Considerazioni sulla Dualità Statico-Cinematica

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1 Università Politecnica delle Marche Facoltà di Ingegneria Scuola di Dottorato di Ricerca in Scienze dell'ingegneria Curriculum in Architettura, Costruzioni, Strutture Considerazioni sulla Dualità Statico-Cinematica Modelli Teorici e Applicazioni Numeriche Tutore Prof. Ing. Fabrizio DAVÍ Dottorando Ing. Dario GENOVESE Coordinatore di Curriculum Prof. Ing. Stefano LENCI Tesi di Dottorato - X Ciclo - 31 Dicembre 2011

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3 Università Politecnica delle Marche Dipartimento di Ingegneria Civile, Edile e Architettura Via Brecce Bianche, 60131, Ancona

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5 Ringraziamenti Desidero ringraziare l'ing. Massimo Pradelli (Pradelli Srl) e l'ing. Odine Manfroni (MEW - Manfroni Engineering Workshop) per avermi dato la possibilità di mettere in pratica le conoscenze teoriche acquisite in questi tre anni di dottorato e nella stesura di questa tesi.

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7 `Tutto dovrebbe essere reso il più semplice possibile, ma non più semplice' Albert Einstein

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9 Indice Introduzione 1 1 Il Principio dei Lavori Virtuali 5 2 Strutture Discrete Denizione ed esempi Il PLV per strutture discrete Comportamento non lineare Struttura dell'equazione cubica e potenziale Meccanismi Pretensionabilità Vincoli Semplicazioni in ambito non lineare Strutture reticolari Vincoli Congruenza Equazioni per una struttura reticolare Calcolo di una struttura reticolare pretesa Materiali e proli impiegati Analisi dei Carichi Analisi Statica e Cinematica Modello di calcolo della struttura Risultati Schemi graci della struttura Strutture Continue Monodimensionali Congruenza e legame costitutivo Relazioni tra sforzi e deformazioni

10 3.2 Analisi del continuo monodimensionale Integrazione per parti del PLV Equilibrio Autotensioni Meccanismi Analisi lineare Analisi non lineare Cambio di variabili Cinematica del secondo ordine per la trave curva Preliminari matematici Equilibrio e cinematica Interpretazione geometrica di alcuni termini Cinematica nita Un Modello Cosserat per i Ferroelettrici La trave su suolo elastico Generalizzazione 3D della trave su suolo elastico La trave deformabile a taglio Interpretazione geometrica della cinematica Analisi numeriche tramite elementi niti Progetto dell'elemento nito Risultati La Dualità in Dinamica Modello matematico Termini di frontiera Dierenze tra statica e dinamica Legame costitutivo Condizioni al contorno Conclusioni 107 A Algoritmi 109 A.1 Algoritmo di Newton-Raphson A.2 Metodo della discesa del gradiente A.3 Ottimizzazione non lineare vincolata Bibliograa 113

11 Introduzione Gli ultimi decenni sono stati protagonisti di un rapido sviluppo dell'informatica e dell'elettronica con importanti conseguenze in tutto il mondo tecnico e scientico. In meccanica strutturale i principi energetici variazionali sono diventati la base teorica di molte procedure di analisi numerica. La presente tesi di dottorato è uno studio sul Principio dei Lavori Virtuali e sul suo utilizzo pratico per dedurre modelli teorici strutturali in vari ambiti. Particolare enfasi viene inoltre posta sull'approccio numerico a questi modelli, visto che la diusione dell'uso dei Personal Computer in qualsiasi applicazione ingegneristica è ormai capillare. Anche nelle parti teoriche della tesi si è quindi cercato sempre, per quanto possibile, di scrivere le equazioni in forma tale da essere direttamente utilizzabili nelle applicazioni numeriche. La tesi è organizzata come segue: ˆ Il primo capitolo, di carattere introduttivo e generale, è un breve ragionamento sul Principio dei Lavori Virtuali e sul concetto di dualità statico-cinmeatica su cui esso si basa. Denisce lo sfondo teorico su cui si svilupperà poi tutta la tesi. ˆ Il secondo capitolo aronta la tematica dell'analisi delle strutture discrete, ovvero il cui stato è denito da un numero nito di gradi di libertà. Si parte dal concetto di cinematica del secondo ordine, suciente per descrivere il comportamento anche post-critico di strutture con moderati spostamenti e per modellare gli eetti irrigidenti della pretensione. I metodi generali di analisi sono quindi specializzati per le strutture reticolari. Inne viene studiata una struttura reticolare reale, in cui viene anche calcolata la pretensione ideale da impartire alla struttura tramite un algoritmo di ottimizzazione non lineare vincolata. ˆ L'oggetto del terzo capitolo è il metodo di analisi dei continui monodimensionali. Anche qui viene dato largo spazio alla teoria del secondo 1

12 2 Introduzione ordine. Come applicazione viene dedotta la cinematica del secondo ordine della trave curva partendo dall'equilibrio in congurazione deformata e usando il PLV. Si da quindi un'interpretazione sica e geometrica dei termini che compaiono nelle espressione delle deformazioni. A conclusione viene fatto un breve cenno sulla cinematica nita generica per un continuo monodimensionale, specializzandola poi per la trave curva. ˆ Il quarto capitolo propone un nuovo modello tridimensionale per i materiali ferroelettrici, matematicamente simile al modello Cosserat. In particolare viene messa in correlazione l'energia di depolarizzazione dei ferroelettrici con il taglio micropolare Cosserat, e si da un interpretazione sica su scala atomica del modello proposto. Si eettuano inoltre delle analisi numeriche non lineari tramite elementi niti di una trave deformabile a taglio, la quale è infatti l'analogo monodimensionale del continuo tridimensionale di tipo Cosserat. L'analisi viene eettuata partendo dalla cinematica del secondo ordine della trave, e mette in collegamento il terzo capitolo (cinematica della trave) con il secondo (strutture discrete). Il progetto dell'elemento nito compatibile con il modello continuo viene descritto nei minimi dettagli, con un procedimento utilizzabile ogni qual volta si abbia a che fare con una cinematica del secondo ordine. ˆ Inne nel quinto capitolo si propone un'interpretazione duale delle leggi della dinamica. La variabile tempo può essere vista in modo simile alla variabile spazio, la velocità prende il ruolo di una deformazione e la quantità di moto il ruolo di uno sforzo interno. Le equazioni dedotte sono formalmente simili a quelle della statica. E' presente inoltre un appendice in cui si accenna ad alcuni metodi numerici di ottimizzazione e di analisi per le strutture. Simbologia Sono state adottate le seguenti convenzioni, valide salvo diversamente indicato ˆ Le quantità scalari vengono indicate con lettere maiuscole o minuscole in corsivo (a, A, b, B, α, Γ) ˆ I vettori vengono indicati con lettere minuscole in grassetto (a, b, α)

13 Introduzione 3 ˆ Le matrici vengono indicate con lettere maiuscole in grassetto (A, B, Γ) ˆ Tensori del terzo ordine o superiore sono indicati con lettere maiuscole in carattere calligraco (A, B, C ). Indicheremo in particolare con E = E ijk l'alternatore di Ricci. Una sottolineatura indica che la quantità è intesa come virtuale, preferendo per brevità tipograca questa convenzione rispetto all'uso del più classico carattere aggiuntivo δ. Si leggerà quindi a = δa. Nelle moltiplicazioni si è inoltre fatto uso della convenzione di Einstein sulla sommatoria negli indici.

14 4 Introduzione

15 Capitolo 1 Il Principio dei Lavori Virtuali Una congurazione è di equilibrio se e solo se il lavoro virtuale delle forze esterne è uguale al lavoro virtuale delle forze interne, per ogni spostamento virtuale ammissibile Il modello oerto allo studente universitario nel primo corso di Scienza delle Costruzioni per descrivere il comportamento del continuo tridimensionale elastico di Cauchy è basato sui concetti di equilibrio e di congruenza. Tramite il legame costitutivo si deducono quindi le equazioni del problema elastico. Una volta denita la congruenza e l'equilibrio viene fatto notare che esiste una dualità tra questi due concetti e viene dimostrato il Principio dei Lavori Virtuali (abbreviato in PLV ), sovente proposto come teorema. Formulazione analoga viene fatta quando si studia il comportamento elastico di una trave e si deduce l'equazione della linea elastica denendo curvatura, momento ettente e legame costitutivo momento-curvatura. La motivazione di questa scelta è abbastanza ovvia. Il PLV è di dicile interpretazione per uno studente, che si trova molto più a suo agio nell'immaginarsi un tensore degli sforzi a cui può dare un chiaro signicato sico, e nell'associarvi un secondo tensore, quello delle deformazioni, con la stessa struttura e correlato al primo tramite un legame costitutivo. Solo acquisita condenza con questi concetti viene enunciato e dimostrato il PLV. In realtà, se le leggi di congruenza ed equilibrio sono denite indipendentemente, non è necessariamente valido il PLV. Il compito principale della meccanica strutturale è quello di fornire il modello per descrivere una struttura, sia essa una trave, una trave con deformabilità a taglio e su suolo elastico, una piastra di Kirchho, una piastra di Von Karman con comportamento non lineare, una struttura reticolare discreta, un continuo ferroelettrico; la lista può continuare indenitamente, sia per strutture discrete o continue in una, 5

16 6 Il Principio dei Lavori Virtuali due o tre dimensioni. Le equazioni scritte per ciascuno di questi modelli sono tra le più varie, ma sono tutte accomunate dal fatto che soddisfano il PLV. Come dice il nome, è quindi preferibile accettare il PLV come un assioma e valutare la bontà di un modello nel fatto che lo soddis, condizione necessaria per rendere il modello accettabile. Una conseguenza del PLV è che, se il sistema ammette un potenziale, la congurazione di equilibrio si ha in condizioni di stazionarietà di quest'ultimo. Il PLV ha tuttavia una valenza più ampia, ed è applicabile anche in ambito non conservativo (ad esempio per modelli con legame costitutivo non simmetrico). In simboli il PLV può essere enunciato tramite la seguente equazione (il prodotto si intende come prodotto scalare): f d = σ ɛ d (1.1) In questa equazione f rappresenta le forze esterne, d gli spostamenti, σ gli sforzi interni (o anche tensioni interne) e ɛ le deformazioni. Il primo membro è quindi il lavoro virtuale esterno, mentre il secondo quello interno. In realtà bisognerebbe completare l'equazione con dei simboli di integrale per strutture continue, nonchè dei relativi termini di bordo per il lavoro esterno, oppure di sommatoria per strutture discrete. Nella formulazione tramite elementi niti, in cui una funzione continua si approssima come una combinazione lineare di un numero nito di funzioni, compaiono sia il simbolo di integrale che di sommatoria sugli elementi. Per adesso si preferisce però soermarsi sui concetti di base ed evitare simbologie più precise. L'equazione (1.1) mette in perfetta evidenza la dualità statico-cinematica. Esistono due coppie di enti, duali l'uno dell'altro, cioè che compiono mutuamente lavoro: le forze f compiono lavoro per gli spostamenti duali d, mentre gli sforzi interni σ compiono lavoro per le deformazioni duali ɛ. E' importante osservare che i concetti di forza e di spostamento sono completamente generalizzati. Si intende la forza come un qualsiasi ente che compie lavoro per un grado di libertà (spostamento) della struttura. Analogamente una tensione interna è l'oggetto che compie lavoro per la rispettiva deformazione. L'equazione (1.1) può essere resa più chiara esplicitando la dipendenza da d. In eetti l'equazione ha per incognita gli spostamenti, quindi per risolverla bisogna comunque esprime tutto in funzione di essi. f(d) d = σ(ɛ(d)) ɛ(d) d (1.2) Le forze esterne, in una trattazione generale, dipendono dagli spostamenti (carichi vivi). A volte è possibile supporle costanti (carichi morti) anche se

17 Il Principio dei Lavori Virtuali 7 non lo sono, basta correggere adeguatamente il secondo membro. Ad esempio nella formulazione classica della trave su suolo elastico, il cui modello è denito in un continuo monodimensionale, le forze agenti su un punto sono somma della forza esterna indipendente dagli spostamenti e della reazione elastica del suolo, dipendente invece dall'abbassamento della trave. Si può trasformare questa reazione aggiungendo nel secondo membro la deformazione del suolo con il relativo sforzo duale. La reazione del suolo viene quindi vista come uno sforzo interno invece che come una reazione esterna. La tensione σ dipende dalla deformazione tramite il legame costitutivo. In elasticità lineare il legame costitutivo è una matrice, simmetrica in caso di materiali conservativi. L'uso di una matrice per modellare il legame costitutivo è frequente anche nei modelli non lineari: si parla in questo caso di non linearità geometrica, in quanto i termini non lineari provengono dalla non linearità della relazione di congruenza. E' possibile anche supporre che la struttura sia in pretensione. Una struttura si dice pretesa se, nella congurazione di riferimento (d = 0) si ha anche σ 0. La deformazione ɛ dipende dagli spostamenti d mediante un legame detto congruenza. Nei modelli lineari discreti è rappresentata da una matrice. In quelli continui le deformazioni dipendono non solo dallo spostamento, ma dalle sue derivate anche successive. Nei modelli non lineari il più delle volte è suciente esprimere la congruenza come la somma di una parte lineare e di una parte quadratica negli spostamenti. Questa semplicazione è spesso suciente per studiare il comportamento della struttura, anche nei confronti dell'instabilità (comportamento post-critico) e in presenza di pretensione. La deformazione virtuale ɛ è sempre lineare negli spostamenti virtuali d, in quanto una quantità si può denire virtuale se appartiene al brato tangente ad una data congurazione [1]. Nei modelli lineari la deformazione virtuale dipende solo dagli spostamenti virtuali. Nel caso il legame di congruenza sia quadratico negli spostamenti (congruenza del secondo ordine), le deformazioni virtuali sono lineari sia in d che in d. Tramite il PLV, dalla congruenza può essere dedotto l'equilibrio (e viceversa). Le relazioni di equilibrio legano le tensioni con le forze esterne. Nel caso di cinematica non lineare queste relazioni dipendono anche dagli spostamenti, in quanto bisogna scrivere l'equilibrio nella congurazione deformata. Inne esprimendo gli sforzi interni in funzione degli spostamenti si ottengono le equazioni di equilibrio scritte a la Navier, ovvero una relazione diretta tra spostamenti e forze esterne, che possono essere direttamente risolte. La procedura è immediata per strutture discrete, o discretizzate tramite elementi niti: dovendo il PLV essere valido per ogni spostamento virtuale o grado

18 8 Il Principio dei Lavori Virtuali di libertà, se la struttura non è labile si possono semplicare nelle equazioni scritte gli spostamenti virtuali d ed ottenere una equazione in d. Nel caso di strutture continue la procedura consiste nell'applicare una o più volte le formule di integrazione per parti (strutture monodimensionali) o le formule di Green (strutture a più dimensioni). Così facendo si rimuovono gli eventuali operatori dierenziali dagli spostamenti virtuali, che possono quindi essere semplifcati, ottenendo un sistema di equazioni dierenziali nelle funzioni spostamento d. Vedremo in seguito come operativamente e secondo i casi si deducono le equazioni che governano il comportamento di una struttura.

19 Capitolo 2 Strutture Discrete 2.1 Denizione ed esempi Una struttura si dice discreta se il suo stato è descritto da un numero nito di variabili o gradi di libertà della struttura, che in un sistema meccanico prendono il nome di spostamenti. Lo studio delle strutture discrete è di fondamentale importanza in ingegneria. Molti sistemi sici infatti possono essere considerati eettivamente discreti. Inoltre, salvo rare eccezioni, l'unico modo per studiare in modo numericamente preciso sistemi non discreti è quello di discretizzarli su elaboratore ad esempio con elementi niti. Tipici esempi di strutture discrete, che analizzeremo in seguito, sono le strutture reticolari, costituite da un numero nito di nodi collegati da aste. Le strutture reticolari sono fra le più semplici delle strutture discrete. Il loro modello è costituito da un insieme di punti (nodi) su cui agiscono le forze esterne e che possono spostarsi nelle tre direzioni spaziali, e da un insieme di aste che hanno come unica deformazione l'allungamento assiale. Altri modelli discreti sono le strutture intelaiate. Il modello dierisce da quello delle strutture reticolari per il fatto che i nodi, oltre che spostarsi, possono anche ruotare, e quindi tra le forze bisogna considerare anche i momenti. Le aste possono, oltre che allungarsi, anche incurvarsi e torcersi, introducendo delle nuove deformazioni e tensioni interne. Modelli più complessi sono deniti per lo studio delle strutture molecolari, come ad esempio nel DREIDING [2]. In questo modello gli atomi rappresentano i nodi ciascuno con i tre gradi di libertà di spostamento spaziale, mentre gli enti che si deformano sono suddivisi in cinque categorie: ˆ Legame atomico: ha un allungamento e dipende dalla posizione dei due atomi 'legati'. 9

20 10 Strutture Discrete ˆ Angolo piano fra tre atomi: è un oggetto che ha un atomo intermedio e due atomi collegati ad esso. Ha una deformazione dipendente dall'angolo formato ˆ Elemento di torsione: collega quattro atomi supposti 'in la', A-B-C-D, e si deforma in funzione della posizione dei quattro atomi ˆ Angolo piano fra quattro atomi: collega quattro atomi di cui uno 'centrale': la sua deformazione rappresenta la variazione dell'angolo solido formato. ˆ Legame di Van der Waals tra due atomi. Ha un allungamento dipendente dalla posizione degli atomi. Da un punto di vista lineare può essere visto come un legame atomico, ma il comportamento in ambito non lineare è dierente. In questo modello la congruenza (e quindi gli enti che contribuiscono alle deformazioni) vengono deniti mediante i legami presenti tra gli atomi della molecola, mentre i tipi di atomi coinvolti entrano in gioco nel legame costitutivo. 2.2 Il PLV per strutture discrete In una struttura discreta il PLV può essere scritto come f d = σ ɛ d (2.1) Il simbolo di sommatoria nel primo membro varia su tutti i possibili nodi, mentre nel secondo membro varia sugli oggetti che si possono deformare. Si possono omettere i simboli di sommatoria organizzando spostamenti, forze, tensioni e deformazioni in quattro vettori distinti, ciascuno dei quali viene associato all'intera struttura invece che ad un singolo elemento. Così facendo il PLV torna ad avere la scrittura (1.1). Se il modello è lineare e in assenza di pretensione si può scrivere il PLV con ˆ f costante (non dipendente da d) ˆ σ = Hɛ. Il legame costitutivo si esprime tramite una matrice H quadrata, simmetrica nel caso di strutture conservative. ˆ ɛ = Cd. La matrice C è detta matrice cinematica o anche matrice di congruenza. Si ottiene immediatamente anche ɛ = Cd

