Esercizi 2016/17 - Analisi I - Ing. Edile Architettura Esponenziali e logaritmi

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1 Esercizi 06/7 - Analisi I - Ing. Edile Architettura Esponenziali e logaritmi Esercizio. Risolvere la seguente equazione: Soluzione. ) x+ ) x 7 x = 0 7 L equazione è definita per ogni x 0, valore in cui il denominatore del secondo esponente si annulla. Portiamo a destra il secondo termine, prendendone il reciproco per avere le due potenze con basi uguali: ) x+ 7 = ) x 7 x Le due espressioni sono uguali se e solo sono uguali gli esponenti: x + = x x x x + ) = x 4x x = x 4x + x = 0. Risolvendo l equazione quadratica otteniamo le soluzioni dell esercizio: x, = ± Esercizio. Risolvere il seguente sistema: { x y = 0 = ± Soluzione. 4 x ) 4 = 4) y.

2 Riscriviamo la seconda equazione in modo da avere tutte le basi uguali: { x = y x 4 = y. La seconda equazione può essere scritta così: che equivale a: Riscriviamo il sistema x 4 = y, x 4 = y. { x = y x 4 = y. Sostituiamo la x nella seconda equazione e portiamo tutto a sinistra del segno di uguale: { x = y 6y + y 4 = 0. Risolviamo la seconda equazione in y ed otteniamo y, = ± = y =, y =. ± 0, Sostituiamo rispettivamente entrambi i valori di y nella prima equazione ed otteniamo le due coppie di soluzioni: 4 x, y ) =, ), x, y ) =, ). Esercizio. Risolvere la seguente disequazione: Soluzione. e x + e x <

3 Raccogliamo e x e mettiamo tutto a denominatore comune: e x ex + <, e x + e x < 0, e x 6e x + e x < 0. Il denominatore è sempre maggiore di zero, quindi è equivalente risolvere la seguente disequazione: e x 6e x + < 0. Poniamo t = e x e risolviamo la disequazione quadratica: t 6t + < 0 < t < +. Sostituendo t con e x otteniamo: < e x < + Essendo > 0, la soluzione della disequazione assegnata è: log ) < x < log + ). Esercizio 4. Tracciare il grafico della funzione: fx) = e x +x per x 0 Soluzione 4. La funzione fx) è definita su tutto IR. La funzione x + x ha per grafico una parabola passante per i punti 0, 0) e, 0), con concavità rivolta verso il basso, perché il coefficiente principale è < 0. Il massimo della funzione viene raggiunto nel punto 4, 0), punto medio dell intervallo avente per estremi i due zeri della funzione. Il valore del massimo è 8. Il grafico è in figura. La funzione esponziale è strettamente crescente, quindi la funzione composta e x +x è crescente dove lo è x + x, decrescente dove lo è x + x. Quindi

4 Figura : Grafico di x + x fx) è crescente in, 4 ), decrescente in 4, + ). Inoltre +x è positiva e x per ogni x IR. Il suo valore massimo viene raggiunto nello stesso punto in cui lo raggiunge x + x, ovvero in x = 4. Tale massimo è: ) f = e 8. 4 Il grafico di fx) è in figura. Figura : Grafico di x + x 4

5 Esercizio 5. Risolvere la seguente equazione: Soluzione 5. log 4x x + 4 = + log x + x + Per studiare il segno dei radicandi, calcoliamo i due discriminanti: 4x x+4 = 9 64 = 55 < 0, x +x+ = 4 = < 0. I due trinomi non si annullano per alcun x, quindi le radici esistono per ogni x e sono entrambe positive ed i logaritmi sono definiti. Per le proprietà algebriche dei logaritmi l equazione può essere scritta così: log 4x x + 4 ) log x + x + ) =, log 4x x + 4 ) log x + x + ) =, 4x ) x + 4 log x = log + x + 4. Il logaritmo è una funzione strettamente crescente quindi l uguaglianza di cui sopra è equivalente a questa: 4x x + 4 x + x + = 4, 4x x + 4 = 4 x + x + ), 4x x + 4 4x 4x 4 = 0, 7x = 0 x = 0. L eqauzione ha un unica soluzione, x = 0. Esercizio 6. Risolvere il seguente sistema: { 4 x+y 5x) = log x + y) = log 5y) 5

6 Soluzione 6. Il sistema può essere riscritto così: { x+y) 5x = log x + y) = log 5y). Questo sistema è equivalente a quello che otteniamo eliminando esponenziali e logaritmi: { x + y) 5x = x + y = 5y, { 6x + y 5x = x = y, { x + y = x = y, { x = y =. Esercizio 7. Risolvere la seguente equazione: Soluzione 7. Studiamo le condizioni di esistenza: log x x + ) = log x +) x ). base dei logaritmi strettamente positiva e diversa da argomento dei logaritmi positivo Sia x che x + sono strettamente positivi, quindi i logaritmi dell esercizio esistono. Per la seguente proprietà dei logaritmi: possiamo scrivere: log a b = log b a, log x x + ) = log x +) x = log x x + ). 6

7 Da qui abbiamo log x x + )) = log x x + ) = ±. Esaminiamo separatamente i due casi. a) log x x + ) = x + = x, impossibile. ciò che otteniamo log x + )) = x risolviamo separatamente i due casi Caso +) log x + )) = ±x impossibile. log x x + ) = x + = x, Caso ) log x x + ) = x + = x, Ponendo t = x l equazione diventa: x + = 0 t + t = 0. Le soluzioni di questa equazione sono: t = 5, t = + 5. la prima soluzione non è accettabile, in quanto x non può essere negativo. La seconda produce l unica soluzione dell equazione dell esercizio: log x x + ) = log x +) x + ) 5 ) x = log. 7

8 Esercizio 8. Risolvere la seguente disequazione: x ) + log < log x Soluzione 8. I logaritmi esistono laddove i loro argomenti sono positivi, quindi dobbiamo imporre: x + > 0, x > 0. Il numeratore della frazione è positivo per ogni x IR, quindi il suo segno coincide con quello del denominatore, che è positivo per x >. La seconda disequazione è verificata per x > 0. In conclusione la disequazione è definita per x >. L elevazione a potenza, se la base è positiva e minore di, inverte le disuguaglianze, quindi la disequazione originale è equivalente a questa: Essendo log x + x log x + x abbiamo la disequazione equivalente: ) ) ) > log x ) ) ) = x log +, x = x, x + > x, x + x > 0, x + x ) x + x + x 8 > 0, < 0. > 0,

9 Studiamo il segno di numeratore e denominatore troviamo l insieme delle soluzioni di questa disequazione: S =, ), + ). Considerando solo gli x per i quali la disequazione del testo è definita, otteniamo le soluzioni dell esercizio: x ) + log < log x x, + ). 9

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