ESERCIZI DI ANALISI II Ingegneria per l Ambiente e il Territorio a.a. 2006/2007

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1 ESERCIZI I ANALISI II Ingegneria per l Ambiente e il Territorio a.a. 006/007 FUNZIONI IN UE VARIABILI Insiemi di definizione eterminare gli insiemi di definizione delle seguenti funzioni in due variabili e rappresentarli graficamente:. f(, y) = log( +y 5)+7 6 y. f(, y) = +4 y y ( 3. f(, y) = log 4. f(, y) = y +y + y+ y 5. f(, y) = e +y+ y 6. f(, y) = + y 4 + y f(, y) = ( 8. f(, y) = log ) +y y 36 4 y 4 9y 36 ) Risultati degli esercizi sugli insiemi di definizione: () Parte di piano esterna all iperbole y = ed alla circonferenza (compresa) + y = 6 - () Parte di piano interna alla circonferenza + y = ed esterna alla parabola (compresa) y = (3) Parte di piano esterna alla parabola y = nel semipiano inferiore alla retta y = + e interna alla parabola nel semipiano superiore - (4) Tutto R - (5) Parte di piano nel primo e terzo quadrante compresa tra le due rette y = e y = (comprese) - (6) Parte di piano esterna alla circonferenza + y = 4 e all iperbole y = (comprese) - (7) Parte di piano interna alla circonferenza +y = 4 (compresa) ed esterna all ellisse 4 + 9y = 36 - (8) Parte di piano compresa tra la circonferenza + y = 4 e l ellisse 4 + 9y = 36. ott.ssa Silvia Marconi - Analisi II - Ing. Ambiente e Territorio

2 Limiti Calcolare i seguenti limiti: 3 3 () lim (,y) (0,0) y () lim (,y) (0,0) (3) lim (,y) (0,0) (4) lim (,y) (,0) (5) lim (,y) (0,0) (6) lim (,y) (,) (7) lim (,y) (0,) 3 + y 3 3y 3 y 5y + y ( ) 3 + y y + ( 3 ) y + y sin y ( ) 3 + ( ) + (y ) + y 4y + 5 (y ) 3 [ + (y ) ] 5 y (8) lim (,y) (0,0) + y 4 Risultati degli esercizi sui limiti: () - () 0 - (3) Il limite non esiste - (4) Il limite non esiste (anche solo lungo l asse ) - (5) 0 - (6) - (7) Il limite non esiste - (8) Il limite non esiste. Continuità eterminare l insieme di continuità delle seguenti funzioni in due variabili: log(+ +y ) (, y) (0, 0) () f(, y) = +y 0 (, y) = (0, 0) sin y 0 y () f(, y) = (3) f(, y) = 0 ( y = 0 ) y arctan y y 0 0 y = 0 ott.ssa Silvia Marconi - Analisi II - Ing. Ambiente e Territorio

3 log(+ ) (, y) (0, 0) ( (4) f(, y) = +y ) (, y) = (0, 0) + y 0 (5) f(, y) = 0 = 0 + y 0 (6) f(, y) = 0 = 0 Risultati degli esercizi sulla continuità: () f continua in tutto R - () f continua in R \{(, 0), 0} - (3) f continua in tutto R - (4) f continua in tutto R - (5) f continua in R \{(0, y), y 0} - (6) f continua in R \{(0, y), y }. Regolarità [ ] eterminare gli insiemi di continuità, derivabilità e differenziabilità delle seguenti funzioni in due variabili: cos y y 0 y (a) f(, y) = 0 y = 0 ( ) ( y ) sin (, y) (0, 0) +y (b) f(, y) = 0 (, y) = (0, 0) y (, y) (0, 0) +y (c) f(, y) = (d) f(, y) = 0 (, y) = (0, 0) y + y (, y) (0, 0) 0 (, y) = (0, 0) 3 + y(y )+y y 3 (, y) (0, 0) +y (e) f(, y) = 0 (, y) = (0, 0) (f) f(, y) = (+3y) 3 +y + log( + y ) (, y) (0, 0) 0 (, y) = (0, 0) ott.ssa Silvia Marconi - Analisi II - Ing. Ambiente e Territorio 3

4 [] Studiare la continuità, la derivabilità e la differenziabilità nell origine delle seguenti funzioni al variare dei parametri reali che vi compaiono: { (e y ) α (, y) (0, 0) (a) f(, y) = +y 0 (, y) = (0, 0) { +α+βy e +y (, y) (0, 0) (b) f(, y) = +y 0 (, y) = (0, 0) [3] Sia f(, y) = 3 y. Stabilire se f è continua in R. Calcolare le derivate parziali e le derivate direzionali lungo una generica direzione ˆv nel punto (, ). Stabilire se la funzione è differenziabile nell origine. [4] eterminare l equazione del piano tangente al grafico delle seguenti funzioni nel punto a fianco indicato: (a) f(, y) = 3 y + 5y + y 3 P (0, ) (b) f(, y) = arctan( + y) P (0, 0) (c) f(, y) = ( +y ) P (, ) Risultati degli esercizi sulla regolarità: cos z [ ]: (a) Si usa il limite notevole: lim z 0 = z. La funzione risulta continua, derivabile e differenziabile in tutto R - (b) La funzione risulta continua, derivabile e differenziabile in tutto R. Il limite per la differenziabilità si può fare con le maggiorazioni - (c) La funzione risulta continua in tutto R. Nell origine è derivabile parzialmente ma non è differenziabile (si può vedere facendo il limite lungo le rette passanti per l origine) - (d) La funzione risulta continua, derivabile e differenziabile in tutto R - (e) La funzione risulta continua, derivabile e differenziabile in tutto R - (f) La funzione risulta continua, derivabile e differenziabile in tutto R. []: (a) La funzione è continua solo per α > ed è derivabile con derivate parziali nulle per α > 0. Inoltre è differenziabile per α > 3 - (b) La funzione non è continua per nessuna scelta dei parametri (si può vedere facendo il limite lungo l asse che vale + o a seconda del segno di α con α e di, e vale per α = ). Inoltre non essendo continua lungo gli assi non è neanche derivabile parzialmente (come funzione di una variabile lungo gli assi la non continuità implica la non derivabilità), e dunque non è neanche differenziabile nell origine. [3] La funzione è continua in tutto R e differenziabile (e quindi derivabile) in tutto il piano privato degli assi. f (, ) = 3 3 e fy (, ) = 3 3. Nel punto (, ) la 4 funzione è differenziabile e quindi le derivate direzionali lungo ˆv = (v, v ) sono fˆv (, ) = 3 3 v v 4. Le derivate parziali nell origine esistono e sono nulle ma f non è differenziabile nell origine. [4]: (a) z = 5 + 3y - (b) z = + y - (c) z = y ott.ssa Silvia Marconi - Analisi II - Ing. Ambiente e Territorio 4