21 Strutture Discrete 11 Il PLV (1.1) si scrive quindi come: ovvero f d = σ Cd, d (2.2) f d = C T σ d, d (2.3) Si possono semplicare gli spostamenti virtuali e ottenere l'equilibrio f = C T σ (2.4) La matrice C T che lega le tensione con le forze viene detta matrice di equilibrio, e stante il PLV è sempre la trasposta della matrice cinematica. Viceversa se si denisce la matrice di equilibrio, con il PLV si ottiene la matrice cinematica come trasposta di quella di equilibrio. Scrivendo nella (2.4) la tensione in funzione degli spostamenti si ottiene la relazione di equilibrio a la Navier f = C T HCd = Kd (2.5) La matrice quadrata K = C T HC viene detta matrice di rigidezza della struttura, ed è simmetrica nel caso di strutture conservative. Se la struttura non è labile la matrice K è invertibile, e si può porre Comportamento non lineare d = K 1 f (2.6) La trattazione è molto simile nel caso di comportamento non lineare. E' interessante analizzare il caso in cui la congruenza sia quadratica negli spostamenti. Questa supposizione, pur non essendo valida nel caso di grandi spostamenti, ha i seguenti vantaggi: ˆ In molti casi è suciente per denire, anche quantitativamente, il comportamento postcritico di una struttura, o di ranare con precisione la soluzione ottenuta in ambito lineare ˆ E' utile per modellare gli eetti della pretensione ˆ Come verrà precisato in seguito è di comoda e ecace implementazione numerica (si vedano Cap.2.4 e Cap.4.5.1)

22 12 Strutture Discrete Si può denire una congruenza del secondo ordine come una relazione del tipo ɛ(d) = 1 2 G dd + Cd [ɛ i = 1 2 G ijkd j d k + C ij d j ] (2.7) dove il tensore del terzo ordine G ijk denisce la parte quadratica della congruenza e si può supporre simmetrico nel secondo e terzo indice (ovvero G ijk = G ikj ). La matrice C esprime la parte lineare della congruenza. Sfruttando la simmetria di G, si può scrivere la deformazione virtuale ɛ = G dd + Cd (2.8) Il legame costitutivo si può continuare a supporre lineare, ed è possibile anche considerare gli eetti di una pretensione iniziale σ π : σ = Hɛ + σ π (2.9) In alternativa è possibile modellare la pretensione aggiungendo una quantità costante nella congruenza (2.7), invece che nel legame costitutivo. Infatti una pretensione è concettualmente equivalente ad una deformazione iniziale imposta. Si osservi che, se nella congruenza abbiamo una deformazione iniziale costante, questa non genera cambiamenti nell'espressione della deformazione virtuale. Mediante le opportune sostituzioni nel PLV (1.1), la (2.5), si trasforma in un sistema di terzo grado in d con tante equazioni quante incognite, del tipo: A d 3 + B d 2 + K d + δ = 0 (2.10) dove A e B sono tensori del quarto e terzo ordine, e la potenza di un vettore indica moltiplicazioni ripetute variando gli indici. Il sistema è risolubile tramite l'algoritmo di Newton-Raphson o con il metodo della discesa del gradiente nel caso di strutture instabili ma dotate di potenziale. Si veda l'app.a per ulteriori dettagli su questi metodi. E' possibile linearizzare questa equazione, ottenendo una relazione formalmente analoga alla (2.5). Tuttavia l'espressione della rigidezza risulta modicata in K = C T HC + G σ π [G σ π = G ijk σ π i ] (2.11) Quest'ultima equazione mette enfasi sul fatto che, in presenza di pretensione, una congruenza non lineare contribuisce comunque alla rigidezza lineare K, con un'aliquota proporzionale alla pretensione stessa e indipendente dal legame costitutivo H.

23 Strutture Discrete Struttura dell'equazione cubica e potenziale In questo paragrafo si analizza la struttura dell'equazione (2.10) nell'ipotesi che i legame costitutivo sia simmetrico (comportamento conservativo). Un'accorgimento molto importante sta nello svolgere i calcoli mantenendo la simmetria dei tensori. In particolare il tensore A ijkl deve essere simmetrico per permutazioni degli indici ijk, e il tensore B ijl deve essere simmetrico per permutazioni di ij. Questa operazione si può eseguire tramite le due sostituzioni A ijkl (A ijkl + A ikjl + A jikl + A jkil + A kijl + A kjil )/6 B ijl (B ijl + B jil )/2 (2.12) Si osservi che l'ultimo indice l è quello che non viene moltiplicato e rappresenta l'indice dell'equazione vettoriale risultante. Questa simmetrizzazione è sempre lecita, in quanto consiste semplicemente nel riorganizzare i monomi simili al primo membro della (2.10) sfruttando la proprietà commutativa della moltiplicazione fra scalari. La simmetria del legame costitutivo garantisce inoltre la simmetria anche nell'ultimo indice l. Ciò premesso è facile inne osservare che ogni soluzione della (2.10) è anche un punto stazionario del potenziale U(d) = 1 4 A d B d K d2 + δ d (2.13) E' valido anche il viceversa, ovvero ogni punto stazionario è anche punto di equilibrio. L'equilibrio inoltre è stabile se il punto stazionario è anche punto di minimo per il potenziale U Meccanismi Un insieme connesso di spostamenti d che include lo 0 e altri elementi e per cui si ha sempre ɛ(d) = ɛ(0) viene chiamato meccanismo. Di solito si modella la pretensione aggiungendo una quantità costante a σ invece che a ɛ, nel qual caso essendo ɛ(0) = 0 si ottiene per la denizione di meccanismo ɛ(d) = 0 (2.14) Se per un valore di d si ha che ɛ = 0 se approssimato al primo ordine, cioè se Cd = 0, si dice che lo spazio lineare ad una dimensione generato da d è un meccanismo innitesimo (o, per estensione, che d stesso è un meccanismo innitesimo). Questa denizione è stata data per strutture reticolari [3], ma può essere applicata a qualsiasi tipo di struttura discreta. Talvolta ci si

24 14 Strutture Discrete può riferire ai meccanismi innitesimi semplicemente come meccanismi. Un classico esempio di meccanismo innitesimo è lo spostamento verticale del nodo centrale in un arco a tre cerniere allineate (Fig.2.1). Figura 2.1: Arco a tre cerniere allineate Si osservi che se una struttura presenta un meccanismo innitesimo può avere comunque una rigidezza lineare in caso di pretensione e nel caso la congruenza al secondo ordine sia non nulla. Altro fatto importante da osservare è che la rigidezza da pretensione può essere negativa, nel qual caso si possono avere fenomeni di instabilità Pretensionabilità Una struttura si dice in pretensione se si ha σ 0 quando d = 0. Se si chiamano f π le forze iniziali esterne quando d = 0, il PLV si scrive come f π d = σ ɛ (2.15) Supponendo che non ci siano deformazioni iniziali (quindi ɛ = 0 se d = 0) e imponendo solo la pretensione, se d = 0 si ottiene ɛ = 1 2 G dd + Cd = 0 ; ɛ = G dd + Cd = Cd ; σ = σπ (2.16) Sostituendo queste ultime equazioni nella (2.15) ed eliminando gli spostamenti virtuali si ottiene f π = C T σ π (2.17) che si trasforma in C T σ π = 0 se si desidera che la struttura sia in pretensione in assenza di forze iniziali esterne Vincoli A volte è necessario imporre dei vincoli alla struttura, sia per eliminare eventuali labilità, sia perchè si possono imporre degli spostamenti. Chiamiamo d gli spostamenti non vincolati. Così facendo le espressioni della deformazione

25 Strutture Discrete 15 e della deformazione virtuale, espresse in precedenza in funzione di d e d, vengono riscritte in funzione di d e d. Riscriviamo il PLV in questa forma Supponiamo ora che i vincoli siano lineari: f d = σ ɛ (2.18) d = Vd + d c ; d = Vd (2.19) In questa equazione la matrice vincolare V è una matrice rettangolare alta che riduce i gradi di libertà della struttura. Il vettore d c rappresenta degli spostamenti imposti (viene usato ad esempio per modellare i cedimenti). Sostituendo le (2.19) nella (2.18), si ottiene al primo membro l'espressione f Vd, ovvero f d, avendo denito f tramite la relazione duale di (2.19) f = V T f (2.20) Al secondo membro le quantità σ e ɛ vengono quindi riespresse in funzione di d. Essendo comunque la relazione tra d e d lineare, dopo le opportune sostituzioni ci si riconduce comunque ad un'equazione del tipo (2.10). E' possibile modellare anche vincoli elastici. Per far questo, si può o imporre una dipendenza delle forze esterne dagli spostamenti (f = f(d)), oppure, nel caso di vincoli lineari elastici, si possono interpretare i vincoli come azioni interne della struttura. In questo caso si può denire la deformazione elastica pari allo spostamento del nodo, e la sua tensione pari al prodotto della deformazione per la costante elastica della molla. Il suo lavoro virtuale va quindi ad aggiungersi al lavoro virtuale interno della struttura Semplicazioni in ambito non lineare Consideriamo nuovamente l'equazione (2.10) e supponiamo che gli autovalori di K siano tutti positivi, ma di ordine di grandezza dierenti. Essendo tutti positivi, se si rimane nell'ambito di piccoli spostamenti, l'equazione sarà governata principalmente dalla rigidezza lineare K, in quanto non intervengono fenomeni di instabilità. Gli eetti non lineari inoltre saranno tanto più marcati tanto più è bassa la rigidezza lineare. Ad esempio le rigidezze di una trave reticolare sono di ordine di grandezza diversi se si considerano le forze tipo 1 e le forze tipo 2 in Fig.2.2, quindi gli eetti non lineari si noteranno di più per spostamenti causati dalle forze di tipo 1. Un altro esempio di rigidezze dierenti si ha nelle strutture con meccanismi innitesimi ed irrigidite dalla pretensione. Consideriamo per semplicità

26 16 Strutture Discrete Figura 2.2: Dierenze di rigidezza in una trave reticolare una struttura reticolare in acciaio. La parte lineare di rigidezza dovuta alla congruenza al primo ordine, espressa dal prodotto C T HC, è proporzionale al modulo elastico tramite il legame costitutivo H, ed è dell'ordine di centinaia di GPa. La rigidezza lineare da pretensione è invece proporzionale alla pretensione, che è sicuramente inferiore alla resistenza dell'acciaio, dell'ordine delle centinaia di MPa. C'è almeno un fattore 1000 di dierenza. Di conseguenza i meccanismi innitesimi, irrigiditi esclusivamente dalla pretensione, sono, di solito, molto meno rigidi dei non meccanismi. Supponiamo quindi di diagonalizzare la matrice di rigidezza K, tramite la sostituzione d Qd, ottenendo quindi lo stesso tipo di equazione cubica (2.10). Dividiamo quindi il vettore degli spostamenti in due parti: [ ] d K d = d m (2.21) Non è importante che la diagonalizzazione sia esatta, l'importante è che il vettore d m rappresenti l'insieme degli spostamenti poco rigidi (ad esempio i meccanismi innitesimi). Ci si riferirà di seguito a d m chiamandoli semplicemente meccanismi. Tornando all'equazione non lineare (2.10), possiamo osservare che, nelle equazioni relative ai meccanismi d m, non saranno molto importanti i termini di accoppiamento con d K, in quanto d K sarà piccolo. Se si vuole conoscere d m si può quindi proiettare tutto sullo spazio dei meccanismi e risolvere un sistema non lineare che può essere anche molto ridotto rispetto a quello iniziale. I vantaggi computazionali sono enormi. Per il calcolo di d K si può inne fare un analisi lineare. Non si può fare questa analisi direttamente sul sistema (2.10), in quanto per il calcolo di d K bisogna considerare anche il valore di d m. Si procede invece come segue. Una volta noto d m, si ottiene il vettore dei meccanismi

27 Strutture Discrete 17 d 0 = [ 0 d m Nella (2.10) si sostituisce il vettore d d 0 + d, ottenendo ] (2.22) A (d 0 + d) 3 + B(d 0 + d) 2 + K(d 0 + d) + δ = 0 (2.23) Essendo d 0 noto, si possono sviluppare i calcoli e ottenere sempre un'equazione cubica in d, che può essere risolta considerando solo la parte lineare. Si potrebbe anche proiettare il tutto sui non meccanismi d K, visto che già d 0 è una buona approssimazione della soluzione nello spazio dei meccanismi. Tuttavia, soprattutto se la dimensione dello spazio dei meccanismi è bassa, ciò non porterebbe ad un grande vantaggio nella risoluzione di quest'ultimo sistema lineare. Può sicuramente risultare preferibile risolvere il sistema completo e 'ranare' la soluzione anche per quanto riguarda i meccanismi, evitando così di proiettare il sistema sui non meccanismi. 2.3 Strutture reticolari I primi studi sistematici sulle strutture reticolari in presenza di pretensione risalgono al periodo a cavallo tra gli anni 80 e 90 ([4],[5]), e sono stati realizzati per le strutture Tensegrity, che sono strutture reticolari pretese che presentano dei meccanismi innitesimi. Studi più recenti sulle strutture reticolari pretese sono stati eettuati in [6], [7], partendo dall'equilibrio scritto nella congurazione deformata. Si vuole qui reinterpetare l'esposizione eettuata partendo dalla congruenza non lineare e deducendo il tutto tramite il PLV. Si denisce struttura reticolare un insieme di n punti (detti nodi) immersi nello spazio euclideo (usualmente tridimensionale) collegati a coppie da b barre. La geometria della struttura reticolare è denita da un vettore posizione x di dimensione 3n in cui vengono denite le coordinate di ciascun nodo. Su ogni nodo può agire una forza, denita dalle tre compononenti cartesiane, che vengono rappresentate in un vettore f di dimensione 3n. Duale di f è il vettore degli spostamenti d. Per quanto riguarda l'allungamento di una barra, usualmente si esprime come variazione assoluta della sua lunghezza, la quale compie lavoro per lo sforzo assiale sulla barra. Tuttavia in una trattazione generica e ai ni di un'implementazione più semplice su elaboratore, è conveniente denire l'allungamento come prodotto dell'allungamento assoluto della barra per la sua lunghezza iniziale. Ad esempio una barra di 3m che si allunga di 2mm ha

28 18 Strutture Discrete un allungamento di m 2. Il relativo sforzo duale è quindi il rapporto tra la tensione sulla barra e la sua lunghezza iniziale (coeciente di tensione), e si misura in N/m. Questo accorgimento, come sarà chiaro in seguito, permette di denire una relazione di congruenza lineare nella geometria della struttura. Il legame costitutivo lega gli allungamenti ɛ alle tensioni σ. Si suppone che questo legame sia lineare, ponendo quindi σ = Hɛ + σ π (2.24) Il vettore σ π è la pretensione, mentre la matrice quadrata H è una matrice diagonale b b i cui elementi sono pari a EA/l 3, dove E è il modulo elastico del materiale con cui è fatta la relativa barra, A l'area della sua sezione e l la sua lunghezza Vincoli Le strutture reticolari devono essere sempre vincolate. Se non lo fossero, sarebbero sicuramente labili, in quanto sarebbero consentiti se non altro i 6 moti rigidi (rotazioni e traslazioni). Si usa la relazione già usata precedentemente in via generale d = Vd + d c (2.25) La matrice V è una matrice 3n (3n k), dove k è il numero di vincoli, ciascuno contato con la sua molteplicità. Il vettore d c serve invece per modellare i cedimenti imposti. Nell'usuale caso in cui i vincoli sono costituiti da cerniere a terra, la matrice V è ottenuta rimuovendo dalla matrice identità di ordine 3n, tre colonne per ogni nodo vincolato, una per ciascuna delle tre direzioni Congruenza La parte più importante e laboriosa nel denire il comportamento non lineare di una struttura reticolare è sicuramente la denizione della congruenza. Consideriamo una barra collegante due nodi (chiamiamoli nodo 1 e nodo 2), di coordinate (x 1, y 1, z 1 ) e (x 2, y 2, z 2 ). La sua lunghezza iniziale è l 0 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 + (z 1 z 2 ) 2 (2.26) Se i nodi hanno degli spostamenti (d x1, d y1, d z1 ) e (d x2, d y2, d z2 ), la loro distanza nale sarà

29 Strutture Discrete 19 l 1 = (x 1 + d x1 x 2 d x2 ) 2 + (y 1 + d y1 y 2 d y2 ) 2 + (z 1 + d z1 z 2 d z2 ) 2 Organizzando le sei coordinate e i sei spostamenti nei vettori (2.27) ˆx = [x 1, y 1, z 1, x 2, y 2, z 2 ] T ; ˆd = [dx1, d y1, d z1, d x1, d y1, d z1 ] T (2.28) e sfruttando la fomula di Taylor al secondo ordine 1 + x = x 1 8 x2 (2.29) si può scrivere, al posto della (2.27) e trascurando i termini di terzo grado o superiori in ˆd, un'equazione del tipo l 1 = l0 (1 + a(ˆx) ˆd + B(ˆx) ˆd 2 ) (2.30) dove il vettore a e la matrice B sono dipendenti solo da ˆx e facilmente determinabili con alcuni calcoli. Denendo l'allungamento della barra ɛ = l 0 (l 1 l 0 ) si ottiene, dopo alcuni passaggi algebrici, ɛ = l 2 0(a(ˆx) ˆd + B(ˆx) ˆd 2 ) = (Γˆx) ˆd (Γˆd) ˆd (2.31) dove Γ è una matrice 6 6 le cui componenti sono uguali a 1 sulla diagonale (stessa coordinata dello stesso nodo), uguali a -1 se la posizione rappresenta la stessa coordinata dei due nodi, e pari a 0 altrimenti: Γ = (2.32) Riscrivendo questa equazione per ogni barra e considerando tutti i nodi si perviene inne a ɛ = G xd G d d [ɛ i = G ijk x j d k G ijkd jd k] (2.33) da cui anche

30 20 Strutture Discrete ɛ = G x d + G d d [ɛ i = G ijk x j d k + G ijk d j d k] (2.34) dove G ijk è un tensore b 3j 3j pari a ˆ 1 se j = k e il nodo a cui si riferiscono gli indici appartiene alla barra i ˆ -1 se j e k rappresentano la stessa coordinata dei due nodi collegati dalla barra i ˆ 0 altrimenti Il vettore x memorizza le coordinate iniziali di tutti i nodi della struttura e viene chiamato geometria della struttura. Si osservi che la congruenza consiste in una parte lineare nella geometria x e lineare negli spostamenti d ed in una seconda parte quadratica in d e indipendente dalla geometria. Entrambe dipendono comunque dalla topologia della struttura reticolare, ovvero dal modo in cui i nodi sono collegati da barre. In ambito lineare la matrice C = G x è la matrice cinematica, mentre la matrice C T è la matrice di equilibrio. E' possibile modellare le variazioni termiche aggiungendo una quantità ɛ 0 costante alla pretensione o nella congruenza. Una variazione termica positiva tenderà ad allungare la barra, che nel suo stato iniziale si troverà accorciata, ed è quindi intesa come negativa. L'espressione della deformazione virtuale rimane invariata Equazioni per una struttura reticolare Ricapitolando quanto scritto abbiamo a disposizione le seguenti equazioni: ˆ Congruenza: ɛ = ɛ 0 + Cd G d d ˆ Topologia e geometria: C = G x ˆ Deformazioni virtuali: ɛ = Cd + G d d ˆ Legame costitutivo: σ = Hɛ + σ π ˆ Vincoli: d = Vd + d c ; d = Vd ; f = V T f ˆ PLV: f d = σ(d ) ɛ(d ) Facendo le opportune sostituzioni si ottiene una equazione di terzo grado in d, del tipo (2.10). d

31 Strutture Discrete Calcolo di una struttura reticolare pretesa In questo paragrafo viene messo in applicazione il metodo di studio delle strutture reticolari pretese ad un progetto reale. Trattasi di una struttura in acciaio e vetro (quest'ultimo non strutturale) costituita da tiranti pretesi e puntoni compressi. L'opera ha una forma rettangolare in pianta di dimensioni metri. Le problematiche aorntate sono il confronto dei risultati dell'analisi con la normativa italiana [8],[9] sia per quanto riguarda le tensioni allo Stato Limite Ultimo sugli elementi che gli spostamenti allo Stato Limite di Esercizio dei nodi, e viene inoltre proposto un metodo per impartire una pretensione 'ottimale' alla struttura, mediante un algoritmo di ottimizzazione. Il rettangolo principale è diviso in 12 7 moduli rettangolari uguali, ciascuno costituito da una lastra di vetro appoggiata sui correnti superiori. Figura 2.3: Schema geometrico dell'opera Con riferimento alla Fig. 2.3, gli elementi superiori (P Q e QR), che verranno denominati correnti, sono costituiti da prolati a T, mentre i puntoni verticali (QS) sono prolati tubolari. Gli elementi diagonali (P S e SR) sono tiranti. La struttura è scomponibile in due orditure perpendicolari di travi reticolari: la principale è indicata in sezione A-A, mentre l'orditura secondaria è in sezione B-B. I nodi perimetrali del rettangolo si suppongono ssi e vincolati a terra. Tutti i nodi sono modellati come cerniere.

