Serie numeriche e di funzioni - Esercizi svolti

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1 Serie umeriche e di fuzioi - Esercizi svolti Serie umeriche Esercizio. Discutere la covergeza delle serie segueti a) 3, b) 5, c) 4! (4), d) ( ) e. Esercizio. Calcolare la somma delle serie segueti a) ( ) ( ), b) ( π cos ( ) 3 cos π ) 3. Esercizio 3. Utilizzado il teorema del cofroto discutere la covergeza delle serie a) ( ), b) log, c) log, d) log. Esercizio 4. Discutere la covergeza delle serie a) ( 5 ) 3, b) e calcolare, se possibile, la somma. Esercizio 5. Discutere la covergeza delle serie a) ( ) sih, b) ( ), c) ) (e 3 ( ), Esercizio 6. Studiare, al variare del parametro reale α, la covergeza di a) α, b) α, c) + α.

2 SERIE NUMERICHE E DI FUNZIONI - ESERCIZI SVOLTI Esercizio 7. Utilizzado il criterio del rapporto o della radice discutere la covergeza delle serie a)!, b) ( ), c) +!, d) (!), e) ( / ). Esercizio 8. Studiare la covergeza ed evetualmete calcolare la somma delle serie a) ( + ), b) ( ) 4, c) 5. Esercizio 9. Utilizzado il criterio di Mac Lauri discutere la covergeza delle serie: a) log, b) log 3, c) 3 log [log(log )]. Esercizio 0. Studiare la covergeza semplice e assoluta delle segueti serie: a) ( ) 3 + 5, b) ( ) + +, c) ( ) + +, d) ( ) 3 4, e) ( ) log e, f) ( ) + 30, g) ( ) arcta +, h) ( ) log( + ) log, i) 3 cos π, (!) ( ) l) ( ) + ( ). Esercizio. Nell esercizio a), stimare l errore che si commette trocado la serie ad 0. Esercizio. Nell esercizio b), stimare l errore che si commette trocado la serie ad 0. Esercizio 3. Nell esercizio g), stimare il resto r 3 della serie. Esercizio 4. Studiare al variare del parametro α a) e) α!, b) si α, f) α, c) si π + α, g) α, d) cos π + α. α 3,

3 SERIE NUMERICHE E DI FUNZIONI - ESERCIZI SVOLTI 3 Successioi di fuzioi Esercizio. Studiare la covergeza putuale ed uiforme su R della successioe di fuzioi f (x) xe x. Esercizio. Studiare la covergeza putuale ed uiforme su R della successioe di fuzioi f (x) x +,. Esercizio 3. Data la successioe, x 0 f (x) (x ), 0 < x <, x studiare la covergeza putuale di f (x) su R e la covergeza uiforme sugli isiemi: R, [0, + ), (0, + ), [ 00, + ). Esercizio 4. Data arcta x x < 0 f (x) xe x 0 x e x > studiare la covergeza putuale e uiforme su R, (, 0) e (0, + ). Esercizio 5. Verificare che la successioe di fuzioi f (x) e ( x ) f(x) su [ R, R], R > 0, ma o su R. coverge uiformemete a Esercizio 6. Verificare che e x dx 0, a [0, ). + a

4 4 SERIE NUMERICHE E DI FUNZIONI - ESERCIZI SVOLTI Serie di fuzioi Esercizio. Data la serie x, studiare la covergeza putuale e assoluta per x 0. Idividuare, se esistoo, degli isiemi su cui la serie coverge uiformemete. Esercizio. Studiare la covergeza putuale e uiforme della serie cos x. Esercizio 3. Data la serie x, studiare la covergeza putuale e assoluta. Idividuare, se esistoo, degli isiemi su cui la serie coverge uiformemete. Esercizio 4. Data la serie x x, studiare la covergeza putuale e assoluta. Idividuare, se esistoo, degli isiemi su cui la serie coverge uiformemete. Esercizio 5. Data la serie ( ) ( + x)x, a) studiare la covergeza putuale, per x > 0; b) studiare la covergeza uiforme su [, + ). Esercizio 6. Data la serie ( ) x, a) studiare la covergeza putuale e assoluta; b) determiare se esistoo degli isiemi su cui la serie coverge uiformemete. (x + ) Esercizio 7. Trovare l isieme di covergeza putuale di.! Esercizio 8. Data la serie x + x : a) studiare la covergeza putuale; b) trovare degli itervalli su cui la serie coverge uiformemete.

5 SERIE NUMERICHE E DI FUNZIONI - ESERCIZI SVOLTI 5 Esercizio 9. Determiare l isieme di covergeza della serie ( ) + si x. + cos Dire ioltre se coverge uiformemete su (0, + ) e su (, + ). Esercizio 0. Discutere la covergeza putuale e uiforme della serie x. Esercizio. Data la fuzioe φ(x) arcta(x), calcolare φ (0). Esercizio. Data la serie ( ) x + ; a) studiare la covergeza putuale e assoluta; b) studiare la covergeza uiforme.

6 6 SERIE NUMERICHE E DI FUNZIONI - ESERCIZI SVOLTI Serie di poteze Esercizio. Calcolare il raggio e l isieme di covergeza delle serie segueti: a) e) i) + x!, b) x!, f) cos π 3 (x ), l) x, c) x ( ) 3 +, g) ( ) 3 ( + ) x.!x, d) x, h) si π + x, + 3 x 4, ( ) Esercizio. Determiare l itervallo di covergeza della serie 3 + ( ) x. Esercizio 3. Data la serie x! a) calcolare il raggio di covergeza; b) cofrotare la serie co la serie delle derivate, e utilizzare le osservazioi fatte per calcolare la somma della serie. Esercizio 4. Determiare, al variare di a > 0, l isieme di covergeza della serie a + (3e) e x. Esercizio 5. Studiare l isieme di covergeza putuale, assoluta e uiforme della serie ] [( ) log x. + 3 Esercizio 6. f(x) x ( ) : a) determiare raggio e isieme di covergeza della serie; b) derivare termie a termie due volte; c) calcolare f(x), f (x), f (x).

7 SERIE NUMERICHE E DI FUNZIONI - ESERCIZI SVOLTI 7 Esercizio 7. Calcolare la somma delle serie segueti: a) x, b) ( ) x 3+3, c)! x ( + )!, d) + t. Esercizio 8. Determiare per quali valori di x R covergoo le segueti serie e per tali valori calcolare la somma: a) d) 3 x (x 6), b) (3x) x, e) x ( x), c) (6 x) (x ). ( log x )

8 8 SERIE NUMERICHE E DI FUNZIONI - ESERCIZI SVOLTI Serie di Taylor e MacLauri Esercizio. a) Serie di Taylor cetrata i x 0 3 di f(x) log( x ). b) Serie di Taylor cetrata i x 0 3 di g(x) log ( ) x +. x c) Determiare l itervallo di covergeza putuale di f(x) e di g(x). d) Utilizzado la serie trovata i b), calcolare g ( 3), g ( 3), g ( 3). Esercizio. Scrivere lo sviluppo di MacLauri di log( x ) calcoladoe l itervallo di covergeza. Esercizio 3. Serie di MacLauri di f(x) (x )( x).

