 0; ) 5 = 5, ± 4) 7 = 49, [ ] [ ] [ Log Log Log ] 5) = 8, ; 6) =, ; 7) =, /( ) [ Log Log Log ] [ ] [ ] 8) 9 = 7, 5/(0 5) 9) 0 = 0., 0) 6 :6 =, 4 Prof. I. Savoia Equazioni esponenziali e logaritmiche - p.

4 Equazioni risolubili per sostituzione di variabile. Si tratta, in genere, di forme espresse da somme o da altre operazioni fra termini esponenziali al primo e/o al secondo membro delle quali è conveniente effettuare una sostituzione di variabile tale da ricondurle ad una equazione algebrica intermedia, ad esempio di secondo grado, che permette poi di risolvere l'equazione esponenziale iniziale. Anche in questo caso, vi possono essere delle condizioni di accettabilità sulle soluzioni ottenute che devono essere imposte. Le equazioni riconducibili ad equazioni algebriche di secondo grado sono riconoscibili, tra tutte le equazioni esponenziali, per essere formate da somme di due esponenziali, dei quali cui uno ha l'esponente doppio dell'altro: in questo caso l'esponenziale di esponente minore si pone uguale ad una incognita (ad esempio indicata dalle lettere t o y che negli esempi che seguono sono usate indistintamente) che si trova risolvendo la corrispondente equazione di secondo grado e, successivamente, risolvendo l'equazione della sostituzione si determinano le soluzioni dell'equazione iniziale. Esempi svolti = y y = = = 0 ) + = 0 y y + = 0 ( y ) ( y ) = 0 y = = = Log ) t 5t 0 0 = t 5 ± 4 = 0 Φ + = + = t = = 4 = 0 = Log 0 = y { } ) = = 0 0y y + = 0 ± = 0 = Log 7 0 y = = 0 4 = 0 = Log 4 e = t = e = Log e 4) e e = 0 t t = 0 t t + = 0 = = e Φ { } + + = y 5 ± 9 = = = = y = y = = 5) y = = Prof. I. Savoia Equazioni esponenziali e logaritmiche - p. 4

5 ( ) = y 6) = = 0 y 5 y + = 0 5 ± y = = = = 0 = 4 \ = = \ = \ Scartata ) = = = = = 0 = t 00 ± 6 47 = = Log 47 t 0t + 6 t = = 5 = = Log 5 8) e + e 4 = 0 e e + e e 4 e = 0 e e 4e + = 0 e = y 4 ± 4 = e = 0 y 4 y + = 0 y = = = e = Log e 4 y = ± 5 4 = = 9) + 6 = 0 y y + 6 = 0 y = = 9 = = = Log 0 = y 0) = = = 0 y + y 6 = 0 { } = 0 Φ impossibile ( y + ) ( y ) =0 =0 = Log = / Log = t ) + = 0 t t t + = 0 t + t t + = 0 t + t t + t t + = 0 t + t t + t = 0 t + = 0 t = = impossibile + =, = ( ± ) = t + t 5t + = 0 = = t 5t 0 t = = Prof. I. Savoia Equazioni esponenziali e logaritmiche - p. 5

6 Esercizi proposti ) 0 5 = + = [0;5/] ) 5, ) 8 9 = 0, + + 4) = 0, [0;] 5) 4 + =, [-] 6) 5 5 = 5, impos ) : 5 = 6, [-;] 8) =, [0] 9) 4 + = 0, [0;/4] 0) 7 = 0, [Sug. y=...] ; ) 9- =7, [;/] ) 5 a + 6 a = 0, [Log ] ) a [Sug.: y= S:-;0] 8 + = 4 EQUAZIONI LOGARITMICHE Le equazioni sono logaritmiche se l'incognita compare in almeno un logaritmo. Esistono vari tipi di equazioni logaritmiche delle quali consideriamo due tipi. Equazioni che si riconducono ad una uguaglianza fra logaritmi nelle basi, rispettivamente a e b, di due espressioni: log a ( f ())=log b ( g ()). Se le due basi sono uguali fra loro (a=b) l'equazione equivale semplicemente al sistema formato dalle condizioni di esistenza (CE: f()>0 e g()>0 ) e dall'uguaglianza f()=g(). Esempi svolti ( ) ( ) ( ) ) log + log + log = 0 CE : + > 0 R CE : + > 0 > - CE CE CE : > 0 CE : > log log = 0 log = log + = + = + + Prof. I. Savoia Equazioni esponenziali e logaritmiche - p. 6