5 Massimi e minimi - Massimi e minimi liberi Stabilire la natura dei punti stazionari e determinare i massimi e minimi liberi relativi e assoluti delle seguenti funzioni:. f(, y) = y y. f(, y) = y + y 3. f(, y) = ( y) ( y) 4. f(, y) = log(y ) 8y + y 5. f(, y) = sin sin y - Massimi e minimi vincolati (metodo di sostituzione) eterminare i massimi e i minimi assoluti vincolati delle seguenti funzioni nel dominio a fianco indicato:. f(, y) = y+y + 3 = {(, y) : 0; y 0; +y 4}. f(, y) = e + e y = {(, y) : + y = } 3. f(, y) = ( y) (+y)3 3 = {(, y) : y } - Massimi e minimi vincolati (metodo di Lagrange) eterminare i massimi e i minimi assoluti vincolati delle seguenti funzioni nel dominio a fianco indicato:. f(, y) = + y = {(, y) : + y = 5}. f(, y) = y = {(, y) : ( ) + (y ) } 3. f(, y) = y + = {(, y) : + 7y = } Risultati degli esercizi sui massimi e minimi: Massimi e minimi liberi: () La funzione è illimitata. P (0, ) è un punto di massimo relativo, P (, ) è un punto di minimo relativo, P 3 (0, ) e P 4 (, ) sono punti di sella - () La funzione risulta illimitata (si può vedere per esempio studiandone l andamento lungo le rette passanti per l origine). P (0, 0) e P ( 8 3, 4 3 sono punti di sella (per P si può vedere ad esempio studiando la funzione lungo l asse e lungo la curva y = ) - (3) La funzione risulta illimitata superiormente, ma è limitata inferiormente e tutti i punti del tipo P (, ) con R sono punti di minimo relativo e assoluto (si noti che la verifica è immediata operando il cambio di variabile t = y) - (4) La funzione è definita per y > e risulta illimitata come si può vedere ad esempio facendo il limite per y tendente a +. P (0, 4) è un punto di minimo relativo, mentre P (, ) e P 3 (, ) sono punti di ott.ssa Silvia Marconi - Analisi II - Ing. Ambiente e Territorio 5 )

6 sella - (5) La funzione è chiaramente limitata e tutti punti del tipo P ( k π, hπ) con h, k Z sono punti di sella, mentre i punti del tipo P ( π + kπ, π 4 + h π ) con h, k Z sono punti di massimo o di minimo relativo e assoluto a seconda del segno di f (, y) = sin sin y. Massimi e minimi vincolati (sostituzione): () La funzione ha un massimo nel punto P (4, 0) in cui vale 60 e infiniti minimi nei punti del segmento di estremi (0, 0) e (0, 4) in cui la funzione vale 0 - () La funzione ha il minimo nel punto P (, ) in cui vale e - (3) Si noti che il dominio è il quadrato di vertici (0, ), (, 0), (0, ) e (, 0). La funzione ha un punto di sella nell origine ed ha massimo nei punti (0, ) e (, 0) in cui vale 5 6 e minimo nel punto (, ) in cui vale 3. Si noti che l esercizio si può risolvere anche operando il cambio di variabili X = y e Y = + y rispetto a cui il dominio risulta = {(X, Y ) : X, Y }. Massimi e minimi vincolati (Lagrange): () La funzione ha il massimo nel punto (, ) in cui vale 5 e il minimo nel punto P (, ) in cui vale 5 - () La funzione ha il massimo nel punto ( +, + ) in cui vale ( ) e il minimo nel punto P (, ) in cui vale ( + ) - (3) La funzione ha il massimo nel punto (, 0) in cui vale ( + ) e il minimo nel punto (, 0) in cui vale ( ). EQUAZIONI IFFERENZIALI Equazioni lineari a coefficienti costanti - Omogenee Risolvere le seguenti equazioni differenziali ordinarie lineari a coefficienti costanti omogenee, e relativi problemi di Cauchy:. y () y () 3y() = 0. y () y () = 0 y () + 9y () = 0 3. y(0) = y (0) = y () 4y () + 5y() = 0 y(0) = 0 y (0) = y () 6y () + 9y() = 0 y(0) = y (0) = ott.ssa Silvia Marconi - Analisi II - Ing. Ambiente e Territorio 6

7 y () y () y() = 0 y(0) = 0 y (0) = { y (IV ) () 6y() = 0 lim + e y() = 3 y (IV ) () + 8y () = 0 y(0) = 0 lim + y() = - Non omogenee Risolvere le seguenti equazioni differenziali ordinarie lineari a coefficienti costanti non omogenee, e relativi problemi di Cauchy. Si ricorda che nel metodo di somiglianza il termine noto è del tipo speciale: f() = P (n) () e α cos β + Q (m) () e α sin β.. y () + y () + y() = 3 cos 4 sin. y () + 3y () + y() = e 3. y () 6y () + 8y() = y () + y() = cos 5. y () + y () + y() = e 6. y () y () = e 3 y () + y () = 7. y(0) = y (0) = y () 8y () + 6y() = e 4 y(0) = 0 y (0) = y () y () = ( ) y(0) = y (0) = 0. { y () + 4y () = cos y(0) = y (0) = y (0) = 0. y () y () + y() = e. y () + y() = cos + cos ott.ssa Silvia Marconi - Analisi II - Ing. Ambiente e Territorio 7

