GRAVITAZIONE UNIVERSALE E APPLICAZIONI Per la classe settima della licenza liceale europea

Transcript

1 GRAVITAZIONE UNIVERSALE E APPLICAZIONI Pe la classe settima della licenza liceale euopea A cua di Raffaele SANTORO INTRODUZIONE... LE LEGGI DI KEPLERO... LA LEGGE DI GRAVITAZIONE UNIVERSALE DI NEWTON... VERIFICHE:... 4 LA MASSA DELLA TERRA... 5 VARIAZIONE DELL ACCELERAZIONE DI GRAVITÀ DELLA TERRA... 5 SATELLITI ARTIFICIALI DELLA TERRA... 6 IMPONDERABILITÀ APPARENTE ENERGIA GRAVITAZIONALE E POTENZIALE GRAVITAZIONALE... 7 VELOCITÀ DI FUGA PROBLEMI (RISOLTI O CON RISPOSTA)... 9 Scuola Euopea di Lussembugo - A.S

2 Intoduzione Questi appunti, coispondenti al capitolo V del pogamma di Fisica pevisto pe le classi 6-7 delle Scuole Euopee, non hanno alcuna petesa di sostituisi ad uno dei tanti ottimi libi di testo in cicolazione. Il taglio paticolae della tattazione e la scelta dei poblemi poposti e/o isolti danno un idea del loo scopo pincipale: guidae gli studenti della classe settima a sostenee l esame scitto o l esame oale di Fisica della licenza liceale euopea. Inolte, i poblemi poposti non hanno alcuna petesa di oiginalità e povengono in laga pate dall achivio delle pove peliminai o di licenza liceale euopea degli ultimi anni. Alti poblemi pendono spunto da alcuni poblemi poposti nell ottimo libo di R. WOLFSON e J. M. PASACHOFF, PHYSICS with Moden Physics fo Scientists and Enginees, Hape Collins, Second Edition, 994. Popio pe aiutae gli studenti a ipetee la mateia, tutti i poblemi pesentati sono o isolti o hanno un beve suggeimento pe la isoluzione o hanno la isposta, numeica o simbolica. Luxemboug, Novembe 995 Gavitazione univesale ed applicazioni - A cua di Raffaele Santoo

3 Le leggi di Kepleo Kepleo, veso la fine del Cinquecento, ha potuto dispoe dei isultati delle ossevazioni astonomiche di Ticho Bahe cica i divesi pianeti del sistema solae. Dopo un analisi dettagliata di detti isultati, Kepleo enunciò, nel 69, le seguenti leggi: I II I pianeti uotano attono al sole lungo obite ellittiche di cui il Sole occupa uno dei fuochi. Il punto P, dell obita del pianeta, si chiama peielio, ed è il punto di minima A S P distanza del pianeta dal Sole. Il punto A, dell obita del pianeta si chiama afelio, ed è il punto di massima distanza del pianeta dal Sole. Le aee descitte dalle linee (immaginaie) che uniscono i pianeti al Sole sono popozionali ai tempi impiegati a descivele; in paticolae, in tempi uguali descivono aee uguali. In base a questa legge, avendo le due aee coloate in figua la stessa aea (peché descitte in tempi uguali), ma essendo manifestamente (aco A B ) > (aco AB), alloa il pianeta ha una velocità maggioe quando pecoe l aco A B ; in paticolae un dato pianeta ha: velocità massima al peielio, velocità minima all afelio. III Il quadato del peiodo di ivoluzione (T) di un pianeta attono al sole é popozionale al cubo della sua distanza media (R) dal sole: T kr. La costante k ha lo stesso valoe pe tutti i pianeti obitanti attono al Sole. In base a questa legge, i pianeti più lontani dal Sole hanno un peiodo di ivoluzione attono al Sole più gande. La legge di gavitazione univesale di Newton Kepleo si ea limitato a fonie la geometia del moto dei pianeti attono al Sole. Cica 50 anni dopo, Isaac Newton enunciò la legge dinamica che costinge i pianeti a muovesi attono al Sole, itovando non solo i isultati di Kepleo come casi paticolai, ma genealizzando anche la dinamica di un qualunque sistema di copi foniti di massa, sia che si tatti di copi posti sulla Tea, sia che si tatti di copi posti ovunque nell Univeso, unificando in tal modo la meccanica teeste con la meccanica celeste. In paticolae, Newton mostò che: ogni copo in moto attono al Sole con le modalità della seconda legge di Kepleo, deve essee sottoposto ad una foza dietta veso il Sole; se questa foza è invesamente popozionale al quadato della distanza del copo dal sole, alloa la sua obita è una conica (ciconfeenza, ellisse, paabola o ipebole); infine, se l obita è chiusa (ciconfeenza o ellisse), alloa il suo peiodo si calcola con la teza legge di Kepleo. Dunque una foza centale (cioè dietta veso un copo fisso ) invesamente popozionale al quadato della distanza dal cento di attazione é consistente con tutte e te le leggi di Kepleo, e, quindi, con i dati speimentali di Ticho Bahe. Inolte Newton popose che lo stesso tipo di foza obbliga: Gavitazione univesale ed applicazioni - A cua di Raffaele Santoo