9 SERIE NUMERICHE E DI FUNZIONI - ESERCIZI SVOLTI 9 Esercizi coclusivi Esercizio. Verificare che la serie + ( ) 4 + ( ) è covergete. Esercizio. Studiare la covergeza di ( arcta( + ) π) cos( + )π. Esercizio 3. Data la fuzioe si 3x : x a) verificare che è Riema itegrabile i [0, ]; b) calcolare per serie l itegrale 0 si 3x dx; x c) scrivere i primi tre termii della serie trovata. Esercizio 4. Data la serie ( ) + + si π + a) studiare la covergeza semplice e assoluta; b) stimare l errore che si ottiee se si calcola 00 ( ) + + si π. +

10 0 SERIE NUMERICHE E DI FUNZIONI - ESERCIZI SVOLTI SOLUZIONI Esercizio. a) La serie 3 si può scrivere come ( 3 ) e duque è ua serie geometrica q di ragioe q 3. Cocludiamo che la serie coverge, essedo la ragioe q <. b) La serie 5 è ua serie geometrica di ragioe q 5 > e duque diverge positivamete. c) Ricordiamo che codizioe ecessaria affiché ua serie a coverga è che a 0. + Nel ostro caso abbiamo che a 4! (4) e duque a ! 4 +! +, poichè ha ordie di ifiito superiore ad!. Cocludiamo che la serie data o coverge, o essedo soddisfatta la codizioe ecessaria. Possiamo azi affermare che la serie diverge positivamete, essedo a +. d) I questo caso possiamo scrivere a ( ) b, co b e. Si ha b e + + +, poichè e ha ordie di ifiito maggiore di per +. Pertato il particolare o vale 0, per cui la serie data o coverge. Esercizio. Si tratta i etrambi i casi di serie telescopiche, ovvero serie del tipo 0 (b + b ), per cui la successioe delle ridotte -esime risulta avere come termie geerale s (b i+ b i ) i 0 (b 0 + b 0 ) + (b 0 + b 0 +) +... (b b ) + (b + b ) b + b 0, dal mometo che tutti i temii itermedi si elidoo. Quidi 0 (b + b ) + s + (b + b 0 ). a o esiste, ed i +

11 SERIE NUMERICHE E DI FUNZIONI - ESERCIZI SVOLTI Nel caso a) abbiamo che e duque Nel caso b) possiamo scrivere e duque risulta essere cos b ( ) ( ) ( ), 0 (b + b ) + +. ( ( ) π ( ) 3 cos π 3 cos π ( ) 3 π cos ( ) 3, b cos Da quato detto i precedeza abbiamo ( π cos ( ) 3 cos π ) 3 π ( ) 3, 0. (b + b ) cos π. ( cos π 3 + cos ) ) π ( ) 3 Esercizio 3. a) Per ogi itero si ha che e duque ( ), da cui si deduce che La serie ( ),. è ua serie armoica geeralizzata, co espoete > e duque coverge. Per il criterio del cofroto cocludiamo che ache la serie coverge. ( )

12 SERIE NUMERICHE E DI FUNZIONI - ESERCIZI SVOLTI b) Proviamo che per ogi si ha log <, ovvero che log < 0. A tal fie osserviamo che la successioe log è la restizioe ai aturali della fuzioe f(x) log x x < 0, e duque è sufficiete provare che f(x) < 0, x [, + ). Abbiamo che f (x) 0, x, x per cui f è decrescete su [, + ) e quidi f(x) f(), x. Duque log < per ogi e La serie armoica log >,. è divergete e duque, per il criterio del cofroto, ache la serie diverge. c) Per ogi 3 si ha che log > e duque log > log log < defiitivamete. Cocludiamo che la serie data coverge per cofroto co la serie covergete. d) Proviamo che log < 3 defiitivamete. Ifatti si ha e duque da u certo 0 i poi log log <, il che prova la ostra prima affermazioe. Duque La serie armoica geeralizzata log 3 < coverge perché l espoete 5 3 è maggiore di e duque cocludiamo per cofroto che ache la serie data coverge..

13 SERIE NUMERICHE E DI FUNZIONI - ESERCIZI SVOLTI 3 Esercizio 4. a) La serie data si può cosiderare come somma di due serie ( 5 ) La serie 5 ( 5) è ua serie geometrica di ragioe q 5 < e duque coverge. Per lo stesso motivo coverge la serie 3 Il criterio della somma implica che la serie data è covergete, essedo somma di due serie covergeti. ( 3 Ioltre il valore a cui coverge la serie data sarà la somma dei valori a cui covergoo le due serie 5 e 3. Ricordiamo che per ogi q < si ha q q, e duque Cocludiamo che 5 5 ( 5 ) 3 5 4, b) La serie data si può scrivere come ( + ) ) Il criterio della somma implica che la serie diverge, essedo somma di ua serie divergete positivamete ( ) e di ua serie covergete ( ). c) Possiamo scrivere ( ) + La prima serie diverge positivamete metre la secoda diverge egativamete e quidi il criterio della somma o premette di decidere. Però ( ) ( ). ( ) e duque la serie data è la serie del Megoli e coverge alla somma.

14 4 SERIE NUMERICHE E DI FUNZIONI - ESERCIZI SVOLTI Esercizio 5. a) Il termie -esimo ( ) sih è la restrizioe della fuzioe sih x ai puti della successioe. Essedo sih x > 0 per ogi x > 0 e > 0,, la serie data è ua serie a termii positivi. Ioltre sih x x, per x 0, da cui sih, per +. Per il cofroto asitotico la serie data ha lo stesso comportameto della serie, armoica geeralizzata co espoete > e duque coverge. b) Il termie e 3 è la restrizioe della fuzioe e x alla successioe 3. Essedo e x >, x > 0, la serie data è a termii positivi. Dall espressioe e x x, per x 0, ricaviamo che e 3, per +. 3 Per il cofroto asitotico la serie data ha lo stesso comportameto di 3, armoica geeralizzata co espoete 3 > e duque coverge. c) Ache i questo caso la serie è a termii positivi ed ioltre ( log + ), per +. Per il cofroto asitotico la serie data ha lo stesso comportameto della serie armoica e duque diverge.

