Aldo Montesano PRINCIPI DI ANALISI ECONOMICA. Cap. 7 LA SCELTA IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA

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1 Aldo Motesao PRINCIPI DI ANALISI ECONOMICA Cap. 7 LA SCELTA IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA La scelta aalzzata e captol precedet ha per oggetto azo, sull see delle qual è defto u sstea d prefereza A,, che è, oralete, per potes, regolare (coè, copleto e trastvo), così coe dcato el Captolo 2. Il prolea esaato questo captolo rguarda la deterazoe del sstea d prefereza A, el caso cu le azo hao ua cosegueza certa, el caso, coè, cu a cascua d esse soo assocate dverse possl cosegueze. I altr ter, l agete tee coto, el suo sstea d prefereza, delle cosegueze che possoo rsultare dalle azo e degl evet che le deterao. Ad esepo, possa u agete sceglere tra a e a (qud, co A = {a, a } ). Sa a l acqusto, per euro, d ttol d stato, da deteere per u perodo d tepo assegato, alla fe del quale l agete rceve co certezza la soa d euro, e sa a l acqusto d u deterato appartaeto d par valore da deteere per lo stesso perodo d tepo. L agete scegle a se a a, oppure a se a a (etre scegle dffereteete a o a se a a ). Oggetto d dage soo, questo captolo, le rago per cu rsultao a a e/o a a. Queste rsedoo, geerale, ella valutazoe delle cosegueze assocate alle due azo e delle crcostaze che possoo presetars el perodo d tepo assegato o alla fe d esso. La prefereza tra a e a tee coto che la cosegueza d a è l rorso certo alla scadeza, seza che evet partcolar possao flure su d esso, e che le cosegueze d a soo l possesso dell appartaeto, che cosete all agete d usarlo o d locarlo a prezz che dpedoo da dverse possl crcostaze, e l suo certo valore fale d vedta, che dpede ach esso da dverse possl crcostaze. Queste crcostaze hao dverse possltà d accadeto e redoo l possesso dell appartaeto pù o eo appetle, ad esepo, se vc rsultao pù o eo spatc e prezz d ftto e fale d vedta pù o eo elevat. L aals della scelta codzo d certezza assue che l sstea d prefereza A, sa razoale, coè, o solo che l crtero d scelta sa rappresetale co u sstea regolare (ossa, copleto e trastvo) d prefereza, a ache che questo preset propretà specfche che lo qualfcao coe razoale. La razoaltà d A, cosste ella dpedeza (el seso che verrà dcato) d questo sstea d prefereza dalle cosegueze possl e dalle crcostaze che le geerao.

2 7. La razoaltà del sstea d prefereza Quato dcato precedeteete può essere foralzzato el odo seguete. Aa l agete la possltà d sceglere ua della azo dell see A. Ad og azoe soo assocat degl est (rsultat, outcoe, payoff), raggruppat ell see X. Le possl crcostaze d cu l agete tee coto ella sua scelta sao gl eleet d u see d stat d atura S. Og stato d atura è ua descrzoe suffceteete dettaglata delle crcostaze che l agete rtee fluet. Ad og azoe a A l agete assoca u see d cosegueze possl C(a). Og cosegueza è la descrzoe d tutt gl aspett dell azoe a d cu l agete tee coto ua volta che l certezza s sa rsolta, coè, ua volta che s sa realzzato uo stato d atura. Gl se A, X e S cludoo tutt gl aspett rlevat al rguardo, per cu le cosegueze delle azo soo eleet d u see C A X S. Scelta u azoe, s può verfcare ua sola cosegueza, a secoda dello stato d atura che s realzza. Percò, ad og