4 i copi a cadee sulla Tea e la Luna a muovesi attono alla Tea; i satelliti di Giove a muovesi attono a Giove. Infine, a causa della teza legge della dinamica di Newton, la foza ta il Sole ed i pianeti, o ta una qualunque coppia di copi è ecipoca: così, anche la Tea esecita una foza sul Sole che é uguale ed opposta alla foza che il Sole esecita sulla Tea, solo che, confomemente alla seconda legge della dinamica di Newton, avendo una massa molto più gande della massa della Tea, il Sole subisce un acceleazione molto più piccola dell accelea-zione che subisce la Tea. Concludendo, si può enunciae la legge di gavitazione univesale di Newton: la foza agente fa due copi aventi masse ispettive m e m, posti a distanza, è invesamente popozionale al quadato di e diettamente popo-zionale al podotto dello loo masse: F G m m, () dove la costante di popozionalità G è una costante univesale, il cui valoe è lo stesso in tutto l univeso: G N m kg -. Veifiche: a) la legge di Newton è compatibile con la teza legge di Kepleo Si supponga un pianeta, di massa m P che obita lungo una taiettoia cicolae di aggio (pe semplificae i calcoli) con un peiodo di ivoluzione attono al sole uguale a T. Alloa la sua foza centipeta, dietta veso il Sole, é popio data dalla foza di attazione gavitazionale ta il pianeta e il Sole (la cui massa è m S ): 4π m R G m m P S P T T R 4 Gm R π, S dove la costante k 4 π é la costante di popozionalità della teza legge di Kepleo. Detta costante Gm S dipende, olte che da G, solo dalla massa del Sole; pe questo il valoe di k é lo stesso pe tutti i copi obitanti attono al Sole. b) la legge di Newton é la stessa anche se il cento di attazione non è il Sole In base alla (), l acceleazione di gavità g 0 che ha una qualunque copo di massa m sulla Tea, è tale che: mg G mm 0 R g G M () R 0 g R 0 GM, dove M é la massa della Tea e R é il aggio teeste medio. Ancoa dalla () si ha che G g R 0 () M Si considea oa la Luna (massa: m L ) obitante attono alla Tea con un peiodo uguale a T ad una distanza L dalla Tea. La foza centipeta che obbliga la Luna ad obitae attono alla Tea é fonita dalla foza gavitazionale Tea-Luna: 4 Gavitazione univesale ed applicazioni - A cua di Raffaele Santoo

5 4π m G m M L L T L [sostituendo la ()] 4 4 π 0 π 0 L T g R M M g L L, T R e sostituendo alle divese gandezze fisiche i valoi conosciuti alla sua epoca, Newton ha tovato pe g 0 un valoe compatibile con quello alloa conosciuto, il che gli pemise di concludee che la foza che obbliga la Luna ad obitae attono alla Tea é della stessa natua della foza che obbliga i pianeti ad obitae attono al Sole. La massa della Tea Nel 798 Cavendish costuì la bilancia di tosione e, con questa, poté deteminae il valoe esatto di G misuando la foza agente fa due masse conosciute. A patie dal valoe di G, mediante la () si può calcolae il valoe esatto della massa della Tea ( kg) e, mediante la (), della Luna e degli alti pianeti del sistema solae. Vaiazione dell acceleazione di gavità della Tea Sulla supeficie della Tea il valoe dell acceleazione di gavità non é costante, ma assume valoi divesi dai poli (9.8 m/s ) all equatoe (9.78 m/s ), pe due agioni fondamentali: c è una diffeenza di cica km ta il aggio equatoiale e quello polae della Tea (esponsabile di una vaiazione di 0.0 m/s nel valoe di g); a causa della otazione della Tea attono al popio asse, i copi posti all equatoe sono sottoposti ad un acceleazione centifuga, dietta estenamente alla Tea, di 0.0 m/s. In pima appossimazione si considea costante il valoe di g sulla supeficie della Tea e si pone g m/s. Estenamente alla Tea, il suo valoe è invesamente popozionale al quadato della distanza dal cento della Tea. Infatti un copo di massa m, posto a distanza dal cento della Tea, ha, ispetto alla Tea un peso mg dato da: mg G mm g G M, da cui si vede che il valoe di g é nullo solo quando la distanza del copo dal cento della Tea diventa infinito (aggio d azione infinito del campo gavitazionale). In ealtà si considea nullo, quando il suo valoe diventa tascuabile e difficilmente misuabile. Gavitazione univesale ed applicazioni - A cua di Raffaele Santoo 5

6 Intenamente alla Tea, il valoe di g aumenta lineamente con la distanza dal cento della Tea (si omette la dimostazione), fino ad assumee il suo valoe massimo g 0, sulla supeficie della Tea. La figua di sotto illusta la dipendenza di g, acceleazione di gavità teeste, in funzione della distanza dal cento della Tea. g g 0 R Satelliti atificiali della Tea Come aveva pevisto Newton, lanciando un copo dalla cima della più alta montagna sulla Tea, il copo, man mano che la sua velocità oizzontale di lancio aumenta, pecoeà una distanza via via maggioe pima di cadee a Tea. Aumentando sufficientemente questa velocità, il copo lanciato non toccheà mai Tea e si metteà in obita attono ad essa. In ealtà il copo continua a cadee, in quanto si muove più vicino alla Tea, a causa della gavità, di quanto faebbe se, in assenza di questa, si muovesse in linea etta. L acceleazione centipeta, pesente a causa del cambiamento continuo della diezione della velocità, viene causata popio dalla foza di gavità, esattamente come si é già visto pe il moto dei pianeti intono al Sole e della Luna intono alla Tea. Oggi si mettono in continuazione dei satelliti in obita attono alla Tea, pe scopi divesi: telecomunicazioni, pospezioni idogeologiche, militai. Indicando con m la massa del satellite e con la sua distanza dal cento della Tea, la sua velocità costante v è tale che la foza centipeta del satellite é uguale alla foza gavitazionale Tea-satellite, dunque: m v () G mm GM v, da cui isulta che la velocità del satellite é invesamente popozionale alla adice quadata della sua distanza dal cento della Tea: più lontano é il satellite dal cento della Tea, più piccola saà la sua velocità tangenziale. L ultima espessione della velocità consente anche di calcolae il peiodo T del satellite in funzione di. Si ha: Centipeta o centifuga? Pe evitae la confusione che spesso si fa a poposito della foza centipeta e/o della foza centifuga, bisogna pecisae che: pe un ossevatoe in un sistema ineziale e non solidale con il copo in otazione, quest ultimo é sottoposto a foza centipeta pe un ossevatoe solidale con il copo in otazione, quest ultimo e l ossevatoe stesso sono sottoposti a foza centifuga le due foze non sono mai pesenti contempoaneamente pe uno stesso ossevatoe. π T π v e, com ea da aspettasi, il peiodo T aumenta con. GM 6 Gavitazione univesale ed applicazioni - A cua di Raffaele Santoo

