MATEMATICA GENERALE APPLICAZIONI DI MATEMATICA PER L ECONOMIA 5/2/2013 A. NOME e COGNOME Matricola. i) Si eseguano le operazioni indicate:

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Marta Romani
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1 5/2/2013 A NOME e COGNOME Matricola I parte: quesiti preliminari (riportare le soluzioni su questo foglio, GIUSTIFICANDO LA RISPOSTA) i) Si eseguano le operazioni indicate: (3 x)(x + 3) 9 (5 x)(x + 5) ii) Si risolva l equazione: 7x + x 2 = 30 iii) Si disegnino i gra ci delle funzioni: 1 y = log 3 x e y = 2 x

2 2 5/2/2013 A II parte - Per accedere alla seconda parte dell esame è necessario aver risposto correttamente e per intero ad almeno due dei tre quesiti della prima parte. In caso contrario la seconda parte non sarà considerata. I - Funzioni di più variabili Il costo del trattamento dei ri uti tossici aumenta al crescere delle quantità eliminate. Un modello possibile è dato da: C(x; y) = 3: x y 2 dove x è la riduzione di diossina, y è la riduzione di PCP (pentaclorofenolo) in chilogrammi eliminati al giorno e C è il costo giornaliero della riduzione in euro. i) Si trovi il costo dell eliminazione di 100 chili di diossina e 50 chili di PCP al giorno; ii) i sussidi governativi per lo smaltimento dei ri uti tossici ammontano a 300 euro per chilo di diossina e a 500 euro per chilo di PCP rimossi. Quanti chili di inquinante deve rimuovere l azienda al giorno per minimizzare il costo netto (costo meno sussidio)? II - Si calcoli il limite: lim (x x!+1 x2 ) - si mostri che le funzioni f(x) = ln x e g(x) = ln jxj hanno la stessa derivata (sui rispettivi domini); - l integrazione per parti (sono richieste la formula e la sua dimostrazione).

3 3 5/2/2013 A Soluzione I parte: i) (4x 2 =45) 2; ii) x 1 = 3; x 2 = 10; iii) per i gra ci si rimanda al libro di testo. II parte: I - i) ii) C(100; 50) = 3: = 2:503:000 euro min x;y C(x; y) = 3: x y 2 300x 500y; con x; y 0 Poiché: 8 < : f x = 400x 300 = 0 f y = 400y 500 = 0 2 =) 4 x = 0; 75 y = 1; dal "test della derivata seconda", si ricava che il costo minimo si ha smaltendo 0,75 chili di diossina e 1,25 chili di PCP al giorno. Infatti: f xx = 400 f xy = f yx = 0 f yy = 400 e = 160:000 > 0

4 4 che, poiché f xx = 400 > 0; permette di concludere che 0,75 e 1,25 sono le quantità richieste. II - Per le domande di teoria si rimanda al libro di testo, con particolare riferimento ai par. 7.3 e 10.1; - lim (x x!+1 x2 ) = lim x!+1 x2 = 1

5 5 5/2/2013 B NOME e COGNOME Matricola I parte: quesiti preliminari (riportare le soluzioni su questo foglio, GIUSTIFICANDO LA RISPOSTA) i) Si eseguano le operazioni indicate: 3 (2 x)(x + 2) 4 (x + 7)(7 x) 7 ii) Si risolva l equazione: 36 9x = x 2 iii) Si disegnino i gra ci delle funzioni: y = log 1=2 x e y = 3 x

6 6 5/2/2013 B II parte - Per accedere alla seconda parte dell esame è necessario aver risposto correttamente e per intero ad almeno due dei tre quesiti della prima parte. In caso contrario la seconda parte non sarà considerata. I - Funzioni di più variabili Il costo del trattamento dei ri uti tossici aumenta al crescere delle quantità eliminate. Un modello possibile è dato da: C(x; y) = 9: x y 2 dove x è la riduzione di diossina, y è la riduzione di PCP (pentaclorofenolo) in chilogrammi eliminati al giorno e C è il costo giornaliero della riduzione in euro. i) Si trovi il costo dell eliminazione di 50 chili di diossina e di 100 chili di PCP al giorno; ii) i sussidi governativi per lo smaltimento dei ri uti tossici ammontano a 400 euro per chilo di diossina e a 300 euro per chilo di PCP rimossi. Quanti chili di inquinante deve rimuovere l azienda al giorno per minimizzare il costo netto (costo meno sussidio)? II - Si calcoli il limite: lim x! 1 (x3 x) - Esiste un solo massimo assoluto per una funzione f da R in R? Giusti care la risposta; - l integrazione per parti (sono richieste la formula e la sua dimostrazione).

7 7 5/2/2013 B Soluzione I parte: i) (11x 2 =28) 5; ii) x 1 = 3; x 2 = 12; iii) per i gra ci si rimanda al libro di testo. II parte: I - i) ii) C(50; 100) = 9: = 3:759:00 euro min x;y C(x; y) = 9: x y 2 400x 300y; con x; y 0 Poiché: 8 < : f x = 600x 400 = 0 f y = 600y 300 = 0 2 =) 4 x = 0; 66 y = 0; dal "test della derivata seconda", si ricava che il costo minimo si ha smaltendo 0,66 chili di diossina e mezzo chilo di PCP al giorno. Infatti: f xx = 600 f xy = f yx = 0 f yy = 600 e = 360:000 > 0

8 8 che, poiché f xx = 600 > 0; permette di concludere che 0,66 e 0,5 sono le quantità richieste. II - Per le domande di teoria si rimanda al libro di testo, con particolare riferimento ai par. 8.1 e 10.1; - lim x! 1 (x3 x) = lim x! 1 x3 = 1

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