8 Risultati degli esercizi sulle EO lineari a coefficienti costanti: Omogenee: () y() = c e 3 + c e - () y() = c e + c - (3) y() = cos sin 3 - (4) y() = e sin - (5) y() = ( + )e 3 - (6) y() = 3 e 3 e - (7) Gli zeri del polinomio caratteristico sono,, i e i. La soluzione generica è y() = c e + c e + c 3 cos + c 4 sin. Imponendo la condizione richiesta, lim + (c e 4 + c + c 3 e cos + c 4 e sin ) = 3, deve essere c = 0 perché e 4 ha limite infinito e c 3 = c 4 = 0 perché e cos e e sin non hanno limite. Risulta quindi c = 3 e la soluzione del problema è y() = 3e - (8) Gli zeri del polinomio caratteristico sono 0,, + i 3 e i 3. La soluzione generica è y() = c + c e + c 3 e cos 3 + c 4 e sin 3. Imponendo la prima condizione si ha c + c + c 3 = 0, e imponendo la seconda lim + (c + c e + c 3 e cos 3 + c 4 e sin 3) =, deve essere c 3 = c 4 = 0 perché e cos 3 e e sin 3 non hanno limite e risulta quindi c =. La soluzione del problema è y() = e Non omogenee: () Con metodo di somiglianza, il termine noto è di tipo speciale con α = 0 e β =. α + iβ non è soluzione del polinomio caratteristico e quindi una soluzione particolare è del tipo y p () = A cos + B sin. La soluzione è y() = c e + c e + cos - () Con metodo di somiglianza, il termine noto è di tipo speciale con α = e β = 0. α + iβ è soluzione semplice del polinomio caratteristico e quindi una soluzione particolare è del tipo y p () = Ae. La soluzione è y() = c e + c e + e - (3) Con metodo di somiglianza, il termine noto è di tipo speciale con α = 0 e β = 0. α + iβ non è soluzione del polinomio caratteristico e quindi una soluzione particolare è del tipo y p () = A + B + C. La soluzione è y() = c e 4 + c e (4) Con metodo di somiglianza, il termine noto è di tipo speciale con Q() = 0, α = 0 e β =. α + iβ è soluzione del polinomio caratteristico e quindi una soluzione particolare è del tipo y p () = [A cos + B sin ]. La soluzione è y() = c cos + c sin + sin - (5) Con metodo di somiglianza, il termine noto è di tipo speciale con P () =, α = e β = 0. α + iβ non è soluzione del polinomio caratteristico e quindi una soluzione particolare è del tipo y p () = (A + B)e. La soluzione è y() = c e cos +c e sin + 5 ( 4 5 )e - (6) Si applica il principio di sovrapposizione. Per f () = si trova una soluzione particolare della forma y p () = (A + B) e per f () = e 3 si trova una soluzione particolare della forma y p () = Ae 3. La soluzione è y() = c + c e e3 - (7) 0 è soluzione semplice del polinomio caratteristico, quindi una soluzione particolare è del tipo y p () = (A +B+C). La soluzione è y() = e (8) α+iβ = 4 è soluzione doppia del polinomio caratteristico, quindi una soluzione particolare è del tipo y p () = A e 4. La soluzione è y() = ( + )e 4 - (9) 0 è soluzione semplice del polinomio caratteristico, quindi una soluzione particolare è del tipo y p () = (A + B). La soluzione è y() = e + - (0) α + iβ = i è soluzione del polinomio caratteristico, quindi una soluzione particolare è del tipo y p () = A cos + B sin. La soluzione è y() = 6 sin 8 cos - () ott.ssa Silvia Marconi - Analisi II - Ing. Ambiente e Territorio 8

9 Il termine noto non è di tipo speciale. Si procede con metodo della variazione delle costanti. La soluzione è y() = c e + c e e + e log - () Si applica il principio di sovrapposizione. Per f () = cos si trova una soluzione particolare della forma y p () = (A cos + B sin ) e per f () = cos si procede con metodo della variazione delle costanti. La soluzione è y() = c cos +c sin + cos log cos + 3 sin. Equazioni lineari del primo ordine Risolvere le seguenti equazioni differenziali ordinarie lineari del primo ordine e i problemi di Cauchy, specificando l insieme su cui è definita la soluzione:. y () + tan y() = sin. y () + y() = arcsin 3. y () + y() = 3 4. y () cos + y() = tan y () + y() = 3 e 5. y(0) = y () + y() = e 6. Calcolare lim 0 + y() y() = y () 7y() = 8e 3 7. Calcolare y (0) y(0) y(0) = y () + n y() = a n y() = 0 y () + y() e = 0 y(a) = b ott.ssa Silvia Marconi - Analisi II - Ing. Ambiente e Territorio 9

10 Risultati degli esercizi sulle equazioni lineari del primo ordine: () y() = cos +c cos in R \ { π +kπ} k Z - () y() = c e arcsin +arcsin in (, ) - (3) y() = c in R \ {0} - (4) y() = c e tan + tan in R \ { kπ 4 } k Z - (5) L equazione è in particolare a coefficienti costanti: l omogenea si può risolvere col polinomio caratteristico oppure con la separazione delle variabili e la non omogenea col metodo di somiglianza o con la variazione delle costanti. y() = e (3 + ) in R - (6) y() = ( ) e + in (0, + ). Il limite richiesto vale - (7) L equazione è in particolare a coefficienti costanti: l omogenea si può risolvere col polinomio caratteristico oppure con la separazione delle variabili e la non omogenea col metodo di somiglianza o con la variazione delle costanti. y() = e 3 + e 7 in R. y (0) y(0) vale 0 e si può ricavare derivando la soluzione oppure, più velocemente, direttamente dall equazione - (8) y() = a( ) in (0, + ) - (9) y() = e +ab e a in (0, + ) se a > 0 e in (, 0) se a < 0. Equazioni del primo ordine a variabili separabili Risolvere i seguenti problemi di Cauchy per equazioni differenziali ordinarie del primo ordine a variabili separabili, specificando l insieme su cui è definita la soluzione, discutendo l applicabilità dei teoremi di esistenza e unicità locale e globale: y () = y (). y(0) = y () = y() y(0) = y () = 3 cos sin y () y(0) = y () = (e y() ) y(0) = log 3 y () = e 3y() y(0) = 0 ott.ssa Silvia Marconi - Analisi II - Ing. Ambiente e Territorio 0

