Stim e puntuali. Vocabolario. Cambiando campione casuale, cambia l istogramma e cambiano gli indici

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1 Stm e putual Probabltà e Statstca I - a.a. 04/05 - Stmator Vocabolaro Popolazoe: u seme d oggett sul quale s desdera avere Iformazo. Parametro: ua caratterstca umerca della popolazoe. E u Numero fssato, ma geere cogto. Utà: og elemeto della popolazoe. Campoe casuale: u sottoseme della popolazoe utlzzato per rcavare formazo sulla popolazoe. Tagla del campoe casuale: è la umerostà del campoe. Varable: ua caratterstca d ua utà valutable dalle utà del campoe. Statstca: fuzoe del campoe casuale. Cambado campoe casuale, camba l stogramma e cambao gl dc Probabltà e Statstca I - a.a. 04/05 - Stmator

2 Esempo : S assuma d avere a dsposzoe ua scatola co u gra umero d palle, tutte ugual eccetto per l colore (l seme d queste palle costtusce ua popolazoe). Il 0% delle palle ha colore rosso p 0.0 (l resto ha colore baco, ad esempo). Questo umero è u parametro. Assumamo d estrarre 5 pal- Le (ad esempo co rpetzoe l seme d queste 5 palle è u campoe casuale). Possamo rspodere a seguet quest: Quate palle rosse c aspettamo el campoe? - Se estraamo dvers campo casual d tagla 5, potrebbe accadere che essua palla sa rossa? O che sao tutte rosse? I geere c aspettamo che l 0% delle palle estratte sa rosso (5 su 5). Ma può accadere che c sao 4 palle rosse su 5, oppure 5 su 5. I og caso la frequeza relatva è sempre ua stma del parametro (buoa el caso 4/5 o 5/5, cattva el caso 5/5). Probabltà e Statstca I - a.a. 04/05 - Stmator 3 um. palle rosse u campoe percetuale stmata um. campo percetuale de campo ,05 0,04 8 0,040 0,08 0, , 34 0,70 4 0,6 40 0,00 5 0, 47 0,35 6 0,4 4 0,0 7 0,8 0 0,00 8 0,3 9 0, ,36 3 0,50 Frequeza Palle rosse Probabltà e Statstca I - a.a. 04/05 - Stmator Percetuale stmata 4

3 ST AT IST ICA ST AT IST ICA DESCRIT T IVA Metod per sommarzzare e presetare dat osservat. ST AT IST ICA INFERENZIALE Metod per estrarre da dat osservat formazo sul modello aleatoro della popolazoe. La statstca ferezale è l'altra facca del calcolo delle probabltà. I quest'ultmo s cerca d prevedere l valore d assumedo ota la sua dstrbuzoe. I statstca, al cotraro, s osserva l valore d e s cerca d ferre formazo sulla dstrbuzoe sottostate. Probabltà e Statstca I - a.a. 04/05 - Stmator 5 Popolazoe Icogta x, x, Κ, x ) S estrae u campoe casuale ( s calcolao la meda e la varaza campoara ,3 3,338 3,376 3,44 3,45 3,49 3,58 3,566 3,604 3,64 3,68 Altro v.a. co fuzoe d rpartzoe cogta dpedete da uo o pù parametr cogt A) s stmao parametr cogt B) s potzza la forma della fuzoe d rpartzoe v.a. co fuzoe d rpartzoe ota dpedete da uo o pù parametr ot TEST Probabltà e Statstca I - a.a. 04/05 - Stmator 6

4 Popolazoe Icogta Dat ( x, x, Κ, x ) osservazoe vee os s er vata volte (,, Κ, ) (a) le ( ) Le varabl aleatore,, Κ, tagla se : soo varabl aleatore dpedet; (b) tutte le varabl aleatore Defzoe costtuscoo u campoe casuale d hao medesma dstrbuzoe. Probabltà e Statstca I - a.a. 04/05 - Stmator 7 Popolazoe Icogta F ( ) x,ϑ dove,, Κ, ˆ h(,, Κ, ) STIMATORE d ϑ rappreseta l campoe casuale d tagla estratto dalla popolazoe descrtta da. Defzoe Ua stma putuale del parametro cogto ϑ è u sgolo valore umercoϑˆ della statstca ˆ. Θ ϑ v.a.detta errore E E [ Θ ϑ] ( Θ ϑ) detto dstorsoe (bas) [ ] detto errore quadratco medo Probabltà e Statstca I - a.a. 04/05 - Stmator 8

5 La meda campoara La meda campoar a rappreset a µ d ua popolazo e dove,, Κ, stma putuale d µ. Esemp d stmator è l campoe casuale. Il valore umerco della meda campoar a uo stmatore putuale della meda µ ˆ x rappreset a Perché la meda campoara è uo stmatore della meda della popolazoe? Metodo de momet ua Probabltà e Statstca I - a.a. 04/05 - Stmator 9 La varaza campoara La varaza campoar a rappreset a σ d ua popolazo e dove,, Κ, è l campoe Il valore umerco della varaza campoar a ta ua stma putuale d σ. Stmator corrett S casuale. uo stmatore putuale della varaza ( rametro cogtoϑ se s ) ( x µ ˆ) rapprese - Probabltà e Statstca I - a.a. 04/05 - Stmator 0 Defzoe Uo stmatore putuale Θˆè uo stmatore corretto ( glese ubased dstorsoe ulla) E ( Θˆ ) ϑ per l pa -

