Corso di laurea in Informatica. Regolatori. Marta Capiluppi Dipartimento di Informatica Università di Verona

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1 Corso di laurea in Informatica Regolatori Marta Capiluppi Dipartimento di Informatica Università di Verona

2 Scelta delle specifiche 1. Picco di risonanza e massima sovraelongazione percentuale: alto valore picco! alto valore sovraelongazione % => per limitare sovraelongazione, imporre basso coefficiente di smorzamento dei poli dominanti 2. Pulsazione di risonanza e pulsazione di oscillazione della risposta al gradino: vicine! pulsazione di oscillazione del transitorio si può trovare con la pulsazione di risonanza 3. Larghezza di banda e tempo di salita: la prima misura sia l abilità del sistema in retroazione nel riprodurre il segnale di ingresso, sia la capacità di eliminare il rumore in alta frequenza. Aumentare la larghezza di banda! diminuire il tempo di salita della risp. al gradino! rendere più veloce il transitorio iniziale. Valutazione approssimata della larghezza di banda è data dalla pulsazione di crossover di guadagno della risposta in frequenza di anello. 4. Margini di stabilità e distanza dei poli dall asse immaginario: per sistemi di secondo ordine o con poli complessi coniugati dominanti vale Coefficiente di smorzamento 0.01 * Margine di fase (in gradi) 2

3 Sistema controllato in retroazione U(s) + G c (s) G p (s) Y(s) - 3

4 Rete ritardatrice La rete ritardatrice introduce un attenuazione alle frequenze di interesse. Non introduce variazioni di fase né attenuazione alla pulsazione ω=0. Per aumentare il margine di fase, si potrebbe semplicemente ridurre il guadagno della f.d.t della catena diretta, ma comporterebbe una diminuzione della precisione (aumento dell errore a regime e riduzione della sensibilità ai disturbi e alle variazioni parametriche). G R (s) = 1+ s 1+ s, > 0, 0 < < 1 Il diagramma delle ampiezze è traslato verso il basso di 20log10α db per ω", mentre quello delle fasi rimane invariato alle basse e alte pulsazioni (ritardo di fase alle pulsazioni intermedie), aumentando il margine di fase. Compensazione: 1. Si fissa il guadagno statico della f.d.t. di anello in base alla specifica sull errore a regime 2. Si costruiscono i diagrammi di Bode della f.d.t. di anello e si impostano le specifiche sulla stabilità relativa e larghezza di banda, definendo il progetto di massima della rete 3. Si opera una eventuale messa a punto della rete progettata con i diagrammi di Bode 4. Si effettua la verifica delle specifiche 4

5 Dato il sistema Progetto Rete ritardatrice (I) G(s) = 100 ( s)( s) Determinare i margini di stabilità del sistema chiuso in retroazione (margin) Si imponga un margine di fase di almeno 60 Si provi prima a diminuire il guadagno del sistema d anello Successivamente, si progetti una rete ritardatrice imponendo un margine di fase di circa 66 Ad esempio α=0.2 e τ=1. Diminuire il valore di α se necessario. 5

6 Progetto Rete ritardatrice (II) Progettare una rete ritardatrice significa determinare la costante di tempo τ del polo della rete e il valore di α. Il valore di α si sceglie in modo da spostare nella posizione desiderata la nuova pulsazione di crossover di guadagno, che deve essere sufficientemente più alta della pulsazione del polo della rete, per non essere influenzata dal ritardo introdotto sul nuovo margine di fase. Controindicazioni: la rete ritardatrice può comportare un eccessiva diminuzione della larghezza di banda! diminuzione della prontezza di risposta del sistema! il valore di α non deve essere troppo basso. Metodologia di progetto coi diagrammi di Bode: 1. Sia KG(jω) la f.d.t. della catena diretta 2. Si fissa il valore di K (reale) in base alla specifica sull errore a regime 3. Si disegnano i diagrammi di Bode di KG(jω) 4. Sia M fr il margine di fase minimo richiesto. Se il sistema ha un margine di fase minore di M fr, fissato un coefficiente di tolleranza ε, si determina dal diagramma di Bode del sistema KG(jω) la pulsazione ω c t.c. la fase della f.d.t. della rete sia M fr + ε 5. Si fa in modo che ω c sia la nuova pulsazione di crossover del sistema compensato 20log 10 G(jω c ) +20log 10 α=0. Perciò = 10 G(j! c) db La pulsazione di zero si pone almeno una decade sotto ω c, da cui τ=10/(α ω c ) 7. Si verificano le specifiche. 6

7 Progetto Rete ritardatrice (III) Dato il sistema G(s) = 100K s(s + 20)(s + 100) Progettare una rete ritardatrice con M fr =60 Errore =

8 Rete anticipatrice La rete anticipatrice introduce un anticipo di fase che può aumentare il margine di fase se inserito a pulsazioni opportune. In molti sistemi, non si può usare una rete ritardatrice, perché la fase della f.d.t è troppo bassa a tutte le pulsazioni di interesse. La rete anticipatrice ha guadagno statico unitario, perciò non varia la precisione a regime Introduce una amplificazione ad alta frequenza, aumentando l ampiezza di banda! maggiore prontezza di risposta in transitorio. Non eccedere nella larghezza di banda, per non rendere il sistema vulnerabile ad alte frequenze! se il margine di fase desiderato è maggiore di 60 è conveniente usare più reti anticipatrici. Fd.t. rete anticipatrice G A (s) = 1+ s 1+ s, > 0, 0 < < 1 8