11 Risultati degli esercizi sulle equazioni a variabili separabili: Si fa riferimento alla notazione y () = f(, y). () f(, y) = y è continua sia in un rettangolo che in una striscia contenente (0, ), ma la derivata f y (, y) = 4y, che è continua nel rettangolo, non è limitata nella striscia. Pertanto vale solo il teorema di esistenza e unicità locale. y() = per (, ) - () f(, y) = y è continua in un rettangolo contenente (0, ) con y lontano da 0, ma non in una striscia e la derivata f y (, y) = è continua nel rettangolo, ma non è limitata y nella striscia. Pertanto vale solo il teorema di esistenza e unicità locale. Per prolungamento si trova lo stesso una soluzione globale y() = + per R - (3) f(, y) = 3 cos sin y è continua sia in un rettangolo che in una striscia contenente (0, ), ma la derivata f y (, y) = 6 cos sin y, che è continua nel rettangolo, non è limitata nella striscia. Pertanto vale solo il teorema di esistenza e unicità locale. y() = cos 3 per ( π, π ) - (4) f(, y) = (e y ) è continua sia in un rettangolo che in una striscia contenente (0, log 3), ma la derivata f y (, y) = e y, che è continua nel rettangolo, non è limitata nella striscia. Pertanto vale solo il teorema di esistenza e unicità locale. Per prolungamento si trova lo stesso una soluzione globale y() = log( + e 3 3 ) per R - (5) f(, y) = e 3y è continua sia in un rettangolo che in una striscia contenente (0, 0), ma la derivata f y (, y) = 3e 3y, che è continua nel rettangolo, non è limitata nella( striscia. ) Pertanto vale solo il teorema di esistenza e unicità locale. y() = 3 log 3e per ( log 3, + ). Equazioni di Bernoulli Risolvere le seguenti equazioni differenziali ordinarie di Bernoulli:. { y () = y() + y() y() =. y () + y() = y ln 3. y () y() tan + y cos = 0 4. y () + y() 5. y () = 4y() = y() cos + y() Risultati degli esercizi sulle equazioni di Bernoulli: () y() = (e 4 ) per R - () y() = +ln +c con > 0, +ln +c 0 ( ) - (3) y() = (+c) cos per π +kπ, +c 0 - (4) y() = c+ln cos + tan con 0 e π + kπ - (5) y() = 4 ( ln + c) con 0. ott.ssa Silvia Marconi - Analisi II - Ing. Ambiente e Territorio

12 3 FORME IFFERENZIALI E CAMPI VETTORIALI Forme differenziali e campi vettoriali in R. ata la forma differenziale ω(, y) = e y d + ( + e y ) dy, calcolare il suo integrale sulla curva di equazione y = + e cos fra i punti di ascissa = 0 e =.. eterminare ϕ C (R) con ϕ(0) = 0 tale che la forma differenziale ω(, y) = [ + ϕ(y)] d + [(y ϕ(y))] dy sia esatta e calcolarne la primitiva che si annulla nell origine. 3. Trovare tutte le funzioni a, b C (R) tali che la forma differenziale sia esatta e calcolarne le primitive. γ ω(, y) = a(y) d + b() dy 4. Sia γ l arco dell ellisse + y = tra i punti A( 3, 0) e B(0, ) percorso 9 4 in verso antiorario. Calcolare ( ) + ( + y) + d ( + y) dy 5. Sia γ la curva definita da γ(t) = ( t ; t 6 ) t [0, ]. Calcolare + 4y d + 4y + 4y dy γ 6. Stabilire quanto vale l integrale della forma differenziale ω = (y + ) d + ( 5y 3 3y ) dy y 3 sulle curve congiungenti i punti P (0, ) e Q(, ). 7. Sia γ la frontiera del dominio T = {(, y) R : ( 8) +y }. Calcolare f(log ( + y)) d + f(log ( + y)) dy +γ dove f è una funzione di classe C ([0, )). ott.ssa Silvia Marconi - Analisi II - Ing. Ambiente e Territorio

13 8. eterminare le regioni del piano su cui è esatta la forma ( ω = y ) d + dy e determinare le primitive di ω su tali regioni. 9. Sia F : R R il campo vettoriale ( y F (, y) = ( + ) ; ) + ire se F è conservativo e in caso affermativo determinare il potenziale. 0. Siano F : R R il campo vettoriale F (, y) = (e [sin( + y) + cos( + y)] ; e cos( + y)) e γ n : [0, π] R le curve definite da γ n (t) = (cos nt ; sin nt) con n N e n. ire se F è conservativo e in caso affermativo determinare il potenziale. Calcolare inoltre il lavoro di F lungo γ n.. Sia F : R R il campo vettoriale F (, y) = ( 3 + y ; + y ) ire se F è conservativo e in caso affermativo determinare il potenziale.. eterminare per quali valori di a R si annulla il lavoro del campo vettoriale F : R R F (, y) = ( + y ; ay) sulla curva γ(t) = (cos t, sin t) con t [0, π]. Risultati degli esercizi su forme differenziali e campi vettoriali in R : Le costanti che compaiono vanno intese in R. () Il calcolo diretto dell integrale non è agevole, ma la forma è esatta. Calcolando la differenza dei valori di una primitiva agli estremi (, +e cos ) e (0, ), l integrale vale e cos + e +e cos - () La condizione di chiusura dà ϕ (y) = y ϕ(y). Risolvendo questa equazione differenziale con ϕ(0) = 0, si ottiene ϕ(y) = e y + y. La primitiva di ω che si annulla nell origine è f(, y) = + (e y + y ) - (3) La condizione di chiusura dà a y (y) = b () che è possibile solo se sono costanti a y (y) = b () = C. Si trova quindi a(y) = Cy + c e b() = C + c. Le primitive di ω sono f(, y) = Cy + c + c y + c - (4) L arco di ellisse è contenuto nel semipiano > 0 dove la forma è definita ed esatta. L integrale si può calcolare ott.ssa Silvia Marconi - Analisi II - Ing. Ambiente e Territorio 3

