TRIGONOMETRIA E RISOLUZIONE DEI TRIANGOLI
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- Valerio Casali
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1 TRIGONOMETRIA E RISOLUZIONE DEI TRIANGOLI Destintri quest unità didtti è rivolt studenti del 4 nno di lieo sientifio trdizionle. Le ore di mtemti previste sono 3. Progrmmi ministerili: lo studio delle funzioni goniometrihe, urve dei seni e delle tngenti, formule per l ddizione l sottrzione, l duplizione, l isezione degli rgomenti, semplii equzioni goniometrihe, risoluzione dei tringoli rettilinei, sono previsti nell lsse IV. Progrmmi Bro: prevedono l dimostrzione dei teoremi dei seni e del oseno, l risoluzione dei tringoli l 3 nno, mentre lo studio delle funzioni irolri e delle reltive formule di ddizione e sue prinipli onseguenze è rimndto l 4^. Nei ommenti si trov: Lo studio dell trigonometri, ridotto ll essenzile, è finlizzt ll risoluzione dei tringoli; esso risponde nhe lle neessità proprie delle ltre sienze. Pino Nzionle per l informti: lo studio dell trigonometri è previsto nel tem 1: oseno e seno degli ngoli onvessi. Relzione tr lti ed ngoli nei tringoli rettngoli d svolgersi nell lsse terz. D notre: funzioni irolri e formule vrie reltive sono nel tem 3. Oiettivi speifii Conosenze Conosere le relzioni tr i lti e gli ngoli di un tringolo rettngolo utilizzndo le funzioni seno, oseno, tngente. Conosere il teorem dell ord. Conosere le relzioni tr i lti e gli ngoli di tringoli qulunque. Conosere il teorem dei seni Conosere il teorem delle proiezioni. Conosere il teorem del oseno. Ailità Sper risolvere i tringoli rettngoli. Sper risolvere i tringoli qulunque Sper risolvere i prolemi di trigonometri, usndo i teoremi prinipli e utilizzndo equzioni goniometrihe. Sper risolvere i prolemi in ui è neessrio utilizzre le pplizioni dell trigonometri ll geometri nliti e ll geometri eulide. Prerequisiti Funzioni goniometrihe; Relzioni tr le funzioni goniometrihe; Formule goniometrihe. Equzioni e disequzioni goniometrihe. Prinipli onetti di Geometri Eulide Proprietà fondmentli delle figure geometrihe. Metodologie didttihe Per un produttivo intervento didttio suddividimolo in tre prinipli fsi e definimo per isun di esse i prinipli ttori. Immginimo di ver suddiviso l lsse in gruppi di lvoro (l selt dei gruppi è pilott on disrezione dll insegnnte l fine di rere gruppi stnz eterogenei): 1^ fse: in quest fse l insegnnte h un ruolo molto delito; egli deve riusire : evitre he i suoi interventi hiudno il prolem; evitre he i suoi interventi sopprimno l utonomi dell lunno; inorggire l rier;
2 non lssifire un risultto in giusto o sglito, m fr pire gli llievi he qulunque tenttivo può frli progredire nell loro rier; non stilire priori he os si può fre e he os non si può fre; intergire on i vri gruppi senz he i suoi interventi orientino in modo determinnte l ttività degli studenti. ^ fse quest fse è ollettiv, in ess sono presentte e disusse le deisioni e le soluzioni di ogni gruppo. Quest disussione di ilnio onsiste nell interzione del gruppo-lsse orhestrt dll insegnnte. 3^ fse l ultim fse viene svolt s singolrmente dgli studenti, he onsegnno poi ll insegnnte il lvoro svolto. Mterili e strumenti utilizzti Il softwre CABRI è usto ome strumento dtto d un pssggio intermedio reltivo ll'pprendimento dei onetti geometrii, ioè quell fse di sperimentzione onettule he st fr l definizione e l dimostrzione dei teoremi. E' usto nhe per impostre e risolvere grfimente i prolemi. Il softwre Derive il grfio delle funzioni goniometrihe e ltre he si inontrno durnte l risoluzione dei prolemi. Infine l stori dell Mtemti ome strumento metodologio per inqudrre d un punto di vist storio le nozioni e i onetti introdotti. Tempi previsti Aertmento dei prerequisiti Teoremi reltivi l tringolo rettngolo Risoluzione del tringolo rettngolo Teorem dell ord, seni, proiezioni,oseno Risoluzione dei tringoli qulunque e pplizioni vrie Verifi formtiv Verifi sommtiv Consegn e orrezione verifi Totle 9h h 17h Sviluppo dei ontenuti Relzioni tr i lti e gli ngoli di un tringolo rettngolo in funzione delle funzioni seno, oseno, tngente di un ngolo: Le funzioni goniometrihe sono stte definite ome oordinte di prtiolri punti. Or definimo le relzioni he interorrono tr i lti e gli ngoli di tringoli rettngoli proprio ttrverso tli funzioni. Si onsider l ironferenz goniometri di rggio unitrio(per omodità). sen tg Dove OP =, P H =, OH = os tg In generle possimo ffermre he: In un tringolo rettngolo il seno di un ngolo uto è ugule l rpporto tr il teto d esso opposto e l ipotenus; il oseno dello stesso ngolo invee si può definire ome il rpporto tr il teto d esso diente e l ipotenus.