7 La tabella a lato (h é l altezza del satellite ispetto alla supeficie della Tea) mosta alcuni valoi tipici pe la velocità e pe il peiodo dei satelliti atificiali della Tea, al vaiae della loo distanza dal cento della Tea. I satelliti della Tea con obita equatoiale e con peiodo T 4 oe si dicono satelliti geostazionai, e vengono utilizzati innanzitutto pe le telecomunicazioni. Come si vede dalla tabella l altezza di questi satelliti deve essee compesa ta 0000 e km al disopa della supeficie teeste. In effetti, isolvendo l ultima equazione (con T s s) ispetto ad, si ottiene il aggio di ivoluzione pe un satellite geostazionaio: ( ) GMT π 4π che coisponde ad un altezza di cica 6000 km sopa l equatoe. 4 4 h (km) (km) v (km/s) T (oe) ,85, ,56, ,, ,07, ,94 5, ,89, , 9, ,9 7,59 7 m 4. 0 m, Un insieme di satelliti geostazionai, oppotunamente distanziati, iesce a copie, pe le telecomunicazioni, tutta la supeficie della Tea. Impondeabilità appaente Spesso si vede, in televisione, che uomini ed oggetti pesenti in un satellite atificiale della Tea siano volanti e si ha l impessione che siano pivi di peso. In ealtà, il satellite e tutti i copi in essi contenuti, cadono continuamente veso la Tea e sono sottoposti alla foza centipeta fonita dall attazione teeste che, comunque, subiscono. Questa attazione, peò, pe via della legge dell inveso del quadato della distanza, é molto più piccola che sulla Tea. Inolte, se si povasse a pesae una pesona, in obita con la stazione obitante, mediante una bilancia pesa-pesone, il esponso della bilancia saebbe un peso nullo, in quanto sia la bilancia che la pesona sono sottoposti alla stessa acceleazione centipeta dietta veso il cento della Tea. In ealtà sia la pesona, che la bilancia, che l intea astonave hanno un peso ispetto alla Tea. L unico punto in cui è nullo il peso eale di un astonave e di tutti i copi ivi contenuti é un punto che si tova sulla congiungente Tea-Luna, tale che il peso di un dato oggetto ispetto alla Tea é uguale al peso dell oggetto ispetto alla Luna: solo che, vettoialmente, la loo somma è nulla! 4 Enegia gavitazionale e potenziale gavitazionale Pe allontanae un copo di massa m dalla supeficie teeste bisogna eseguie un lavoo pe vincee la foza attattiva ta il copo e la Tea. Se inizialmente il copo si tova in P, ad una distanza dal cento della Tea ed alla fine in P, ad una distanza é, il lavoo ichiesto é dato da: L Fd G mm d GmM GmM ; se <, il lavoo L é positivo ed aumenta l enegia potenziale del copo ispetto alla Tea. Da notae che il lavoo calcolato sopa è indipendente dal cammino pecoso ed è lo stesso anche se i due punti consideati non sono allineati con il cento della Tea: basta dividee il cammino da P a P in tatti che sono allineati con il cento della Tea e paalleli alla supeficie della Tea. Pe questi ultimi tatti il lavoo è sempe nullo in quanto la foza peso é pependicolae allo spostamento; esta non nullo solo il lavoo pe i tatti allineati con il cento della Tea e dunque il calcolo pecedente conseva la sua genealità. I campi di foza pe cui il lavoo compiuto non dipende dal cammino pecoso si chiamano campi consevativi. Gavitazione univesale ed applicazioni - A cua di Raffaele Santoo 7

8 Se si intoduce la funzione: W( ) G mm, che espime l enegia potenziale gavitazionale, ispetto alla Tea, di un copo di massa m posta ad una distanza dal cento della Tea, l espessione pecedente del lavoo si scive: ( ) ( ) L W W, in modo che si può calcolae il lavoo da eseguie come diffeenza ta enegia potenziale finale ed enegia potenziale iniziale del copo. Dall espessione di W( ) isulta che l enegia potenziale di un copo aumenta all aumentae di e diventa nulla quando diventa infinito: W( ) 0. Questo é anche il valoe massimo di W; quindi, pe distanze finite, l enegia potenziale gavitazionale di un copo é sempe negativa. L enegia totale di un copo (ad esempio il satellite del paagafo pecedente) é uguale alla somma della sua enegia cinetica e della sua enegia potenziale: E E W mv G mm G mm G mm G mm tot c + W Dalla () del paagafo pecedente si ha: mv Il isultato pecedente é molto impotante ed estemamente semplice: l enegia totale di un copo obitante nel campo gavitazionale della Tea (o di qualunque alto copo celeste) é uguale alla metà della sua enegia potenziale cambiata di segno! Spesso si intoduce, in analogia con quanto si fa pe il campo elettostatico (fomalmente simile a quello gavitazionale), una nuova gandezza fisica che coisponde all enegia potenziale ifeita all unità di massa: W( ) U ( ) G M m Questa nuova gandezza si chiama potenziale gavitazionale, indipendente, come si vede, dalla massa m del copo che si pone in un deteminato punto dello spazio che ciconda la Tea (o di qualunque alto copo dotato di massa): infatti IL POTENZIALE GRAVITAZIANALE DELLA TERRA IN UN DETERMINATO PUNTO DIPENDE SOLO DALLA MASSA DELLA TERRA E DALLA DISTANZA DEL PUNTO DAL CENTRO DELLA TERRA. L espessione del lavoo, vista pima, si può così espimee in funzione del potenziale gavitazionale: [ ( ) ( )] L m U U. G mm Velocità di fuga Si sa pe espeienza che, lanciando un copo veso l alto con una deteminata velocità, il copo salià pe una ceta altezza pima di icadee a Tea. Questa altezza saà tanto più gande quanto più gande saà la sua velocità di lancio. Esiste una velocità di non itono del copo? Cioè tale che il copo, una volta lanciato dalla Tea iesca a fuggie dal campo gavitazionale teeste fino a distanza infinita. La isposta alla domanda é affemativa e la velocità minima pe cui la cicostanza si veifica si chiama velocità di fuga. 8 Gavitazione univesale ed applicazioni - A cua di Raffaele Santoo