32 22 Strutture Discrete Il diametro nominale dei tiranti è 16mm per le travi secondarie (sez. B- B), mentre per quanto riguarda le travi principali (sez. A-A) cinque di esse, le più centrali, avranno tiranti di 24mm, le altre sei travi avranno tiranti da 20mm (si veda anche la Fig. 2.4). Figura 2.4: Diametro dei tiranti La scelta di dierenziare il diametro delle funi è stata fatta considerando che le travi secondarie sono meno sollecitate, e tra le travi principali sono più sollecitate quelle centrali. La dierenziazione porta ad avere una tensione per unità di supercie più uniforme sulle funi. Inoltre assegnando un diametro minore alle funi meno sollecitate si riduce la possibilità che queste vadano accidentalmente in compressione. La funzione principale dell'orditura primaria è resistere ai carichi verticali. L'orditura secondaria, essendo meno rigida, ha il compito principale di eliminare i cinematismi trasversali delle travi primarie. Ore comunque un pur modesto contributo alla rigidezza verticale. La lunghezza dei puntoni, non perfettamente verticali per ragioni architettoniche, è di 170 cm (puntoni indicati con una X in Fig. 2.5) o 210 cm (puntoni indicati con un cerchio). Lo scostamento dalla verticale dei puntoni è fatta con un pattern casuale. Nella congurazione pretesa si impone che i correnti superiori assumano un andamento parabolico (Fig.2.9 e 2.10). Si può porre l'altezza h di ogni no-

33 Strutture Discrete 23 Figura 2.5: Lunghezza dei puntoni

34 24 Strutture Discrete do dei correnti superiori proporzionale al prodotto delle distanze dai quattro lati del rettangolo. Posto un sistema di riferimento (x y) con origine in un vertice del rettangolo, orientato secondo i suoi lati, si pone h = (13 y) (21.7 x) x y/( ) ; (x, y, h in metri) Nel punto centrale la controfreccia così calcolata intesa in assenza di carichi e senza peso proprio è di 12.5cm Materiali e proli impiegati L'acciaio usato nei puntoni compressi e nei correnti superiori è di tipo S355. I suoi parametri sici sono: ˆ f y = 355MP a ; f yd = 355/1.05 = 338MP a ˆ Modulo elastico: E = 210GP a ˆ Peso: 78500N/m 3 ˆ Massa: 8002kg/m 3 ˆ Coeciente di espansione termica: /K Per quanto riguarda l'acciaio usato nei tiranti si hanno le seguenti caratteristiche: ˆ f y = 1770MP a ˆ f yd = 1770/1.2 = 1475MP a ˆ Modulo elastico: E = 177GP a ˆ Peso: 82698N/m 3 ˆ Massa: 8430kg/m 3 ˆ Coeciente di espansione termica: /K I prolati usati nella struttura sono di cinque tipi:

35 Strutture Discrete 25 ˆ prolati a T Sono usati nei correnti superiori e servono come appoggio alle lastre di vetro; il prolato a T è simmetrico e formato da due rettangoli mm. Area della sezione: = m 2 Rigidezza assiale: EA = = 945MN Peso per unità di lunghezza: = N/m Rigidezza essionale debole: EJ = ( /12)/10 12 = 885.9KNm 2 ˆ prolati tubolari Sono usati come puntoni compressi, ed hanno sezione circolare. La lunghezza usata è 170cm e 210 cm. Il carico assiale massimo è stato calcolato per la lunghezza maggiore (si veda anche [8]) Diametro esterno: 101.6mm Spessore: 8mm Diametro interno: 101, = 85.6mm Area della sezione: π( )/4 = mm 2 Peso per unità di lunghezza: = N/m Rigidezza: EA = = 494MN Rigidezza essionale: EJ = (π/64) ( ) = 544.9KNm 2 Ncr (Euleriano, per L = 2.1m) = π /2.1 2 = 1.21MN Parametro λ = ( /( )) 0.5 = 0.83 Parametro Φ = 0.5 ( ( ) ) = 0.91 Parametro χ = ( ( ) 0.5 ) 1 = 0.77 Tensione massima di progetto equivalente: = 260MP a ˆ Tirante 24mm Area equivalente: 339mm 2 Diametro equivalente: (4 339/π) 0.5 = mm Rigidezza: EA = = MN Peso per unità di lunghezza: = 28.03N/m

36 26 Strutture Discrete ˆ Tirante 20mm Area equivalente: 2369mm 2 Diametro equivalente: (4 236/π) 0.5 = mm Rigidezza: EA = = MN Peso per unità di lunghezza: = 19.52N/m ˆ Tirante 16mm Area equivalente: 151mm 2 Diametro equivalente: (4 151/π) 0.5 = mm Rigidezza: EA = = MN Peso per unità di lunghezza: = 12.49N/m Analisi dei Carichi I carichi agenti sulla struttura vengono individuati nel seguente elenco (di ciascun carico si da un'abbreviazione tra parentesi quadre che verrà usata nella denizione delle combinazioni): ˆ Carichi permanenti strutturali [S] ˆ Carichi permanenti non strutturali [G] ˆ Carichi accidentali [Q, Q ] ˆ Carichi da pretensione [P ] ˆ Carichi termici [T ] I valori base di questi carichi verranno, in ciascuna combinazione di carico, moltiplicati per degli opportuni coecienti e quindi sommati per denire la combinazione di carico per la quale deve essere fatta la verica. Sono state trascurate le spinte sismiche verticali data la modesta luce della struttura. Carichi permanenti strutturali Il peso degli elementi strutturali si ottiene moltiplicando il peso lineare dell'elemento per la sua lunghezza. Il peso viene quindi diviso in due parti uguali e applicato su ciascuno dei due estremi (nodi) della barra.

37 Strutture Discrete 27 Carichi permanenti non strutturali E' costituito da lastre calpestabili in vetro, dello spessore netto di 42mm Peso per unità di volume: 25000N/m 3 Peso per unità di supercie: = 1050N/m 2 Carichi accidentali Sulla struttura agisce il carico di tipo folla (ben superiore al carico neve), pari a 5000N/m 2. Oltre al carico Q denito su tutta la supercie, si denisce un carico Q sempre di 5000N/m 2 ma presente solo su 1/4 della struttura (carico asimmetrico). Pretensione Non è un vero è proprio carico, ma una tensione, variabile su ciascun elemento strutturale, presente inizialmente sulla struttura. Se ne deve tener conto nel calcolo della tensione complessiva su ciascun elemento e se ne possono considerare gli eetti positivi sulla rigidezza totale della struttura. Carichi termici Si suppone che sulla struttura agisca un carico termico di ±15 gradi centigradi. Essendo il coeciente di variazione termica uguale per tutte le aste, si ottiene una variazione di lunghezza di ± = ±0.18 Combinazioni di carico I calcoli strutturali sono stati eettuati per le seguenti combinazioni di carico: S + 1.5G + 1.2P + 1.5Q ± T (SLU) S + 1.5G + 1.2P + 1.5Q (SLU) 3. S + G + P + 1.5T (SLU) 4. S + G + P + 0.7Q (SLE) 5. S + G + P + 0.7Q (SLE) 6. S + G + P (SLE)

38 28 Strutture Discrete Essendo il modello non lineare bisogna specicare in che modo sono stati applicati i carichi, in quanto non vale il principio di sovrapposizione degli eetti. La pretensione viene applicata prima di tutti gli altri carichi (per semplicità anche del peso proprio). Si calcola quindi la tensione sulle barre dovuta alla pretensione, che viene supposta unitaria, anche se il coecinete del carico P è maggiore di 1. Si procede quindi all'applicazione successiva di tutti gli altri carichi moltiplicati per il relativo coeciente, e al calcolo della tensione su ogni barra. Inne questa tensione viene eventualmente aumentata dell'opportuna parte di pretensione nel caso il coeciente di P sia maggiore di 1. Questo signica in pratica che il coeciente sulla pretensione P è da intendersi come un coeciente che si applica solo alle sollecitazioni, e non agli eeti geometrici per i quali si suppone comunque unitario Analisi Statica e Cinematica Analisi del modulo elementare Il comportamento globale della struttura può essere riassunto studiando un modulo elementare tridimensionale, di cui si riporta una vista assonometrica in Fig Figura 2.6: Modulo Elementare La struttura ha sei gradi di libertà (tre per ciascuno dei nodi P e Q non vincolati a terra) e 9 barre. Non essendo labile ha tre possibili autotensioni linearmente indipendenti [10].

39 Strutture Discrete 29 Due di queste mandano in tensione i correnti superiori (AP e P B oppure DP e P C), lasciando scariche le altre barre. La terza è costituita da tensioni opposte su ciascuna delle due coppie di elementi diagonali (ad esempio i tiranti AQ e QB tesi e DQ e QC compressi). Appare evidente che non è possibile dare una pretensione che mandi in trazione tutti i tiranti, almeno nella congurazione iniziale. Tuttavia se tendiamo le funi inferiori, la struttura risulterà eettivamente pretesa se si tiene in considerazione che il nodo P si sposta verso l'alto e i correnti superiori sono tesi molto più delle funi. In questa congurazione tutti gli elementi sono tesi, ad eccezione del puntone verticale che risulta compresso. Analisi della struttura La struttura ha in pianta la forma di un rettangolo, diviso in n 1 n 2 sottorettangoli. Nel nostro caso specico la mesh di divisione è n 1 = 7 n 2 = 12 Il numero totale dei gradi di libertà della struttura è g l = 6 (n 1 1) (n 2 1) = 6 n 1 n 2 6 (n 1 + n 2 ) + 6 Infatti (n 1 1) (n 2 1) sono i nodi interni del rettangolo. A ciascuno di essi corrisponde un puntone tubolare, con sei gradi di libertà (3 per ognuno dei due estremi). Gli altri nodi (queli perimetrali) sono vincolati a terra. Le barre vengono denominate, secondo la loro funzione, come tiranti, puntoni (realizzati con prolati tubolari) e correnti a T (su cui appoggiano le lastre di vetro). Il numero dei tiranti è n t = 4 (n 1 1) (n 2 1) Il numero dei puntoni è n p = (n 1 1) (n 2 1) Il numero dei correnti è n c = n 1 (n 2 1) + n 2 (n 1 1) Il numero totale delle barre è quindi n T = 7 n 1 n 2 6 (n 1 + n 2 ) + 5 Non essendo la struttura labile, il numero totale di iperstaticità è dato dalla regola di Maxwell [10] ed è pari alla dierenza tra il numero delle barre e i gradi di libertà. La struttura è quindi n 1 n 2 1 volte iperstatica. E' un numero molto elevato, e, a parità di dimensione del modulo elementare, è lineare nell'area del rettangolo. Questo risultato potrebbe sembrare non intuitivo. Infatti è possibile scomporre la struttura in un grigliato di travi reticolari ortogonali, ciascuna delle quali è una volta iperstatica se vista come struttura piana. Sono presenti (n 1 1) travi principali e (n 2 1) travi secondarie, che generano un totale di (n 1 + n 2 2) iperstaticità. La struttura tridimensionale che si ottiene dal grigliato ha però delle ulteriori

40 30 Strutture Discrete iperstaticità, derivanti dal fatto che ogni puntone appartiene a due orditure. Il numero di queste iperstaticità è (n 1 1) * (n 2 1). Sommandole con le precedenti si ottiene nuovamente il numero n 1 n 2 1. Una prima problematica da arontare nel realizzare la struttura è quindi riuscire a imprimere la pretensione di progetto, soprattutto considerando l'ordine cronologico di pretensione delle funi e l'elevato grado di iperstaticità della struttura. Un altro aspetto da considerare nel calcolare e impartire la pretensione riguarda la non linearità della varietà dello spazio delle pretensioni equilibrate. Nella teoria lineare delle strutture reticolari pretese lo spazio delle autotensioni equilibrate è un sottospazio lineare di tutte le tensioni. In pratica si suppone che il valore della pretensione non alteri signicativamente la geometria della struttura, o che comunque la congurazione di riferimento sia già quella pretesa. Nel nostro caso però, si evince facilmente che, in ambito lineare, non esiste alcuna pretensione che mandi in trazione tutte le funi. Per rendersi conto di ciò basta considerare le tre autotensioni del modulo elementare. Tuttavia, se si considerano gli spostamenti dovuti all'accorciamento delle funi durante il processo sico della pretensione, si può imprimere una pretensione con tutte le funi tese, purchè si consideri che i correnti superiori tesi assumano un andamento circa parabolico quando si accorciano (e quindi tendono) le funi inferiori. La forma della varietà non lineare delle autotensioni equilibrate e dei conseguenti spostamenti dipende da molti fattori, tra cui la presenza di imperfezioni negli elementi della struttura e la lunghezza a riposo delle funi da tendere. Quest'ultima grandezza è molto dicile da valutare a priori, in quanto in fase di montaggio non si può avere un perfetto controllo sulla forma della struttura. Per attuare il piano di pretensione è quindi necessario eettuare un montaggio preliminare della struttura, in cui comunque tutte le funi siano leggermente tese, e di misurare la posizione e la tensione sulle barre in questa con- gurazione iniziale, per poi calcolare il tiraggio da imprimere per raggiungere la forma cercata Modello di calcolo della struttura Consideriamo come congurazione x di riferimento quella con i correnti superiori appartenenti ad un piano orizzontale, come descritta all'inizio del paragrafo (si vedano anche le Fig. 2.7 e 2.8). Si ricordi inoltre che le tensioni e gli allungamenti sono deniti rispettivamente come rapporto tra tensione

41 Strutture Discrete 31 e lunghezza iniziale della barre e come prodotto dell'allungamento assoluto per la lunghezza iniziale. Supponiamo che nella congurazione indeformata la struttura sia priva di tensioni interne, e che inizialmente non sia soggetta al peso proprio. Applichiamo quindi un allungamento alle barre. La struttura, oltre a manifestare degli spostamenti iniziali dei nodi Vd in, avrà anche delle tensioni σ sulle barre. Si può scrivere l'equilibrio V T G (x + Vd in )σ = 0 (2.35) dove G è il tensore topologico e V la matrice vincolare che mette a terra i nodi perimetrali. Introducendo il legame costitutivo H di dimensione b b, si pone σ = H(e Mɛ) (2.36) Dove e è l'allungamento apparente della barra, denibile tramite la congruenza al secondo ordine e = (G x)(vd in ) G (Vdin )(Vd in ) (2.37) Il vettore Mɛ è l'allungamento dovuto alla variazione di lunghezza iniziale dovuto al tiraggio. La matrice M è di dimensione b b t, essendo b t il numero dei tiranti. Si ha infatti un controllo della lunghezza non su tutte le barre, ma solo sui tiranti, mentre correnti e puntoni sono di lunghezza iniziale ssa. Concettualmente Mɛ può essere visto come l'eetto di una variazione termica. A questo punto si denisce il campo iniziale di spostamenti come d in = d 0 + Nδ (2.38) In questa ultima equazione d 0 è uno spostamento imposto. Nel nostro caso serve per dare forma parabolica ai correnti superiori. Vogliamo infatti che la struttura abbia forma parabolica in assenza di carichi. Nδ è invece uno spostamento libero. L'uso della matrice N riduce i gradi di libertà della struttura. Serve per poter imporre degli spostamenti iniziali e rendere solo parzialmente liberi gli spostamenti. La matrice N è denita considerando che: ˆ Gli spostamenti verticali dei nodi superiori sono quelli imposti dal vettore d 0

42 32 Strutture Discrete ˆ Si impone che gli spostamenti nel piano orizzontale (x y) dei nodi inferiori sia nullo. Questa scelta è stata necessaria in quanto il processo di ottimizzazione per impartire la pretensione (che verrà descritto in seguito) porterebbe i puntoni in posizione circa verticale. Infatti la scelta di disporli leggermente inclinati con un pattern casuale non è quella strutturalmente più eciente, ma è dettata esclusivamente da esigenze architettoniche ˆ I gradi di libertà rimangono quindi gli spostamenti verticali dei nodi inferiori e gli spostamenti nel piano (x y) dei nodi superiori. La matrice N si ottiene quindi dall'identità eliminando le colonne relative agli spostamenti impediti. Ottimizzazione Riassumendo abbiamo il seguente sistema di equazioni V T G (x + Vd in )σ = 0 σ = H(e Mɛ) e = (G x)(vd in ) + 1G 2 (Vdin )(Vd in (2.39) ) d in = d 0 + Nδ In questo sistema tutte le quantità sono note a priori o calcolabili, con l'eccezione di ɛ e δ. Se deniamo il vettore v = [ɛ T ; δ T ] T, si può ottenere un sistema di equazioni cubico del tipo A v 3 + Bv 2 + Cv + γ = 0 (2.40) Questo sistema, per il nostro problema, ha più incognite che equazioni. La soluzione v è costituita quindi da una varietà. Per trovare la soluzione ingegneristicamente migliore si può usare il metodo di ottimizzazione di Newton-Lagrange (si veda l'appendice A.3). Si denisce la funzione scalare energia interna p(v) = 1 2 (e Mɛ)T H(e Mɛ) (2.41) Tra tutti i vettori v che soddisfano la 2.40 si sceglie quello che rende minima l'energia interna p. Calcolo della struttura per carichi successivi Una volta noti ɛ e δ e quindi l'accorciamento da imprimere ai tiranti e i relativi spostamenti dei nodi, si possono calcolare gli eetti dei carichi successivi.