stato d atura corrspode, og azoe, ua sola cosegueza. Allora, trodott gl se A, X, S e C A X S, u azoe è ua fuzoe che assoca ad og stato d atura ua cosegueza, ossa a: S C. Idcado co c(s ; a) la cosegueza che l agete rtee s verfch se scegle l azoe a e s realzza la stato d atura s, la fuzoe a: S C, se l see degl stat d atura S è fto, coè, S = {s, s 2,, s }, è rappresetata dal vettore c(s j ; a), co j =,,, per cu u azoe a A è dcata ache da a = (c(s ; a), s ; c(s 2 ; a), s 2 ; ; c(s ; a), s ) o (c(s j ; a), s j ). j= Sa, ad esepo, l see delle azo A = {a, a 2, a 3 }, ove a è ua gta a Portofo, a 2 u atto d eefceza e a 3 l acqusto del gletto d ua lottera. Cascua delle tre azo coport la stessa spesa. Sa l see degl est X = {, 2, 3 }, ove è l soggoro a Portofo, 2 l possesso del preo della lottera, 3 ulla d tutto cò. L agete rtega rlevat le crcostaze se pove o o e se quel gletto vce l preo o o, etre tutte le altre crcostaze soo per lu rrlevat a f della scelta dell azoe. Qud, l see degl stat d atura S è coposto d 4 eleet: s è lo stato d atura cu pove e quel gletto vce l preo; s 2 quello cu o pove e quel gletto vce l preo; s 3 quello cu pove e quel gletto o vce l preo; s 4 quello cu o pove e quel gletto o vce l preo. Sa, po, C = {(, s s 3 ), (, s 2 s 4 )}, ove s s 3 è l eveto pove e s 2 s 4 quello o pove, l see delle cosegueze possl dell azoe a, per cu l agete assoca all azoe a due cosegueze: soggoro a Portofo co pogga e soggoro a Portofo seza pogga ; C 2 = {(a 2, 3 )}, ossa, ua sola cosegueza, qualuque sa lo stato d atura, è assocata all azoe d eefceza, che l agete valuta o tato per l suo esto, a, soprattutto, per l azoe stessa, che reputa ertora; e C 3 = { 2, 3 }, ossa, le cosegueze dell azoe a 3 cocdoo co suo est. Allora, l azoe a cosste ella fuzoe c(s ; a ) = c(s 3 ; a ) = (, s s 3 ) e c(s 2 ; a ) = c(s 4 ; a ) = (, s 2 s 4 )), ossa, a = ((, s s 3 ), s ; (, s 2 s 4 ), s 2 ; (, s s 3 ), s 3 ; (, s 2 s 4 ), s 4 ) ; l azoe a 2 cosste ella fuzoe c(s ; a 2 ) = c(s 2 ; a 2 ) = c(s 3 ; a 2 ) = c(s 4 ; a 2 ) = (a 2, 3 ), ossa, a 2 = ((a 2, 3 ), s ; (a 2, 3 ), s 2 ; (a 2, 3 ), s 3 ; (a 2, 3 ), s 4 ) ; e l azoe a 3 è la fuzoe c(s ; a 3 ) = c(s 2 ; a 3 ) = 2 e c(s 3 ; a 3 ) = c(s 4 ; a 3 ) = 3, ossa, a 3 = ( 2, s ; 2, s 2 ; 3, s 3 ; 3, s 4 ). Le azo, oltre che essere rappresetate coe fuzo a: S C, possoo essere rappresetate dalle loro corrspodeze verse, coè, a: C (S ), che assocao, per og azoe, essuo, uo o pù stat d atura ad og cosegueza c C possle. Idcado, allora, co 2 S l see d tutt sottose d S (see vuoto cluso), le azo soo rappresetate sa dalle fuzo a: S C, sa dalle fuzo a: C 2 S. Ioltre, sccoe og stato d atura geera ua e ua sola cosegueza, da u lato, l 2

3 doo della fuzoe a: S C cocde co S, e, dall altro lato, l codoo della fuzoe a: C 2 S è ua partzoe d S. Gl eleet d questa partzoe (escludedo, percò, gl se vuot) soo deoat evet, per cu u eveto è uo stato d atura o u uoe d stat d atura cu corrspode la edesa cosegueza. Se l see S è fto, dcado le cosegueze dell azoe a co l vettore (c (a), c 2 (a),, c (a)) e gl evet corrspodet co l vettore (E (a), E 2 (a),, E (a)), l azoe può essere rappresetata co a = (c (a), E (a); c 2 (a), E 2 (a); ; c (a), E (a)) o (c (a), E (a)) (ovvaete, co, essedo l uero delle cosegueze possl o