Esercitazione di Matematica Argomento: esponenziali e logaritmi

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1 Esercitazione di Matematica Argomento: esponenziali e logaritmi Risolvere le seguenti equazioni esponenziali e logaritmiche:. x = 4;. ( ) x+ ( = x 0 4x+ = 0; x > 9x ;. e x = ;. 7 x = 0(x+) ; 7. 4 x + x+ = ; 8. e x + 3e x 4 = 0; ) x ; 9. x x + = 0; 0. log (0 x) 7 = 0;. log (4 x) = ;. log (x + 3x) = log (x); 3. ln(x ) + ln(x + ) = ln(); 4. ln (x + ) ln(x + ) + 4 = 0;. log x (7) =.

2 . Scrivendo come 4, si ha: Soluzioni (4 ) x = 4 = 4 x = 4 e, quindi, un'equazione esponenziale quale uguaglianza tra esponenziali di stessa base. Trasferendo l'uguaglianza agli esponenti, si ha: x = = x = + = x = 3 3 = x = x, = ±. Tenendo conto del fatto he n a = a n e della potenza di potenza, l'equazione data può essere riscritta come ( ) x+ = che è dello stesso tipo della precedente. ( ) x Trasferendo l'equazione agli esponenti, si ha: x + = x = (x + ) = x x + x = 30 = x = 4 = x = 4 = x + 30 = x = = x = 3 3. Trasportando il termine negativo ( 0 4x+ ) al secondo membro, tenendo conto del fatto che 00 = 0 e della potenza di potenza, l'equazione è riscrivibile come 0 x = 0 4x+ da cui, trasferendo l'uguaglianza agli esponenti, si ha: x = 4x + = x 4x = = x = = x = = x = 3 4. Tenendo conto del fatto che a n = a n, 9 = 3, l'equazione può essere riscritta in uguaglianza tra esponenziali nella stessa base e risolta come segue: 3 (4 x) = 3 x = 3 x 4 = 3 x = x 4 = x = x x = 4 = 0x = 4 = x = 4 0 = x =

3 . L'equazione e x = presenta un'uguaglianza tra due basi diverse sicché bisogna far intervenire i logaritmi. Dalla denizione di logaritmo ovvero facendo il ln( ) di ambo i membri ed applicandone le proprietà, segue subito che x + = ln() = x = ln() = x = ln(). Lequazione è dello stesso tipo della precedente ed è risolvibile come segue: 7 x = 0(x+) = x = log 7 [ 0(x+) ] = x = 0(x + ) log 7 () = x = 0x log 7 () + 0 ln() = x 0x log 7 () = 0 log 7 () = [ 0 log 7 ()]x = 0 log 7 () = x = 0 log 7() 0 log 7 () Si noti che, facendo il ln( ) di ambo i membri nell'equazione di partenza ed eseguendo tutti i passaggi necessari, si trova x = come col cambiamento di base nel risultato già calcolato. 7. Scrivendo x+ come x = x = ( ) x = 4 x, si ha: 0 ln() ln(7) 0 ln() 4 x + 4 x = x = (+) 4 x = x = 3 4 x = = 4 x = 3 = 4x = Dalla denizione di logaritmo segue, allora, che x = log 4 (). 8. Tenendo conto del fatto che e x = (e x ) e ponendo t = e x, si ha: t + 3t 4 = 0 che ammette t = 4 e t = quali soluzioni. Da e x = t segue che x = ln(t) da cui le soluzioni x, = ln(t,) e, precisamente, x = ln(t ) = x = ln( 4) che è inaccettabile poiché la funzione logaritmica è denita solo per argomenti positivi; x = ln(t ) = x = ln() = 0. 3

4 9. Tenendo conto del fatto che =, la disequazione considerata è dello stesso tipo della precedente sicché, posto u = x, si ha: che è risolta da u = e u =. u u + = 0 Dovendo risultare, poi, x, = log (u, ), si ha: x = log (u ) = x = log (/) = log (); x = log (u ) = x = log (). 0. L'unico logaritmo, che compare nell'equazione, ha come dominio l'insieme D costituito dagli elementi che vericano la condizione e, pertanto, D = (, ). 0 x > 0 = x < Riguardo alla equazione, trasportando 7 al secondo membro e scrivendolo come 7 per, si ha: log (0 x) = 7 = log (0 x) = 7 = log (0 x) = 7 log () = log (0 x) = 7 log ( 7 ) dove nello scrivere l'ultima uguaglianza si è tenuto conto della proprietà dei logaritmi: log a (b n ) = n log a (b). Trasferendo l'uguaglianza agli argomenti, si ha: 0 x = 7 = x = 8 0 = x = 8 = x = 8 = x = 9 Poiché 9 D, la soluzione è accettabile.. Procedendo come nel caso precedente, si ha: D : 4 x > 0 = x < ovvero D = (, ) e che l'equazione è riscrivibile come log (4 x) = log 3 da cui, trasferendo l'uguaglianza agli argomenti, 4 x = 3 Poiché 43 7 = x = 3 4 = x = D, la soluzione è accettabile. 4 ( 43 ) =

5 . Il dominio dei logaritmi, che compaiono nell'equazione, è l'insieme soluzione del sistema: { x + 3x > 0 x > 0 Senza risolvere il sistema (), trattiamo separatamente l'equazione veri- cando, successivamente, se le sue soluzioni soddisfano anche il sistema in modo da essere accettabili. Nell'equazione log argomenti, si ha: () (x + 3x) = log (x), trasferendo l'uguaglianza agli x +3x = x = x +3x x = 0 = x x = 0 = x = x = 0 x = x = Poiché x = x non verica il sistema () mentre x = x lo verica, l'unica soluzione è x =. 3. Il dominio dei logaritmi, che compaiono nell'equazione, è l'insieme soluzione del sistema: { x + > 0 x > 0 Procedendo come nell'es. precedente, senza risolvere il sistema (), trattiamo separatamente l'equazione accertandoci, successivamente, se le sue soluzioni soddisfano anche il sistema in modo da essere accettabili. Applicando la proprietà dei logaritmi log a x + log a y = log a (xy), l'equazione è riscrivibile come ln(x 4) = ln() da cui, trasferendo l'uguaglianza agli argomenti, si ha: x 4 = = x = 4 = x = 8 = x = x, = ± 8 = ± Poiché solo la soluzione positiva verica il sistema (), solo essa è accettabile sicché l'equazione di partenza è risolta da x =. 4. Tutti i logaritmi in gioco hanno lo stesso dominio dato da D : x + > 0 = x > Tornando all'equazione, posto t = ln(x + ), si ha: t t + +4 = t = t = 4 Per calcolare la x, notiamo che, dalla posizione fatta t = ln x ovvero ln x = t, segue che x = e t e, quindi, ()

6 x = e t = e = e; x = e t = e 4 che sono mentrambe accettabili poiché maggiori di.. Notiamo che deve risultare x > 0 x. Ciò premesso, dalla denizione di logaritmo segue che x = 7 da cui, estraendo la radice aritmetica, x = 7.