43 Strutture Discrete 33 Il sistema 2.39 si trasforma in V T G (x + Vd in + Vd)σ = f σ = H(e Mɛ) e = (G x)(vd in + Vd) G (Vdin + Vd)(Vd in + Vd) + ɛ 0 d in = d 0 + Nδ (2.42) In queste equazioni i vettori f e ɛ 0 sono i carichi esterni, rispettivamente forze applicate sui nodi e carichi termici sulle barre. Il vettore d è invece l'incognita. La relazione è cubica in d, e non essendoci problemi di instabilità la soluzione può essere trovata con l'algoritmo di Newton-Raphson prendendo come tentativo iniziale la soluzione del problema linearizzato Risultati Dai risultati delle analisi, eettuate con l'ausilio del software MATLAB [11] e del plugin Tensor Toolbox [12], si evince che: ˆ La dierenza massima degli spostamenti verticali dei nodi tra la combinazione di carico permanente e combinazione con folla allo SLE è di 87.1mm, pari a 87.1/13000=1/149 della luce. Tale valore si ritiene adeguato in quanto non sono presenti elementi che possono essere danneggiati da un eccessiva inessione della struttura. Inoltre la deformata della struttura è molto prossima alla congurazione piana di riferimento (Fig.2.13 e Fig.2.14). ˆ Per tutte le combinazioni di carico, sia allo SLE che SLU, le funi risultano sempre tese, con l'eccezione di un limitato numero di funi dell'orditura secondaria nella combinazione di carico con variazione termica positiva senza folla allo SLU e con folla allo SLE su un quarto della struttura. Dato l'elevato grado di iperstaticità della struttura, la presenza di alcune funi secondarie scariche non ne riduce signicativamente la sicurezza e la funzionalità. ˆ La tensione massima di trazione sulle funi è di circa 1GPa, minore della resistenza di calcolo, quindi le veriche sono soddisfatte. ˆ La tensione di compressione massima sui puntoni è di 204MPa (si veda la Fig.2.15). Anche considerando gli eetti dell'instabilità assiale, questo valore è minore della resistenza di calcolo.

44 34 Strutture Discrete ˆ Le tensioni allo SLU sui correnti sono inferiori alla resistenza di calcolo. L'inerzia è superiore a quella dei puntoni, e le sollecitazioni in compressione minori, quindi non sono presenti problematiche di instabilità per i correnti. ˆ Le reazioni vincolari massime allo SLU si hanno per carico folla e variazione termica negativa, con un valore massimo di 557KN su un nodo del lato lungo del rettangolo di copertura (si veda la Fig.2.16). I vincoli esterni devono essere sucientemente rigidi e resistenti. E' stato inoltre denito un metodo di calcolo della pretensione da imprimere alla struttura anché raggiunga la forma desiderata. Questo metodo di calcolo è stato qui usato partendo da una geometria iniziale teorica e ideale. Dovrà essere usato in fase esecutiva dopo aver misurato l'eettiva congurazione iniziale della struttura, che per motivi di natura tecnologica sarà leggermente diversa da quella ideale Schemi graci della struttura Si riportano alcuni schemi graci della struttura. Nelle gure seguenti gli spostamenti verticali sono amplicati di un fattore 25

45 Strutture Discrete 35 Figura 2.7: Assonometria della congurazione di riferimento Figura 2.8: Prospetti della congurazione di riferimento

46 36 Strutture Discrete Figura 2.9: Assonometria della congurazione pretesa Figura 2.10: Prospetti della congurazione pretesa

47 Strutture Discrete 37 Figura 2.11: Assonometria della congurazione allo SLU Figura 2.12: Prospetti della congurazione allo SLU

48 38 Strutture Discrete Figura 2.13: Assonometria della congurazione allo SLE Figura 2.14: Prospetti della congurazione allo SLE

49 Strutture Discrete 39 Figura 2.15: Tensione sui puntoni allo SLU Figura 2.16: Reazioni vincolari allo SLU (in Kg)

50 40 Strutture Discrete

51 Capitolo 3 Strutture Continue Monodimensionali Le equazioni che governano una struttura continua sono sostanzialmente diverse da quelle per una struttura discreta. Le incognite e le grandezze in gioco non sono infatti delle variabili reali ma delle funzioni. La prima parte del presente capitolo ricalca essenzialmente quanto già esposto in [13]. Si denisce un continuo monodimensionale come un intervallo [0; L] R. Un punto in questo intervallo viene indicato con la variabile reale s [0; L]. In questo intervallo vengono deniti, come per le strutture discrete, i seguenti vettori di funzioni: ˆ Il vettore spostamento d = d(s) ˆ Il vettore forza applicata f = f(s), delle stesse dimensioni di d ˆ Il vettore delle deformazioni ɛ = ɛ(s) ˆ Il vettore delle tensioni o sforzi σ = σ(s), delle stesse dimensioni di ɛ Vengono inoltre deniti gli spostamenti e le forze di frontiera, indicate rispettivamente con δ e φ. La denizione esatta verrà data in seguito. Il PLV per una struttura continua si scrive L 0 f d + φ δ L 0 = L 0 σ ɛ d (3.1) L'integrale a primo membro rappresenta il lavoro virtuale delle forze distribuite esterne, mentre i termini di bordo sono il lavoro virtuale delle forze di frontiera. A secondo membro c'è il lavoro virtuale interno. 41

52 42 Strutture Continue Monodimensionali 3.1 Congruenza e legame costitutivo In un continuo il legame tra spostamento e deformazione è una dipendenza di ɛ non solo da d, ma anche dalle derivate eventualmente anche successive di d. In questa sede si suppone che la congruenza sia espressa dalla somma di due termini, uno lineare e uno quadratico in d (cinematica del secondo ordine). Il primo è espresso da mentre quello quadratico da j,k,p,q j,k 1 2 S ijkpq C ijk ( d j 1 d j 1 ds j 1 d k (3.2) ds j 1 d k ) ( d p 1 ds p 1 d q ) (3.3) Si può supporre che S sia simmetrico in {jk}, {pq}, così che S ijkpq = S ipqjk. Se fossero dierenti potremmo infatti sostituirli con la loro media aritmetica. Se si denisce l'operatore possiamo scrivere o, più semplicemente, = 1 d/ds d 2 /ds 2. d n /ds n (3.4) ɛ i = C ijk j d k S ijkpq( j d k )( p d q ) (3.5) ɛ = C d + 1 S d d (3.6) 2 La deformazione virtuale è invece data dalla seguente espressione ɛ = C d S d d + 1 S d d = C d + S d d (3.7) 2 Si osservi che nell'ultima equazione abbiamo sfruttato la simmetria di S

53 Strutture Continue Monodimensionali Relazioni tra sforzi e deformazioni Come per le strutture discrete, anche per le strutture continue supporremo il legame costitutivo lineare. σ(s) = σ π (s) + H(s)ɛ(d(s)) (3.8) La matrice H è simmetrica e denita positiva per strutture conservative. La quantità σ π è la pretensione iniziale. Se si ha equilibrio quando f = d = 0 e anche φ = 0, σ π viene anche detta autotensione. 3.2 Analisi del continuo monodimensionale Integrazione per parti del PLV In generale se f(s) e g(s) sono funzioni [0; L] R sucientemente derivabili, vale la formula di integrazione per parti. Omettendo per semplicità di scrittura il dierenziale ds e indicando con un apice la derivata in s, si ha L 0 f g + f g L 0 = L 0 f g (3.9) La generalizzazione di questa regola a derivate di ordine n è L ( 1) n f (n) n 1 L g + ( 1) i f (i) g (n 1 i) = 0 i=0 0 L 0 f g (n) (3.10) Lo scopo pratico di questa regola è quello di 'spostare' l'operatore differenziale da g ad f. Nel far questo bisogna aggiungere dei termini di frontiera. Riscriviamo quindi il PLV per strutture continue (3.1), includendo anche eventuali forze iniziali L 0 (f π + f) d + (φ π + φ) δ L 0 = L 0 σ ɛ d (3.11) L'apice π indica che la forza è presente nella congurazione di riferimento quando f = d = 0. Sostituendo le equazioni (3.6), (3.7) e (3.8) in (3.11) si ottiene L 0 (f π + f) d + (φ π + φ) δ L 0 = = L 0 (σπ + HC d HS d d) (C d + S d d) (3.12)

54 44 Strutture Continue Monodimensionali Ponendo, nella congurazione di riferimento, f = d = 0 e φ = 0, si ottiene L 0 f π d + φ π δ L 0 = L 0 σ π C d (3.13) Si denisce quindi la matrice W dipendente da d e dalle sue derivate W jk [d] = σ i (C + S d) ijk (σ π C ) jk = (σ π + HC d + 1HS d d) 2 i(c + S d) ijk (σ π C ) jk(3.14) e sostituendo quindi le equazioni (3.13) e (3.14) nella (3.12) si ottiene: L 0 f d + φ δ L 0 = L 0 W d (3.15) La regola (3.10) applicata al secondo membro di quest'ultima equazione porta a L 0 W d = L 0 ( W) d + (Z ˆ W) (ˆ d) L 0 (3.16) dove l'operatore ˆ si ottiene da togliendo l'operatore dierenziale di ordine più alto. e ˆ si ottengono rispettivamente da e ˆ cambiando di segno gli operatori di ordine dispari: ˆ = 1 d ds. d (n 1) ds (n 1) ; = 1 d ds. ( 1) n dn ds n ; ˆ = ( 1) 1 d ds. n 1 d(n 1) ds (n 1) (3.17) Il tensore del terzo ordine Z = Z ijk ha dimensioni n (n + 1) n ed è denito come { Zijk = 1 se d ds ˆ i ˆ k = j ( ovvero i + k = j ) Z ijk = 0 altrove (3.18) I termini di frontiera, come espressi in (3.16), sono una matrice di forze e una matrice di spostamenti F ij = Z ihk ˆ k W hj (3.19)

55 Strutture Continue Monodimensionali 45 D ij = ˆ i d j (3.20) Possiamo denire φ e δ come vettori collegando rispettivamente le colonne di F e D, ottendo quindi i termini di frontiera come vettori Di solito C e S hanno solo qualche termine non nullo, quindi nel denire i vettori φ e δ si possono trascurare i termini che sono sempre nulli. Possiamo anche moltiplicare questi vettori osservando che se il prodotto delle due matrici Q φ Q δ è l'identità e se { φ = Q T φ φ δ = Q δ δ (3.21) allora φ δ = φ δ Equilibrio Poichè la (3.15) vale per ogni d, se la struttura non è labile, tramite la (3.16) si ottiene immediatamente l'equilibrio f i = jw ji (3.22) Questa equazione è lineare nelle tensioni e negli spostamenti. Esprimendo le tensioni in funzione degli spostamenti, si ottiene invece un'equazione cubica in d Autotensioni Integrando per parti la (3.13) si ottiene la condizione per le autotensioni fk π = j(σ π i C ijk ) (3.23) e i termini di frontiera da pretensione F π ij = Z ihk ˆ k (σ π l C lhj ) (3.24) Nel caso le forze iniziali siano nulle la (3.23) diventa j(σ π i C ijk ) = 0 (3.25)

56 46 Strutture Continue Monodimensionali Meccanismi In analogia con quanto denito per le strutture discrete, se per uno spostamento d 0 si ha ɛ(d) = 0 (3.26) allora d è detto meccanismo. Se si esprime la congruenza al secondo ordine come in (3.5), si dice meccanismo innitesimo uno spostamento d m 0 tale che C d m = 0 ma per cui non sia necessariamente S d m d m = 0. L'insieme di tutti i meccanismi innitesimi d m è un sottospazio lineare di tutti i possibili spostamenti d Analisi lineare Nell'espressione di W della (3.14) si possono trascurare i termini non lineari in d. Dall'equilibrio (3.22) si ottiene l'equazione dierenziale: Esplicitando gli indici: f = ((HC d)c + σ π S d) (3.27) f k = j((h ii C i j k j d k )C ijk + σ π i S ij k jk j d k ) (3.28) La forza f è somma di due termini. Il primo termine è lineare nel legame costitutivo H, mentre il secondo è indipendente da H e lineare nella pretensione σ π. Entrambi i termini sono lineare negli spostamenti d. Se d = d m è un meccanismo innitesimo, non ha rigidezza in senso classico, ma può essere irrigidito dalla pretensione. Valgono in particolare le stesse considerazioni fatte per strutture discrete. Si osservi inne che in assenza di pretensione la 3.28 si scrive f = (H(C d)c ) ( f k = j(h ii (C i j k j d k )C ijk) ) (3.29) Questa equazione vale per ogni continuo monodimensionale non preteso in ambito lineare. Nei corsi universitari la si ottiene nello studio di una trave (sia di Bernoulli che deformabile a taglio), di una trave su suolo elastico, per il comportamento biessionale di una trave in parete sottile, ecc...

57 Strutture Continue Monodimensionali Analisi non lineare Un analisi simile può essere fatta considerando tutti i cinque termini nell'espressione di W: W = HC d C (A) + σ π S d (B) + HC d S d (C) 1 + HS d d C (D) 2 HS d d S d (E) (3.30) I temrini (C-D) sono quadratici negli spostamenti, mentre (E) è cubico. Si possono trascurare i termini quadratici con un procedimento simile a quello proposto nel Par , ovvero facendo un analisi non lineare solo per i meccanismi innitesimi. Supponiamo che H 1 σ π 1 e che la struttura non sia instabile. Visto che i meccanismi sono poco rigidi, si può supporre, per f 1, d d m. In ogni caso si rimane nell'ambito di piccoli spostamenti, cioè d 1. Vincoliamo ora gli spostamenti con la condizione d = d m. Nel Par questa operazione è stata fatta in ambito discreto proiettando sia le forze che gli spostamenti nello spazio dei meccanismi (innitesimi), mediante una semplice moltiplicazione per una matrice. In un continuo è operativamente più complicato denire una proiezione. Si ricorre quindi ai moltiplicatori di Lagrange. Essendo d m un meccanismo, sarà anche C d m = 0. Si annullano quindi i termini (A-C). Così facendo abbiamo proiettato gli spostamenti nello spazio lineare dei meccanismi. L'equazione (3.30) diventa W d m = σ π S d m d m (B) 1 + HS 2 dm d m C d m (D) + 1HS 2 dm d m S d m d m (E) (3.31) L'espressione precedente, se usata nell'equilibrio (3.22), non può essere risolta. Bisogna proiettare le forze nello spazio dei meccanismi. Per far questo si aggiunge a W la quantità σ λ C, dove σ λ è uno sforzo reattivo conseguente al vincolo d = d m ed ha il signicato di un moltiplicatore di Lagrange. Integrando per parti si ottiene { f = (W[d m ] + σ λ C ) C d m = 0 dove W ha la seguente espressione: (3.32)

58 48 Strutture Continue Monodimensionali W[d] = σ π S d (B) HS d d S d (E) (3.33) E' stato eliminato il termine (D) in quanto può essere inglobato in σ λ C. Una volta calcolato d m (se calcolabie), si sostituisce in (3.30) d (d + d m ) W[d] = HC (d + d m ) C (A) + σ π S (d + d m ) (B) + HC (d + d m ) S (d + d m ) (C) dm ) (d + d m ) C (D) + 1HS (d + 2 dm ) (d + d m ) S (d + d m ) (E) (3.34) In questa equazione l'incognita è d e può essere trovata trascurando i termini non lineari Cambio di variabili A volte può essere conveniente riferire il nostro modello non ad un intervallo di lunghezza L, ma di lunghezza unitaria. Per far questo, sostituiamo tutti gli integrali L con integrali 1. Il dierenziale ds si sostituisce con Ldx, 0 0 dove x = s/l. Sostituiamo anche l'operatore con L x, dove L è una matrice diagonale il cui termine i-esimo è L ii = L 1 i, e x = [1; d/dx;... ; d n /dx n ] T. Sostituzioni simili vengono fatte agli operatori ˆ,, e ˆ. 3.3 Cinematica del secondo ordine per la trave curva Scopo di questo paragrafo è specializzare la teoria generale per continui monodimensionali nello studio di una trave con geometria iniziale generica nello spazio tridimensionale. L'obiettivo è quindi ottenere una cinematica del secondo ordine completa, sia considerando la deformabilità a taglio che considerando una trave di tipo Bernoulli. A ne trattazione si darà anche un'interpretazione sica dei termini non lineari che compaiono nella cinematica, soprattutto in relazione a fenomeni di instabilità, e inoltre si discuterà sulle dierenze tra trave inizialmente rettilinea e curva. Lo studio della trave curva è stato un tema molto arontato in letteratura, soprattutto in ambito nito. Si può avere un'ampia panoramica ad esempio in [14], [15], [16], [17].