superore a quello degl stat d atura). (Co rfereto all esepo precedete, s ha la rappresetazoe a = ((, s s 3 ), s s 3 ; (, s 2 s 4 ), s 2 s 4 ) ; a 2 = ((a 2, 3 ), S) ; e a 3 = ( 2, s s 2 ; 3, s 3 s 4 ), che è equvalete a quella gà dcata). S tratta, ora, d defre la razoaltà del sstea d prefereza A,. Itrodott gl se delle azo A, degl est delle azo X, degl stat d atura S e delle cosegueze C A X S, per cu og azoe è defta da ua fuzoe a: S C (l cu doo cocde co S ), oppure, odo equvalete, da ua fuzoe a: C 2 S (l cu codoo è ua partzoe d S ), l sstea d prefereza A, è razoale se è asato, odo razoale, sulle cosegueze delle azo. Se a = (c(a), S) per og a A, se, coè, og azoe ha ua sola cosegueza possle, coe accade asseza d certezza, allora la razoaltà del sstea d prefereza A, cocde co l essteza d u sstea regolare (coè, copleto e trastvo) d prefereza sull see delle cosegueze possl. Se, vece, v è certezza per l agete, e, qud, v soo azo co dverse possl cosegueze, la defzoe della razoaltà del sstea d prefereza A, è u poco pù coplessa e può essere trodotta esplctado tre codzo d razoaltà: a) esste u sstea regolare d prefereza sull see delle cosegueze C, C, coè, l agete ha prefereze sulle cosegueze possl e tee coto d queste ella scelta dell azoe; ) esste, per og azoe a A, ua fuzoe d aspettatve razoal ψ(a): C, coè, l agete assoca ad og azoe ua dstruzoe d aspettatve sulle possl cosegueze (questa dstruzoe è spesso ua dstruzoe d proaltà, a o è ecessaro che sa così; s può, coè, geerale, terpretare l valore ψ(c; a) coe l grado d fduca che s realzz la cosegueza c se s cope l azoe a ). Le aspettatve soo, po, razoal se dervao da ua teora corretta dell ecooa. Questa codzoe plca che gl se A, S e C sao percept correttaete dall agete; c) esste ua fuzoe che detera l sstea d prefereza A, ase al sstea d prefereza C, C e alla fuzoe ψ(c; a). Questa fuzoe espre propraete la teora dalla scelta codzo d certezza e vee deterata ase ad potes che rappresetao la razoaltà delle prefereze sulle azo, date le prefereze sulle cosegueze e le aspettatve sulle cosegueze delle azo. Nel seguto, a eo d specfcazoe cotrara, s assue che S sa u see fto, coè, del tpo S = {s, s 2,, s }, e X k u see copatto (o ecessaraete coposto d u uero fto d put). Se l see S degl stat d atura è fto, le azo a A soo fte, possoo, coè, dar luogo ad u uero fto d cosegueze possl. I tal caso, og azoe a A può essere rappresetata dal vettore (c j, s j ) j=, ove c j = c j (s j ; a) per j =,,, oppure dal vettore (c, E ), ove c = c (a) e E = E (a) per =,, (co E (a) = c ( s ; a ) = c s j ). j j 3

4 7.2 La teora dell utltà attesa per scelte tra lottere S cosder l caso pù seplce d azoe co cosegueze certe, quello cu le azo soo lottere. Ua lottera è u azoe le cu cosegueze hao proaltà date. S defsce coe lottera seplce ua lottera cu est drett soo gl est fal della lottera. Allora, ua lottera seplce è u azoe (, p ; 2, p 2 ; ;, p ), dcata ache coe = (, p ), cu l esto s preseta co proaltà p, l esto 2 co proaltà p 2, ecc. S defsce, vece, coe lottera coposta (o ultstado) ua lottera cu est drett soo altre lottere, che possoo essere a loro volta lottere coposte, e così va, a che soo, ell ulto stado, lottere seplc. Ua lottera coposta (a due stad) è del tpo = ( h, p h ), co h = (, p ) h = per h =,,. h= h