9 In effetti, peché il copo possa aivae all infinito, deve avee un enegia cinetica tale che la sua enegia totale sia uguale a zeo (enegia minima pe aivae all infinito con enegia cinetica esidua nulla e con enegia potenziale nulla). Dunque, indicando con v f la velocità di fuga del copo, deve essee: mv f + G mm R 0 GM v f. R Sostituendo i valoi di G e di M, si tova v f. km/s. Su alti pianeti o copi celesti la velocità di fuga ha valoi divesi in quanto cambiano M e R. Se il copo é già in obita attono alla Tea ad una distanza dal suo cento, ancoa la sua enegia totale deve essee almeno uguale a zeo; dunque: mv ' f + G mm 0 v ' f GM. 5 Poblemi (isolti o con isposta) Un astonauta a passeggio sulla Luna é sottoposto contempoaneamente alla foza gavitazionale della Tea ed alla foza gavitazionale della Luna. Confontae le due foze a patie dai seguenti dati: Massa della Tea: M kg Massa della Luna: M L kg Distanza Tea-Luna: d m Raggio lunae: R L m Soluzione: Si calcola diettamente il appoto ta le due foze: G mm L F ( d L L L ) M L ( ) F G mm 596, 4 T L M ( ) ( d L ) il che autoizza, paticamente, a tascuae la foza gavitazionale della Tea sull astonauta. Con i dati del poblema pecedente deteminae a quale distanza dal cento della Tea un copo di massa m, posto sulla congiungente Tea-Luna, non é sottoposto ad alcuna foza. [Suggeimento: Indicae con x la distanza ichiesta, alloa d - x é la distanza del punto ichiesto dal cento della Luna.... Si tova x 0.9 d m] Duante la missione Apollo, un astonauta estò sul modulo di comando in obita attono alla Luna ad un altezza h 0 km, mente gli alti astonauti della missione esploavano la supeficie della Luna. Il modulo passava metà del suo tempo dieto la faccia nascosta della Luna e, duante questo tempo, inteom-peva completamente le comunicazioni con la base a Tea e con gli alti astonauti sulla Luna. Calcolae la duata di questo intevallo di tempo. Soluzione: Il tempo ichiesto é uguale alla metà del peiodo di ivoluzione T del modulo attono alla Luna. Indicando con m la massa del modulo, pendendo i dati mancanti dal poblema pecedente e ponendo R L + h (.74+0.) 0 6 m m, si ha: Gavitazione univesale ed applicazioni - A cua di Raffaele Santoo 9

10 4π m G mm L T T π π GM L ( ) s 757 s oe Dunque il modulo obitante attono alla Luna esta dieto la faccia nascosta della Luna pe cica oa. 4 Deteminae il peiodo del telescopio spaziale Hubble, obitante attono alla Tea ad un altezza di 60 Km. Risposta: T 580 s oa 7 minuti. 5 Deteminae la distanza dal cento del Sole di un satellite eliostazionaio. Sono dati: Massa del Sole: M S kg Raggio medio solae: R S m Peiodo di otazione del Sole (all equatoe) attono al popio asse: T 7 gioni Risposta: m ( 7% della distanza Tea-Sole) 6 Dimostae che l enegia potenziale di un copo vicino alla supeficie teeste é dato da mg 0 h, dove m é la massa del copo ed h la sua altezza ispetto alla supeficie teeste. Soluzione: Sia + h e sia anche R (aggio teeste). Si ha: E U( ) U( ) G mm G mm GmM GmM p m G M R h mg h 0. 7 La velocità del pianeta Mecuio vaia, sulla sua obita ellittica, da 8.8 km/s all afelio a 59.0 km/s al peielio. Se, all afelio, il pianeta si tova a m dal Sole, quale saà la sua distanza dal Sole al peielio? [Suggeimento: impoe l uguaglianza dell enegia meccanica totale di Mecuio ispetto al Sole, nelle due posizioni...; si toveà una distanza al peielio uguale a m] 8 Un satellite di massa m S 8500 kg descive un obita cicolae attono alla Tea ad un altezza h 00 km. a) Calcolae il peiodo di ivoluzione del satellite. b) Calcolae l enegia necessaia a potae il satellite sulla sua obita. c) Calcolae l altezza che deve avee il satellite peché il suo peiodo addoppi. d) Calcolae la foza che la Tea esecita su una biglia di massa m 00 g ad un altezza h 00 km sulla sua supeficie. e) Se un astonauta lascia la biglia libea, questa semba non muovesi. L astonauta conclude che la biglia non ha né peso né acceleazione. Cosa si può die a questo poposito? Dati numeici: Costante gavitazionale G Nm kg - Massa della Tea m T kg Raggio della Tea R T m Soluzione: a) Con un obita cicolae, la foza centipeta necessaia è fonita dalla foza di attazione gavitazionale ta il satellite e la Tea. Se M e R sono ispettivamente la massa e il aggio della Tea, m la massa del satellite, h la sua altezza sulla supeficie della Tea e T il suo peiodo, si ha: 0 Gavitazione univesale ed applicazioni - A cua di Raffaele Santoo