15 SERIE NUMERICHE E DI FUNZIONI - ESERCIZI SVOLTI 5 d) Possiamo scrivere ( si si ) 6 si ( 6 si ) per +, e quidi per il cofroto asitotico la serie data coverge. e) Si ha f) + ( ) si quidi per il cofroto asitotico la serie diverge. per +, ( )] [ ( + ) per +, g) e duque la serie data ha lo stesso comportameto della serie armoica geeralizzata 5/4. Cocludiamo che la serie coverge perché l espoete è maggiore di )] [ ( ) ( + 5 4/5 per +, e duque la serie diverge perché ella serie armoica geeralizzata 4/5 l espoete è miore di. Esercizio 6. a) Possiamo scrivere α e duque è ua serie geometrica di ragioe q α. se α < ovvero α >, equivalete ad α < o α >, la serie coverge; ( α ), se α se α, cioè 0 < α, la serie diverge;, cioè α < 0, la serie è idetermiata. b) Si distiguoo tre possibilità: se α >, α + + e duque la serie o coverge perché o è soddisfatta la codizioe ecessaria;

16 6 SERIE NUMERICHE E DI FUNZIONI - ESERCIZI SVOLTI se α, ovvero α ±, abbiamo la serie armoica geeralizzata / o la serie a segi alteri ( ) /. I etrambi i casi si ha covergeza (assoluta). se α < la serie coverge perché ha ordie di ifiitesimo > rispetto a, per +. c) La serie è a termii positivi e duque o coverge o diverge positivamete. Ioltre + α, per + α e duque se α 0, ovvero α, / α 0, per cui la serie diverge. Se 0 < α, ovvero < α, per il cofroto asitotico la serie ha lo stesso comportameto dell armoica geeralizzata, co espoete α e duque diverge. Ifie, se α >, ovvero α >, la serie coverge perché coverge l armoica geeralizzata co epoete α >. Riassumedo: α α > diverge coverge Esercizio 7. a) La serie rapporto. Abbiamo a, co a!, è a termii positivi e duque possiamo utilizzare il criterio del a + ( + )! + a + +! ( + )! +! duque, essedo tale ite maggiore di, la serie diverge positivamete. + +, + Osserviamo che si poteva dedurre lo stesso risultato provado che la serie data o soddisfa la codizioe ecessaria di covergeza, essedo a + +! + 0. b) Utilizziamo il criterio della radice calcolado a. Abbiamo + ( + ) ( ) ( + ) [( + ] + ) e, e quidi possiamo cocludere che la serie coverge, essedo a <.

17 SERIE NUMERICHE E DI FUNZIONI - ESERCIZI SVOLTI 7 c) Utilizziamo il criterio del rapporto calcolado a + a. Abbiamo ( + ) + ( + )!! e duque la serie coverge, essedo a + a 0 <. d) Acora per il criterio del rapporto abbiamo e quidi la serie data coverge. ( ) +! ( + )! ( ) [( + )!] ( + ) + (+) (!) , ( + ) ( + ) + e) Abbiamo + ( / ) e duque per il criterio della radice la serie coverge. + / 0, Esercizio 8. a) La serie coverge perché a (+) ha ordie di ifiitesimo rispetto al campioe / per +. Utilizziamo la decomposizioe i ( + ) A + B A + A + B (A + B) + A + ( + ) ( + ) corrispodete al sistema { A + B 0 A da cui A e B. Quidi possiamo scrivere a ( ). +

18 8 SERIE NUMERICHE E DI FUNZIONI - ESERCIZI SVOLTI Calcoliamo la ridotta -esima della serie: ( ) s [( 3 ) ( )] s 3 + [ ] 4 s [( ) ( 4 ) ( )] [ ] 5 s [ 5 ( )] [ ] Possiamo dedurre che da cui s Duque la serie coverge e la sua somma è 3 4. [ + + ] + s [ + ] b) La serie coverge perché ha ordie di ifiitesimo rispetto a la somma cerchiamo A, B R per cui ovvero 4 ( )( + ) A + B +, ( )( + ) corrispodete al sistema { A + B 0 A B Quidi possiamo scrivere (A + B) + A B, ( )( + ) { A B. 4 [ ] + e calcolado la ridotta -esima [ ] s [( 3 ) ( )] s [ ] 5 5. s e la somma della serie risulta essere s [ ] + + s. per +. Per calcolare

19 SERIE NUMERICHE E DI FUNZIONI - ESERCIZI SVOLTI 9 c) Risulta per cui Sapedo che otteiamo ed ifie a 5 ( ) 5, 5 ( ) [ a 5 ( ] ) ( ) ( ) 5 ( 5) 5 ( 3 + ) /5 5 3 [ ( ] ) Esercizio 9. a) Abbiamo + log 0 e l ordie di ifiitesimo rispetto a è superiore a ma iferiore ad ogi α >. Perciò o si può utilizzare essu criterio di cofroto asitotico. Però la successioe log è la restrizioe ai aturali ( ) della fuzioe f(x) x log x. Possiamo allora verificare se f(x) soddisfa le ipotesi del criterio di Mac Lauri (o criterio itegrale). i) f(x) > 0, x ; ii) f (x) + log x x log x < 0, x e quidi f(x) è decrescete su [, + ). Il comportameto della serie è lo stesso dell itegrale improprio + t f(x)dx t + Duque la serie data diverge. t dx x log x t + t + [log(log x)]t t + b) Come ell esercizio precedete, log 3 ( α > ) rispetto a i) f(x) log x x dx [log(log t) log(log )] +. 0 co ordie maggiore di ma iferiore ad α. Possiamo ache i questo caso usare il criterio di Mac Lauri. Ifatti x log 3 > 0, x ; x

20 0 SERIE NUMERICHE E DI FUNZIONI - ESERCIZI SVOLTI ii) f (x) log x(3 + log x) (x log 3 x) < 0 se x. Duque f(x) è positiva e defiitivamete decrescete ed il comportameto della serie è lo stesso dell itegrale improprio + f(x)dx t t + Duque la serie coverge. log 3 x x dx [ t + log t + ] log c) Come ei due esercizi precedeti, possiamo usare il criterio di Mac Lauri. i) f(x) > 0, x 3; x log x log(log x) ii) f (log x) log(log x) + log(log x) + (x) [x log x log(log x)] < 0, x 3. Per risolvere l itegrale improprio poiamo e duque e f(x)dx f(x)dx t t + 3 x log x log(log x) dx log(log x) s, ds log x x dx x log x log(log x) dx ds log s s L itegrale diverge e co esso diverge ache la serie. Esercizio 0. [log(log(log x)) log(log(log 3))] +. t + log. a) Possiamo scrivere la serie come ( ) b, co b Quidi b ha ordie di ifiitesimo rispetto a, per + e ( ) o coverge Dato che 3( + ) + 5 > 3 + 5, b + 3( + ) + 5 < b. La successioe b soddisfa allora le ipotesi del criterio di Leibiz, perché b 0, b 0 per + e b è decrescete. Possiamo allora cocludere che la serie coverge, o assolutamete.