h h h L certezza presete elle lottere è propraete dcata coe rscho: le lottere soo, coè, azo rschose. Il tere certezza vee vece oralete usato per rappresetare sa, geercaete, le azo co dverse possl cosegueze, sa, specfcaete, le azo le cu cosegueze possl dpedoo da evet cu o soo assocate proaltà date. Seguedo la presetazoe del Paragrafo 7., s ha per ua lottera seplce, da u lato, C = X, e, dall altro lato, che og stato d atura s j S ha proaltà data (coè, u uero o egatvo p j, co j = p j = ). Ioltre, l uca caratterstca rlevate degl stat d atura è la proaltà. Allora, la fuzoe delle aspettatve è assegata esogeaete co le proaltà. Qud, l azoe (c (a), E (a)), se è ua lottera, è ( ( ), p(e ( ))) e può essere presetata coe = (, p ), ove = ( ) e p = p(e ( )) per =,,. S dcho co L e X, rspettvaete, l see delle lottere (seplc e coposte) e quello degl est e, qud, co L, l sstea d prefereze sulle lottere e co X, l sstea d prefereza sugl est. Sa X k u see copatto (spesso, el seguto, gl est soo soe d daaro: tal caso, s ha k =, e s assue che h se e solo se > h ). S tratta d deterare, per u see d lottere assegate L, l legae tra l sstea d prefereza L, e l sstea d prefereza X,. Se ua lottera seplce ha u solo esto possle, coè, questo esto s verfca co proaltà par a (queste lottere vegoo spesso qualfcate coe lottere degeer), allora, essa è rteuta equvalete all esto certo, ossa, = (, ) e, qud, se = (, ) e = (, ) s ha se e solo se. Se, vece, ua lottera ha dvers est possl, è, coè, ua geerca lottera seplce del tpo = (, p ) oppure è ua lottera coposta, allora, la teora doate sulla relazoe tra sste d prefereza L, e X, è la teora dell utltà attesa (foralzzata da vo Neua e Morgester, 4

5 944). Il teorea che la troduce rchede alcue potes (o asso), trodotte dalle tre defzo seguet. Defzoe 7. (Prcpo delle lottere coposte). Il prcpo delle lottere coposte assersce che l agete rtee og lottera coposta equvalete alla lottera seplce (o rdotta) otteuta assocado ad og esto fale la sua proaltà coposta. Ad esepo, la lottera coposta = (, p ; 2, p 2 ), ove = (, p ; 2, p 2 ; 3, p 3 ) e 2 = (, p ; 2 3, p 3 ), 2 è equvalete alla lottera (, p p + p 2 p 2 ; 2, p2 p ; 3, p3 p + p3 2 p 2 ). (S ot coe le codzo p + p 2 =, p + p 2 + p 3 = e p + p = plcho la codzoe ( p p + p p 2 2 ) + ( p2 p ) + ( p 3 p + p3 p 2) = ). 2 Ua lottera coposta può essere rappresetata co u dagraa ad alero, ove og odo corrsp ode ad ua lottera, og rao ad u eveto (coè, ua proaltà, co soa par a per tutt ra che fuorescoo da uo stesso odo) e og odo fale (da cu o s dpartoo ra) ad u esto. Ad esepo, la lottera coposta sudcata è rappresetata ella Fgura 7. see co la lottera seplce ad essa equvalete. p 2 p p 2 p 2 p 2 p 3 3 p p +p 2 p 2 p p 2 p p 3 +p 2 p p Fgura 7. Il prcpo delle lottere coposte assla le lottere coposte alle lottere seplc otteute assocado ad og esto fale la sua proaltà coposta. Nel seguto (coe elle Defzo 7.2 e 7.3) vegoo trodotte lottere coposte e le relazo d prefereza su d esse. Queste relazo soo desute dal sstea d prefereza L, sulle lottere seplc. Defzoe 7.2 (Cotutà del sstea d prefereza) Il sstea d prefereza sulle lottere L, è cotuo se, per og tera d lottere,, L, co, esste ua lottera coposta = (, p ;, p), coè, ua proaltà p (0, ), tale che. Questa codzoe può essere eglo rappresetata rchededo che l see delle lottere 5