11 4π m ( R + h) G mm T ( R + h) e, numeicamente: T π ( R + h) GM ( ) Gavitazione univesale ed applicazioni - A cua di Raffaele Santoo 6 6 m s T s 555 s h b) L enegia da fonie al satellite è uguale all enegia totale del satellite nella sua obita meno l enegia totale del satellite sulla Tea (tascuando gli attiti con l atmosfea e il caloe dispeso dai motoi): E G Mm mv G Mm G Mm G Mm ob R + h + R + h + R + h ( R + h) E E E G Mm G Mm mv G Mm G Mm ob tea + st + ( R + h) R ( R + h) R Si tascua l enegia cinetica del satellite a Tea! GMm GMm R + h R ( R + h ) R( R + h) Numeicamente: E R + h c) T π ( ) R + h e T π ( ), quindi: GM GM ( R + h ), 6 6 J.08 0 J. T 4( ) h R + h R. T ( R + h) Numeicamente: h 5647 km d) Si ha: F N N. 6 ( ) e) La biglia ha cetamente un peso, uguale alla foza di attazione gavitazionale esecitata dalla Tea e calcolata in pecedenza. La foza peso è la foza che obbliga la biglia a seguie una taiettoia cicolae attono alla Tea, cosa che fa pue l astonauta. Quindi la biglia semba fema ispetto all astonauta. 9 Il telescopio spaziale Hubble ha una massa di tonnellate ed ha bisogno di essee manovato da un astonauta. La navicella si tova nella sua obita a 584 km sopa la supeficie della Tea, ed il telescopio è a cica 0 meti da essa. Si può suppoe che la metà del combustibile della navicella sia stata consumata e che la sua massa, in queste condizioni, sia di 50 tonnellate. a) Calcolae l attazione gavitazionale ta telescopio e navicella spaziale (pe il calcolo si può suppoe che siano entambe delle sfee unifomi). b) Calcolae il peiodo di otazione della navicella e la sua velocità obitale, supponendo che l obita sia cicolae. c) Calcolae la foza costante necessaia pe ipotae il telescopio sulla navicella, facendogli pecoee la distanza di 0 meti in un tempo di minuti (suppoe che la navicella esti fema). d) Se si applica semplicemente una foza attattiva ta la navicella e il telescopio come quella calcolata sopa, cosa dovebbe succedee in effetti duante i te minuti? Si ichiede una descizione qualitativa, senza calcoli dettagliati. e) Discutee le affemazioni che seguono, dicendo se si è d accodo, o se si hanno delle iseve e peché: i) L enegia totale della navicella in obita é maggioe della sua enegia totale nella base di lancio pima della patenza da Tea. ii) La navicella non dovebbe consevae metà del suo combustibile pe il viaggio di itono, dovebbe bastane molto meno. iii) Gli astonauti sono veamente senza peso quando sono in obita?

12 Soluzione: a) Si ha: F N. 7 0 N. 0 b) Con un obita cicolae, la foza centipeta necessaia è fonita dalla foza di attazione gavitazionale ta la navicella e la Tea. Se M e R sono ispettivamente la massa e il aggio della Tea, m la massa della navicella, h la sua altezza sulla supeficie della Tea e T il suo peiodo, si ha: m R h G mm 4π ( R + h) T T ( + ) π, ( R + h) GM e, numeicamente: ( ) 6 6 m s T 6. 8 s 5769s h Inolte: v π ( ) T R + h v 6. 8 ( ) m / s 7.57 km / s. c) Tattandosi di un moto unifomemente acceleato, la cui acceleazione é data da (d indica la distanza del telescopio dalla navicella): a d/t, pe la foza necessaia a potae il telescopio sulla navicella nel tempo t, si ha: md F ma, da cui, numeicamente: t F N 6.8 N. ( 8. 0 ) d) Saebbe catastofico pe il telescopio (e pe la navicella) in quanto il telescopio aiveebbe con una velocità notevole (cica 0. m/s) pe la massa del telescopio che danneggeebbe le appaecchiatue elettoniche delicatissime. Dunque l opeazione, in ealtà, dovebbe duae molto di più (con una foza minoe) pe idue la velocità finale del telescopio ed il ischio dell opeazione. e) i) Cetamente l enegia meccanica (cinetica + potenziale) totale della navicella in obita è maggioe della sola enegia potenziale meccanica della navicella pima della patenza da Tea. Ma questa enegia supplementae è stata fonita al satellite dal consumo di una ceta quantità di combustibile, la cui combustione non solo ha fonito enegia meccanica supplementae al satellite in obita ma é anche sevita a scaldae i motoi e a podue caloe nell atmosfea. Dunque l enegia totale (meccanica + chimica) della navicella è maggioe a Tea che in obita. ii) Si! In effetti è sufficiente meno combustibile, peché, duante la fase di itono, da una pate c è la foza gavitazionale attattiva che seve a fa scendee la navicella senza consumae combustibile, dall alta l atmosfea seve anche a fenae la stessa navicella. In compenso, la vaiazione, di segno opposto, della enegia meccanica totale è la stessa che duante la fase di salita. iii) No! La foza peso esiste ancoa, anche se molto idotta ispetto a quella esistente sulla supeficie teeste, ed è quella necessaia a fonie la foza centipeta all obita cicolae del sistema navicella + astonauti. D alta pate, se il sistema fosse senza peso il suo moto saebbe ettilineo e unifome! 0 Un pianeta senza atmosfea, di foma sfeica e diameto uguale a km, uota su se stesso con un peiodo di otazione uguale a 0 oe. Se si getta un oggetto veso l alto con una velocità veticale uguale a 0 m/s, l oggetto impiega 5 secondi pe itonae al punto di patenza. a) Calcolae la massa totale e la densità dl pianeta. b) Calcolae la foza d attazione del pianeta su una massa di kg. c) Quali sono le caatteistiche delle obite pianeto-stazionaie? Quale utilità hanno dette obite? d) Calcolae la distanza ta la supeficie del pianeta e l obita pianeto-stazionaia. e) Calcolae l enegia che bisogna fonie ad un satellite pe mettelo su un obita pianeto-stazionaia, a patie dalla supeficie del pianeta consideata a iposo, se la massa del satellite é uguale a 000 kg. Gavitazione univesale ed applicazioni - A cua di Raffaele Santoo