21 SERIE NUMERICHE E DI FUNZIONI - ESERCIZI SVOLTI b) b co ordie rispetto a, per +. Duque la serie o coverge assolutamete. Per verificare se b è decrescete, poiché b è la restrizioe ai aturali di ua fuzioe defiita su R, possiamo derivare rispetto ad : d d b + ( + ) ( + ) + ( + ). Si ha + > 0 se 3 < < + 3, duque d d b < 0, per > [ + 3] 0. Poichè valogo le ipotesi del criterio di Leibiz, possiamo cocludere che la serie coverge, o assolutamete. c) Osserviamo che b + + +, per +. a ( ) b o ha allora ite per +, perciò la serie o coverge. d) Si ha b coverge assolutamete. a ( ) , per 0. che ha ordie 3 rispetto a per +, duque la serie coverge e e) b log e ha ordie di ifiitesimo rispetto a, per +, maggiore di qualuque α R, duque la serie coverge assolutamete. f) b per 30. Duque b è defiitivamete positivo. Ioltre b 0 per + co ordie rispetto a, perciò la serie + è divergete. Possiamo applicare 30 il criterio di Leibiz se la serie è defiitivamete decrescete. Derivado rispetto a otteiamo g) d d b 30 ( + ) ( 30) 30 + ( 30) < 0, per >. Possiamo cocludere che la serie coverge, o assolutamete. arcta + arcta + 0, N, + per +

22 SERIE NUMERICHE E DI FUNZIONI - ESERCIZI SVOLTI duque la serie arcta + o coverge. Osserviamo che ( + ) + +, N, quidi ( + ) +, N. + Poiché la fuzioe arcta t è crescete, abbiamo che b + arcta ( + ) + arcta + b, N. Pertato possiamo applicare il criterio di Leibiz per cocludere che la serie coverge, ma o coverge assolutamete. h) log( + ) log log + ( log + ), per +. Duque log( + ) log ( ) +, per +. log + / Per il criterio di covergeza, la serie o coverge. i) cos π ( ) duque 3 (!) cos π 3 (!) ( ). Usado il criterio della radice, vediamo se la serie dei valori assoluti coverge ( ) 3 (!) 3/ (!) 3 (!) 0, per +. Duque la serie coverge assolutamete. l) ( ) ( ) + ( ) ( ( ) + ). La serie ( ) coverge (o assolutamete) e la serie somma coverge. dato che >, >. Ioltre ( ) ( ) + ( ) + ( ), + ( ) + ( ) +, >. coverge, duque la serie

23 SERIE NUMERICHE E DI FUNZIONI - ESERCIZI SVOLTI 3 Perciò e la serie o coverge assolutamete. + ( ), per + Esercizio. Per risolvere l esercizio a) abbiamo potuto applicare il criterio di Leibiz, che ci dà ache iformazioi sul resto -esimo. Duque, se s 0 0 e s è la somma della serie, l errore commesso è s s 0 r 0 b ( ) Esercizio. Nello stesso modo, ell esercizio b) si ha che s s 0 r 0 b Esercizio 3. Nello stesso modo, ell esercizio g), r 3 s s 3 b 4 arcta ( 9). Esercizio 4. a) Usado il criterio del rapporto per la serie dei valori assoluti otteiamo a + a a + ( + )!! α α α! ( + )! α α 0, per + + e quidi la serie coverge assolutamete α R. b) Osserviamo che + α 0 se α < + se α se α duque la serie diverge assolutamete se α e o coverge se α. Per α <, applichiamo il criterio della radice alla serie dei valori assoluti: + α + la serie coverge assolutamete se α <. α α <

24 4 SERIE NUMERICHE E DI FUNZIONI - ESERCIZI SVOLTI c) d) + α se ivece α 0, α 0,. + (α) Possiamo cocludere che la serie coverge solo per α 0. a { + se α > 0 se α < 0 ( ) α α α e) Duque α 3 ( ) α ( ) α La serie geometrica di ragioe α 3 coverge se α 3 < e duque se α < 3. si α quidi o possiamo usare il criterio del cofroto, ma Duque: + si α si α + si α. la serie coverge assolutamete se si α <, cioè se α π + kπ, k Z; se si α, la serie diveta, che diverge; se si α, la serie diveta ( ) Cocludedo: che coverge, o assolutamete. α π + kπ, k Z α π + kπ, k Z coverge assolutamete diverge α 3π + kπ, k Z coverge, o assolutamete f) si π 0, la serie è 0 0, α R.

25 SERIE NUMERICHE E DI FUNZIONI - ESERCIZI SVOLTI 5 g) cos π ( ). Duque e + duque la serie o coverge se α >. cos π + α ( ) α + { ( ) α 0 se α + + se α > Se α : ( ) + ( ) coverge, o assolutamete; + se α : ( ) ( ) + + diverge; se α <, usiamo il criterio della radice: + a + α + la serie coverge assolutamete per α <. Cocludedo: α < α α α > + coverge assolutamete coverge, o assolutamete diverge o coverge α + α <

26 6 SERIE NUMERICHE E DI FUNZIONI - ESERCIZI SVOLTI Successioi di fuzioi Esercizio. f (x) xe x 0, x R + + la fuzioe ite è f(x) 0, x R. Osserviamo che e quidi Si vede facilmete che il grafico di f è f (x) e x + xe x ( x) e x ( x ) f (x) 0 x x, ±. 0 ed f (x, ) ± e. Allora sup f(x) f (x) + x R f (x, ) + e la successioe coverge uiformemete a f(x) 0 su R. Esercizio. + f (x) x x. + e 0 a) Duque la successioe f (x) coverge alla fuzioe cotiua f(x) x, x R. b) Osserviamo che f (x) x x + x x + x Quidi Per il teorema dei due carabiieri 0 sup f (x) x x R, sup f (x) x 0 + x R e la successioe coverge uiformemete su R. x R,., x R.

27 SERIE NUMERICHE E DI FUNZIONI - ESERCIZI SVOLTI 7 Esercizio 3. a) La fuzioe f (x) ha grafico 0 ( È chiaro che f (x), x R \ 0, ). + ( ) Osserviamo che x 0,, 0 tale che 0, 0 x e duque 0, f (x). Applicado la defiizioe di ite, è chiaro che f (x), x R. + b) Per quato riguarda la covergeza uiforme, abbiamo che sup f (x) x R ( f ) 0 0, se +. Quidi la successioe o coverge uiformemete su R, (0, + ), [0, + ). Dato che, se 0 00, per ogi 0 si ha 0 00, allora e duque sup f (x) 0, 00, x 00 [ sup f (x) f(x) 0 e la successioe coverge uiformemete su + 00 )., + [ Esercizio 4. Osserviamo che f è cotiua su R. Ioltre i 0,. Possiamo utilizzare quato già visto per disegare il grafico di f : ] è la stessa fuzioe dell esercizio

28 8 SERIE NUMERICHE E DI FUNZIONI - ESERCIZI SVOLTI 0 π x < 0 f (x) arcta x π x 0 f (x) 0 0 x > 0 f (x) 0. [ ] Poiché l ampiezza dell itervallo 0, tede a 0 per +, la fuzioe da cosiderare sulle x > 0 è e (vedi l esercizio precedete per maggiori dettagli). Duque la successioe coverge putualmete su R alla fuzioe f(x) { π x < 0 0 x 0. f(x) è discotiua i x 0 metre le f (x) soo cotiue su tutto R. Ne segue che o può esserci covergeza uiforme sugli itervalli che cotegoo x 0 all itero, oppure sugli itervalli che cotegoo x 0 come estremo destro. I particolare f (x) o coverge uiformemete su R e su (, 0]. Osserviamo ioltre che sup x<0 f (x) f(x) sup arcta x + π x<0 π quidi la successioe o coverge uiformemete su (, 0). Ivece, sup f (x) f(x) max f (x) x 0 x 0 e 0, per +, quidi la successioe coverge uiformemete su [0, + ). Esercizio 5. Per quato riguarda la covergeza putuale, abbiamo quidi la fuzioe ite è f(x). Ioltre f (x) e ( ) x, x R, + + [ sup f (x) f(x) sup e ( ) x ] e ( ) x 0, per +, x [ R,R] x [ R,R]