3 sen tg tg Essendo os, possimo srivere Quindi : In un tringolo rettngolo l tngente di un ngolo uto è ugule l rpporto tr il teto opposto e quello diente d. os tg tg Essendo sen, possimo srivere. Quindi: In un tringolo rettngolo l otngente di un ngolo uto è ugule l rpporto tr il teto diente e quello opposto d. RISOLUZIONE DI UN TRIANGOLO RETTANGOLO Relzioni he interorrono tr gli elementi di un tringolo rettngolo (lti e ngoli). sen = /, os = /, tg = /, tg = /. sen = /, os = /, tg = /, tg = /. = sen, = os, = tg, = tg = sen, = os, = tg, = tg. Ognun di queste uguglinze si può leggere ome teorem. Risolvere un tringolo rettngolo signifi determinre tutti i suoi elementi; per fre iò, è suffiiente onosere oltre ll ngolo retto ltri due elementi. Riordimo inftti he vlgono le seguenti relzioni: sen oppure os Poihé questo è un sistem di quttro equzioni in sei inognite, è suffiiente onosere due elementi per risolverlo. Di tli elementi lmeno uno deve essere un lto poihé esistono infiniti tringoli on gli ngoli uguli e m le misure dei lti diverse. APPLICAZIONI GEOMETRICHE E FISICHE. QUALCHE CONSIDERAZIONE SUL CALCOLO VETTORIALE. L risoluzione del tringolo rettngolo trov numerose pplizioni si nell geometri he nell fisi. Ne vedimo qulhe esempio. 1. Nell semiironferenz di dimetro AB = r è insritto il tringolo ABC di perimetro r(+ 6). Risolvere il tringolo. In figur viene rppresentto un pino inlinto lisio, di lunghezz l e inlinzione ; sull su sommità è olloto un punto mterile di mss m. Si determini l elerzione on ui il orpo sivol lungo il pino, il lvoro ompiuto dll forz peso durnte l dut e l rezione vinolre del pino.
4 RELAZIONI TRA GLI ELEMENTI DI UN TRIANGOLO QUALUNQUE Un onseguenz delle relzioni esistenti tr gli elementi di un tringolo rettngolo è il teorem dell ord. Teorem dell ord L misur di un ord di un ironferenz è ugule l prodotto tr l misur del dimetro ed il seno di uno qulunque degli ngoli ll ironferenz he insistono su uno dei due rhi sottesi ll ord. PQ rsen. Teorem dei seni In un tringolo qulunque il rpporto tr l misur di un lto ed il seno dell ngolo opposto è ostnte.. sen sen sen Teorem delle proiezioni In un qulunque tringolo l misur di un lto è ugule ll somm dei prodotti di quelle degli ltri due lti per il oseno dell ngolo he isuno di questi form on il lto in questione. os os os os os os Osservzione: nel so in ui il tringolo si rettngolo l tesi segue immeditmente dlle relzioni vlide per i tringoli rettngoli. Teorem del oseno (o di Crnot) In un tringolo qulsisi, il qudrto dell misur di ogni lto è ugule ll somm dei qudrti delle misure degli ltri due, diminuit del doppio prodotto delle misure di questi per il oseno dell ngolo tr essi ompreso. os os os Osservzione: nel so in ui il tringolo si rettngolo il teorem del oseno si ridue quello di Pitgor. Osservzione Importnte: possimo utilizzre il teorem di Crnot per trovre un ondizione he i permett di stilire se un tringolo, dte le misure dei suoi lti, è utngolo, ottusngolo o rettngolo. Considerimo un tringolo di ui onosimo le misure dei lti, sino esse :,,. Supponimo d esempio he si il lto mggiore. Dl teorem di Crnot sppimo he : os d ui possimo rivre os, or: Se Se llor llor llor os 0 periò ioè il tringolo è ottusngolo. os 0 periò 0 ioè il tringolo è utngolo. Se os 0 periò ioè il tringolo è rettngolo. Tle proprietà dei tringoli è proilmente già stt vist nell trttzione dell geometri sinteti, or ne viene fornit un dimostrzione dl punto di vist goniometrio.