13 f) Calcolae la velocità di fuga dal pianeta.[si icoda che la velocità di fuga é la velocità iniziale minima che bisogna fonie ad un copo, a patie dalla supeficie del pianeta, consideato femo, pe sottalo alla attazione gavitazionale del pianeta stesso.] Soluzione: a) Sia g G M R la gavità sulla supeficie del pianeta (dove R è il aggio del pianeta ed M la sua massa). Si può suppoe che g sia costante in possimità della supeficie del pianeta (come vicino alla supeficie della Tea).Essendo il tempo di salita dell oggetto uguale al suo tempo di discesa (dunque entambi uguale a.5 s), si ha: G M R v vr M t G t, ( ) Numeicamente: M kg.8 0 kg (e g m/s ) essendo v (0-0) m/s 0 m/s la vaiazione di velocità dell oggetto lanciato e t.5 s l intevallo di tempo duante il quale avviene tale vaiazione di velocità. 7 La densità d del pianeta è data da: 5 M d 8. 0 kg / m kg / m. 4 4 πr π 0 b) F mg N c) Le obite geostazionaie devono essee delle obite equatoiali tali che il peiodo di otazione di satelliti obitanti su queste obite sia uguale al peiodo di otazione del pianeta attono al popio asse: in tal modo, i satelliti sono appaentemente immobili ispetto al pianeta. Il vantaggio pincipale dei satelliti obitanti su queste obite è quello di consentie la tasmissione di onde elettomagnetiche (in paticolae: segnali adio, TV, ecc.) ta due punti del pianeta abbastanza distanti ta di loo. d) Imponendo che la foza centipeta del satellite è uguale alla foza gavitazionale ta pianeta e satellite, si ha: ( ) G Mm s 4π GMT ms m T 4π 4π, dove è la distanza ichiesta, T il peiodo di otazione del pianeta (e del satellite pianeto-stazionaio) e m s è la massa del pianeta. e) L enegia da fonie al satellite é uguale alla diffeenza ta l enegia totale del satellite sulla sua obita e l enegia potenziale del satellite sul pianeta (si tascua l enegia cinetica del satellite sul pianeta, enegia dovuta alla otazione del pianeta attono al popio asse): E G Mm G Mm s s GMms R R 5 E J.5 0 J. 0 f) La velocità di fuga v f del satellite dal pianeta è tale che l enegia totale del satellite sul pianeta è almeno uguale all enegia totale del satellite all infinito (tale enegia all infinito è uguale a zeo): m v G Mm s GM s f + 0 vf R R v f 7 m / s 5.5km / s. 0 5 Gavitazione univesale ed applicazioni - A cua di Raffaele Santoo

14 Nel luglio 99, il pianeta Giove é stato utato dalla cometa SHOEMAKER-LEVY 9. La massa della cometa é stata stimata uguale a kg. All apogeo, il 4 luglio 99, la distanza della cometa dalla supeficie di Giove ea uguale a m. Giove Obita di Scopeta della cometa Uto con Giove 6- Luglio Obita della cometa SHOEMAKER - Apogeo - 4 Luglio a) Mostae che la velocità della cometa, pe estae in un obita cicolae attono a Giove ad una distanza di km dalla sua supeficie, avebbe dovuto essee uguale a.59 km/s. b) Siccome la cometa non ea in un obita cicolae, la sua velocità non ea uguale a.59 km/s. Spiegae se la velocità ea minoe o maggioe di.59 km/s. c) Calcolae l enegia potenziale della cometa il 4 luglio 99. d) Calcolae la velocità con cui la cometa ha utato Giove (pendee uguale a 0 la velocità della cometa il 4 luglio 99). e) Volendo sapee se l obita di Giove attono al Sole dopo l uto é cambiata, si dovebbe calcolae la velocità di Giove sulla sua obita pima dell uto. i) Calcolae questa velocità. ii) Quale legge fisica bisogneebbe usae pe calcolae la vaiazione della velocità di Giove a causa dell uto? iii) Mostae, senza calcoli, che la vaiazione di velocità é paticamente nulla (suppoe che l uto sia centale e totalmente anelastico e che le velocità della cometa e di Giove abbiano la stessa diezione). Sono dati: Costante di gavitazione univesale: G Nm kg - Massa di Giove: M kg Raggio di Giove: R m Distanza Tea-Sole: d m Soluzione: a) Imponendo l uguaglianza della foza centipeta della cometa e della foza gavitazionale che Giove esecita sulla cometa, si ha: m v G Mm C GM C v R + h ( R + h) R + h v 7 0 m / s.59 km / s b) All apogeo, in base alla seconda legge di Kepleo (quella delle aee), la velocità è minima e, quindi, infeioe alla velocità calcolata in a), che può essee consideata come se fosse la velocità media della cometa attono a Giove. c) E G Mm 7 7 C p E p J.6 0 J 7 0 R + h d) Con l appossimazione suggeita nel testo del poblema, l enegia cinetica della cometa su Giove é uguale alla vaiazione dell enegia potenziale della cometa che passa dalla sua obita alla supeficie di 4 Gavitazione univesale ed applicazioni - A cua di Raffaele Santoo

15 Giove: mcv' GMmC v' GM R + h R R R + h 7 v' m / s 59.5 km / s e) i) Pe la teza legge di Kepleo (quella dei peiodi), indicando con T, il peiodo di otazione di giove attono al Sole, si ha: T' d T T T d πd πd πd d ' v G d d T' T d d T d d d π vg m / s km / s ii) Il pincipio della consevazione della quantità di moto, supponendo che sia isolato il sistema Giove-cometa. iii) La vaiazione della velocità di Giove dipende dal appoto ta la massa della cometa e la massa di Giove. Obene tale appoto é estemamente piccolo (cica.5 0-0!) e la velocità di Giove paticamente non cambia: mc v Mv m v Mv m v M m v v M v G ' G C ' G C ' ( + C ) ' G ' G vg. M + m m C C + M Un buco neo é un copo celeste talmente denso che la velocità di fuga ad esso elativa supea la velocità della luce (c m/s): in tal modo, neanche la luce iesce a sfuggivi. Sebbene una tattazione teoica completa dei buchi nei ichieda la teoia della elatività geneale, l odine di gandezza del aggio di un buco neo avente una data massa può essee calcolato usando la meccanica classica di Newton. a) Mostae che il aggio R di un buco neo di massa M è uguale a GM. c b) Utilizzando la fomula pecedente, calcolae il aggio di un buco neo la cui massa é uguale alla massa i) della Tea (M kg); ii) del Sole (M kg) c) Se la massa di un neutone è kg ed il suo aggio é. 0-5 m, confontae la densità dei neutoni con quella del Sole-buco neo. Risposta: b) i) 8.8 mm; ii).9 km. c) Il Sole-buco neo ha una densità cica 78 maggioe del neutone! In effetti, si può dimostae che il Sole, come stella di neutoni, avebbe un aggio di cica km. Licenza liceale euopea 986 (Poblema I) A. Si considea un satellite di comunicazioni geostazionaio. a) Caatteizzae, ispetto alla Tea supposta sfeica e omogenea, il piano dell obita cicolae del satellite. b) A quale altezza h si muove il satellite? c) Qual é la sua velocità lineae v? B. Si effettua una coezione di taiettoia: il satellite isulta alloa collocato su un obita cicolae, all altezza h, infeioe alla pecedente. Su questa taiettoia il satellite si sposta più apidamente. Gavitazione univesale ed applicazioni - A cua di Raffaele Santoo 5