29 SERIE NUMERICHE E DI FUNZIONI - ESERCIZI SVOLTI 9 e quidi la covergeza è uiforme su [ R, R], R R. Ivece [ sup f (x) f(x) e ( ) x ],, x + x R e quidi la covergeza o è uiforme su R. Esercizio 6. Se a > 0, usiamo il fatto che e x 0 uiformemete su [a, ] e duque e x dx + a Se a 0 scriviamo, per u dato ε > 0 dove ε 0 e x dx ε, metre 0 e x dx ( a ε I particolare, per > N opportuo, si ha ε > 0, N tale che che è la tesi. ε 0 + e x ) dx 0 dx 0. a e x dx + e x dx, ε e x dx 0 per +. 0 ε e x dx ε, e x dx ε e duque abbiamo provato che

30 30 SERIE NUMERICHE E DI FUNZIONI - ESERCIZI SVOLTI Serie di fuzioi Esercizio. Possiamo scrivere x ( ), x quidi dobbiamo porre x 0, poiché i x 0 x applicato a ( : x) o è defiita. Usiamo il criterio della radice + x ( ) + x x. Duque la serie dei valori assoluti coverge se x < e o coverge se x >. Perciò, se x >, la serie coverge assolutamete e se x <, la serie o coverge assolutamete. Osserviamo però che x + +, se x <, quidi per il criterio ecessario di covergeza la serie o coverge se x <. Per x, quidi la serie o coverge se x. x +, per +, Cocludedo, la serie coverge putualmete e assolutamete su (, ) (, + ). Per quato riguarda la covergeza uiforme osserviamo che, se x a >, abbiamo ( x) (. a) Siccome ( a) coverge, la serie coverge uiformemete su tutte le semirette (, a] e [a, + ), co a >. Esercizio. cos x, x R. Poiché è covergete, per il criterio di Weierstrass la serie coverge assolutamete e uiformemete su R. Esercizio 3. Se x >, x + ; + se x, x ; + i etrambi i casi il termie geerale della serie o tede a 0 la serie o coverge. Per x <, proviamo che x è u ifiitesimo di ordie superiore (per esempio) a rispetto a, per +. Ifatti x e log x + + 0

31 SERIE NUMERICHE E DI FUNZIONI - ESERCIZI SVOLTI 3 la serie coverge assolutamete per x <. Osservado che, a (0, ), x x a, x [ a, a], possiamo cocludere che la serie coverge putualmete e assolutamete su (, ) e coverge uiformemete su ogi sottoitervallo chiuso di (, ). Esercizio 4. Osserviamo che x x x x { x x se x 0 x ( ) x se x < 0. Ioltre + x x ( ) x x x + quidi la serie coverge assolutamete se x < ; la serie diverge positivamete se x > ; la serie co coverge assolutamete se x <. Se x abbiamo la serie o coverge; se x, ( ) ( ) coverge, o assolutamete; se x <, poedo y x abbiamo y x x y ( y) y ( ) y ( ) y y ma + + y la serie o coverge. Abbiamo allora: la serie coverge assolutamete su (, ); coverge i x ; coverge uiformemete su [a, b] (, ), come si può osservare co Weierstrass. Esercizio 5. ( ) ( + x)x.

32 3 SERIE NUMERICHE E DI FUNZIONI - ESERCIZI SVOLTI a) Dato che (+x)x x+x > 0,, x > 0, la serie è a segi alteri. ( ) ( + x)x ( + x)x x, quidi la serie o coverge assolutamete. per +, Verifichiamo che valgoo le codizioi del criterio di Leibiz. Ifatti b (x) x + x > ( + )x + x b +(x). Quidi b (x) 0 decrescedo, x > 0, e la serie data coverge putualmete x > 0. b) Covergeza uiforme Poiché la serie o coverge assolutamete, il criterio di Weierstrass o può essere applicato. Osserviamo però che il criterio di Leibiz ci permette di stimare il resto -esimo. Detta s(x) la somma della serie: s (x) s(x) r (x) b + (x), x > 0. ( + )x + x Osserviamo ache che la fuzioe b (x) è decrescete i x. Ifatti: Possiamo allora cocludere che e sup x d dx b (x) + x (x + x < 0, x > 0. ) s(x) s (x) sup b + (x) x + 4, sup s(x) s (x) + x la serie coverge uiformemete su [, + ) Osserviamo che possiamo otteere ello stesso modo la covergeza uiforme su [a, + ), a > 0 metre lo stesso metodo o ci dà iformazioi utili per (0, + ) i quato x+x + per x 0 +. Esercizio 6. ( ) x. a) Per quato riguarda la covergeza putuale e assoluta facciamo le segueti cosiderazioi. i) Se x 0 ( ) 0 ( ) è idetermiata.

33 SERIE NUMERICHE E DI FUNZIONI - ESERCIZI SVOLTI 33 ( ) x ii) Se x > 0, x 0 per + e è decrescete i x la serie coverge x > 0 (per il criterio di Leibiz). Ioltre, se x > la serie coverge assolutamete, ifatti ( ) x ( ) x x è ifiitesimo di ordie x > rispetto a, per +. Se 0 < x, la serie coverge, ma o assolutamete, perché ha ordie di ifiitesimo rispetto a. iii) Se x < 0, pogo y x > 0 x y serie o coverge se x < 0. y + per +, pertato la Riassumedo, la serie coverge putualmete su (0, + ), assolutamete su (, + ). b) Per quato riguarda la covergeza uiforme, osserviamo che per Leibiz: Duque r (x) b + (x), x > 0,. ( ) sup r (x) sup x a>0 x a>0 ( + ) x la serie coverge uiformemete su [a, + ), a > 0. 0, per + ( + ) a (x + ) Esercizio 7.! Osserviamo che x + > 0 se > x, duque x la serie è defiita positiva. Usiamo il criterio del rapporto: e quidi a + (x) a (x) a + (x) + a (x) (x + + )+! ( + )! (x + ) (x + + ) (x + + ) ( ) x + + x + + ( x ) x + + x + + (x + ) ( + ) + x + ( + + [ x + ( + + x + e e >,! ( + )! ) x+ x+ ) x+ ] x+

34 34 SERIE NUMERICHE E DI FUNZIONI - ESERCIZI SVOLTI la serie diverge positivamete x R. Quidi l isieme di covergeza è. Esercizio 8. x + x. a) Osserviamo che x + x x, x R. Poiché la serie x coverge (o uiformemete) se x <, la serie data coverge putualmete se x <. La stessa maggiorazioe o serve se x >, perché i questo caso la serie x o coverge. Osserviamo però che + x x e duque x x + x x x. Poiché la serie ( x ) coverge se x >, abbiamo che la serie coverge putualmete ache se x >. Se x, x + x, che diverge perché il termie geerale o tede a 0. Cocludedo, la serie coverge putualmete su R \ {±}. b) Utilizzado Weierstrass abbiamo che: x se x a <, x + x a. La serie a coverge la serie coverge uiformemete su [ a, a], a (0, ). Se x a > x a < e x + x ( ) x. a Come prima, la serie coverge uiformemete su tutti gli isiemi del tipo {x x a > } per il criterio di Weierstrass. Esercizio 9. La serie è a termii positivi. Applico il criterio della radice ( ) + si x + cos ( ) + si x + cos 0 per x > 0 per x 0 + per x < 0.