14 direttamente parametrizzando la curva oppure con la differenza dei valori di una primitiva agli estremi. L integrale risulta arctan + 0 arctan (5) La curva γ non passa per l origine, dove la forma non è definita. Si può calcolare l integrale direttamente oppure sfruttando il fatto che la forma è chiusa in R \{(0, 0)}. Questo dominio non è semplicemente connesso e dunque non si può concludere che la forma sia esatta in tutto R \{(0, 0)}, ma la forma è localmente esatta in domini semplicemente connessi lontano dall origine. Si può quindi trovare una primitiva e calcolarne la differenza agli estremi. L integrale vale log - (6) La forma è definita e chiusa nell insieme E = {(, y) R : y < 3 } che è semplicemente connesso. Le primitive sono f(, y) = (y + ) y 3 + c e l integrale vale f(, ) f(0, ) = 3, ma solo lungo le curve congiungenti P e Q aventi il supporto contenuto in E - (7) La forma è definita e chiusa nell insieme E = {(, y) R : + y > 0} che è semplicemente connesso e quindi è esatta. Poiché T è una corona circolare tutta contenuta in E, l integrale della forma sulla sua frontiera è nullo - (8) La forma è esatta su Ω = {(, y) R : < 0} e Ω = {(, y) R : > 0}. Le primitive sono f(, y) = y log( ) + c in Ω e f(, y) = y log + c in Ω - (9) Il campo risulta irrotazionale in tutto R e quindi è conservativo. Il potenziale è U(, y) = y + c - (0) Il campo + risulta conservativo in R e il potenziale è U(, y) = e sin( + y) + c. Le curve γ n sono chiuse per n pari e quindi il lavoro è nullo. Per n dispari il lavoro vale U(, 0) U(, 0) = (e + e ) sin - () Il campo risulta irrotazionale in tutto R e quindi è conservativo. Il potenziale è U(, y) = 3 + y + y + c - () Calcolando l integrale di F lungo γ tramite la definizione, si trova che l integrale è nullo per ogni valore di a reale. Forme differenziali e campi vettoriali in R 3. Trovare tutte le funzioni a(, y, z) C (R 3 ) tali che la forma ω(, y, z) = y d + dy + a(, y, z) dz sia esatta e calcolare le primitive.. Trovare tutte le funzioni A(, y) C (R ) tali che la forma differenziale ω(, y, z) = z d + yz dy + A(, y) dz sia esatta e calcolare le primitive. 3. Sia F : R 3 R 3 il campo vettoriale F (, y, z) = (y + ; ; z) ire se F è conservativo e in caso affermativo determinare il potenziale. ott.ssa Silvia Marconi - Analisi II - Ing. Ambiente e Territorio 4

15 4. Siano F = (y z, z, y ) e µ(, y, z) = (yz) α eterminare il valore di α R tale che il prodotto µ(, y, z) F (, y, z) sia un campo conservativo e determinare il potenziale. 5. Sia F : R 3 R 3 il campo vettoriale F (, y, z) = (y + z ; + z ; + y) e γ il bordo di = {(, y, ) R 3 : + y + z, + y + z = 0}. ire se F è conservativo e in caso affermativo determinare il potenziale. Calcolare il lavoro di F lungo γ. 6. Sia F : R 3 R 3 il campo vettoriale F (, y, z) = ( ; ; 4z) + y + z + Calcolare il lavoro lungo la curva γ(t) = (t, t 3, t ) con t [0, ]. 7. Sia F : R 3 R 3 il campo vettoriale F (, y, z) = ( y ; z ; ) Calcolare il lavoro lungo γ(t) = (+cos t, sin t, sin t) con t [0, π]. 8. Sia F : R 3 R 3 il campo vettoriale F (, y, z) = (y z ; z ; y) Calcolare il lavoro lungo γ(t) = (a cos t, a sin t, bt) con t [0, π], a, b > 0. Risultati degli esercizi su forme differenziali e campi vettoriali in R 3 : Le costanti che compaiono vanno intese in R. () Si vede che la forma è chiusa e quindi esatta in R 3 se e solo se a(, y, z) = a(z). Le primitive sono f(, y, z) = y + a(z) dz - () Si vede che la forma è chiusa e quindi esatta in R 3 se e solo se A(, y) = + y + C. Le primitive sono f(, y, z) = z + y z + Cz + c - (3) Il campo vettoriale è irrotazionale su R 3 e dunque è conservativo. Il potenziale è U(, y, z) = (y + ) y + z + c - (4) Si vede che il campo vettoriale F = (µ(, y, z)y z, µ(, y, z)z, µ(, y, z) y ) è irrotazionale se e solo se α = per cui si ottiene µ F = (,, ), conservativo y z fuori dai piani coordinati. Il potenziale è U(, y, z) = (, y, z ) + c - (5) Il campo vettoriale è irrotazionale su R 3 e dunque è conservativo. Il potenziale è U(, y, z) = ott.ssa Silvia Marconi - Analisi II - Ing. Ambiente e Territorio 5

