Procedura per la Risoluzione di Integrali Razionali Fratti

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1 Procedura er la Risoluzione di Integrali Razionali Fratti Matteo Tugnoli Marc, 0 Di seguito illustriamo una breve rocedura da alicare nel caso di integrazione di frazioni comoste da olinomi di differenti gradi. Questa è utile in quanto è una delle oce rocedure ce conducono ad un risultato certo senza dover ricorrere a vari tentativi di soluzione di tentativo Sesso durante la trattazione, una volta integrate arti dellesressione, o estratte dallintegrale delle costanti numerice, esse non verranno iù seguite, in quanto lo scoo è quello di giungere alla comleta integrazione di ogni arte dellesressione. Inutile sottolineare ce tali arti nella risoluzione analitica di un integrale vanno ortate tutte fino alla conclusione. Riduzione del grado del numeratore Se il grado del numeratore è maggiore o uguale di quello del denominatore è necessario dividere i due olinomi riducendo la frazione in un risultato olinomiale non fratto e una frazione comosta dal resto come numeratore e il denominatore quello recedente: ax n +bx n + +c dx m +ex m + +f dx = quoziente+resto dx m +ex m + +f dx con m < n questo unto il quoziente olinomiale va integrato searatamente, con la regola inversa della derivazione delle otenze: ax n dx = axn+ n + + C Si giunge quindi a ottenere un risultato integrato sommato ad un integrale ce contiene una frazione con grado del numeratore minore di quello del denominatore. esemio x 6x + 4 x + x + 4 dx =

2 = 8x x + x + 4 quoziente = resto = 8x dx = x 8 Integrazione della frazione x x + x + 4 dx Continuando a considerare solamente il rimanente integrale, una frazione olinomiale con grado del denominatore maggiore di quello del numeratore, occorre esaminare il del denominatore, e di conseguenza utilizzare arocci differenti a seconda della differente scomonibilità del olinomio.. maggiore di zero Se il è maggiore di zero il olinomio è scomonibile in un rodotto di monomi date le soluzioni dellequazione di secondo grado associata nel consueto modo: ax + bx + c = ax x x x 3 Si rocede quindi a scomorre la frazione in due differenti frazioni: x + q ax x x x = ax x + B x x In questo modo se si svilua il denominatore comune nella somma di frazioni si ossono confrontare i olinomi al denominatore er trovare il valore di e B x + q ax x x x = x x + Bax x ax x x x Ora, sviluando i rodotti nel numeratore della frazione a destra delluguale, si ossono individuare un coefficiente moltilicatore della x e un termine noto. Posti questi uguali a quelli del olinomio al numeratore in artenza si ottengono i valori di e B, e quindi si uò dividere lintegrale in due differenti integrali relativi alle due frazioni: ax x dx B dx 6 x x Ce estraendo i coefficienti moltilicativi dallintegrale diventa: a x x dx + B dx 7 x x Gli integrali quindi si ossono risolvere immediatamente come dei logaritmi del denominatore nel seguente modo: a ln x x + B ln x x + C 8

3 . uguale a zero Se il è uguale a zero il olinomio di secondo grado è riscrivibile come un quadrato di un binomio nella forma mx + n, riconducendo lintegrale alla forma: dx 9 mx + n Tuttavia è rima necessario fare sì ce al numeratore rimanga solamente una costante. Questo si uò ottenere modificando oortunamente il numeratore in modo ce venga a risultare ari alla derivata del denominatore, er oi ricondursi alla forma di un logaritmo di funzione. Per rima cosa occorre moltilicare e dividere facendo sì ce il coefficiente della x a denominatore sia corretto: x + q ax + bx + c = x + q ax + bx + c 0 In seguito si aggiunge e sottrae al numeratore una costante tale da rendere il termine noto corretto er raresentare la derivata del denominatore: x + b + ax + bx + c q b = x + b ax + bx + c + q b ax + bx + c In questo modo la rima frazione si uò integrare come: f x dx = lnfx + C fx Mentre la seconda è ancora da integrare. Ora, giunti ad avere una frazione con solo una costante a denominatore, con oortune moltilicazioni e divisioni del genere: a a dx 3 mx + n si riesce a ricondurre il numeratore alla derivata del binomio mx + n, quindi si uò alicare er lintegrazione la forma relativa al modello: f x[fx]dx = [fx]+ + in cui risulterà, e ortando a termine lintegrazione: a a mx + n dx = a mx + n + C 4 5 3

4 .3 minore di zero Se il è minore di zero, non è ossibile scomorre o ridurre il denominatore quadratico in alcun modo. Occorre quindi seguire una rocedura il cui scoo è quello di ricondurre lintegrale alla forma derivante dalla derivazione dellarcotangente: + x dx = arctan x + C 6 Per rima cosa bisogna ridurre il numeratore della frazione ad una singola costante, estraibile dallintegrale. Per fare ciò si segue la rocedura illustrata nel caso di = 0 al aragrafo. Giunti quindi ad una forma del genere: ax dx 7 + bx + c Bisogna oerare sul denominatore in modo da ricondurre il trinomio ad un quadrato e a una costante. Per fare ciò si somma e sottrae, o a seconda dei unti di vista si scomone il termine noto, in modo ce comaia un trinomio ce con una arte del termine noto forma un quadrato erfetto, e una costante raresentata dal resto del termine noto, nel seguente modo: { ax + bx + c = ax + bx + m + n = ax + m + n 8 m + n = c È facile osservare come basti cambiare il termine noto di un trinomio er ottenere in ogni caso un quadrato erfetto. Per i casi iù semlici il termine a cui giungere è evidente immediatamente, in ogni altro caso il termine noto del quadrato erfettoè esrimibile come b nel seguente modo: ax + bx + c = ax + bx + b + c b ax b = + a + c b 9 Si giunge quindi ad una forma del genere: mx + n dx 0 + Per ricondursi alla derivata dellarcotangente il denominatore deve consistere in un elemento al quadrato iù uno, è quindi necessario ricondurre a uno, mediante moltilicazione-divisione, la costante a denominatore, avendo oi laccortezza di inserire nel quadrato la costante moltilicative risultante dalle moltilicazioni/divisioni. mx + n + dx = mx + n + dx = dx mx+n + 4

5 Per ottenere allinterno dellintegrale la derivata dellarcotangente dellesressione nel quadrato occorre solamente moltilicarvi la derivata della funzione di funzione secondo la consueta esressione: d f g x = f gxg x dx Tuttavia dato ce tale derivata è solo una costante, si uò dividere er tale costante nel risultato, come nel caso dellintegrazione dei monomi x n : dx = arctan +C 3 m + }{{} mx+n mx + n }{{} fgx /g x 5