35 SERIE NUMERICHE E DI FUNZIONI - ESERCIZI SVOLTI 35 La serie coverge su (0, + ) putualmete. Per vedere che o coverge uiformemete osserviamo che la fuzioe somma s(x), x (0, + ) o è itata, ad esempio su (0, ). Ifatti, sup s(x) sup x (0,) x (0,) sup sup s (x) sup s (x) x (0,) sup s (0) perché s (0) è ua fuzioe decrescete e cotiua. Perciò, essedo s (0) f (0) f (0), otteiamo sup x (0,) s(x) +. Ifie è facile vedere che coverge uiformemete su (, + ): ) x ) x ( + si + cos ( 3 essedo + si 3, + cos geq. Iolte, se 7, osservado che la serie ( ) coverge. ( 3 ) ( ( 3 ) ) e duque cocludiamo Esercizio 0. x. La serie coverge putualmete per x >. Coverge uiformemete su ( + ε, + ), ε > 0, perché, se x ( + ε, + ) e coverge. No coverge uiformemete su (, + ). x +ε +ε Mostriamo che la fuzioe somma s(x) o è itata su (, + ): s(x) + t x dt [ ] t x + x x +, per x t Esercizio. La serie derivata di + arcta(x) è + + x.

36 36 SERIE NUMERICHE E DI FUNZIONI - ESERCIZI SVOLTI Si ha + x, x R, e duque la serie derivata coverge uiformemete. Applicado il teorema di derivazioe termie e termie possiamo cocludere che la serie derivata coverge alla derivata φ (x), e quidi Posto g(x) + g(x) φ (x) + x, risulta x x Perciò φ (0) g (0) log log log. Esercizio. + + x φ (0). + x, g (x) a) Scriviamo la serie come ( ) b (x), dove x log x log ( x ). b (x) x + > 0, ed è defiita x R. Abbiamo x +, per +, e quidi la serie data o coverge assolutamete. Per quato riguarda la covergeza putuale, utilizziamo il criterio di Leibiz: b (x) 0 per + ; b (x) è decrescete i, cioè b + (x) b (x),, x. Quidi la serie coverge putualmete su R. b) Per Leibiz quidi s(x) s (x) b + (x) + ( sup s(x) s (x) x R x + ( + ), x R, + ) + e cocludiamo che la serie coverge uiformemete su R. + 0,

37 SERIE NUMERICHE E DI FUNZIONI - ESERCIZI SVOLTI 37 Serie di poteze Esercizio. a) Calcoliamo il raggio di covergeza R utilizzado il criterio del rapporto: + a + a +! ( + )! +! ( + )! + + 0, quidi R +. La serie coverge putualmete su R ed uiformemete su tutti i sottoisiemi chiusi [a, b] R. b) Calcoliamo il raggio di covergeza R utilizzado il criterio della radice: + ( ), + quidi R. Per trovare l isieme di covergeza dobbiamo aalizzare il comportameto egli estremi x ±. x o tede a 0. La serie diveta e duque o coverge perchè il termie -esimo x Abbiamo la serie ( ) che o coverge perchè o esiste + ( ). Quidi la serie coverge su (, ). c) Per il rapporto e quidi la serie coverge solo i x 0. d) si π 0, N e quidi ( + )! ( + ) + R 0, +! + quidi la serie coverge su tutto R. si π + x 0 0, x R, e) La serie è ua serie di poteze co molti termii ulli e la possiamo riscrivere come Quidi si ha + k0 a k x k, dove a k { 0 se k! se k! a k x k x k, x R.

38 38 SERIE NUMERICHE E DI FUNZIONI - ESERCIZI SVOLTI I particolare la serie coverge se x <, perché è maggiorata dalla serie geometrica covergete x. Ioltre, se x, la serie diverge assolutamete perché + x! 0. f) Per il criterio della radice + ( ) R 3. Studiamo gli estremi x ±3. x 3 ( ) ( ) 3 o coverge perchè il termie -esimo o tede a 0. x 3 ( ) ( 3) diverge positivamete. 3 Quidi la serie coverge su ( 3, 3) e coverge uiformemete sui sottoitervalli chiusi [a, b] ( 3, 3). g) Per il rapporto a + + a + ( + ) R. x + + coverge. x + ( ) coverge assolutamete. Quidi la serie coverge assolutamete e uiformemete su [, ]. h) Poedo x t otteiamo la serie di poteze radice otteiamo t. Utilizzado il criterio della R 4. + t Poiché per il criterio ecessario di covergeza , la serie diverge

39 SERIE NUMERICHE E DI FUNZIONI - ESERCIZI SVOLTI 39 t ( ) ( 4) ( ) o coverge perché o esiste La serie coverge putualmete e assolutamete per t ( 4, 4) ed uiformemete per t [a, b] ( 4, 4). Torado alla variabile x otteiamo che 4 < t < 4 4 < x < 4 x < 4 < x <, e quidi la serie coverge putualmete e assolutamete per x (, ) ed uiformemete per x [α, β] (, ). i) La serie è ua serie di poteze cetrata i x. La si può trattare come serie cetrata i 0 poedo t x. Osserviamo ioltre che cos π ( ) e duque possiamo riscrivere la serie come Co il criterio della radice otteiamo che + + ( ) 3 t. 3 R. Per t abbiamo la serie ( ) 3 ( ) 3, covergete. Per t, ( ) 3 ( ), covergete assolutamete. 3 Quidi la serie coverge per t e duque per x, cioè se x [0, ]. l) Poedo x t otteiamo la serie + ( ) ( + )3 t ed utilizzado il criterio della radice ( + ) R t 3. Per t 3, ( ) (+)3 3 ( ) + coverge per Leibiz. Per t 3, ( ) (+)3 ( 3) + diverge. Duque la serie coverge per 3 < t x 3 e cioè per 3 x 3. La serie coverge uiformemete e assolutamete su tale itervallo. Esercizio. Osserviamo che + ( 3 + ( ) ) ( )