6 coposte da e aleo altrettato uoe d e quello delle aaloghe lottere o preferte a sao se chus, ossa, sao chus gl se {p [0, ] : (, p ;, p) } e {p [0, ] : (, p ;, p)} Ad esepo, sa la lottera (, ), ove è l esto essere uoa salute e oderataete rcco ; = (, ), ove è l esto essere uoa salute e rcchsso ; e = (, ), ove è l esto essere alato e povero, ed è (poché ), l assoa d cotutà è soddsfatto se esste ua proaltà p (0, ) tale che (, p ;, p), coè, (, ) (, p ;, p). Ivece, l assoa d cotutà o è soddsfatto se questa proaltà o esste, ad esepo, se (, ) (, p ;, p) per og p [0, ), coè, se l agete prefersce essere uoa salute e oderataete rcco ad og lottera che cluda l esto, sa pure co proaltà pccolssa, d essere alato e povero. Defzoe 7.3 (Assoa d dpedeza) Il sstea d prefereza sulle lottere L, soddsfa l assoa d dpedeza se, per og tera d lottere,, L e og proaltà p [0, ], s ha (, p ;, p) (, p ;, p) se e solo se coe rappresetato ella Fgura 7.2 p ' p se e solo se ' p " p " Fgura 7.2 Questa codzoe plca, per og p (0, ], le codzo seguet: (, p ;, p) (, p ;, p) se e solo se (, p ;, p) (, p ;, p) se e solo se Ifatt, è equvalete a e o, per cu la codzoe sudcata rchede (, p ;, p) (, p ;, p) e o (, p ;, p) (, p ;, p) e, qud, (, p ;, p) (, p ;, p). Po, equvale a e per cu rsulta (, p ;, p) (, p ;, p). 6

7 L assoa d dpedeza dca che soo rrlevat, ella relazoe d prefereza tra due lottere, gl est che s presetao etrae le lottere e s presetao esse co la stessa proaltà. Coè, la relazoe d prefereza dpede soltato dalle dverstà degl est e/o delle proaltà. L eleeto d razoaltà d questo assoa cosste ella cosderazoe che, se s verfca l eveto che detera l esto coue (coè, ), allora l agete s trova ella stessa stuazoe, etre, se s verfca l eveto copleetare, allora l agete s trova ua stuazoe dversa a secoda della lottera (coè, co oppure co ), per cu è la prefereza tra gl est d questo eveto (coè, ) che detera la prefereza tra le lottere (qud, (, p ;, p) (, p ;, p) ). S ot che, se s verfca u eveto, o s verfca l altro, coè, gl est possl (coè, o, co la lottera (, p ;, p), e o, co la lottera (, p ;, p) ) soo alteratv, o possoo, coè, presetars cogutaete. (Al cotraro, quado s cofrotao paer d e, può accadere che u sstea d prefereza X, dch, ad esepo, che u cchere d vo aco sa preferto ad u cchere d vo rosso, e ache (, ) (, ), ad esepo, che l paere coposto da u cchere d vo aco e ua stecca sa eo gradto del paere coposto da u cchere d vo rosso e ua stecca. Quest ulta relazoe d prefereza è ragoevole perché, el paere d cosuo, l cchere d vo e la stecca soo cogut e o alteratv. Se, vece, s cosderasse la relazoe d prefereza tra la lottera (, ½ ;, ½) e la lottera (, ½ ;, ½), allora la dspoltà del cchere d vo saree alteratva a quella della stecca, per cu la prefereza per l cchere d vo aco, asseza della stecca, sul cchere d vo rosso s rverereree, per l assoa d dpedeza, sulla relazoe d prefereza tra le due lottere (, ½ ;, ½) e (, ½ ;, ½) ). L assoa d dpedeza è crucale per l troduzoe dell utltà attesa ed è ua codzoe specfca della scelta codzo d certezza (etre quello d cotutà è ua seplce estesoe dell aaloga potes d cotutà trodotta el Paragrafo 3.2 per l sstea d prefereza del cosuatore). Tuttava, esso o è sepre soddsfatto, ache