16 a) Spiegae l aumento di velocità lineae. b) Il satellite passa dall obita cicolae di aggio R km a quella di aggio R km. La massa del satellite é di 00 kg. i) Calcolae la vaiazione di enegia totale del satellite, nel campo gavitazionale teeste, conseguente al cambiamento di obita. ii) Calcolae la vaiazione v della velocità del satellite. Dati: Costante di gavitazione: G m kg - s - Massa della Tea: M kg Raggio della Tea: R km Gionata sideale: 8664 s Risposta: A. a) Moto nel piano equatoiale. b) h 5794 km. c).075 km/s B. b) i) J ; ii) 0.5 km/s. 4 Licenza liceale euopea 987 (Poblema I) a) All istante t 0 0 e con velocità iniziale v m/s, un copo viene lanciato in diezione veticale veso l alto, a patie dalla supeficie di un ceto pianeta. Questo pianeta si suppone sfeico e omogeneo, di aggio R e di massa M. Il copo icade al punto di patenza all istante t 5.00 s. Supponendo che il campo gavitazionale sia costante nella egione del moto consideato, calcolae l intensità g 0 del campo gavitazionale alla supeficie del pianeta. b) Dalla supeficie del pianeta pedetto, un copo viene lanciato in modo da fane un satellite in moto su un obita cicolae di aggio. i) Mediante la legge di gavitazione univesale mostae che l intensità del campo gavitazionale g in un punto geneico dell obita del satellite è data dalla fomula g g R 0. ii) Stabilie, in funzione di R, e g 0, l espessione del valoe v della velocità del satellite e quella del valoe T del peiodo. Dedue la costanza del appoto T. iii) Nell ipotesi costituita da T s,.95 0 km e dal isultato del quesito a), deteminae il aggio R e la massa M del pianeta. c) Deteminae, infine, la velocità minima con la quale il copo deve essee lanciato peché possa sfuggie all attazione del pianeta consideato. Si dà: costante di gavitazione univesale: G N m kg - Risposta: a) g 0.6 m/s. b) iii) R m, M kg (il pianeta é la Luna). c) v 0 65 m/s 5 Licenza liceale euopea 99 (Poblema I) Nella isoluzione di questo poblema ai potà assimilae la Tea ad una sfea omogenea di aggio T e di massa m T e si potà inolte tascuae la esistenza dell aia. 6 Gavitazione univesale ed applicazioni - A cua di Raffaele Santoo

17 a. Un copo di massa m deve essee spostato nel campo di gavitazione teeste da un punto P a un punto P situati ispettivamente a distanza e dal cento della Tea. P P i) Mostae che il lavoo effettuato duante questo spostamento è W GmmT. ii) Un satellite di massa m 000 kg deve essee spostato dalla supeficie della Tea fino all infinito. Calcolae il lavoo necessaio pe questo spostamento. b. A patie dalla supeficie della Tea, un copo C é lanciato veticalmente veso l alto con una velocità iniziale di modulo v 0. Tv 0 i) Mostae che la massima altezza aggiunta h max é data da hmax, dove g 0 é l intensità g0t v0 della gavità sulla supeficie della Tea. ii) Il copo C é lanciato con v km/s. Calcolae l altezza massima aggiunta dal copo C. c. Un satellite si muove su una taiettoia cicolae intono alla Tea., all altezza h km. Calcolae: i) la sua velocità v; ii) il suo peiodo T. Sono dati: Costante di Gavitazione: G m kg - s - Massa della Tea: m T kg Raggio della Tea: T km Intensità della gavità: g m s - Risposta: a. ii) J; b. ii) h max.58 0 km; c. i) v m/s, ii) T 5h 47 min. 6 Licenza liceale euopea 99 (Poblema I) a) Alcuni pianeti gavitano intono ad un copo celeste C di massa M C. Si consideano due di questi pianeti, P e P di masse ispettive m e m ; essi descivono intono al copo C obite cicolai di aggi ispettivi e, con peiodi ispettivi T e T. Mostae, a patie dalla legge di gavitazione univesale o legge di Newton, che:. T T Gavitazione univesale ed applicazioni - A cua di Raffaele Santoo 7 b) Un veicolo spaziale, la cui massa è m kg e la cui velocità iniziale può consideasi nulla, si diige veso il copo C di massa M C kg e di aggio R C m. Si suppone che questo veicolo, che pecoe una distanza molto gande, sia soggetto solo alla gavitazione del copo C. Calcolae: i) l intensità g 0 del campo gavitazionale alla supeficie di C; ii) il modulo della velocità del veicolo spaziale quando questo aiva sulla supeficie di C; confontalo con il modulo della velocità di fuga