40 40 SERIE NUMERICHE E DI FUNZIONI - ESERCIZI SVOLTI o esiste e quidi o possiamo usare il criterio della radice. Osserviamo però che ( ) k ( ) k a k 3+( ) k 4 ( ) k+ ( ) k+ a k+ 3+( ) k+. Possiamo allora suddividere la serie ella somma delle due serie ( ) k ( ) k+ a k x k + a k+ x k+ x k + x k+ 4 k0 k0 k0 e studiare la covergeza delle due serie. ( ) ( ) k x. x k k, che coverge se 4 6 k0 k0 < x 6 < 6 < x < 6 x < 6 4 < x < 4 k0. ( ) k+ x k0 k0 x ( x 4 ) k x ( ) x k, che coverge se k0 4 4 < x < 4 x < 4 < x <. Otteiamo così che la serie dei termii pari ha raggio di covergeza R 4 e la serie dei termii dispari ha raggio R. La serie somma ha perciò raggio R mi{r, R }. Ioltre la serie o coverge i x ±, quidi l itervallo di covergeza putuale e assoluta è (, ). La serie coverge uiformemete su tutti i sottoitervalli chiusi [a, b] (, ). Esercizio 3. a) Per il criterio del rapporto a + + a +! ( + )! per cui R + e la serie coverge putualmete e assolutamete su (, + ), uiformemete [a, b] (, + ). b) Detta f(x) x, sappiamo che! f (x) d dx ( x )! x ( )! x! x ( )! x!.

41 SERIE NUMERICHE E DI FUNZIONI - ESERCIZI SVOLTI 4 Le due serie soo uguali. Abbiamo allora l equazioe differeziale lieare { f (x) f(x) f(0) da cui otteiamo f(x) ke x, f(0) ke 0 k. Allora x! e x Esercizio 4. Poiamo e x t e cosideriamo la successioe f (t) + a + (3a) Studiamo il comportamete egli estremi. a 3 Se t 3, + e duque la serie o coverge. 0 < a < 3 Se t ± a, e la serie o coverge. + { a 3a 3 se a 3 a se 0 < a < 3 f (t) f (t) + + R a + (3a) (±3) a + (3a) ( ± ) ) a I coclusioe, se a 3, la serie coverge per t e x < 3 x < log 3. Se 0 < a < 3 la serie coverge per t e x < a x < log a. a +(3a) t. Abbiamo { 3 se a 3 a se 0 < a < 3. Esercizio 5. Studiamo le due serie ( ) log 3x e x. a) Criterio del rapporto + ( ) log 3( + ) ( ) log 3 + log 3( + ) log 3 quidi la serie coverge putualmete e assolutamete i (, ). R b) Criterio della radice R 3.

42 4 SERIE NUMERICHE E DI FUNZIONI - ESERCIZI SVOLTI { } Il raggio della serie somma è R mi, 3 3. Per determiare il comportameto i x ± 3, basta studiare il comportameto della secoda serie. Ifatti la prima serie coverge certamete i x ± 3, che appartegoo all itervallo di covergeza (, ). x 3 Abbiamo la serie ( ) x 3 La serie ( ) ( ) +3 Duque la serie data coverge putualmete i [ ) tutti i sottoitervalli chiusi [a, b] 3, 3. Esercizio 6. a) Usiamo il criterio della radice + ( ) che diverge. coverge per il criterio di Leibiz. ) (, assolutamete 3, 3 [ 3, 3 +, ), uiformemete i e quidi il raggio di covergeza è R. Studiamo il comportameto egli estremi. Se x abbiamo la serie ( ), covergete. Se x, abbiamo la serie ( ) ( ), che coverge assolutamete. Quidi l isieme di covergeza è l itervallo chiuso [, ]. b) Se poiamo f (x) x ( ), abbiamo e quidi f (x) f (x) x ( ) x, x x x, ed il raggio di covergeza coicide co il raggio della serie di parteza, per cui R. Negli estremi abbiamo: x, diverge; x ( ), coverge. Quidi l isieme di covergeza della serie derivata è [, ). Derivado ulteriormete da cui ( x f (x) ) x x, f (x) x x.

43 SERIE NUMERICHE E DI FUNZIONI - ESERCIZI SVOLTI 43 c) Abbiamo che ed itegrado, f (x) f (x) log( x) x x, Ifie, f(x) è la primitiva di f (x) che i x 0 vale 0; f (x)dx x, x [, ). log( x)dx. Esercizio 7. a) Possiamo scrivere ed il raggio di covergeza è R. x x x d x dx (x ) 0 x d [ ] ( ) x d x dx dx x 0 x ( x) b) Abbiamo c) ( ) x 3+3! ( ) x 3+3! x 3 ( x 3 )! [ x 3 ( x 3 ) ] (! ) x 3 e x3, R +. x ( + )! x + ( + )! x per x 0 x + x ( + )! x m x poedo m + m! m x [e x ( + x)] e x x x.

44 44 SERIE NUMERICHE E DI FUNZIONI - ESERCIZI SVOLTI Osserviamo che si può eiare la codizioe x 0 perché e x x x 0 x x + o(x ) x 0 x, che è uguale alla somma della serie per x 0. Cocludiamo che d) La serie e quidi e x x x x, x R. ( + )! + t ha raggio di covergeza R. Possiamo scrivere + t Per quato riguarda la prima serie abbiamo Studiamo la secoda: Poiché t + t t ( ) t + m t + + t m m log( t) t log( t). t t t. t per t 0 t +. poedo + m log( t) t + o(t), t 0 t 0 t la fuzioe è prolugabile per cotiuità e otteiamo log( t), t 0 + t t t 0, t 0 Esercizio 8. 3 a) La serie x (x 6) [ ] 3 è ua serie geometrica co ragioe x(x 6) Quidi coverge quado 3 x(x 6) <, cioè se 3 x(x 6). < 3 x(x 6) < x 6x + 3 > 0 e x(x 6) x 6x 3 x(x 6) > 0.

45 SERIE NUMERICHE E DI FUNZIONI - ESERCIZI SVOLTI 45 La prima disequazioe ha per soluzioe x < < x < x > 6, metre la secoda x < < x < 6 x > Quidi l isieme di covergeza della serie è l itersezioe dei due isiemi trovati, ovvero x < < x < x > La somma della serie è s(x) q, dove q 3 x(x 6), quidi s(x) 3 x 6x x 6x x 6x 3. b) La serie coverge se x ( x) ( ) x è ua serie geometrica di ragioe x x x ovvero se è soddisfatto il sistema x < 0 x x < 0 Dall uguagliaza otteiamo c) La serie coverge se < < x x <, x < x < ( ) x x x x x x ( ) x x x <. ( ) x x x x x x. x x. Quidi log x < log x > log x < log x >.