se è u prcpo d razoaltà del sstea d prefereza L,. V soo stuazo cu le prefereze d olt aget o s coforao all assoa d dpedeza. Il caso pù oto è quello del cosddetto paradosso d Allas (dal oe dell ecoosta che lo ha proposto, 953). S cosdero le quattro seguet lottere (ove gl est soo soe d dearo dollar): = ( , ), 2 = ( , 0/00; , 89/00; 0, /00), 3 = ( , /00; 0, 89/00), 4 = ( , 0/00; 0, 90/00) Molt dvdu dcao 2 e 4 3. Però, queste prefereze soo copatl co l assoa d dpedeza. Ifatt, per l prcpo delle 7

8 lottere coposte le quattro lottere precedet soo equvalet alle lottere rappresetate ella Fgura 7.3. / /00 0/ / / / / /00 0/ / /00 89/ Fgura 7.3 Per l assoa d dpedeza, 2 plca ( , ), ove = ( , 0/; 0, /), e ( , ) plca 3 4, per cu le relazo d prefereza dcate, coè, 2 e 4 3, rsultao o soddsfare l assoa d dpedeza. (Per rappresetare prefereze sffatte occorre deolre l assoa d dpedeza. Ua loro rappresetazoe verrà dcata el Paragrafo 7.6). Defzoe 7.4 (Utltà attesa) Il sstea d prefereza L, è rappresetato da ua fuzoe d utltà attesa U: L se, per og lottera L, s ha U( ) = p u( ) ove p è la proaltà dell esto fale (e è la proaltà coposta se è ua lottera coposta, per cu s = (, p ) è la lottera seplce otteuta assocado ad og esto fale la sua proaltà coposta) e u: X è ua fuzoe d utltà (deoata fuzoe d utltà vo Neua- Morgester) che rappreseta l sstea d prefereza X,. Allora, per vo Neua e Morgester (944) hao trodotto l successvo teorea dell utltà attesa, che dostra coe l essteza della fuzoe d utltà vo Neua- 8

9 og coppa d lottere, L, co = (, p ) e = ( ', p ), è se e solo se ' p u( ) p u( ). Il teorea dell utltà attesa (Proposzoe 7.) ostra coe l sstea d prefereza L, sa rappresetato dalla fuzoe d utltà attesa (trodotta co la Defzoe 7.4) se e solo se soddsfa le propretà descrtte dalle Defzo 7., 7.2 e 7.3. Proposzoe 7. Sa l see degl est X k copatto (coè, chuso e ltato) e l sstea d prefereza X, regolare e cotuo. Sa L l see d tutte le lottere fte (coè, co u uero fto d est). Allora, l sstea d prefereza L, è rappresetale co ua fuzoe d utltà attesa (Defzoe 7.4) se e solo se l sstea d prefereza L, è regolare e soddsfa gl asso delle lottere coposte (Defzoe 7.), d cotutà (Defzoe 7.2) e d dpedeza (Defzoe 7.3). Esste, coè, ua fuzoe d utltà vo Neua-Morgester u: X che rappreseta l sstea d prefereza X, tale che l sstea d prefereza L, è rappresetato dalla fuzoe d utltà attesa U: L, per cu og lottera L ha utltà U( ) = p u( ), co = (, p ) se è Morgester sa legata a propretà del sstea d prefereza sulle lottere. Però, la ozoe d utltà attesa è e pù atca. Essa rsale al cotruto d Dael Beroull (738), che trodusse, ella valutazoe delle lottere, l utltà attesa (o speraza orale) al posto del valore edo (o atteso). La lottera esaata da Dael Beroull è ota coe goco d Sa Petrourgo: s laca ua oeta, se vee testa l aco paga 2 utà oetare al gocatore e l goco ha tere; se vee croce la oeta vee lacata ua secoda volta; se vee testa l aco paga 4 utà oetare e l goco ha tere; se vee croce v è u terzo laco; ecc. Qud, v è ua successoe d lac della oeta che ha tere o appea vee testa e l aco paga la soa 2 al gocatore, ove è l uero del laco cu esce testa. S tratta d deterare quato l gocatore è dsposto a pagare per partecpare al goco. Il valore edo (o atteso) del goco (essedo ½ la