5 APPLICAZIONI ALLA GEOMETRIA EUCLIDEA Are di un tringolo di ui sono note le misure di due lti e dell ngolo tr essi ompreso. AB CA sen CAB S Are di un prllelogrmm di ui sono note le misure dei lti e dell ngolo ompreso tr essi. L re di un prllelogrmm è dt dl prodotto delle misure di due lti onseutivi per il seno di uno qulunque dei suoi ngoli. Are di un qudriltero onvesso di ui sono note le misure delle digonli e di un ngolo tr esse ompreso. L re di un qudriltero onvesso è dt dl semiprodotto delle misure delle sue digonli per il seno di un ngolo tr esse ompreso UNA APPLICAZIONE DELLA TRIGONOMETRIA ALLA GEOMETRIA ANALITICA Angolo formto d due rette tg tg tg tg m m' 1 tg tg 1 mm' Osservzioni 1. Quest formul non si può pplire nel so in ui le due rette sino perpendiolri,perhé in tl so, il prodotto dei loro oeffiienti ngolri è -1 ed il denomintore 1 + mm diventeree ugule 0 rendendo priv di signifito l espressione l seondo memro.. Qundo invee le rette sono prllele = 0 quindi m = m e tg = Se l rett r è prllel ll sse delle sisse, =. 4. Se l rett r è prllel ll sse delle ordinte, = / -. APPLICAZIONI ALLA FISICA Clolo del rggio terrestre L risultnte di due forze APPLICAZIONI TOPOGRAFICHE Distnz tr due punti essiili, m seprti d un ostolo Distnz tr un punto essiile e uno non essiile(a titolo d esempio si può mostrre ome si lol l distnz Terr- Lun) Distnz tr due punti entrmi non essiili PROBLEMI RISOLUBILI CON METODI GONIOMETRICI Conviene, volte, nell risoluzione di prolemi geometrii, segliere ome inognit l mpiezz di un ngolo. Le relzioni tr l inognit e i dti he individuimo dll nlisi del prolem si trduono, llor, in equzioni o disequzioni goniometrihe. Le relzioni he si utilizzno sono quelle he si rivno di teoremi dell geometri eulide: questi ostituisono delle relzioni tr gli elementi di un figur, he possono essere espresse lgerimente medinte equzioni e disequzioni VERIFICA SOMMATIVA 1. Determinre le misure dei lti e le mpiezze degli ngolo di un tringolo rettngolo spendo he un teto è ¼ dell ltro e he l loro somm è 30 m. (4)
6 . D un punto P esterno d un ironferenz di entro O e rggio r si trino le due tngenti os APB ll ironferenz stess e sino A e B i punti di onttto. Spendo he 5, determinre le lunghezze dei segmenti di tngenz PA e PB e l distnz di P dl entro O (6) 3. Clolre l ltezz di un mpnile, spendo he d un r distnte 80m si vede l im del mpnile seondo un ngolo di 4. (5) 4. Nel tringolo ABC si s he: (8) os A os 4 ; 5 B ; AB 10 Determinre: ) gli elementi inogniti del tringolo (4) ) le misure delle tre ltezze () )l re del tringolo e il rggio dell ironferenz d esso irosritt. () 5. In un ironferenz di entro O e rggio r l ord AB è il lto del qudrto insritto. D B si ondue un semirett tngente ll ironferenz e he gie, rispetto ll rett per AB,nel semipino ontenente O. Determinre su quest semirett un punto P tle he, indito on M l ulteriore punto in ui il segmento AP interse l ironferenz, si i l relzione: BM MP k PB on k numero rele. (8) GRIGLIA DI VALUTAZIONE 4 Punteggio Grezzo Voto in Deimi (Totle 31) (ottenuto on l proporzione) Voto in deimi (un propost)
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1) Si ha quindi Un cateto è uguale al prodotto dell ipotenusa per il seno dell angolo opposto.
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