9 Progetto Rete anticipatrice (I) Progetto coi diagrammi di Bode: 1. Sia KG(jω) la f.d.t. della catena diretta 2. Si fissa il valore di K (reale) in base alla specifica sull errore a regime 3. Si disegnano i diagrammi di Bode di KG(jω) 4. Sia M fr il margine di fase richiesto. Se il sistema ha un margine di fase M f minore di M fr, fissato un coefficiente di tolleranza ε, si determina l anticipo da introdurre in corrispondenza della nuova pulsazione di crossover ω c pari a φ m =M fr -M f + ε 5. Se φ m <60 è sufficiente una sola rete anticipatrice e si calcola = 1 sin m 1 + sin m 6. Si individua graficamente la nuova ω c tale che l ampiezza del sistema non compensato valga 10log 10 α db. 7. Si calcola 1 =! p c 9. Si verificano le specifiche. Nel caso in cui al punto 5 sia φ m >=60, si determina una prima rete considerando un primo anticipo da introdurre φ m1 <60 e si esegue la sintesi. Si itera il procedimento fino ad ottenere il margine di fase desiderato. 9

10 Progetto Rete anticipatrice (II) Dato il sistema G(s) = 100K s(s + 20)(s + 100) Progettare due reti anticipatrici in cascata per ottenere M fr =60 Errore =

11 Regolatori standard Regolatore ad azione Proporzionale, Integrale, Derivativa (PID) Tipi di regolatori standard: Regolatore proporzionale (P): Regolatore proporzionale integrale (PI): Regolatore proporzionale derivativo (PD): Regolatore PID: de(t) u(t) =K P (e(t)+t D dt G c (s) =K P + 1 T I Z t 0 G c (s) =K P (1 + 1 e(t)d ) T I s ) G c (s) =K P (1 + T D s) G c (s) =K P (1 + T D s + 1 T I s ) 11

12 Regolatore Proporzionale P Si impiega quando il sistema da controllare consente un elevata costante di guadagno d anello, garantendo comunque la stabilità! sistemi con una sola costante di tempo dominante. Compensare il seguente sistema con un regolatore P per renderlo più preciso a regime! migliorare il tempo di assestamento (sistema più pronto). K p =10 G(s) = 0.1 s( s)(1 + s) 12

13 Regolatore PI Introduce nella funzione di anello un polo nell origine e uno zero reale negativo! rete ritardatrice! migliora la precisione a regime di sistemi di tipo 0 e 1, garantendo la stabilità! migliora il margine di fase per effetto dello zero, ma determina una riduzione della larghezza di banda del sistema in retroazione. Compensare il seguente sistema con un regolatore PI che cancelli uno dei poli del sistema in s = -1. K p =0.1 T i =1 G(s) = 20 (1 + s) 2 ( s) 13

14 Regolatore PD Si usa in sistemi di tipo 1 o 0 per migliorare la stabilità relativa e la prontezza della risposta, senza alterarne il tipo! rete anticipatrice! modifica il guadagno statico e introduce (zero) un anticipo di fase per ogni valore di pulsazione! aumenta l ampiezza di banda del sistema in retroazione. Compensare il seguente sistema con un regolatore PD. (NB: il regolatore non è fisicamente realizzabile in Matlab, perciò è necessario aggiungere un polo di valore assoluto molto elevato, in modo che il suo effetto sia trascurabile). K p =0.01 T d =2 G(s) = 20 s(1 + s) 2 ( s) 14

15 Regolatore PID Garantisce una correzione completa, che include quella di tutti i precedenti regolatori! il polo nell origine migliora la precisione a regime, aumentando il tipo del sistema, i due zeri migliorano la stabilità e la prontezza di risposta, grazie all anticipo di fase, l azione proporzionale migliore l errore a regime. Compensare il seguente sistema con un regolatore PID che cancelli i poli più vicini all asse immaginario (s=-1 e s=-10), per ottenere margine di stabilità migliore per il sistema compensato. K p =0.5 T i =11/10 T d =1/11 G(s) = 20 (1 + s)( s)( s)( s) 15

16 Taratura parametri: modello di Ziegler-Nichols in anello aperto (I) Questo metodo fornisce i valori di primo tentativo dei parametri del PID, in funzione di alcune misure sulla risposta a gradino del sistema in anello aperto. 1. Si registra la risposta del sistema in anello aperto ad un gradino di ampiezza M 0 2. Si approssima il sistema da compensare con un modello del primo ordine con ritardo G(s) ' K e t 0s 1+Ts 16

17 Taratura parametri: modello di Ziegler-Nichols in anello aperto (II) 3. Per via grafica si ricavano i valori dei parametri caratteristici del sistema approssimato, tracciando la tangente nel punto di flesso della risposta al gradino. K=C 0 /M 0 4. Si scelgono i parametri seguendo la tabella. K p T i T d P T/(K*t 0 ) PI 0.9T/(K*t 0 ) 3t 0 PID 1.2T/(K*t 0 ) 2t 0 0.5t 0 17

18 Taratura parametri: modello di Ziegler-Nichols in anello aperto (III) Progettare un PID per il seguente sistema G(s) = 1 (s + 1) 3 Si noti che è possibile usare la funzione pid di Matlab Simulink>Continuous>PID 18