46 46 SERIE NUMERICHE E DI FUNZIONI - ESERCIZI SVOLTI La prima disequazioe equivale a log x > x > e x < e x > e, e la secoda log x < 0 x < < x < 0 0 < x <. Cocludiamo che la serie coverge i (, e ) (, 0) (0, ) (e, + ). Per quato riguarda la somma, ( ) log x log x log x ( ) log x log x log x log x. d) La serie [(3x) x ] coverge se (3x) x < < (3x) x < (3x) x < e x log 3x < x log 3x < 0, ma il domiio di f (x) [(3x) x ] è x > 0, per cui, per ogi x el domiio, Ioltre x log 3x < 0 log 3x < 0 0 < x < 3. [(3x) x ] (3x) x [(3x) x ] (3x) x (3x)x (3x) x. e) La serie coverge se 6 x (x ) < < 3 x (x ) < x 3x + 4 > 0 x x > 0. La prima è sempre verificata, metre la secoda è verificata per x < e x >. Duque la serie coverge i (, ) (, + ). La somma è [ ] 6 x (x ) 3 x (x ) (x ) x x.

47 SERIE NUMERICHE E DI FUNZIONI - ESERCIZI SVOLTI 47 Serie di Taylor e di MacLauri Esercizio. a) Poedo x ( 3) x + 3 t, otteiamo: e quidi x (x + ) (x ) (x + 3 ) t +, log( x ) log( t) log [ t ] ( ) log + log t t log log (x + 3) e duque lo sviluppo di Taylor di f(x) risulta essere log( x ) log (x + 3). Il raggio di covergeza è R, e duque la serie coverge putualmete i [ 3, 3) [ 5, ). b) Osserviamo che x+ x > 0 i u itoro di x 0 3, metre x + < 0, x < 0. Dobbiamo quidi scrivere log ( ) x + log x ( ) (x + ) log (x ) ( ) x log( x ) log( x). x Abbiamo già calcolato la serie di Taylor di log( x ). Per calcolare la serie di Taylor di log( x) possiamo procedere i modo aalogo: e quidi x x + 3 (3 + x) 4 (3 + x) 4 t, log( x) log(4 t) log 4 [ t ] ( ) 4 log 4 + log t 4 t log 4 4 log 4 (x + 3) 4. Il raggio di covergeza è R 4 e l isieme di covergeza [ 4 3, 4 3) [ 7, ). Duque log ( ) + x x (x + 3) log log 4 + ( log log log + ( 4 ) (x + 3). (x + 3) 4 ) (x + 3)

48 48 SERIE NUMERICHE E DI FUNZIONI - ESERCIZI SVOLTI c) La serie coverge dove etrambe covergoo, cioè i [ 5, ) (il raggio di covergeza è ). d) Poiché la serie di Taylor di g(x) cetrata i x 0 3 è otteuta come g () ( 3) (x + 3)! abbiamo che g ( 3) g ( 3)! 4 4 4, ( 4 ) , g ( 3) 3! ( ) ( ) 7 3. Esercizio. Osserviamo che f(x) (x )( x) è defiita per x,. I particolare il più grade itervallo coteete x 0 su cui f è defiita è (, ). Usado i fratti semplici otteiamo che (x )( x) A x + B x x + x. Cosideriamo separatamete gli sviluppi delle due fuzioi. x x x x, che coverge per x <. x ( x ) x Quidi x + x ( ) x x + + x e la serie coverge dove etrambe le serie covergoo, cioè per x <. + x, che coverge per x <. ( + ) x, Osserviamo che l uguagliaza tre la fuzioe e la serie è da iterpretarsi i modo formale; è u uguagliaza effettiva là dove la serie coverge, e cioè per x (, ). Esercizio 3. Dallo sviluppo ( ) + log( + t) t, t (, ], sostituedo t x, otteiamo log( x ) ( ) + ( x ) ( ) + ( ) x x.

49 SERIE NUMERICHE E DI FUNZIONI - ESERCIZI SVOLTI 49 Ioltre la serie coverge per < x < x < x <.

50 50 SERIE NUMERICHE E DI FUNZIONI - ESERCIZI SVOLTI Esercizi coclusivi Esercizio. Possiamo scrivere Osserviamo che + ( ) 4 + ( ) + + ( ) s s ( ) + a + a s ( ) + ( ) s ( ) ( )(+). Perciò s è decrescete. Ioltre è itata, perché s (s k s (k ) ) + s k 3 (k )(k + ) + 3, k e la serie 3 (k )(k ) è covergete. Quidi s l R. Ma siccome s + s + a +, e a + 0, risulta pure s + l. Segue che s l e duque, per defiizioe la serie coverge. Esercizio. Possiamo scrivere ( arcta( + ) π arcta( + ) π ) ed ioltre (si dimostra osservado che Allora e sostituedo ell espressioe iiziale, arcta t π arcta t, per t > 0 ( ) arcta t + arcta t 0 arcta t + arcta t cost). ( arcta( + ) π ) arcta + cos( + )π ( ) +, ( arcta( + ) π) cos( + )π Quidi la serie coverge per il criterio di Leibiz, essedo ( ) arcta No coverge assolutamete, perché a arcta + + Esercizio 3. ) ( ) ( + arcta + ( ) arcta +. ( ) arcta + decrescete e per +.

51 SERIE NUMERICHE E DI FUNZIONI - ESERCIZI SVOLTI 5 a) La fuzioe si 3x x è cotiua i (0, ], ioltre si 3x 3x, per x 0, per cui si 3x x 0 + x 3x x 0 + x 0. Quidi si 3x x è cotiua e itata i (0, ] è Riema-itegrabile. b) Dallo sviluppo i serie di MacLauri della fuzioe si t ricaviamo si 3x ( ) ( + )! (3x ) + ( ) 3 + x 4+ R + ( + )! e quidi si 3x x Sostituedo ell itegrale x ( ) ( + )! (3x ) + ( ) 3 + x 4+ x 0. ( + )! 0 si 3x dx x 0 0 ( ) 3 + x 4+ x 0 ( + )! ( ) 3 + x 4+ dx ( + )! ( ) 3 + ( + )! ( ) 3 + ( + )! [ ] x x0 I coclusioe abbiamo 0 si 3x dx x a a, co c) Se cosideriamo solo i primi tre termii abbiamo ( ) 3 + ( + )!(4 + ). s a 0 + a + a ! ! 0. Esercizio 4.

52 5 SERIE NUMERICHE E DI FUNZIONI - ESERCIZI SVOLTI ( ) + + a) Poiamo a si π ed osserviamo che ( + ) , da cui ( ) + + a si π + ( ) π si + + π ( ) π si +. La serie risulta quidi essere del tipo ( ) si + + π cos π si π + Poiché 0 π + π Osserviamo che b si,, si ha si π π + π + ( ) π si +. + a, duque la serie o coverge assolutamete. Poiché 0, e la serie è ua serie a segi alteri. 0 per +, co ordie di ifiitesimo rispetto π ( + ) + π +, e poiché si t è crescete per t [ 0, π ], abbiamo che b + si π ( + ) + si π + b,. Quidi b 0 decrescedo e possiamo applicare il criterio di Leibiz per cocludere che la serie coverge. b) L errore che si commette arrestadosi ad 00 è il resto r 00 e, per Leibiz si ha r 00 a 00 a b 0 si π 0.

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