6 Eserczo: Mostrare che la meda campoara e la varaza campoara soo stmator corrett rspettvamete della meda e della varaza della popolazoe. Per uo stesso parametro cogto esstoo pù stmator corrett: ad esempo per la meda soo stmator corrett la meda campoara, la medaa campoara e la meda taglata al 0%. Quale tra quest è l mglore? La msura della precsoe d ua stma del parametro è usualmete rappresetata dall errore stadard dello stmatore mpegato. L' errore stadard d uo stmatore Θˆè σ Θˆ Defzo e Var la sua ( Θˆ. ) devazoe stadard, Se ell' espresso e dell' errore stadard soo preset de parametr cogt, allora la sosttuzo e delle stme d quest parametr ell' epressoe dell' errore stadard produce u errore stadard stmato d Θˆusualmete dcato co σˆ. Probabltà e Statstca I - a.a. 04/05 - Stmator Θˆ Defzo e Lo stmatore corretto che tra tutt gl stmator ferore vee deomato stmatore corrett d ϑ ha varaza corretto a varaza mma. Θ 3 Θ Θ Teorema Se,, Κ, è u campoe casuale d tagla estratto da ua popolazoe or - male d meda µ e varazaσ, allora la meda campoara è lo stmatore corret - to a varaza ma della meda µ. ϑ I stuazo cu o s sa se esste uo stm atore co re to a varaza m a, è sem pre possble utlzzare l prcpo de la varaza m m a per sceglere tra pù stm ator co re t. Eserczo: Assegato u campoe casuale d tagla stablre quale tra la meda campoara e la -esma osservazoe è lo stmatore corretto a varaza mma per la meda. Probabltà e Statstca I - a.a. 04/05 - Stmator

7 Eserczo: Nel testare u uovo metodo per msurare la coduttvtà termca d u ferro da stro, usado ua temperatura d 00 e ua poteza d put par a 550 W, soo stat otteute le seguet 0 msurazo della coduttvtà termca (Tras. AMSE 974): 4,60-4,48-4,34-4,95-4,86-4,8-4,7-4,6-4,8-4,04. Determare ua stma della meda della coduttvtà termca. Valutare la precsoe e dscutere l caso cu s assuma che l campoe provee da ua popolazoe ormale. Meda 4.94 Errore stadard Dat Dat Ordat Aals de dat co Excel Medaa Moda #N/D Devazoe stadard Varaza campoara Curtos Asmmetra Itervallo 0.86 Mmo 4.48 Massmo 4.34 Somma 49.4 Coteggo 0 Probabltà e Statstca I - a.a. 04/05 - Stmator 3 Teorema Sao e E Dstr buz oe campoar a della meda campoar a Se l a popolaz oe è gaussaa (var aza ota), [ ] µ e Var[ ] σ. La varable aleatora Y + + Κ E[ Y] µ + µ + + µ e Var[ Y ] σ + σ + + σ gaussaa co, Κ, varabl aleatore dpedet co dstrbuzoe gaussaa, Κ Κ + è σ N µ,, dove µ E[ ] eσ Var( ) Se l a popolaz oe è gaussaa (var aza cogta) DISTRIBUZIONE T-STUDENT Probabltà e Statstca I - a.a. 04/05 - Stmator 4

8 Ua varable aleatora T k se la sua f T fuzoe destà ha la seguete forma : k + Γ ( ) r x, x R, dove x e k πk Γ ha dstrbuz oe d T - Studet co grad d lbertà x + k k,8,30,00 Defzo e ( k + ) / 0 k E[ T ] 0, Var[ T ], k > k La forma della fuzoe destà f delle y), tuttava sat" Tabelle ( x) Per k, T N(0,) Probabltà e Statstca I - a.a. 04/05 - Stmator 5 ( x) è smle a quella della ormale stadard (umodale, smmetrca rspetto all' asse d f T x dx ha code pù "pe - T Se l a popolaz oe o è gaussaa I molt cas l teorema cetrale del lmte s può applcare per 4,5.. spece se la popolazoe è cotua, umodale e smmetrca, ma ella maggoraza de cas l approssmazoe s rtee valda per valor della tagla del campoe superor a 30. Dal teorema cetrale del lmte, segue che per grade: σ N µ,, dove µ E [ ] eσ Var( ) Dstr buzoe camp oar a della var aza campoar a DISTRIBUZIONE CHI-QUADRATO Probabltà e Statstca I - a.a. 04/05 - Stmator 6

9 Ua varable aleatora χ k se la sua fuzoe destà ha la seguete forma : f χ ( x) k / Defzoe ha dstrbuzoe d ch - quadro co grad d lbertà Γ x x > ( ) ( k / ) x /, 0 k / e k,4,8,6,3 E [ χ ] [ χ ] Var k, k Per k, la forma lmted ua dstrbu - zoe ch - quadro è quella d ua ormale. Probabltà e Statstca I - a.a. 04/05 - Stmator 7 Teorema Assegate Z,Z,...,Z Z Z + + Λ v.a.gaussae stadard, rsulta + Z χ ( ) S σ ( ) χ Dstr buz oe campoar a della per cetuale campoar a Popolazo ed Beroull Probabltà e Statstca I - a.a. 04/05 - Stmator 8 (,, ), Κ um. success el campoe tagla del campoe d Beroull

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