59 Strutture Continue Monodimensionali 49 Appare quindi evidente che occorre una giusticazione sul perchè descrivere la cinematica del secondo ordine della trave curva quando già è stato fatto tanto per studiare una trave soggetta a spostamenti niti. Le motivazioni principali sono due. La prima è che manca in letteratura una descrizione esaustiva ed esplicita della cinematica del secondo ordine della trave in funzione degli spostamenti, soprattutto di quella non deformabile a taglio. In secondo luogo si ritiene che la trattazione proposta sia un buon esempio su come ottenere una cinematica del secondo ordine partendo dall'equilibrio, usando direttamente il PLV. Questo metodo è sicuramente applicabile in altre situazioni dove è necessario denire la cinematica del secondo ordine di un continuo monodimensionale. La metodologia che verrà usata consiste nel considerare l'equazione (3.22) tralasciando la pretensione, e scrivendo W in funzione degli sforzi interni e degli spostamenti: f = (σ(c + S d)) (3.35) Questa equazione è lineare negli sforzi interni e negli spostamenti. Scrivendo l'equilibrio di una trave in congurazione deformata otteniamo proprio questo tipo di equazione. Possiamo ricavarci quindi il tensore incognito S di congruenza al secondo ordine, che dovrà risultare simmetrico. Prima di iniziare la trattazione occorre denire alcuni aspetti del background matematico. Nel seguente paragrafo, diviso in tre parti, si parlerà di un particolare tipo di algebra di matrici e vettori, di geometria dierenziale delle curve e di rotazioni Preliminari matematici Algebra del primo ordine per matrici e vettori Avremo a che fare con quantità nite (indipendenti dagli spostamenti) o innitesime (dipendenti linearmente dagli spostamenti). Per semplicare i calcoli, deniamo qui un algebra del primo ordine per matrici e vettori. Una matrice del primo ordine è la somma di due matrici: la prima è una matrice nita, le cui quantità non dipendono dagli spostamenti, mentre la seconda è lineare negli spostamenti d. Poichè supponiamo gli spostamenti in- nitesimi, questa seconda matrice è anch'essa innitesima (più precisamente innitesima del primo ordine). Se A è una matrice del primo ordine, si denisce decomposizione di A la seguente espressione:

60 50 Strutture Continue Monodimensionali A = Ǎ + Ā (3.36) dove Ǎ è la parte nita di A mentre Ā è la sua parte innitesima, lineare in d. Questa decomposizione è unica. Denizione analoga vale per i vettori. Useremo i simboli di accento antiesso ˇ e accento lungo non solo come operatori, ma anche per enfatizzare che una certa quantità è rispettivamente nita o innitesima. Siano M n e V n rispettivamente l'insieme delle matrici quadrate del primo ordine di dimensione n n e dei vettori del primo ordine di dimensione n. Sia M n che V n formano dei gruppi abeliani con l'usuale operazione di somma. La moltiplicazione tra matrici non è invece un'operazione interna di M n poichè nel risultato possono apparire termini del secondo ordine. Tuttavia, se deniamo la moltiplicazione trascurando nel risultato la parte del secondo ordine, otteniamo una algebra del primo ordine molto simile a quella usuale. In particolare si ha: ˆ (M n ; +; ) è un anello con unità. L'unità è la matrice identità Ǐ. ˆ (Ǎ+Ā)( ˇB+ B) = Ǎ ˇB+Ǎ B+Ā ˇB. Questa è una denizione operativa di moltiplicazione tra matrici. Si osservi che Ā B = 0, Ǎ B = C e Ǎ ˇB = Ď. Proprietà analoghe valgono per la moltiplicazione tra matrici e vettori. ˆ (Ǐ + Ā)(Ǐ + B) = Ǐ + Ā + B. Questo è un caso particolare di moltiplicazione. ˆ (Ǎ + Ā) 1 = Ǎ 1 Ǎ 1 ĀǍ 1. Questa è la formula di inversione. Si osservi che A è invertibile se e solo se è invertibile Ǎ. ˆ (Ǐ + Ā) 1 = Ǐ Ā. Questo è un caso particolare di inversione. Geometria dierenziale delle curve Questo breve paragrafo è un semplice richiamo sulla geometria dierenziale delle curve, necessaria per descrivere il comportamento di una trave. Trattandosi di teoria elementare, si può approfondire l'argomento con l'aiuto di un qualsiasi testo di geometria dierenziale [18], [19]. La presente esposizione prende spunto da [20]. Una curva è una funzione x : [0; L] R 3 ; x(s) = x(s) y(s) z(s) (3.37)

61 Strutture Continue Monodimensionali 51 sucientemente derivabile. Se x = 1 allora s si dice ascissa curvilinea, e la lunghezza totale della curva è L. Per ogni s [0; L] si deniscono tre versori ortogonali in R 3 : ˆ Il versore tangente t = t(s) ˆ Il versore normale n = n(s) ˆ Il versore binormale b = b(s) Nel caso s sia ascissa curvilinea, le espressioni di questi tre versori sono x t = x = y ; n = t ; b = t n (3.38) z t Possiamo riarrangiare n, b e t nella seguente matrice: n x b x t x Ξ = [n b t] = n y b y t y (3.39) n z b z t z che risulta ortonormale positiva e rappresenta quindi una rotazione: Ξ T Ξ = ; det Ξ = +1 (3.40) Poichè il prodotto vettoriale è covariante per rotazioni, e il prodotto scalare è invariante, valgono le seguenti proprietà: (Ξa) (Ξb) = Ξ(a b) ; (Ξa) (Ξb) = a b a, b (3.41) Un'altra formula utile è la Formula di Frenet, valida supponendo che s sia ascissa curvilinea: 0 τ k Ξ = ΞF ; F = τ 0 0 = F T (3.42) k 0 0 dove k = k(s) è la curvatura di x e τ = τ(s) è la sua torsione (geometrica). La (3.42) può essere scritta esplicitamente: n = τb kt ; b = τt ; t = kn (3.43)

62 52 Strutture Continue Monodimensionali Si riporta inne l'espressione di Ξ nel caso s non sia ascissa curvilinea: t = x x ; b = x x x x ; n = b t (3.44) Se la matrice Ξ è riferita alla geometria iniziale della trave (congurazione di riferimento), questa non dipende dagli spostamenti e si ha Rotazioni Ξ = ˇΞ ; F = ˇF (3.45) Nell'analisi del comportamento della trave curva è stato di fondamentale importanza lo studio delle rotazioni e della loro algebra [21]. Le rotazioni sono infatti commutative se supposte innitesime, ma non lo sono invece le rotazioni nite, che formano un gruppo non abeliano con l'operazione di composizione. Questo problema è rilevante non solo in ambito nito, ma anche quando si ha a che fare con una cinematica del secondo ordine [22]. Una rotazione nello spazio tridimensionale è rappresentabile da una matrice ortonormale. Pur essendo quindi descritta da nove numeri reali, in realtà la dipendenza è soltanto da tre parametri [23]. In questa sede rappresenteremo la rotazione con un vettore ψ tridimensionale diretto come l'asse della rotazione e con modulo pari alla sua ampiezza. In particolare se ψ = 2π la rotazione è equivalente alla rotazione nulla. Per convenzione il verso della rotazione è antiorario quando il vettore ψ punta verso l'osservatore. Sia ψ = [ψ x, ψ y, ψ z ] T un vettore rappresentante una rotazione. A questo vettore si associa la matrice Ψ = E ψ = E ijk ψ j = 0 ψ z ψ y ψ z 0 ψ x ψ y ψ x 0 (3.46) dove E è l'alternatore di Ricci. La matrice di rotazione Λ associata a ψ è espressa dal seguente esponenziale, sviluppabile secondo Taylor Λ(ψ) = e Ψ = I + Ψ Ψ n! Ψn +... (3.47) che se troncato al primo ordine permette di scrivere la rotazione come I + Ψ, mentre al secondo ordine si ottiene l'espressione I + Ψ + Ψ 2 /2. Un'espressione esatta e in forma chiusa di Λ è la formula di Rodriguez [24]: Λ(ψ) = I + sin ψ 1 cos ψ Ψ + Ψ 2 (3.48) ψ ψ 2

63 Strutture Continue Monodimensionali 53 Si osservi che, in correlazione con il fatto che le rotazioni nite non sono commutative, l'esponenziale di matrici non gode delle usuali proprietà delle potenze. In generale si ha infatti Vale inoltre la seguente proprietà: Equilibrio e cinematica e A+B e A e B (3.49) Λ( ψ) = Λ(ψ) T = Λ(ψ) 1 (3.50) Denizione delle grandezze e dei sistemi di riferimento Nel sistema di riferimento assoluto la congurazione di riferimento di una trave di lunghezza L è descritta dalla curva x(s) x : [0; L] R 3 ; x(s) = y(s) (3.51) z(s) per la quale si suppone che s sia ascissa curvilinea. Con riferimento alla Fig.3.1, si disegna sulla sinistra un elemento innitesimo ds della trave, e sulla destra lo stesso elemento deformato. Le variabili di spostamento prese in considerazione sono sei, ovvero tre spostamenti v(s) (traslazioni) e tre rotazioni ψ(s). Figura 3.1: Congurazione di riferimento e congurazione deformata

64 54 Strutture Continue Monodimensionali Nel riferimento assoluto possiamo scrivere v = v x v y v z ; ψ = ψ x ψ y ψ z (3.52) Queste due quantità vanno a denire le sei variabili di spostamento generalizzato d = [ v ψ ] (3.53) Partendo da v e ψ e supponendoli innitesimi, deniamo le seguenti matrici innitesime: V = V = E ijk v j = Ψ = Ψ = E ijk ψ j = 0 v z v y v z 0 v x v y v x 0 0 ψ z ψ y ψ z 0 ψ x ψ y ψ x 0 (3.54) (3.55) Scriveremo le grandezze che ci interessano in vari sistemi di riferimento, che chiamiamo e deniamo come di seguito, sempre facendo riferimento alla Fig.3.1. ˆ Il sistema di riferimento assoluto, relativo al triedro delle tre coordinate spaziali x y z e contraddistinto dalla matrice di rotazione identità Ǐ. ˆ Il riferimento di Frenet, relativo al triedo dei versori normale, binormale e tangente alla curva nella sua congurazione di riferimento, contraddistinto dalla matrice di rotazione ˇΞ = [n b t] ˆ Il riferimento ruotato, relativo al triedo ottenuto dal triedro assoluto a seguito di una rotazione ψ, contraddistinto dalla matrice di rotazione e Ψ Ǐ + Ψ = [ξ x ξ y ξ z ] ˆ Il riferimento materiale, relativo al triedro ottenuto ruotando di ψ il triedo di Frenet e approssimabile al primo ordine con (Ǐ + Ψ) ˇΞ = ˇΞ(Ǐ + Φ) = [ξ n ξ b ξ t ]. L'espressione esatta di Φ verrà data in seguito.

65 Strutture Continue Monodimensionali 55 I vettori v e ψ possono anche essere scritti nel riferimento di Frenet: u n u = u b u t ; φ n φ = φ b φ t (3.56) dove u = ˇΞ T v ; v = ˇΞu ; φ = ˇΞ T ψ ; ψ = ˇΞφ (3.57) Si deniscono analogamente le seguenti matrici innitesime: 0 u t u b U = Ū = E ijku j = u t 0 u n (3.58) u b u n 0 0 φ t φ b Φ = Φ = E ijk φ j = φ t 0 φ n (3.59) φ b φ x 0 Si vericano facilmente le seguenti: Φ = ˇΞ T Ψ ˇΞ ; Ψ = ˇΞ Φ ˇΞT Ū = ˇΞ T V ˇΞ ; V = ˇΞŪ ˇΞ T (Ǐ + Ψ) ˇΞ = ˇΞ(Ǐ + Φ) (3.60) Sulla trave agiscono le seguenti forze g e coppie c distribuiti, che scriviamo nel riferimento assoluto: g x g = g y g z ; c x c = c y c z (3.61) Questi carichi sono deniti per unità di lunghezza nella congurazione indeformata. Non conservatività dei momenti Chiaramente il duale di g è v. In ambito lineare anche c è il duale di ψ, ma non al secondo ordine. A tal proposito occorre fare alcune precisazioni. La variabile ψ è una variabile di stato, e denisce qundi la congurazione deformata. Ad essa è associata una forza duale, ma questa non è c. Esiste sicuramente uno spostamento virtuale, che chiameremo θ, per il quale c compie lavoro. Tuttavia,

66 56 Strutture Continue Monodimensionali pur esistendo θ, non esiste in realtà θ. Una conseguenza di ciò è che il lavoro compiuto da c dipende dal percorso eettuato [24]. Il fatto che i momenti non siano conservativi è ben noto in letteratura, e le metodologie di analisi proposte in merito sono state molte. In questa sede si è deciso di fare riferimento esclusivamente al PLV. Tralasciando il comportamento degli spostamenti di tipo traslazione, che non creano problemi in quanto commutativi, abbiamo quindi la seguente situazione: ˆ Vogliamo scrivere l'equilibrio in funzione delle quantità coppia distribuita c e delle rotazioni ψ. Tuttavia queste quantità non sono duali l'una dell'altra. ˆ Le coppie c compiono lavoro virtuale per la quantità θ. Inoltre θ non esiste. Esiste tuttavia una relazione tra θ e ψ. Se poniamo quindi θ = Qψ possiamo scrivere il lavoro virtuale delle forze esterne come c θ = c Qψ = Q T c ψ (3.62) Si deve solamente trovare la matrice Q = Q(ψ), che dipenderà esclusivamente da ψ. Supponiamo che una sezione della trave abbia ruotato della quantità ψ. A partire da questa congurazione ruotata, applichiamo una ulteriore rotazione virtuale θ. Considerando l'espressione della rotazione solo no al primo ordine, la variazione virtuale della matrice di rotazione può essere scritta come Λ(ψ) = Θe Ψ = Θ(I + Ψ) ; Θ = E ijk θ j (3.63) Consideriamo ora la stessa sezione, e applichiamo una variazione virtuale ψ direttamente alla variabile di stato ψ. La variazione virtuale della marice di rotazione in questo caso è Λ(ψ) = Λ(ψ) ψ ψ = Λ ij(ψ) ψ ψ k (3.64) k Per procedere, dobbiamo scrivere Λ in funzione di ψ espandendolo al secondo ordine, in modo che una volta derivato risulti del primo ordine: (I+Ψ+Ψ 2 /2) ψ ψ = Ψ ΨΨ ΨΨ (3.65) avendo, come al solito, posto Ψ = E ijk ψ j.

67 Strutture Continue Monodimensionali 57 A questo punto, visto che abbiamo variato la stessa congurazione in entrambi i casi, possiamo porre Θ(I + Ψ) = Ψ ΨΨ + 1 ΨΨ (3.66) 2 Per l'esattezza, riscriviamo la precedente nella seguente forma: Θ(I + Ψ) = ˇΨ Ψ ˇΨ ˇΨ Ψ (3.67) Si osservi che soltanto gli spostamenti sono supposti innitesimi, mentre gli spostamenti virtuali sono trattati come quantità nite. Utilizzando l'algebra delle matrici del primo ordine, possiamo eseguire facilmente i calcoli e ottenere Θ = ˇΨ Ψ ˇΨ 1 2 ˇΨ Ψ (3.68) Mediante le denizioni di Θ, ˇΨ e Ψ, possiamo inne vericare che si deve avere Il lavoro virtuale delle forze esterne è quindi Ove si è posto θ = (Ǐ + Ψ/2)ψ (3.69) c θ = c (Ǐ + Ψ/2)ψ = (Ǐ + Ψ/2) T c ψ = ς ψ (3.70) e quindi anche ς = (Ǐ + Ψ/2) T c = (Ǐ Ψ/2)c (3.71) c = (Ǐ Ψ/2) 1 ς = (Ǐ + Ψ/2)ς (3.72) Scriveremo quindi le equazioni di equilibrio prima in funzione di c, per poi eettuare la sostituzione (3.72). Si osservi che ς è il duale di ψ, mentre la quantità ˇΞ T ς è duale di φ = ˇΞ T ψ. Con un ragionamento simile si può scrivere il duale di ψ in ambito nito. La variazione virtuale della matrice di rotazione è [24] avendo posto Λ ij (ψ) = Λ ij(ψ) ψ k ψ k = (E ilm T lk Λ mj )ψ k (3.73)

68 58 Strutture Continue Monodimensionali T = T(ψ) = I + La (3.66) diventa quindi 1 cos ψ ψ sin ψ Ψ + Ψ 2 (3.74) ψ 2 ψ 3 Da cui E ijk θ j Λ kl = (E ikm T kj Λ ml )ψ j (3.75) θ = Tψ ; ς = T T c ; c = T T ς (3.76) Si vericano inne facilmente le seguenti proprietà: Equilibrio T T (ψ) = T( ψ) ; T(Ξφ) = ΞT(φ)Ξ T (3.77) Per scrivere l'equilibrio bisogna prima denire le reazioni interne. Facendo sempre riferimento alla Fig.3.1, sugli estremi del concio deformato agiscono le forze w e i momenti ω, scritti nel riferimento assoluto come w = w x w y w z ; ω = ω x ω y ω z (3.78) Queste quantità vengono anche denite nel riferimento ruotato e nel riferimento materiale r = r x r y r z ; m = m x m y m z ; ν = V n V b N ; µ = (3.79) dove N è lo sforzo assiale, V sono i tagli, M i momenti ettenti e T il torcente. Si ha: M n M b T w = (Ǐ + Ψ)r ; ω = (Ǐ + Ψ)m ; w = ˇΞ(Ǐ + Φ)ν ; ω = ˇΞ(Ǐ + Φ)µ (3.80) L'equilibrio alla traslazione e rotazione del concio deformato si scrive { dw + gds = 0 dω + ξds w + cds = 0 (3.81)

69 Strutture Continue Monodimensionali 59 da cui si ottengono le equazioni [14]: { w = g ω = c ξ w (3.82) dove si è posto ξ = (x + v) = t + v Facendo le opportune sostituzioni si ottiene { r + ( Ψr) = g m + ( Ψm) = (Ǐ + Ψ/2)ς t ((Ǐ + Ψ)r) v ((Ǐ + Ψ)r) (3.83) Si ha inoltre v ((Ǐ + Ψ)r) = V (Ǐ + Ψ)r = V r (3.84) e, sfruttando la covarianza del prodotto vettoriale per rotazioni, t ((Ǐ + Ψ)r) = ˇΞ(( ˇΞ T t) ( ˇΞ T r + ˇΞ T Ψr)) (3.85) Poichè ( ˇΞ T t) = [0 0 1] T, la seconda equazione in (3.83) diventa m + ( Ψm) = (Ǐ + Ψ/2)ς V r ˇΞŠ ˇΞ T r ˇΞŠ ˇΞ T Ψr (3.86) dove si è posto Š = E ijk j = (3.87) Moltiplicando a sinistra entrambi i membri della (3.86) per (Ǐ Ψ/2) l'equilibrio diventa { g = r ( Ψr) ς = m ˇΞŠ ˇΞ T r 1 2 ( Ψm) 1 2 Ψ m V r + ( 1 2 Ψ ˇΞŠ ˇΞ T ˇΞŠ ˇΞ T Ψ)r (3.88) Legame costitutivo Facciamo ora l'ipotesi che esista una relazione, indipendente dagli spostamenti, tra gli sforzi interni ν, µ e le loro deformazioni duali ɛ ν e ɛ µ :