16 y+z+yz+c e il lavoro lungo γ è nullo essendo γ una curva chiusa - (6) Il campo vettoriale è definito per y z e γ è una curva regolare contenuta nel dominio di F. Si può calcolare l integrale tramite la definizione e vale log 45 - (7) Il campo non è conservativo. Calcolando l integrale tramite la definizione, il lavoro lungo γ è 3π - (8) Il campo non è conservativo. Calcolando l integrale tramite la definizione, il lavoro lungo γ è πa(a + b). 4 INTEGRALI MULTIPLI Integrali doppi su domini normali Calcolare i seguenti integrali doppi su unioni di domini normali rispetto a o y:. d dy 4 y = {(, y) R : 0 ; y min{ ; }}. + y e y d dy è il triangolo di vertici O(0, 0), A(, ), B(, ) sin ( + y) d dy { = (, y) R : π 0 ; + y π } ( y ) d dy è il triangolo di vertici O(0, 0), A(, ), B(, ) d dy + = { (, y) R : 0 ; y } e y d dy = {(, y) R : 0 y ; y min{ y ; }} y + d dy y = { (, y) R : 0 ; y } y d dy = { (, y) R : 0 ; y } ott.ssa Silvia Marconi - Analisi II - Ing. Ambiente e Territorio 6

17 y d dy = { (, y) R : + y } d dy { = (, y) R : y + } + 3 ; y ; y + y d dy = { (, y) R : 4 + 9y 36 ; y 0 } Risultati degli esercizi sugli integrali doppi su domini normali: () 8 - () e e (3) π3 6 - (4) (5) 5 π log - (6) e e - (7) + log( + ) - (8) 60 - (9) 45 - (0) 4 - () Con coordinate ellittiche = 3ρ cos θ, y = ρ sin θ con ρ [0, ] e θ [0, π], si trova che l integrale vale 8. Integrali doppi con coordinate polari Calcolare i seguenti integrali doppi con coordinate polari:. d dy + + y = {(, y) R : 0 ; + y 4}. y + y e +y d dy = {(, y) R : y 0 ; + y } y d dy + + y = {(, y) R : y 0 ; + y } y d dy + + y + y = {(, y) R : y 0 ; + y 3} ye + y d dy e ye +y d dy + y = {(, y) R : y ; 0 ; + y 4} {(, y) R : 3 y ; 0 ; + y 4} d dy = {(, y) R : y ; + y } ott.ssa Silvia Marconi - Analisi II - Ing. Ambiente e Territorio 7

18 y d dy = {(, y) R : + y } y + y d dy = {(, y) R : y 0 ; + y 0} y d dy è la metà superiore del cerchio di centro a (a>0) passante per (0,0) Risultati degli esercizi sugli integrali doppi con coordinate polari: () [ arctan + arctan ] - () e+e - (3) log 4 - (4) π 6 - (5) Il primo integrale vale e + e e ) e e il secondo integrale vale 3 (e e - (6) 3 (4 ) - (7) Integrali tripli - (8) (9) a3. Calcolare i seguenti integrali tripli:. d dy dz { } = (, y, z) R 3 : a + y b + z c. d dy dz a, b, c > 0 = { (, y, z) R 3 : + y 4 ; 0 z + y } z d dy dz = { (, y, z) R 3 : + y + z 4 ; z + y ; z 0 } ( + y + z) d dy dz = { (, y, z) R 3 : 0 ; y + ; 0 z + y } 5. eterminare il valore di r > 0 tale che valga π 8 l integrale d dy dz = { (, y, z) R 3 : + y r ; + y z } 6. yz d dy dz = { (, y, z) R 3 : 0 ; z ; + z y 4 } ott.ssa Silvia Marconi - Analisi II - Ing. Ambiente e Territorio 8

19 Risultati degli esercizi sugli integrali tripli: () Usando coordinate ellittiche = aρ sin ϕ cos ϑ, y = bρ sin ϕ sin ϑ, z = cρ cos ϕ con ρ [0, ], ϕ [0, π] e ϑ [0, π], e ricordando che il determinante della matrice jacobiana è abcρ sin ϕ, si trova che l integrale vale 4 5 π a3 bc - () L integrale proposto è il volume del solido. Usando le coordinate cilindriche = ρ cos ϑ, y = ρ sin ϑ, z = z con ρ [, ], ϑ [0, π] e z [0, ρ ], e ricordando che il determinante della matrice jacobiana è ρ, si trova che l integrale vale 5 π - (3) Usando coordinate sferiche = ρ sin ϕ cos ϑ, y = ρ sin ϕ sin ϑ, z = ρ cos ϕ con ρ [, ], ϕ [0, π 4 ] e ϑ [0, π], e ricordando che il determinante della matrice jacobiana è ρ sin ϕ, si trova che l integrale vale 3 30 π (4 ) - (4) Considerando il dominio normale rispetto al piano y l integrale diventa un integrale in dz tra 0 e + y dell integrale doppio su A = { (, y) R : 0 ; y + }, e risulta (5) Si vede che deve essere 0 < r <. Considerando il dominio normale rispetto al piano y l integrale diventa un integrale in dz tra r e dell integrale doppio sulla corona circolare r + y, e risulta π ( r ). Imponendo che valga π 8 si trova r = - (6) L integrale si può scrivere ( ( ) ) 4 0 +z yz dy dz d e vale SUPERFICI Calcolare i seguenti integrali superficiali:. z dσ Σ { Σ = (, y, z) R 3 : z = y; 0 y } 3; + y. ( + y ) dσ Σ { Σ = (, y, z) R 3 : z = } + y ; + y + y 3. dσ Σ z 3 Σ = { (, y, z) R 3 : (, y, z) = (sin(uv); cos(uv); u); (u, v) Ω } { } Ω = (u, v) R : u v; v 4. Σ 4z + dσ Σ = { (, y, z) R 3 : z = + y ; + y } ott.ssa Silvia Marconi - Analisi II - Ing. Ambiente e Territorio 9