18 c) Ci si popone di ealizzae, sulla supeficie di uno dei pianeti dove l intensità del campo gavitazionale é g 0.0 m/s, la seguente espeienza. Un estemo di un filo inestensibile, di massa tascuabile, é fissato ad un punto P, mente all alto estemo é agganciata una sfea di piombo S, di massa m S 5.00 kg e di cento O. Inizialmente il filo é teso, PO.00 m, la sfea S si tova sulla veticale al di sopa di P e viene lanciata con una velocità iniziale oizzontale di modulo v S 5.00 m/s. S descive alloa una semiciconfeenza e viene ad utae fontalmente una sfea S a iposo, di cento di massa Q e di massa m S 0.0 kg. Se l uto é pefettamente anelastico, a quale altezza h al di sopa di Q isale l insieme delle due masse appaiate? Data: costante di gavitazione univesale G m kg - s -. Risposta: b) i).0 m/s, ii) m/s (é la velocità di fuga); c) 8.6 cm. 7 Licenza liceale euopea 995 (Poblema I) Nella tattazione di questo poblema, si considei Giove come una sfea omogenea e si tascui ogni attazione divesa da quella di Giove stesso. Due sonde spaziali, S e S, di centi ispettivi C e C, di massa m 00 kg ciascuna, sono lanciate dalla Tea veso Giove, la cui massa é M. S deve essee collocata su un obita cicolae intono a Giove, mente S deve essee deviata veso Satuno (il pianeta successivo) dall attazione gavitazionale di Giove. In un ceto istante del loo pecoso, C e C occupano le posizioni indicate dalla figua. v v C C.O Giove Rispetto a Giove, C e C possiedono la stessa velocità v v, diezione pependicolae alla etta passante pe C, C e pe il cento O di Giove. Le distanze di C e C da O sono ispettivamente d 8,5 0 7 m e d, m. Le sonde non utilizzano più alcun mezzo di populsione. a. S descive una taiettoia cicolae di aggio d. Mostae che: i) il modulo della velocità v é v, m.s - ; ii) il suo peiodo di ivoluzione T é dato da: T d π. G M b. Deteminae l espessione letteale dell enegia meccanica totale del sistema Giove-sonda S. Dedune l enegia supplementae che si dovebbe fonie a S affinché la sua obita sia stazionaia (peiodo di ivoluzione di S uguale al peiodo di otazione di Giove intono al popio asse). c. i) Mostae che S non é cattuata da Giove. ii) In un alto istante, C si tova alla distanza d ' 5, m dal cento O di Giove. Calcolae il valoe del modulo v ' della sua velocità v '. 8 Gavitazione univesale ed applicazioni - A cua di Raffaele Santoo

19 Sono dati: Massa di Giove: M, kg; Peiodo di otazione di Giove: T, s; Costante di gavitazione univesale: G 6, N.m.kg -. Risposta: a. i) m/s; b J; c. ii). 0 4 m/s 8 Nella tattazione di questo poblema il Sole ed i pianeti potanno essee consideati come sfee omogenee. Si icoda che due copi, di masse ispettive m e m, i cui centi di massa hanno distanza d, esecitano l uno sull alto una foza attattiva, dietta secondo la congiungente i centi, la cui intensità é: F G m m d dove G é la costante di gavitazione univesale. a. Si considea il sistema Sole-Tea e si tascua l influenza di tutti gli alti pianeti. i) Sulla supeficie della Tea, di massa M e di aggio R, il peso di un oggetto di massa m é paticamente dovuto solo all attazione newtoniana della Tea. Scivee l espessione letteale dell intensità del campo gavitazionale sulla supeficie della Tea in funzione di G, M e R. ii) La Tea descive intono al Sole, di massa k.m con k costante, un obita paticamente cicolae di aggio.. Scivee, in funzione di, k, R e g 0, l espessione letteale della velocità angolae ω del moto di ivoluzione della Tea intono al Sole.. Calcolae il peiodo T di questo moto di ivoluzione. iii) Il punto di equigavità E del sistema Sole Tea si tova sulla etta definita dai due centi, ad una distanza x dal cento della Tea. Si icoda che E é il punto in cui i campi gavitazionali del Sole e della Tea si annullano.. Scivee l espessione letteale di x in funzione di e di k.. Calcolae il valoe di x. b. Anche il pianeta Nettuno descive intono alla Tea un obita paticamente cicolae, di aggio N e con un peiodo T N. i) Scivee l equazione che lega il peiodo di ivoluzione T della Tea, il peiodo di ivoluzione T N di Nettuno e le distanze e N. ii) Calcolae il valoe di N, sapendo che T N gioni teesti. Sono dati: Raggio della Tea: R km Intensità del campo gavitazionale alla supeficie della Tea: g m.s - k: k. 0 4 Distanza della Tea dal Sole: km. Risposta: a. i) g G M 0, R ii). ω R iii). x kg 0,. T s 65 gioni,. k k + k. x km. Gavitazione univesale ed applicazioni - A cua di Raffaele Santoo 9

20 b. i) ii) TN N (teza legge di Kepleo) T N km. 9 Dimostae che la velocità di fuga dal Sole pe un copo che si tova ad una distanza uguale alla distanza Sole-Tea é uguale a volte la velocità obitale della Tea attono al Sole, supponendo l obita della Tea cicolae. 0 Due satelliti della Tea, A e B, aventi la stessa massa m, uotano su un obita cicolae di aggio, con vesi di otazione opposti. I due satemmiti sono, quindi in otta di collisione. a) Calcolae in funzione di G, M (massa della Tea), m e l enegia meccanica totale del sistema satelliti-tea pima dell uto. b) Si suppone un uto completamente anelastico fa i due satelliti: dopo l uto, i due satelliti fomano un unico copo di massa m. Calcolae l enegia meccanica totale subito dopo l uto. c) Descivee il moto di quello che esta dei due satelliti dopo l uto. Risposta:... c) il elitto cade veticalmente sulla Tea. Si vuole che un satellite si muova nel piano equatoiale della Tea, nelle immediate vicinanze della sua supeficie. Tascuando la esistenza dell aia, calcolae il appoto ta l enegia spesa pe mettee il satellite in otazione nello stesso veso di otazione della Tea e l enegia spesa nel caso in cui il veso di otazione del satellite sia opposto a quello della Tea. Risposta: cica. 0 Gavitazione univesale ed applicazioni - A cua di Raffaele Santoo