70 60 Strutture Continue Monodimensionali ɛ ν = γ n γ b e ; ɛ µ = χ n χ b θ (3.89) dove e è l'allungamento, γ sono i tagli, χ le curvature e θ l'avvitamento. Possiamo disporre sforzi e deformazioni nei due vettori σ e ɛ: σ = [ ν µ ] = V n V b N M n M b T [ ɛ ν ; ɛ = ɛ µ ] = γ n γ b e χ n χ b θ ; σ = σ(ɛ, s) (3.90) Poichè ˇΞ è una rotazione indipendente dagli spostamenti, una relazione simile c'è anche tra r, m e i loro duali ɛ r e ɛ m, anche se in questo caso il legame costitutivo sarà pesantemente accoppiato. Cinematica Abbiamo denito i vettori forza e spostamento, duali l'uno dell'altro, come [ ] [ ] g v f = ; d = (3.91) ς ψ Possiamo quindi leggere l'equilibrio (3.88) nella forma della (3.35) e trovarci quindi i tensori della congruenza al primo e secondo ordine C ed S, dopo aver controllato che S sia eettivamente simmetrico. La simmetria di S implica che se nell'espressione della forza f m compare il termine f m (σ i d (j) k )(l) (3.92) allora nell'espressione di f k ci deve essere il termine f k ( 1) j+l (σ i d (l) m ) (j) (3.93) Se (j, k) (l, m) questi termini, insieme, portano nell'espressione della congruenza al termine in ɛ i : I termini autosimmetrici ɛ i ( 1) l d (j) k d(l) m (3.94)

71 Strutture Continue Monodimensionali 61 f k (σ i d (j) k )(j) (3.95) portano, nella congruenza, a termini del tipo ɛ i ( 1) j 1 2 (d(j) k )2 (3.96) Possiamo vericare che nella (3.88) i termini (Ψr) sono i simmetrici dei termrini V r e che i termini (Ψm) /2 sono i simmetrici di Ψ m/2. Trascurando gli altri termini dipendenti dagli spostamenti (ce ne occuperemo in seguito), si ottiene la cinematica { ɛ r v + ΞSΞ T ψ + V ψ ɛ m ψ + 1 (3.97) 2 Ψ ψ in cui sono stati inclusi anche i termini lineari. Moltiplicando a sinistra per Ξ T e facendo qualche sostituzione si perviene a { ɛ ν Ξ T v + Sφ + Ξ T V Ξφ ɛ µ Ξ T ψ ΞT Ψ (3.98) Ξφ Per continuare la trattazione, è conveniente denire ora il seguente operatore dierenziale, che indicheremo con un punto e da non confondersi con il simbolo di derivata temporale. Dato un vettore a o una matrice A, si deniscono ȧ = Ξ T (Ξa) ; Ȧ = Ξ T (ΞAΞ T ) Ξ (3.99) In particolare si hanno le seguenti espressioni, in cui il punto sopra una quantità scalare non è inteso come operatore ma semplicemente come simbolo: u = u n u b u t = Ξ T v = u + Fu (3.100) u n = v n = u n τu b + ku t u b = v b = u b + τu n u t = v t = u t ku n ; u n = u n + τu b ku t u b = u b τu n u t = u t + ku n (3.101) U = E ijk u j = 0 u t u b u t 0 u n u b u n 0 = Ξ T V Ξ (3.102)

72 62 Strutture Continue Monodimensionali Denizioni analoghe sono date per le rotazioni: φ = φ n φ b φ t = Ξ T ψ = φ + Fφ (3.103) φ n = φ n = φ n τφ b + kφ t φ b = φ b = φ b + τφ n φ t = φ t = φ t kφ n ; φ n = φ n + τφ b kφ t φ b = φ b τφ n φ t = φ t + kφ n (3.104) Φ = E ijk φj = 0 φ t φb φ t 0 φ n φ b φn 0 Possiamo quindi riscrivere le (3.98) come { ɛ ν u + Sφ + Uφ ɛ µ φ Φφ = Ξ T Ψ Ξ (3.105) (3.106) Analizziamo ora i termini che abbiamo trascurato in precedenza. Supponiamo che l'equilibrio sia scritto nella forma ( ) 1 ς = 2 ΨΞSΞT ΞSΞ T Ψ r (3.107) Moltiplicando per Ξ T si ha Ξ T ς = ( ) 1 ΦS SΦ ν (3.108) 2 Ricordiamo che Ξ T ς è il duale di φ, e osserviamo che la quantità tra parentesi è autosimmetrica. Mediante un calcolo diretto, possiamo enfatizzare questa simmetria indicano con lo stesso pedice numerico i termini simmetrici, e con un carattere alfabetico le autosimmetrie: 1 ΦS SΦ = φ t 0 φ n φ t φ b 1 2 φ n 1 φ 2 b 0 Questo porta alla cinematica = ( 1 2 φ t) 1 0 ( φ n ) A 0 ( 1 2 φ t) 2 ( φ b ) B ( 1 2 φ n) 1 ( 1 2 φ b) 2 0 (3.109)

73 Strutture Continue Monodimensionali 63 e 1 2 φ2 n 1 2 φ2 b γ n 1 2 φ tφ n (3.110) γ b 1 2 φ tφ b Aggiungiamo inne questi termini alla (3.106), ottenendo la cinematica del secondo ordine completa e = u t u b φ n + u n φ b 1 2 φ2 n 1 2 φ2 b γ n = φ b + u n u t φ b + u b φ t φ tφ n γ b = φ n + u b + u t φ n u n φ t φ tφ b χ n = φ n 1 2 φ t φ b φ b φ t (3.111) χ b = φ b φ t φ n 1 2 φ n φ t θ = φ t 1 2 φ b φ n φ n φ b che può essere letta sia nel riferimento assoluto mediante le opportune sostituzioni (3.100) e (3.103), sia nel riferimento di Frenet sostituendo (3.101) e (3.104). Nel riferimento assoluto la cinematica dipende da ˇΞ(s), mentre nel riferimento di Frenet dipende da k(s) e τ(s). Si osservi che in una trave rettilinea non c'è dierenza tra il simbolo ( ) e l'operatore ( ), quindi in questo caso la (3.111) può essere direttamente usata come è scritta. Trave non deformabile a taglio Per travi non deformabili a taglio, abbiamo bisogno di un unico parametro di rotazione, quindi scriveremo φ t = φ. Ponendo γ n = γ b = 0 si ottiene, al primo ordine, φ n = u b ; φ b = u n (3.112) e quindi al secondo ordine { φn = u b + u t u b u nφ φ b = u n u t u n u bφ (3.113) che sostituita nella (3.104) porta a

74 64 Strutture Continue Monodimensionali φ n = ( u b + u t u b u nφ) τ( u n u t u n u bφ) + kφ φ b = ( u n u t u n u bφ) + τ( u b + u t u b u nφ) φ t = φ k( u b + u t u b u nφ) (3.114) a Denendo quindi ü = ü n ü b ü t = Ξ T v = u + F u (3.115) tramite alcuni passaggi algebrici e opportune sostituzioni si può pervenire φ n = ü b + kφ + ü t u b + u t ü b u nφ + 1 2ünφ + k( u n u b 1 2 φ u t) φ b = ü n k u t ü t u n u t ü n u bφ + 1 2übφ + k( u 2 t u 2 n) φ t = φ + k u b k( u t u b u nφ) (3.116) Sostituendo (3.113) e (3.116) in (3.111) e trascurando i termini di terzo o quarto ordine, si ottiene la cinematica del secondo ordine per la trave non deformabile a taglio: e = u t u2 n u2 b χ n = ü b + kφ + ü t u b + ü b u t + ü n φ + k( 1 u 2 n u b u t φ) χ b = ü n k u t ü t u n ü n u t + ü b φ + k( u 2 t u 2 n 1 2 u2 b 1 2 φ2 ) θ = φ + k u b + 1 u 2ün b 1 u 2üb n + k( 3 u 2 t u b ) (3.117) Trave indeformabile a taglio e inestensibile Dalla (3.117), ponendo e = 0 (trave inestensibile), si ottiene la seguente equazione, leggibile sia al primo che al secondo ordine u t = u 2 n/2 u 2 b/2 0 (3.118) L'espressione di ü t al primo ordine è ü t = k u n Sostituendo quindi nella (3.117) si ottiene la cinematica

75 Strutture Continue Monodimensionali 65 χ n = ü b + kφ + ü n φ k( 1 2 u n u b ) χ b = ü n + ü b φ + k( 1 2 u2 n 1 2 φ2 ) (3.119) θ = φ + k u b + 1 u 2ün b 1 u 2üb n Si osservi tuttavia che nella precedente equazione compare la variabile u t, in quanto è presente ad esempio nell'espressione di u n, quindi è comunque necessario introdurre esplicitamente il vincolo (3.118) Interpretazione geometrica di alcuni termini Cinematica della trave rettilinea non deformabile a taglio In una trave rettilinea si può porre Ξ = I, k = τ = 0 e inoltre u = [u n u b u t ] T = [u x u y u] T ; χ n = χ x ; χ b = χ y (3.120) La (3.117) si può scrivere come segue: e = u u 2 x u 2 y χ x = u y + u u y + u yu + u xφ (3.121) χ y = u x u u x u xu + u yφ θ = φ u xu y 1 2 u yu x Di ciascuno dei termini non lineari scritti, si può dare la seguente interpretazione ˆ Termini non lineari nell'espressione dell'allungamento e. Storicamente questi sono stati i primi ad essere studiati, in quanto sono responsabili dello sbandamento laterale di un'asta snella compressa. Rappresentano l'allungamento del secondo ordine dovuto agli spostamenti trasversali. ˆ Termini u xφ e u yφ in χ x e χ y. Questi termini sono responsabili dell' instabilità esso-torsionale per travi con momenti di inerzia molto differenti nelle due direzioni principali (ad esempio le travi IPE in acciaio). Se la trave è molto caricata lungo il suo asse forte, cercherà di ruotare per ettersi lungo il suo asse debole. Il fenomeno è contemplato nelle normative di vari paesi (si veda ad esempio [8]). Da un punto di vista cinematico questi termini indicano che le misure della curvatura della trave, se la sezione risulta ruotata di φ, devono anch'esse ruotare.

76 66 Strutture Continue Monodimensionali ˆ Termini u yu e u xu in χ x e χ y. Questi termini sono una riduzione di curvatura nelle travi allungate, per il fattore (1 u ). Con riferimento alla Fig.3.2, si disegnano tre travi. La prima, indicata con un tratteggio, rettilinea e indeformata, la seconda con solo spostamenti trasversali, e la terza con gli stessi spostamenti trasversali ma anche spostamenti assiali. Nonostante entrambe abbiano i medesimi spostamenti trasversali, la trave allungata ha una curvatura minore. Si osservi anche che β < α Figura 3.2: Riduzione di curvatura per allungamento ˆ Termini u u y e u u x in χ x and χ y. Questi termini rappresentano un ecace esempio dell'inapplicabilità della legge di sovrapposizione degli eetti in ambito non lineare. Si considerino, in Fig.3.3, tre travi. La prima non ha alcuno spostamento assiale e uno spostamento verticale con u y costante; la seconda non ha spostamenti verticali, ma ha un allungamento assiale non uniforme con u 0. Nessuna delle due ha curvatura ettente. Tuttavia la terza trave, disegnata tra le prime due, ha degli spostamenti pari alla somma degli spostamenti delle prime due, ed ha comunque una curvatura non nulla. Figura 3.3: Curvatura per eetti non lineari ˆ Termini u xu y/2 u yu x/2 in θ. Questi termini sono reponsabili dell'instabilità elicoidale per torsione [25]. Verichiamo la correttezza di questi termini per una trave non avvitata, quindi con θ = 0.

77 Strutture Continue Monodimensionali 67 Supponiamo che gli spostamenti u siano u(s) = αs 2 /2 βs 0 α > 0 (3.122) e quindi u x = αs ; u x = α ; u y = β ; u y = 0 (3.123) Disegniamo in Fig.3.4 una vista assonometrica, una vista in pianta e una vista laterale della trave deformata, insieme al riferimento assoluto x y z e al suo riferimento materiale. Figura 3.4: Avvitamento del secondo ordine Poichè la trave rimane piana e non c'è avvitamento, è naturale supporre che il riferimento materiale coincida con il triedro [ñ, b, t] di Frenet della curva descritta dalla trave deformata. L'espressione del triedro materiale è, al secondo ordine, denito da e Φ = I + Φ + Φ 2 /2. Si ha quindi bx = (I + Φ + Φ 2 /2) 12 = φ φ yφ x (3.124) dove b x è la componente di b lungo x, e gli indici (12) stanno ad indicare la prima riga della seconda colonna. Tramite la (3.44) si ottiene

78 68 Strutture Continue Monodimensionali b = αs β 1 αs β 1 α 0 0 α 0 0 ; bx = 0 ; φ = 1 2 φ yφ x (3.125) Sostituendo per una trave inizialmente rettilinea la (3.112) nella (3.125) si ottiene φ = u xu y/2 e quindi φ = u xu y/2. Poichè anche θ = 0 si ha inne θ = φ u xu y (3.126) Un esempio simmetrico conduce al termine u xu y/2. Cinematica lineare della trave curva non deformabile a taglio La cinematica lineare della trave curva non deformabile a taglio può essere scritta eliminando i termini non lineari dalla (3.117): e = u t χ n = ü b + kφ χ b = ü n k u t θ = φ + k u b (3.127) L'allungamento ha la stessa espressione della trave rettilinea. Tuttavia le curvature e l'avvitamento hanno ciascuna un termine correttivo, dipendente da k. ˆ Termine +kφ in χ n. Questo termine è interpretato facendo riferimento alla Fig.3.5, dove sulla sinistra è disegnata la sezione della trave, e sulla destra un elemento di trave visto dalla direzione b. Il punto A, sull'asse b e a distanza h dal centro della sezione O, e il punto B sull'asse n, dopo una rotazione innitesima φ si spostano rispettivamente in A e B. Il raggio della bra S A passante per A è r 0 = 1/k, mentre il raggio della bra S A per A è r 1 = 1/k + hφ. La bra, dopo la rotazione, si è allungata di kφh. Lo stesso allungamento della bra si ha in una trave inizialmente rettilinea soggetta ad una curvatura χ = kφ. Questo allungamento non compare nella bra S B, quindi il termine è presente solo nell'espressione della curvatura normale χ n.

79 Strutture Continue Monodimensionali 69 Figura 3.5: Curvatura χ n dovuta a φ ˆ Termine k u t in χ b. Con riferimento all'elemento ds innitesimo di trave in Fig.3.6, il punto B si sposta in B. La curvatura iniziale è k = 1/r 0, e quella nale è k + k = 1/r 1, dove k è la variazione di curvatura. Figura 3.6: Curvatura χ b dovuta a u t Si ha anche

80 70 Strutture Continue Monodimensionali z 0 ds z 1 = z 0 + (v t)z 0 r 0 = 1/k r 1 = 1/(k + k) (3.128) Ponendo z 0 /r 0 = z 1 /r 1 si ottiene facilmente, trascurando innitesimi, k = kv t = k u t (3.129) Poichè k è la curvatura geometrica (iniziale) della trave in direzione b, la curvatura χ b può essere vista come variazione da questa curvatura iniziale, da cui il termine correttivo. ˆ Termine +k u b in θ. Per un'interpretazione di questo termine, si faccia riferimento alla Fig.3.7. Figura 3.7: Avvitamento θ dovuto a u b Un elemento di trave ad arco inizialmente circolare e di lunghezza ds e raggio r = 1/k ha uno spostamento nullo nelle direzioni t e n, mentre in direzione b lo spostamento è lineare. L'arco è sso ad un estremo, mentre all'altro estremo ha uno spostamento pari a (v b)ds. Anche se la sezione terminale non ha rotazioni (si pone φ = 0), c'è un avvitamento θ tale che θds = (v b)ds r (3.130) da cui si ottiene la correzione θ = k u b

81 Strutture Continue Monodimensionali 71 Instabilità a trazione per la trave senza rigidezza a taglio In questa sezione discutiamo il signicato dei termini φ 2 n/2 e φ 2 b /2 presenti nell'espressione di e (3.111). E' noto [26] che il carico critico di compressione per una trave deformabile a taglio è più basso di quella per una trave di Bernoulli. Questa correzione dipende dal rapporto tra il carico critico a la Bernoulli e la deformabilità a taglio GA, dove G è il modulo di taglio e A l'area di taglio. Questo rapporto è molto piccolo, e di solito non genera cambiamenti signicativi nella stabilità a compressione. Tuttavia, se la rigidezza a taglio è bassa, la correzione può essere signi- cativa. Nel caso degenere in cui la resistenza a taglio è nulla, la soluzione classica rettilinea di una trave tesa è sempre instabile. La sezione della trave ruota al ne di accorciare la trave, nello stesso modo in cui una trave compressa sbanda per potersi allungare. Si consideri la Fig.3.8: la trave indeformata in A è più lunga della trave in B che è equivalente alla trave in C. Figura 3.8: Accorciamento dovuto a φ n e φ b Un modello meccanico di trave senza rigidezza a taglio è ragurato in Fig.(3.9), in cui N π rappresenta una pretensione di trazione. Si osservi che, in presenza di rotazione, si ha d 1 < d Cinematica nita La teoria per la cinematica del secondo ordine esposta in questo capitolo può essere facilmente generalizzata alla cinematica nita. In generale una cinematica per un continuo monodimensionale si esprime con

82 72 Strutture Continue Monodimensionali Figura 3.9: Modello meccanico di trave senza rigidezza a taglio ɛ = ɛ( d) (3.131) L'espressione di W, data nella (3.14) viene sostituita da ɛ i W jk = σ i ( j d k ) ɛ i (0) σπ i ( j d k ) o, in assenza di pretenisone, più semplicemente con (3.132) ɛ i W jk = σ i ( j d k ) (3.133) In assenza di pretensione le equazioni di equilibrio (3.35) si scrivono quindi nella forma f k = j(σ i B ijk ( d)) ; B ijk = ɛ i ( j d k ) Il tensore B deve inoltre soddisfare la condizione di Schwarz (3.134) B ijk ( l d m ) = B ilm ( j d k ) (3.135) Per quanto riguarda la trave curva, l'equilibrio 3.82 in forma nita si scrive { Ξ T g = (Λ(φ)ν) Ξ T c = (Λ(φ)µ) (S + U)Λ(φ)ν (3.136) essendo Ξ T g il duale degli spostament u.

