IL CICLO DI CARNOT. Scambi di energia durante il ciclo

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Gilberta Pizzi
7 anni fa
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1 IL CICLO DI CNO Consideriamo un gas ideale, contenuto nel solito cilindro, che compie un ciclo di 4 trasformazioni reversibili (2 isoterme + 2 adiabatiche) rappresentate nel piano -p come in figura. cambi di energia durante il ciclo L E int (isoterma) > 0 < 0 0 C (adiabatica) 0 < 0 < 0 CD (isoterma) < 0 > 0 0 D (adiabatica) 0 > 0 > 0 Ciclo > 0 < 0 0

2 Nell isoterma da a si ha: L n ln dove il lavoro è quello fatto dal gas che si espande. Nell isoterma da C a D si ha: 3 L3 n 2 ln C D Dividendo membro a membro le precedenti equazioni si ha: 3 2 ln ( ln ( C D ) ) (6) Per le due trasformazioni adiabatiche C e D, ricordando l equazione: costante si può scrivere: 2 C 2 D

3 che, divise membro a membro, danno: C D C D ostituendo quest ultima equazione nella (6), si ottiene: 3 2 (7) Il rendimento di un motore che opera con un ciclo di Carnot vale quindi: e c a 2 essendo 3 = c il calore ceduto e = a quello assorbito durante il ciclo. i può concludere che: il rendimento di una macchina di Carnot dipende solo dalle temperature dei due termostati tra i quali essa opera. iccome 2 > 0 K, il rendimento non può mai essere pari al 00%. I normali motori termici usano come sostanza di lavoro il vapore o una miscela di combustibile ed aria.

4 eorema di Carnot e secondo principio upponiamo per assurdo che esista una generica macchina termica G il cui rendimento (e G ) sia maggiore di quello (e C ) della macchina reversibile di Carnot. Facciamo lavorare la macchina G tra i due stessi termostati tra cui opera la macchina di Carnot (v. figura (a)) e supponiamo che: G C C (a) (b) e G e L G L G F F Essendo il motore di Carnot reversibile, lo si può far operare da frigorifero che sfrutta parte del lavoro L G per funzionare (v. figura (b)): la restante parte è lavoro positivo compiuto sull ambiente.

5 La macchina risultante in figura (b) (motore generico + frigorifero di Carnot) non scambia calore netto con il termostato caldo. La macchina risultante si comporta come un motore che assorbe dal termostato freddo una quantità (positiva) di calore: G F F, compiendo sull ambiente un lavoro (positivo): L L G L Conclusione: La macchina risultante si comporta come motore perfetto capace di trasformare integralmente in lavoro il calore assorbito da un unica sorgente, violando il secondo principio. Di conseguenza non può che essere: eg e

6 e G fosse anch essa reversibile, il ragionamento può essere ripetuto scambiando i ruoli delle due macchine (G funziona da frigorifero ed da motore); se concluderebbe che: eg e uindi, se entrambe le macchine sono reversibili, non resta che la possibilità: eg e bbiamo quindi dimostrato che: date due sorgenti a temperatura C e F, un motore termico qualunque funzionante tra tali temperature avrà rendimento minore o uguale a quello della macchina di Carnot funzionante tra le stesse temperature, valendo l uguaglianza solo se il motore è anch esso reversibile. (eorema di Carnot)

7 L ENOPI i consideri un ciclo di Carnot. Per tale ciclo la (7) si può scrivere come: a 2 c essendo 3 = c il calore ceduto e = a quello assorbito durante il ciclo. Dato che a e c hanno segni sempre opposti (sia per un motore che per un frigorifero), la precedente diviene: a c 2 0 Indicando con i il calore assorbito o ceduto dal sistema quando questo si trova ad una temperatura i, si può riscrivere la precedente come: 2 i i i 0 (8) i vuole ora generalizzare l equazione precedente considerando un qualsiasi ciclo reversibile. Per fare questo approssimiamo tale ciclo reversibile, mostrato nel riquadro (a) della seguente figura, come un insieme di cicli di Carnot, mostrati nel riquadro (b) della stessa figura.