20 Risultati degli esercizi sugli integrali superficiali: () La parametrizzazione di Σ è ϕ(u, v) = (u, v, uv) con (u, v) Ω dove Ω è il dominio Ω = {(u, v) R : 0 v 3u; u + v }. L integrale diventa Ω u v N(u, v) dudv con N(u, v) = + u + v e può essere calcolato passando a coordinate polari. Il risultato è 40 ( 4)( π ) - () La parametrizzazione di Σ è ϕ(u, v) = (u, v, u + v ) con (u, v) Ω dove Ω è il dominio Ω = {(u, v) R : u +v }. L integrale diventa Ω (u +v ) N(u, v) dudv con N(u, v) = e può essere calcolato passando a coordinate polari. Il risultato è π - (3) L integrale diventa Ω N(u, v) dudv con N(u, v) = u e può essere u 3 calcolato considerando Ω normale rispetto ad u o a v. Il risultato è log - (4) La parametrizzazione di Σ è ϕ(u, v) = (u, v, u +v ) con (u, v) Ω dove Ω è il dominio Ω = {(u, v) R : u + v }. L integrale diventa Ω N(u, v) dudv +4u +4v con N(u, v) = + 4u + 4v e può essere calcolato passando a coordinate polari. Il risultato è π ( 5 ). 6 STOKES E IVERGENZA. Calcolare γ F ds, dove F è il campo vettoriale F = (0; ) e γ è la parametrizzazione del perimetro del triangolo di vertici O(0, 0), A(, 0), B(, 3) percorso in senso antiorario.. Calcolare + S dy yd + y + z dove S è la superficie laterale del cilindro { + y ; 0 z }, con l orientazione della normale esterna. 3. Calcolare Γ d + ( + y)dy + ( + y + z)dz dove Γ è la curva parametrizzata da Γ(t) = (sin t ; cos t ; sin t + cos t) con t [0, π]. 4. Sia T l ellisse centrata nell origine passante per (, 0) e (0, ) percorsa in verso antiorario. Calcolare ( 3 + y )d + ( + y 3 )dy. T 5. Calcolare il flusso del campo F (, y, z) = (, y, z) uscente dal bordo dell insieme = {(, y, z) R 3 : + y + z ; 0; y 0; z 0} ott.ssa Silvia Marconi - Analisi II - Ing. Ambiente e Territorio 0

21 6. Calcolare il flusso del campo F (, y, z) = (, y, z) uscente dal bordo dell insieme = {(, y, z) R 3 : + y z } 7. Sia Ω un aperto connesso in R 3 la cui frontiera Ω è la superficie regolare chiusa. Sapendo che il volume di Ω è, calcolare il flusso del campo F (, y, z) = (, 0, 0) uscente da Ω. Risultati degli esercizi sui teoremi di Stokes e della divergenza: () L integrale si può calcolare semplicemente con la definizione di integrale di un campo vettoriale su una curva, ma ancor più velocemente col teorema di Stokes in R, essendo il campo non conservativo. L integrale di F = (F (, y); F (, y)) sul perimetro diventa l integrale di F F y, che in questo caso è, sul triangolo, e quindi si riduce all area del triangolo che è 3 - () L integrale può essere calcolato direttamente, tenendo presente che + S è costituita dalla circonferenza unitaria sul piano y percorsa in verso antiorario e dalla circonferenza unitaria sul piano z = percorsa in verso orario, oppure tramite il teorema di Stokes in R 3. Il campo vettoriale è F ( ) y = ; ; 0 e l integrale di F sul bordo è uguale al +y +z +y +z flusso del rotore di F sulla superficie S parametrizzata da ϕ(t, z) = (cos t, sin t, z) con t [0, π] e z [0, ]. Il risultato è π - (3) La curva è chiusa e il campo vettoriale F = (, + y, + y + z) non è conservativo. Con il teorema di Stokes in R 3, l integrale su Γ è uguale al flusso del rotore di F sulla superficie racchiusa da Γ, Σ = { + y ; z = + y} parametrizzata da ϕ(u, v) = (u, v, u + v) con (u, v) {u + y }. Il risultato è π - (4) L integrale si può calcolare semplicemente con la definizione di integrale di un campo vettoriale su una curva, ma ancor più velocemente col teorema di Stokes in R, essendo il campo non conservativo. L integrale di F = (F (, y); F (, y)) sul bordo diventa l integrale di F F y, che in questo caso è y, nel dominio racchiuso dall ellisse. Usando coordinate ellittiche si trova che l integrale vale 0. Quindi l integrale di F lungo l ellisse, che è una curva chiusa, è 0 pur essendo il campo non conservativo - (5) Per il teorema della divergenza in R 3 il flusso F ˆν dσ diventa div F (, y, z) ddydz con divf = 3. L integrale può essere calcolato considerando normale rispetto al piano y e poi rispetto ad. Il risultato è - (6) Per il teorema della divergenza in R 3 il flusso F ˆν dσ diventa div F (, y, z) ddydz con divf = +y +. L integrale può essere calcolato considerando normale rispetto al piano y e poi passando in coordinate polari. Il risultato è π - (7) Per il teorema della divergenza in R 3 il flusso Ω F ˆν dσ diventa Ω div F (, y, z) ddydz con divf = 3, ovvero l integrale è 3 Ω ddydz dove l integrale non è altro che il volume di Ω. Sapendo che tale volume vale, l integrale risulta quindi 3Vol(Ω) = 3. ott.ssa Silvia Marconi - Analisi II - Ing. Ambiente e Territorio

22 7 SUCCESSIONI E SERIE I FUNZIONI Successioni di funzioni Studiare la convergenza puntuale e uniforme delle seguenti successioni di funzioni: [ ] 0, n. f n () = sin (, 6] n ( n) + [ ] n, n + n. f n () = ( n ) + ( n +, n + ] n 0 R\[n, n + ] 3. f n () = n [, ] n n 4. f n () = n n n n 5. f n () = ( ) n [0, ] n 0 < < n 6. f n () = n 7. f n () = n +n [, ] Risultati degli esercizi sulle successioni di funzioni: () lim n f n () = f() = sin se (0, 6] e f() = se = 0. La convergenza non è uniforme in [0, 6] in quanto sup [0, 6] f n () f() =, ma è uniforme in [a, 6] con 0 < a < 6 essendo sup [a,6] f n () f() = 0 non appena n < a - () Ovviamente lim n f n () = f() 0, R. La convergenza non è uniforme in R in quanto sup R f n () f() = + n per n, ma è uniforme in ogni intervallo chiuso e limitato [a, b] in R dove sup [a,b] f n () f() 0 per n - (3) lim n f n () = f() 0 in [, ]. Studiando l andamento delle funzioni tramite lo studio del segno della derivata, si trova che le f n () hanno un massimo in = 0 e dunque sup [,] f n () f() = ma [,] f n () = f n (0) = 0 per n. La convergenza è dunque anche uniforme in [, ] n - (4) f n (0) = 0 n N e quindi lim n f n (0) = 0. Per (0, ], non appena ott.ssa Silvia Marconi - Analisi II - Ing. Ambiente e Territorio