83 Strutture Continue Monodimensionali 73 Osserviamo ora che dalla (3.74) e dalla (3.77) si ottiene Ξ T T T (ψ)ξ = T T (φ) (3.137) Moltiplichiamo quindi a sinistra entrambi i membri della seconda equazione della (3.136) per T T (φ), ricordando (3.76) e lavorando sul calcolo delle derivate si ottiene { Ξ T g = (Λν) Ξ T ς = (T T Λµ) + ṪT Λµ T T (S + U)Λν (3.138) dove per semplicità si è scritto Λ = Λ(φ) e T = T(φ). Osserviamo che nell'equilibrio gli spostamenti u compaiono soltanto nella forma derivata u e soltanto in accoppiamento con ν. Inoltre in accoppiamento con ν non compaiono i termini φ. La cinematica si può scrivere quindi nella seguente forma: { ɛ ν = ɛ ν (φ, u) ɛ µ = ɛ µ (φ, φ) (3.139) Ai ni dei calcoli, l'operatore ( ) è molto simile all'operatore di derivata classica. Consiste infatti in una parte derivata ed una non derivata e moltiplicata per F. L'integrazione per parti cambia di segno solo la parte derivata. Tuttavia dalla (3.42) si deduce che anche la parte non derivata, trasponendola, cambia di segno, quindi nel PLV non ci sono dierenze tra i due operatori. Si hanno quindi le seguenti equazioni: ɛ ν / u = Λ T ɛ ν / φ = Λ T (S T + U T )T = Λ T (S + U)T ɛ µ / φ = Λ T Ṫ ɛ µ / φ = Λ T T Poichè Λ e T dipendono solo da φ, dalla prima equazione si ottiene (3.140) mentre dalla quarta ɛ ν = Λ T u + a(φ) (3.141) ɛ µ = Λ T T φ + b(φ) (3.142) essendo a e b due funzioni incognite. Dalla seconda equazione in (3.140) e ricordando anche le (3.73), (3.87), (3.102) si perviene quindi a a i φ j = ɛν i φ j Λ ki φ j u k = Λ ki E klm (k + u) l T mj E klm T lj Λ mi u k (3.143)

84 74 Strutture Continue Monodimensionali con k = [0 0 1] T. Sfruttando le simmetrie e antisimmetrie di E i termini in u si elidono e integrando si ottiene a = Λ T k k (3.144) dove è stata scelta la costante di integrazione che restituisce ɛ ν (0) = 0. Dalla terza in (3.140), osservando anche che ( T/ φ) φ = Ṫ, si ha b i = ɛµ i (Λ kit kl ) φl = Λ ki T kl φl = E khm T hj Λ mk T kl φl = 0 (3.145) φ j φ j φ j φ j dove nell'ultima uguaglianza si sono sfruttate le proprietà di E. Essendo sempre ɛ µ (0) = 0, si ottiene b = 0 Poichè inne si ha Λ T (φ) = Λ( φ), la cinematica si può scrivere ɛ ν = Λ( φ)(k + u) k (3.146) ɛ µ = Λ( φ)t(φ) φ Si precisa che la precedente espressione contiene dei punti singolari [24]. In particolare, poichè tutte le rotazioni di 2kπ sono equivalenti alla rotazione nulla, si ha ɛ µ = 0 quando φ = 2kπ 0 e φ φ = 0. In pratica succede che in corrispondenza di rotazioni non nulle multiple di 2π la matrice T diventa singolare e si perdono due gradi di libertà. Il fenomeno è conosciuto come gimbal lock [27], ed è analogo alla perdita di un grado di libertà di movimento nei poli geograci nel sistema di coordinate latitudine-longitudine.

85 Capitolo 4 Un Modello Cosserat per i Ferroelettrici In questo capitolo sottolineeremo alcune interessanti analogie tra il comportamento elettrostatico dei materiali ferroelettrici [28], [29] e il modello Cosserat [30], soprattutto in relazione alla formazione di domini di polarizzazione. In [31] è stato proposto un modello che coinvolge il concetto di microstruttura per denire la polarizzazione. Un'idea simile viene usata in [32] e riproposta in questo capitolo. Figura 4.1: Domini di polarizzazione con switching di 180 I materiali ferroelettrici sono dei materiali che, al di sotto di un determinata temperatura chiamata temperatura di Curie, presentano una polarizzazione spontanea, la quale, alla scala più piccola, assume spesso l'andamento di un'onda quadra (Fig.4.1), con rapide inversioni di 180 gradi (domain walls). Un modello variazionale per descrivere un onda quandra su un dominio monodimensionale è stato proposto in [33], ma la generalizzazione tridimensionale di questo modello è incompatibile con alcuni risultati disponibili in letteratura sul comportamento dei ferroelettrici. Tuttavia un modello più ne, 75

86 76 Un Modello Cosserat per i Ferroelettrici equivalente al modello di trave deformabile a taglio, porta ad una generalizzazione tridimensionale equivalente al modello Cosserat e matematicamente correlato ai risultati teorici sui ferroelettrici. In questa sede ci concentriamo sulle proprietà elettriche, e non ci occuperemo di spostamenti elastici classici: supponiamo quindi la congurazione di riferimento rigida e che già permetta una polarizzazione spontanea. Poichè stiamo vedendo il tutto in un'ottica di dualità tra sforzi e deformazioni, esprimeremo l'energia interna di un ferroelettrico polarizzato come il prodotto scalare di questi due enti. 4.1 La trave su suolo elastico L'onda quadra che descrive l'andamento della polarizzazione è un onda smooth, nel senso che non è esattamente quadra, ma ammette una derivata. Un semplice potenziale monodimensionale che descrive questo tipo di onda è stato studiato in [33] e denito come U(x) = ζv 2 + (v 2 1) 2 + av 2 ; v = v(x) (4.1) dove ζ è un parametro molto piccolo, ed a un altro parametro. La minimizzazione di questo potenziale ha per soluzione v un onda triangolare (Fig.4.2) con punte leggermete arrotondate (quindi con derivata prima continua). Figura 4.2: Onda triangolare La sua derivata è un onda quadra il cui valore è quasi sempre uguale a ±1 (potenziale a doppio pozzo in v = ±1), e può rappresentare la polarizzazione p = v. La (4.1) può essere generalizzata inserendo alcuni parametri: U(x) = ζv 2 + (αv 2 + β) 2 + av 2 ; β < 0 (4.2)

87 Un Modello Cosserat per i Ferroelettrici 77 che presenta il doppio pozzo in v = ± β/α. La minimizzaizone di questo potenziale dipende da tre parametri indipendenti, che regolano insieme l'acutezza dell'onda triangolare (la quale è associata alla pendenza del muro di polarizzazione), la sua ampiezza e la sua frequenza. Questo potenziale ha la stessa espressione del potenziale di una trave precompressa su suolo elastico. Sia v lo spostamento verticale della trave. La sua cinematica al secondo ordine e il suo legame costitutivo si esprimono con e = 1 2 v 2 + e 0 χ = v ν = v ; N = EAe M = EJχ R = Kν (4.3) dove e è l'allungamento, e 0 < 0 è l'allungamento iniziale dovuto alla precompressione, χ è la curvatura e ν la deformazione del suolo. Il secondo sistema, con chiaro uso di simboli e variabili, è il legame costitutivo che lega le defomrazioni ɛ(x) = [e χ ν] T agli sforzi duali σ(x) = [N M R] T. La risultante energia potenziale interna U(x) = σ ɛ/2 può essere scritta come in (4.2). 4.2 Generalizzazione 3D della trave su suolo elastico La generalizzazione tridimensionale della trave è stata descritta in [34], dove viene proposto un continuo in cui si tiene conto anche delle curvature tramite le derivate seconde degi spostamenti. Denendo v come il vettore tridimensionale degli spsotamenti, si ha la seguente cinematica, che include anche gli eetti non lineari e la deformazione del suolo elastico e in cui gli operatori dierenziali sono relativi alla congurazione iniziale di riferimento: E = sym grad v + o(grad v) + E 0 Ξ = grad (rot v) + o(grad 2 v, grad v) ν = v (4.4) Sono stati indicati con 'o' i termini non lineari. In questo modello abbiamo sei deformazioni indipendenti a la Cauchy in E, otto deformazioni indipendenti in Ξ (curvature), e altre tre deformazioni nel suolo. In analogia con il modello monodimensionale, al primo ordine si può denire la polarizzazione p = rot v skw grad v. Tuttavia questo conduce a div p = 0, che è incompatibile con i risultati disponibili in letteratura [31]. Abbiamo quindi bisogno di un modello più ricco.

88 78 Un Modello Cosserat per i Ferroelettrici 4.3 La trave deformabile a taglio Per descrivere più accuratamente la trave su suolo elastico è possibile includere nel modello la deformabilità a taglio. La sua cinematica del secondo ordine (si veda il Par.3.3.2) si può scrivere nel caso piano, trascurando gli spostamenti assiali e includendo gli eetti del suolo elastico: e = v p 1 2 p2 + e 0 γ = v + p χ = p ν = v ; N = EAe V = GAγ M = EJχ R = Kν (4.5) dove γ è lo scorrimento e il taglio V è il suo duale statico. La generalizzazione tridimensionale della trave deformabile a taglio è il continuo con microstruttura di tipo Cosserat [30], [35]. Denendo p e v come due vettori tridimensionali di spostamenti generalizzati, la cinematica Cosserat si può scrivere come [36] E = sym grad v + o(grad v, p) + E 0 q = p + rot v + o(grad v, p) Ξ = grad (p) + o(p, grad p) ν = v + o(v) + ν 0 (4.6) dove è stato aggiunto ν come deformazione del suolo elastico arricchito di eetti non lineari. Gli eetti non lineari nella deformazione del suolo elastico sono stati introdotti in quanto, come vedremo, si può supporre che v si associato ad una rotazione. Un buon candidato potrebbe essere la rotazione (tilt) degli ottaedri di ossigeno della struttura cristallina, e il potenziale associato all'angolo di tilt è non lineare [37]. Nello scrivere la (4.6) abbiamo preferito esprimere le deformazioni E e q in variabili separate. Alcuni autori scrivono E e q insieme in una matrice con nove gradi di libertà, mentre noi abbiamo sei gradi di libertà in E e tre in q. Nel far questo abbiamo in pratica scomposto una trasformazione lineare in una rotazione e una deformazione, con l'aiuto del teorema di decomposizione polare. In queste deformazioni e nel lavoro compiuto dai loro duali statici, si può riconoscere in Ξ l'energia di muro immagazzinata nel domain switching, e in q l'energia di depolarizzaizone [29]. La deformazione q può essere interpretata come una polarizzazione relativa, scritta come la dierenza tra una polarizzazione 'locale' p e una polarizzazione di 'background' rot v. Si osservi che, al primo ordine, si ha div q = div p. Questo risultato è in accordo con [31].

89 Un Modello Cosserat per i Ferroelettrici 79 Il tensore E è il tensore di deformazione pura relativo a grad v, mentre la parte antisimmetrica di questo gradiente si accoppia con p per denire le deformazioni da polarizzaizone. I termini non lineari dell'energia di Landau- Devonshire derivano da E, anche se nulla vieta di ottenere una cinematica più ranata denendo un ulteriore deformazione λ = p + o(p) + λ 0. Lo spostamento v, come spiegheremo in seguito, può essere interpretato come l'angolo di rotazione di una qualche struttura all'interno del reticolo cristallino. Il termine rot v è stato usato in [29] come un campo test per gestire gli eetti non locali dell'energia di depolarizzazione. Tuttavia la presenza di una deformazione tipo suolo elastico direttamente associata a v rende plausibile correlarla a qualcosa di più concreto. Supporre una microstruttura ruotante è un ipotesi abbastanza naturale, in quanto un materiale ferroelettrico (come una perovskite) ha sucente complessità e struttura interna per giusticare questa assunzione. Si può ipotizzare che le sei deformazioni in E possono essere utili in accoppiamento con le deformazioni dell'elasticità classica per ottenere un più preciso modello della piezoelettricità, anche in relazione ad altri eetti non lineari come l'elettrostrizione [38] o ad eetti modellati ricorrendo a derivate di ordine superiore, come la essoelettricità [39]. Indicando con una tilde ( ) il duale statico della relativa quantità cinematica, si ha che q è il campo eletrrico locale, visto come uno sforzo interno, mentre p è il campo elettrico esterno, visto come una forza iniziale esterna. Tramite le formule di Gauss-Green si ottengono dalla cinematica le seguenti equazioni di equilibrio, valide in ambito lineare e per ṽ = 0: rot q = div Ẽ ν (4.7) Compare anche la forza g, che compie lavoro per v al contorno del conituno di normale n: g = Ẽ n q n (4.8) Si osservi che il campo elettrico locale q non è lo stesso delle equazioni di Maxwell, come anche puntualizzato in [40]. 4.4 Interpretazione geometrica della cinematica Nel continuo di Cosserat ci sono due tipi di spostamento: spostamenti classici e microrotazioni. Per i ferroelettrici il ruolo della rotazione è rappresentato

90 80 Un Modello Cosserat per i Ferroelettrici dalla p. Ma in realtà la polarizzazione è uno spostamento di una carica all'interno del reticolo cristallino (ad esempio in Fig.4.3 si ha il caso del BaTiO 3 ) e assomiglia poco ad una rotazione. Adandoci a principi di simmetria, possiamo tentare di spiegare la cosa supponendo che una rotazione nella struttura cristallina abbia un ruolo matematicamente simile allo spostamento classico del modello Cosserat. In pratica per i ferroelettrici il ruolo di spostamenti e rotazioni sono scambiati tra loro rispetto all'originale modello Cosserat. Figura 4.3: Polarizzazione p in una cella cristallina. In a) abbiamo p = 0 e in b) p 0 La deformazione ν è direttamente associata a v, come uno spostamento per una molla. La deformazione E è correlata alla parte di pura deformazione (simmetrica) di grad v, e abbiamo visto essere associata all'energia di Landau-Devonshire. Anche le curvature Ξ sono termini ben noti in letteratura [31], [28]. Per quanto riguarda q, la sua espressione è compatibile con l'espressione dell'energia di depolarizzazione [29], e, nel modello originale Cosserat, è giusticato cinematicamente come dierenza tra micro e macro rotazione. Ma ora qui supponiamo che i ruoli di spostamenti e rotazioni sono scambiati: in che modo il rotore di una rotazione diventa uno spostamento? Per rispondere a questa domanda facciamo prima alcune considerazioni sul modello originale di Cosserat e su come è correlato con l'elasticità classica. Nell'elasticità classica ogni campo di spostamenti continuo è ammissibile. Possiamo anche denire un campo di rotazioni, ma questo deve essere legato agli spostamenti tramite un'equazione dierenziale. Questo porta alla condizione, come espressa nel Par.4.2, che div p = 0. Quindi, per arricchire il modello, i Cosserat hanno denito un altro campo di rotazione indipendente e libero. La dierenza tra questi due campi porta a tre nuove deformazioni, come anche a nove deformazioni dal gradiente di rotazione.

91 Un Modello Cosserat per i Ferroelettrici 81 Nei ferroelettrici stiamo descrivendo una situazione duale: c'è un campo di rotazioni v libero, che porta ad un campo di spostamenti (polarizzazione) vincolato ad essere a divergenza nulla, e quindi aggiungiamo un campo di spostamenti libero p. La dierenza tra questi due campi genera la deformazione q. Descriviamo quindi come fa il rotore di una rotazione a diventare uno spostamento. Per semplicità lavoreremo in una sola dimensione. Accludiamo in ogni punto del continuo una micro-barra, con due cariche identiche ai suoi estremi, e che può ruotare attorno al suo centro supposto sso. Si osservi che un ottaedro di atomi di ossigeno si può pensare come formato da tre di queste barre perpendicolari. Quindi disegnamo, in Fig.4.4, tre dierenti campi di rotazione insieme al loro rotore (il vettore rotazione è in realtà perpendicolare al foglio, ma è stato disegnato parallelo per semplicità graca). Figura 4.4: Campi di rotazione In a) abbiamo la congurazione di riferimento, in b) una rotazione v costante con rot v = 0 e in c) un campo di rotazione variabile linearmente e quindi con rotore costante.

92 82 Un Modello Cosserat per i Ferroelettrici Inne, riferendoci alla Fig.4.5, possiamo spiegare perchè nel terzo caso si ha polarizzazione. Le cariche in B e C portano ad una polarizzazione non locale proporzionale a rot v. Si potrebbe obiettare che le cariche in A e D generano una polarizzazione opposta, ma quello che accade agli estremi del continuo deve essere gestito tramite le appropriate condizioni al contorno usando ad esempio le (4.8). Figura 4.5: Polarizzazione dovuta a rot v E' necessaria una nota riguardo alle unità di misura. Nella teoria Cosserat standard gli spostamenti sono misurati in metri, e le loro derivate sono una quantità adimensionale compatibile quindi con una rotazione. La polarizzazione invece è misurata in carica moltiplicato spostamento nell'unità di volume, ed ha quindi dimensioni Cm 2. Il momento di spostamento delle due cariche all'estremità della barra è proporzionale alla rotazione e al quadrato della lunghezza della barra, e nell'unità di volume ha quindi dimensioni Cm 1. Derivato ha dimensioni compatibili con una polarizzazione. 4.5 Analisi numeriche tramite elementi niti L'analisi numerica sul modello monodimensionale (4.5) è stata particolarmente onerosa dal punto di vista computazionale. Le motivazioni vanno ricercate nel pesante accoppiamento delle variabili v e p, anche a livello non lineare. Inoltre l'energia interna dipende da queste variabili su tre scale differenti: al livello più basso troviamo l'energia potenziale elastica del suolo, direttamente collegata a v. Abbiamo inoltre le energie di taglio e di allungamento, collegate alla derivata di v e anche a p non derivato, e inne un energia essionale legata a p. A complicare ulteriormente il modello si ha che l'energia essionale associata a p dipende da un parametro molto piccolo e necessita perciò di una mesh molto tta per essere valutata. La conseguenza pratica è che la 'punta' dell'onda triangolare (Fig.4.2) deve essere ben rappresentata dagli elementi niti. Poichè sono state scelte funzioni di forma polinomiali, gli elementi niti devono per forza essere di lunghezza piccola. In questa sede non sono state implementate procedure di mesh adattiva, e non potendo sapere a

93 Un Modello Cosserat per i Ferroelettrici 83 priori dove si sarebbero formate le punte la mesh è stata scelta molto tta ovunque. Si precisa inne che il modello studiato è fortemente non lineare e l'equilibrio locale del potenziale è stato cercato con la tecnica della discesa del gradiente (analisi postbuckling). Il più veloce metodo di Newton Raphson si è rivelato completamente inecace nella ricerca di un equilibrio stabile, mentre l'analisi tramite discesa del gradiente, i cui risultati verranno commentati a ne capitolo, ha dato un output equilibrato e stabile Progetto dell'elemento nito Il codice per l'analisi numerica è stato scritto per il linguaggio MATLAB [11]. Particolarmente utile è stato l'aiuto del pacchetto aggiuntivo Tensor Toolbox [12] per poter manipolare non solo vettori e matrici, ma anche tensori sparsi. L'uso della rappresentazione sparsa è stata necessaria in quanto un tensore del quarto ordine richiederebbe troppa memoria per essere rappresentato completamente su PC. Ad esempio con 500 gradi di libertà, considerando 8 byte per ogni variabile reale in doppia precisione, un tensore del quarto ordine pieno occupa GB di memoria RAM. Inoltre la moltiplicazione tra quantità sparse è più veloce, in quanto quasi tutte le moltiplicazioni sono per zero, e queste vengono saltate. La tecnica adottata, facilmente generalizzabile per discretizzare qualsiasi potenziale monodimensionale derivante da una cinematica del secondo ordine, consiste nella suddivisione del continuo in un numero nito di elementi monodimensionali (cioè piccoli intervalli), nel nostro caso tutti della stessa lunghezza. Il potenziale totale della struttura viene quindi scritto in funzione degli spostamenti nodali, ottendo un espressione del tipo (2.13). Ad ogni nodo vengono associati 3 gradi di libertà, cioè il valore di v, il valore di v e il valore di p. Scegliendo funzioni di forma polinomiali, viene quindi garantito che la funzione spostamento sia continua su tutto il dominio studiato e che sia inoltre con derivata continua all'interno di ogni elemento. La scelta del grado di libertà aggiuntivo v, che compare in accoppiamento con p, garantisce inne l'assenza di fenomeni di locking, pur aumentando l'onere computazionale. Sia L la lunghezza totale dell'intervallo considerato, suddiviso in N elementi di lunghezza l = L/N. Consideriamo due nodi consecutivi, che chiameremo nodo i e nodo j, con j = i + 1. Deniamo quindi sei variabili v i, q i, p i, v j, q j, p j, avendo posto q = v. Queste variabili sono i gradi di libertà dei nodi i e j. Vincoliamo quindi le funzioni v e p ad avere all'interno di ciascun elemento nito le seguenti espressioni polinomiali, dipendenti anch'esse da sei parametri:

94 84 Un Modello Cosserat per i Ferroelettrici { v(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d ; v (x) = 3ax 2 + 2bx + c p(x) = hx + k ; p (x) = h (4.9) Possiamo supporre senza perdita di generalità che l'ascissa del nodo i sia x = 0, mentre quella del nodo j sia x = l. Abbiamo quindi il seguente sistema: che ha per soluzione v(0) = v i v(l) = v j v (0) = q i v (l) = q j p(0) = p i p(l) = p j d = v i al 3 + bl 2 + cl + d = v j c = q i 3al 2 + 2bl + c = q j k = p i hl + k = p j (4.10) a = (2v i 2v j + q i l + q j l)/l 3 b = (3v j 3v i q j l 2q i l)/l 2 c = q i d = v i h = (p j p i )/l k = p i (4.11) Supponendo un legame costitutivo lineare, l'energia interna dell'elemento sarà quindi espressa dalla quantità U el = l 0 1 σ ɛ dx (4.12) 2 E' possibile scrivere le tensioni σ in funzione delle deformazioni ɛ. Queste ultime possono essere espresse in funzione dei sei parametri in (4.9), i quali a loro volta sono espressi in funzione dei sei gradi di libertà dei due nodi tramite le (4.11). Il risultato è un potenziale polinomiale di quarto grado. Il calcolo esplicito dei coecienti del potenziale non è fattibile a mano, e ci si è avvalsi quindi del software di manipolazione simbolica Mathematica [41]. Per prima cosa, sfruttando le (4.5) si può scrivere la funzione integranda al secondo membro della (4.12) come somma dei quattro termini energia assiale, di taglio, essionale e di suolo elastico:

95 Un Modello Cosserat per i Ferroelettrici 85 l 0 U el 1 = 2 (EA( v p p 2 /2 + e 0 ) 2 + GA(v + p) 2 + EJp 2 + Kv 2 )dx = = (EA/8) l 0 p4 dx + + (EA/2) l 0 v 2 p 2 dx + + (EA/2) l 0 v p 3 dx + + (GA EAe 0 ) l 0 v pdx + + (GA/2) l 0 p2 dx + + (GA EAe 0 )/2 l 0 v 2 dx + + (EJ/2) l 0 p 2 dx + + (K/2) l 0 v2 dx (4.13) Nell'ultima uguaglianza si è trascurato il termine costante e 2 0. Si devono quindi calcolare ciascuno degli otto integrali indicati ed esprimerli in funzione degli spostamenti nodali. Si riporta il codice Mathematica usato per questo scopo ed il relativo output: In[1]:= a := (2*vi - 2*vj + qi*l + qj*l)/(l^3) b := (3*vj - 3*vi - 2 qi*l - qj*l)/(l^2) vv[x_] := a*x^3 + b*x^2 + qi*x + vi pp[x_] := pi + ((pj - pi)/l)*x vd[x_] := 3*a*x^2 + 2*b*x + qi pd[x_] := (pj - pi)/l Expand[Integrate[pp[x]^4, {x, 0, l}]] Expand[Integrate[vd[x]^2*pp[x]^2, {x, 0, l}]] Expand[Integrate[vd[x]*pp[x]^3, {x, 0, l}]] Expand[Integrate[vd[x]*pp[x], {x, 0, l}]] Expand[Integrate[pp[x]^2, {x, 0, l}]] Expand[Integrate[vd[x]^2, {x, 0, l}]] Expand[Integrate[pd[x]^2, {x, 0, l}]] Expand[Integrate[vv[x]^2, {x, 0, l}]] Out[7]= (l pi^4)/5 + 1/5 l pi^3 pj + 1/5 l pi^2 pj^2 + 1/5 l pi pj^3 + (l pj^4)/5 Out[8]= 3/35 l pi^2 qi^2 + 1/35 l pi pj qi^2 + 2/105 l pj^2 qi^2-1/35 l pi^2 qi qj - 1/105 l pi pj qi qj - 1/35 l pj^2 qi qj + 2/105 l pi^2 qj^2 + 1/35 l pi pj qj^2 + 3/35 l pj^2 qj^2-2/35 pi^2 qi vi + 4/35 pi pj qi vi + 1/7 pj^2 qi vi + 1/7 pi^2 qj vi + 4/35 pi pj qj vi - 2/35 pj^2 qj vi + ( 12 pi^2 vi^2)/(35 l) + (18 pi pj vi^2)/(35 l) + (12 pj^2 vi^2)/( 35 l) + 2/35 pi^2 qi vj - 4/35 pi pj qi vj - 1/7 pj^2 qi vj - 1/7 pi^2 qj vj - 4/35 pi pj qj vj + 2/35 pj^2 qj vj - (

96 86 Un Modello Cosserat per i Ferroelettrici 24 pi^2 vi vj)/(35 l) - (36 pi pj vi vj)/(35 l) - (24 pj^2 vi vj)/( 35 l) + (12 pi^2 vj^2)/(35 l) + (18 pi pj vj^2)/(35 l) + ( 12 pj^2 vj^2)/(35 l) Out[9]= 1/10 l pi^3 qi - 1/20 l pi pj^2 qi - 1/20 l pj^3 qi - 1/20 l pi^3 qj - 1/20 l pi^2 pj qj + 1/10 l pj^3 qj - (pi^3 vi)/5-3/10 pi^2 pj vi - 3/10 pi pj^2 vi - (pj^3 vi)/5 + (pi^3 vj)/5 + 3/10 pi^2 pj vj + 3/10 pi pj^2 vj + (pj^3 vj)/5 Out[10]= (l pi qi)/12 - (l pj qi)/12 - (l pi qj)/12 + (l pj qj)/12 - ( pi vi)/2 - (pj vi)/2 + (pi vj)/2 + (pj vj)/2 Out[11]= (l pi^2)/3 + (l pi pj)/3 + (l pj^2)/3 Out[12]= (2 l qi^2)/15 - (l qi qj)/15 + (2 l qj^2)/15 + (qi vi)/5 + ( qj vi)/5 + (6 vi^2)/(5 l) - (qi vj)/5 - (qj vj)/5 - (12 vi vj)/( 5 l) + (6 vj^2)/(5 l) Out[13]= pi^2/l - (2 pi pj)/l + pj^2/l Out[14]= (l^3 qi^2)/105-1/70 l^3 qi qj + (l^3 qj^2)/ /105 l^2 qi vi - 13/210 l^2 qj vi + (13 l vi^2)/ /210 l^2 qi vj - 11/105 l^2 qj vj + (9 l vi vj)/35 + (13 l vj^2)/35 Un ultimo accorgimento: la scrittura del potenziale deve essere fatta rispettando la simmetria dei tensori discussa nel Par Ad esempio il termine p i p 3 j deve essere introdotto scomponendolo in quattro addendi: p i p 3 j = 1 4 p ip j p j p j p jp i p j p j p jp j p i p j p jp j p j p i (4.14) Dopo una semplice analisi delle permutazioni possibili, vengono quindi fatte le seguenti scomposizioni: ˆ Termini di tipo A 4 e A 2 1 addendo ˆ Termini di tipo AB 3 4 addendi ˆ Termini di tipo A 2 B 2 6 addendi ˆ Termini di tipo ABC 2 12 addendi ˆ Termini di tipo ABCD 24 addendi ˆ Termini di tipo AB 2 addendi Assemblando per ogni elemento nito si ottiene un espressione del potenziale totale del tipo (2.13), che può essere reso stazionario tramite il metodo di Newton-Raphson o, nel caso di strutture instabili minimizzato con la discesa del gradiente (si veda l'app.a per ulteriori dettagli).

97 Un Modello Cosserat per i Ferroelettrici Risultati Come già accennato, nel nostro caso il metodo di Newton-Raphson non converge ad una soluzione, in quanto questa può essere ottenuta soltanto a seguito di un'analisi post-critica. La tecnica della discesa del gradiente ha invece portato ad una soluzione di equilibrio, pur richiedendo molto tempo. Il test è stato eettuato su un PC domestico di prolo medio-basso, lasciandolo in esecuzione continua per circa cinque giorni prima di ottenere un gradiente con modulo sotto il valore di threshold (gradiente numericamente nullo). Tuttavia dal punto di vista qualitativo la soluzione è stata trovata già dopo poche ore di calcolo, nel tempo rimanente la discesa del gradiente ha semplicemente limato l'output, principalmente 'allargando' leggermente le onde centrali e creando delle specie di piccole 'corna' nei vertici dell'onda quadra v. I parametri della simulazione numerica sono stati: ˆ Lunghezza dell'intervallo L = 5 ˆ Numero di elementi N = 250, corrispondenti a 3(250+1)=753 gradi di libertà. ˆ Legame costitutivo: K = 5 ; EJ = ; EA = 8 ; GA = 0.25 ˆ Pretensione e 0 = 0.125, con doppio pozzo quindi in v ±0.5 (trascurando il taglio) ˆ Condizioni al contorno di tipo statico con forze applicate nulle Essendo la congurazione indeformata in equilibrio instabile, per iniziare la discesa è stato scelto un vettore di spostamenti iniziali ovunque nulli tranne che nei tre nodi dei due elementi centrali. Questa deformazione iniziale molto piccola è stata scelta simmetrica rispetto al centro di tutto l'intervallo, in modo da dare un output nale simmetrico. Già dopo poche iterazioni il gradiente ha incominciato ad assumere un valore abbastanza alto da rendere visibile l'inizio della discesa. Gli spostamenti si sono poi propagati dal centro su tutto l'intervallo. Nelle pagine seguenti si riporano i graci di v, v, p e γ = v + p dopo un tempo di calcolo pari a 20 secondi, 2 minuti, 20 minuti, 2 ore, 1 giorno e a ne calcolo (5 giorni).

98 88 Un Modello Cosserat per i Ferroelettrici Figura 4.6: Andamento di v dopo 20 secondi Figura 4.7: Andamento di v dopo 2 minuti

99 Un Modello Cosserat per i Ferroelettrici 89 Figura 4.8: Andamento di v dopo 20 minuti Figura 4.9: Andamento di v dopo 2 ore

100 90 Un Modello Cosserat per i Ferroelettrici Figura 4.10: Andamento di v dopo 1 giorno Figura 4.11: Andamento di v a ne calcolo

101 Un Modello Cosserat per i Ferroelettrici 91 Figura 4.12: Andamento di v dopo 20 secondi Figura 4.13: Andamento di v dopo 2 minuti

102 92 Un Modello Cosserat per i Ferroelettrici Figura 4.14: Andamento di v dopo 20 minuti Figura 4.15: Andamento di v dopo 2 ore

103 Un Modello Cosserat per i Ferroelettrici 93 Figura 4.16: Andamento di v dopo 1 giorno Figura 4.17: Andamento di v a ne calcolo

104 94 Un Modello Cosserat per i Ferroelettrici Figura 4.18: Andamento di p dopo 20 secondi Figura 4.19: Andamento di p dopo 2 minuti

105 Un Modello Cosserat per i Ferroelettrici 95 Figura 4.20: Andamento di p dopo 20 minuti Figura 4.21: Andamento di p dopo 2 ore

106 96 Un Modello Cosserat per i Ferroelettrici Figura 4.22: Andamento di p dopo 1 giorno Figura 4.23: Andamento di p a ne calcolo

107 Un Modello Cosserat per i Ferroelettrici 97 Figura 4.24: Andamento di γ dopo 20 secondi Figura 4.25: Andamento di γ dopo 2 minuti

108 98 Un Modello Cosserat per i Ferroelettrici Figura 4.26: Andamento di γ dopo 20 minuti Figura 4.27: Andamento di γ dopo 2 ore

109 Un Modello Cosserat per i Ferroelettrici 99 Figura 4.28: Andamento di γ dopo 1 giorno Figura 4.29: Andamento di γ a ne calcolo

110 100 Un Modello Cosserat per i Ferroelettrici

111 Capitolo 5 La Dualità in Dinamica Descriviamo in questo ultimo breve capitolo un modello di barra elastoviscosa [42] reinterpretandolo alla luce della dualità statico-cinematica, di cui si può trovare applicazione anche in dinamica. Il PLV viene sostituito dal principio di Hamilton esteso, che verrà enunciato in seguito. 5.1 Modello matematico Il modello matematico di barra viscosa prevede la denizione di un unica variabile spostamento assiale u e del suo duale statico q. Queste funzioni sono denite nell'insieme [0; L] [0; T ], dove L è la lunghezza della barra e t = 0 e t = T sono gli istanti iniziale e nale dell'intervallo temporale preso in considerazione. Un punto sulla barra in un preciso istante viene individuato dalle due ascisse x e t. La barra è quindi un 'oggetto' rettangolare, in quanto ha una dimensione spaziale e una temporale. Le condizioni al contorno, derivanti dall'applicazione delle formule di Gauss-Green, vanno date sui lati, e sono quindi di due tipi a seconda che la normale alla frontiera sia nella direzione 'spazio' o nella direzione 'tempo'. Le derivate vengono indicate con un apice (spaziale) o con un punto (temporale). Lungo la barra è anche denita una rigidezza assiale k, una densità di massa ρ e un coeciente di viscosità c. Partiamo dall'enunciare il principio di Hamilton esteso [43], considerando però anche l'energia potenziale elastica interna: T 0 W = T 0 V Q u (5.1) 101

112 102 La Dualità in Dinamica Dove W (t) = L 0 f d (5.2) è il lavoro virtuale delle forze esterne nell'istante t, mentre V = V (t) è l'energia potenziale elastica virtuale, e Q(t) è l'energia cinetica virtuale della barra. Si osservi che queste quantità devono essere integrate lungo l'intervallo [0; T ] per ottenere non un energia, ma un qualcosa che ha per dimensioni energia per tempo (J s). Ci si riferirà a questa quantità comunque come lavoro. L'idea che abbiamo in mente è esprimere la funzione integranda a secondo membro della (5.1) nella forma L 0 cinetici e gli eetti dissipativi interni. Siano quindi σ ɛ, includendo nell'espressione i termini f = [q] (5.3) = H = d/dx d/dt d 2 /(dx dt) ɛ = d = [u] (5.4) e v γ σ = k 0 c 0 ρ = N P G u u u (5.5) (5.6) (σ = Hɛ) (5.7) ; = d/dx d/dt d 2 /(dx dt) (5.8) Nelle precedenti la deformazione è un vettore le cui componenti sono l'allungamento e, la velocità v e una deformazione viscosa γ. Nell'espressione delle tensioni interne compaiono lo sforzo normale N, la quantità di moto P e una tensione interna G duale di γ, che però è sempre nulla. Si osservi che la quantità di moto è intesa come sforzo interno, e la densità, insieme al coeciente di viscosità, entra in gioco nel legame costitutivo. La velocità è una deformazione.

113 La Dualità in Dinamica 103 Possiamo scrivere, per un opportuno tensore del terzo ordine C, la congruenza ɛ = C d (5.9) e tramite integrazione per parti (formula di Green-Gauss) si ottiene nuovamente la (3.29) f = ((HC d)c ) (5.10) ovvero, supponendo il legame costitutivo costante, q = ρü ku c u (5.11) L'espressione esplicita delle tensioni σ è N ku + c u σ = P = ρ u (5.12) G 0 L'epressione della quantità W d fornita in (3.14) nel nostro caso è W d = (ku + c u )u + ( ρ u) u (5.13) Si osservi che l'operatore può contenere, in modelli più complessi, derivate di ordine successivo non solo in x, ma anche in t. A tal proposito si veda ad esempio [44], dove viene fornita un equazione del quarto ordine in t, il che corrisponde ad una congruenza che contiene derivate seconde in t. 5.2 Termini di frontiera Nei continui monodimensionali i termini di frontiera assumono l'espressione di due forze concentrate agli estremi del dominio. La frontiera è ora costituita dal perimetro del rettangolo OACB in Fig.5.1, dove O = (0, 0) ; A = (L, 0) ; B = (0, T ) ; C = (L, T ) Esistono quindi due tipi di termini di frontiera, lungo i bordi orizzontali e lungo i bordi verticali. Il lavoro virtuale dei termini di frontiera è quindi T 0 (ku + c u ) u L 0 + L 0 ρ u u T 0 (5.14) Esistono perciò i termini di frontiera sforzo normale ku +c u sugli estremi della barra e al variare di t, e la quantità di moto ρ u su tutta la barra all'inizio e alla ne dell'intervallo temporale.

114 104 La Dualità in Dinamica Figura 5.1: Dominio di riferimento e frontiera 5.3 Dierenze tra statica e dinamica Legame costitutivo Il legame costitutivo presenta due particolarità: non è denito positivo, in quanto la densità di massa (che gioca un ruolo simile alla rigidezza assiale) compare con il segno meno. Queso signica che la struttura è intrinsecamente instabile. Sono possibili infatti delle vibrazioni a parità di condizioni al contorno. Inoltre il comportamento dissipativo, descritto dalla parte antisimmetrica di H, è presente in molti modelli matematici, anche fra i più semplici, mentre nella teoria dell'elasticità il legame costitutivo è spesso simmetrico Condizioni al contorno Un'altra dierenza sostanziale tra dinamica e statica riguarda le condizioni al contorno. In statica dobbiamo mettere le condizioni al contorno in numero uguale ai due estremi della barra. In pratica ad ogni estremo dobbiamo scegliere se dare condizione di tipo statico oppure di tipo cinematico, o al massimo una combinazione delle due se sono presenti vincoli elastici (ad esempio molle). Questo signica ad esempio che in un pilastro non possiamo contemporaneamente assegnare in un estremo sia lo sforzo normale che il cedimento.

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