9 Compiere in sequenza ognuno dei cicli nel riquadro (b) della figura precedente equivale (in termini di calore e lavoro) a compiere non il ciclo in esame ma il ciclo costituito dalla serie di linee frastagliate che approssima il ciclo reale. Per la sequenza di isoterme e adiabatiche di cui sopra la generalizzazione della (8) porta a scrivere: i i i 0 endendo progressivamente più piccoli gli intervalli di temperature tra due isoterme successive, si può approssimare sempre meglio il ciclo reale con una sequenza di adiabatiche e isoterme. Per differenze infinitesime di temperatura (e quindi per quantità infinitesime di calore scambiate) la precedente diventa, al limite: d 0 (9) iccome il cammino chiuso è generico, la (9) implica l esistenza di una funzione di stato chiamata entropia di cui d / è il differenziale esatto. Ossia: d d (20) N..: ebbene d non sia un differenziale esatto, d / lo è.

10 L entropia come parametro di stato Già sappiamo che, se una grandezza X è una funzione di stato, allora l integrale: dx calcolato tra due stati di equilibrio ha lo stesso valore per tutte le trasformazioni (reversibili) che collegano quei due stati. erifichiamo questa proprietà per la funzione di stato entropia. Per la (20), la (9) assume la forma: d 0 Facendo riferimento alla figura a destra, si può allora scrivere: d d () (2) d 0 dove il primo integrale è calcolato lungo la trasformazione (), mentre il secondo lungo la trasformazione (2). iccome il ciclo è reversibile, la trasformazione (2) si può eseguire in verso opposto (da a ). uindi:

11 d () (2) d 0 da cui: d () (2) d tante la completa generalità delle due trasformazioni, l equazione precedente prova che l integrale di d, calcolato tra due stati di equilibrio, ha lo stesso valore per tutte le trasformazioni (reversibili) che collegano quei due stati. c.v.d. La variazione di entropia tra due stati e è allora: d d (2) dove l integrale è calcolato lungo una qualsiasi trasformazione reversibile che collega i due stati. Nel I l unità di misura dell entropia è J/K. Oltre all entropia, altre funzioni di stato sono l energia potenziale, l energia interna, la pressione, la temperatura ed altre ancora. Il calore ed il lavoro non sono funzioni di stato. In termodinamica si preferisce il termine parametro di stato o coordinata termodinamica per indicare una funzione di stato.

12 e lo stato di un sistema termodinamico è descrivibile mediante due soli parametri di stato (come ad esempio un gas), è spesso utile descriverlo tramite i parametri di stato e. Il diagramma - con cui si può rappresentare una trasformazione di un tale sistema viene detto diagramma entropico. icordando la (20): d = d da cui, integrando: d d Nel diagramma entropico l area sotto la curva che rappresenta graficamente la trasformazione (reversibile) è pari alla quantità di calore scambiata nella trasformazione.

13 In particolare un ciclo di Carnot viene rappresentato in modo molto semplice nel diagramma entropico. (a) (b) Dal riquadro (b) della figura si vede subito che il calore netto assorbito durante il ciclo vale: 3 ( )( 2) D altra parte: ( )

14 Pertanto: e L ( ( )( 2 ) ) 2 Entropia di un corpo solido Per la (20) e per la definizione di calore specifico: d m c d dove m è la massa del corpo e c il suo calore specifico. uesta equazione permette di valutare la variazione di entropia in una qualunque trasformazione reversibile fra uno stato di riferimento arbitrariamente scelto (di temperatura ) ed un generico stato P (di temperatura ). Integrando tra questi due stati otteniamo: m c d upponiamo di attribuire allo stato di riferimento un entropia di valore arbitrario pari a. ssumendo inoltre un valore del calore specifico indipendente dalla temperatura, si ricava: m c ln ( )

15 In definitiva l entropia di un solido di massa m e calore specifico c, posto a temperatura, è data da: m c ln ( ) Entropia di un gas perfetto icordando la forma differenziale del primo principio, la (20) si può scrivere come: d d deint dl (22) Ma: de int n c d dl p d n d ostituendo nella (22), si ricava: d d n c n d

16 ramite questa equazione si può calcolare, come prima, la variazione di entropia in una trasformazione reversibile fra uno stato di riferimento arbitrariamente scelto (di coordinate termodinamiche e ) ed un generico stato P (di coordinate e ). Integrando tra questi due stati otteniamo: n c d n d Come prima supponiamo di attribuire allo stato di riferimento un entropia di valore arbitrario pari a. ssumendo inoltre un valore del calore specifico indipendente dalla temperatura, si ricava: n c ln ( ) n ln ( ) da cui: n c ln ( ) n ln ( )

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