23 n <, si ha f n() = e quindi lim n f n () = per (0, ]. Per simmetria si ha anche lim n f n () = per [, 0). Poiché le funzioni f n () sono continue, ma la successione tende puntualmente a una funzione non continua, per il teorema della continuità del limite la successione non può convergere uniformemente in [, ]. La convergenza è uniforme in ogni intervallo chiuso e limitato [a, b] in [, 0) e (0, ] dove sup [a,b] f n () f() è definitivamente nullo (cioè nullo da un certo indice in poi) - (5) lim n f n () = f() 0 in [0, ]. Studiando l andamento delle funzioni tramite lo studio del segno della derivata, si trova che le f n () hanno un massimo in = n+ e dunque sup [0,] f n () f() = ( n n n+) 0 per n. La convergen- ma [0,] f n () = f n ( n n+ ) = n+ za è dunque anche uniforme in [0, ] - (6) Per (0, ], non appena n <, n si ha f n () = e quindi lim n f n () = f() = per (0, ]. Poiché f è illimitata, la successione non può convergere uniformemente a f in (0, ]. La convergenza è uniforme in ogni intervallo chiuso e limitato [a, b] in (0, ] dove sup [a,b] f n () f() è definitivamente nullo (cioè nullo da un certo indice in poi) - (7) lim n f n () = f() 0 in [, ]. Studiando l andamento delle funzioni tramite lo studio del segno della derivata, si trova che le f n () hanno un massimo in = n e dunque sup [,] f n () f() = ma [,] f n () = f n ( n ) =. Non c è quindi convergenza uniforme in [, ]. La convergenza è uniforme in ogni intervallo chiuso e limitato [a, b] in (0, ], dove l estremo superiore tende a zero. Serie di potenze Studiare la convergenza delle seguenti serie di potenze: n=0 + n= + n= + n= + n= + n= (log 3) n n + 3 n n e n (n + ) log n n ( /n )n + n n ( + )n + 5n log n n n ( ) n log(n + ) n( ) n ( ) n ott.ssa Silvia Marconi - Analisi II - Ing. Ambiente e Territorio 3

24 Risultati degli esercizi sulle serie di potenze: Si fa riferimento alla notazione n a nz n. Si riportano inoltre solo i risultati relativi alla convergenza assoluta, senza specificare ogni volta che la serie converge totalmente in ogni intervallo chiuso e limitato contenuto nell insieme di convergenza assoluta e, se la serie converge anche in un estremo, per il teorema di Abel converge anche uniformemente in ogni intervallo chiuso e limitato contenuto nell insieme di convergenza assoluta avente tale estremo come uno dei suoi estremi. () La successione a n è a termini positivi. Con il criterio della radice si vede che n an = n log 3 n+ 3 = log 3 n n n n +n /3 assolutamente per < serie + n=0 n+ 3 n log 3 per n e quindi la serie converge log 3 e non converge per > log 3. Per = log 3 la diverge in quanto ha lo stesso carattere della serie armonica, ( ) n mentre per = log 3 la serie + n=0 n+ 3 converge per il criterio di Leibniz - n () La successione a n è a termini positivi. Con il criterio del rapporto si vede che a n+ e a n = n+ (n+) log n (n+) log(n+) e e per n e quindi la serie converge assolutamente per < e e non converge per > e. Per = e n la serie + n= (n+) log n diverge per confronto con la serie armonica, mentre per = e la serie + ( ) n n= (n+) log n converge per il criterio di Leibniz - (3) La successione a n è a termini positivi. Con il criterio della radice si vede che n a n = n n +n 4 per n e quindi la serie converge assolutamente per < ovvero per (, 3) e non converge per > ovvero per (, ) (3, + ). Per = e = 3 le due serie + n= ( ) n e + /n +n n= /n +n convergono assolutamente per confronto con la serie + n= - (4) La successione a n n è a termini positivi. Con il criterio della radice si vede che n a n = n n +5 n 5 per n e quindi la serie converge assolutamente per + < 5 ovvero per ( 7, 3 ) e non converge per + > 5 ovvero per (, 7 ) ( 3, + ). Per = 7 e = 3 le due serie + n n= +5 ( 5 n )n ( ) n e + n n= +5 ( 5 n )n non convergono in quanto il loro termine generale non è infinitesimo - (5) La serie è definita per 3. La successione a n è a termini positivi. Con il criterio del rapporto si vede che a n+ a n = log(n+) n n (n+) (n+) log n per n e quindi la serie converge assoluta- mente per < ovvero per > e non converge per > ovvero per +3 <. Per = la serie + log n n= n n ( )n converge per il criterio di Leibniz (si vede che il termine generale è decrescente per n ) - (6) La successione a n è a termini positivi. Con il criterio del rapporto (o anche della radice) si vede che a n+ a n = 3 log(n+3) (n+)( n( ) n ) n+ 3 log(n+) per n e quindi la serie converge assolutamente per < ovvero per (, + ) e non converge per > ovvero per (, ) ( +, + ). Per = + la serie + 3 log(n+) n= n diverge per confronto con la serie armonica, mentre per = la serie + 3 log(n+) n= n ( ) n converge per il criterio di Leibniz. +3 ott.ssa Silvia Marconi - Analisi II - Ing. Ambiente e Territorio 4