7 ) log + = 0 CE: - + > 0 > 0 log + = log + = =0 =0 = ( ) = ( ) + ( + ) ) log log 5 log 5 > 0 ] [ ] [ CE: 5 > 0 ]5 [ + 5 > 0 ] 5 [ CE: ]-5 [ ]5 [ log = log = = 0 5 ± 5 ± = = = Esercizi proposti 5 ( ) ( ) ( ) ( ) ) log log 4 = 0. ) log = log. 4 ( ) + ( + ) ( + ) ( ) = ( + ) ) log log log=0. ;0 4) log log log 8 log. ; ( ) ( ) ( ) { } ( ) ( ) ( ) 5) log + log = log +. Φ 6) log + log + = log. ( ) ( ) ( ) 7) log + log = log5. 5 8) log =.,. ( ) + ( ) = ( + ) = ( ) 9) log log.. 0) log 6 7 log. 5 Prof. I. Savoia Equazioni esponenziali e logaritmiche - p. 7

8 Equazioni risolubili per sostituzione Quando in una equazione il logaritmo compare più volte in forma di potenza talvolta è possibile, mediante una sostituzione di variabile (y) intermedia del tipo y=log( f ()) (dove f() è una qualsiasi espressione), ricondurre l'equazione stessa ad una equazione algebrica, ad esempio di secondo grado. Esempi svolti (gli esempi che seguono assumono implicitamente le CE: >0): y=log( ) ) log0 ( ) log0 ( ) = 0 y y = 0 ( y ) ( y + ) = 0 Esercizi proposti 0 0 = log = 0 = 0 ; =log =0 =00 y = log ( ) ) log 4log = 0 y 4y = 0 y y 4 = 0 y y + y = 0 y = 0 log = 0 = ; y = log = = 4; y = log = = 4 y = loge ( ) ) log + log log = 0 y + y y = 0 y y + y = 0 e e = log e = e = e = 0 loge = 0 = ; + = ( + ) ( ) = 0 =loge = e = e y y y y y y = log ( ) 4) log + log + = 0 log + log + y + y + = 0 y + = 0 y = log = = ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 ) log 5log + 4 = 0. ;8 ) log log = 0. ; 6 ( ) ( ) ( ) ( ) ) log + log =. 4;4 4) log log = 0. ;4 9 Prof. I. Savoia Equazioni esponenziali e logaritmiche - p. 8

9 Equazioni logaritmiche con base incognita Le equazioni che qui trattiamo sono del tipo log ( f )=k e si possono risolvere, in base alla definizione di logaritmo, scrivendo l'equazione equivalente: f ()=a k. Esempi svolti Esercizi proposti ) log 8 = = 8 = = ; ) log 9 4 = = 9 4 = = CE: ) log 6 9 = = = 0 = 0 = 4) log = = = 0 = 0 > = CE : 4 0 ( ) 5) log 4 = 4 = 4 = 0 4 = 0 ( ) ( ) 0 4 = 0 = ± ) log 8 7 = ; ) log 9 = ± ; ) log + = Φ, ( ) ( + ) ( ) 4) log ; 5) log 4 0, ; 6) log 4 4 = + = + + = Prof. I. Savoia Equazioni esponenziali e logaritmiche - p. 9

10 Sistemi di equazioni logaritmiche In presenza di più equazioni, di cui almeno una di esse è logaritmica, si utilizzano in genere sia le proprietà dei logaritmi che la tecnica della sostituzione. Esempi svolti ) ) Esercizi proposti y = 0 log0 + log0 y = log0 y = y + y = 0 y = y = = y + = y + y = 5 CE soluzione da scartare y + y 0 = 0 ( y + 5) ( y ) = 0 y = CE soluzione accettata = y + = y + = + = 5 + y = 6 log 6 log CE: >-6 y> + y = 6 log = log 00 ( + ) + ( y ) = ( ) ( y ) y = 6 y = 6 y = 6 y = 6 4 = ( + 6) ( y ) = 00 ( + 6) ( 6 ) = = 0 = 4 ) ( ) ( y CE: > y>-4 ) log ( ) = log + log ( y + 4) log log + 4 = y = y = y ( ) ( ) ( ) y = ( ) = 6 9 ( ) y = ( ) = y = = = y = = y = ( ) = = 5 S ;, ( 5; ) y = y = ( ) ( y ) log ( y) log ( y ) + + = 4log log = 4 ) S (, ) ; ) S 4;4 y = log ( ) + log ( y ) = 4 Prof. I. Savoia Equazioni esponenziali e logaritmiche - p. 0

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