proaltà che esca testa la pra volta; ¼ la proaltà che esca croce la pra volta e testa la secoda; ; la proaltà che esca croce e pr lac e testa 2 = ell -eso) è 2 =. Allora, u gocatore che valutasse questa lottera ase al 2 valore edo, saree dsposto a pagare qualsas soa l aco chedesse per partecpare al goco, o porta quato elevata essa sa. Per spegare perché o è così, Dael Beroull potzzò che la valutazoe della lottera avvesse e ter dell utltà attesa e che la fuzoe dell utltà della rcchezza oetara fosse logartca. Allora, dcado co R la rcchezza del gocatore, la soa assa S che egl è dsposto a pagare per partecpare al goco rsulta dalla equazoe lr = = = 2 2 l(r S+2 ), ossa, poedo R = R S, l(r +S) = l(r +2 ). Il valore d S rsulta dpedere da R, d cu è fuzoe crescete, e rsulta par a 4 per R = 4 e a crca 3 per R = 0 9 : è, qud, aastaza ltato. Tuttava, la soluzoe dcata da Beroull o è suffcete per 2 evtare paradoss del tpo del goco d Sa Petrourgo. Se, ad esepo, l aco paga e utà oetare, vece che 2, s ha, co la fuzoe logartca proposta da Beroull, acora che l gocatore è dsposto a pagare qualsas soa. S evta l paradosso se la fuzoe d utltà è ltata (oltre che o decrescete e cocava). 9

10 ua lottera seplce e, se è coposta, co s = (, p ), che è la lottera seplce otteuta da assocado ad og esto fale la sua proaltà coposta. Dostrazoe. La dostrazoe seguete cosdera lottere seplc. La sua estesoe alle lottere coposte è edata teedo coto dell assoa delle lottere coposte. Se l sstea d prefereza X, è tale che per og coppa, X, allora l sstea d prefereza L, è tale che per og coppa, L (per l assoa d dpedeza) e l prcpo d utltà attesa è aalete soddsfatto. Se o è per og coppa, X, allora esste ua coppa, X tale che u( ) = a u() e X u() = X u(). Covee, a questo puto, dvdere la dostrazoe dverse fas successve. a) Le lottere = (, ) e = (, ) soo tal che e per og L. S ha poché, e. L plcazoe può essere dostrata per duzoe. Se = 2, cosderado, coè, le lottere = (, p ; 2, p 2 ) co due est, s ha, per l assoa d dpedeza, = (, ) (, p ; 2, p 2 ) (, p ; 2, p 2 ) (, p ;, p 2 ) (, ) =, per cu. Se questa relazoe vale per og lottera co est possl, allora, per og lottera = (, p ) co est, s ha, per l assoa d dpedeza, = (, ) (, p ; (, p /( p )) = 2, p ) (, p ) ((, p /( p )), p ;, p ) (, ) =, per cu. Qud, per duzoe, s ha per og L. ) Per og coppa d lottere, co = (, p;, p) e = (, p ;, p ) s ha se e solo se p > p. Ifatt, se p > p, per l prcpo delle lottere coposte, s ha (, p ;, p ), ove = (, p p' p' p p' p' p p p ;, p ' ), co per l assoa d p p' dpedeza (che rchede = (, ;, ' ) (, p' ;, p' ) ) ). Allora, per l assoa d dpedeza, (, p ;, p ) (, p ;, p ) =. Se p = p, s ha =. Se p < p, rpetedo a part vertte la dostrazoe per l caso p > p, s trova. c) Per og L, per l assoa d cotutà, due se {p [0, ] : (, p ;, p) } e {p [0, ] : (, p ;, p)} soo chus, oltre che o vuot poché = (, ) (, ) =. Ioltre, da u lato, og p [0, ] appartee ad aleo uo de due se dcat (co {p [0, ] : (, p ;, p) } e 0 {p [0, ] : (, p ;, p)} ) e, dall altro lato, essedo l tervallo [0, ] coesso, v è u p che appartee ad etra gl se. S dch questa proaltà co p( ). Rsulta, allora, (, p( ) ;, p( )). Ioltre, p( ) è uco: fatt, per quato vsto al puto ), per og p > p( ) rsulta (, p ;, p) e per og p < p( ) rsulta (, p ;, p). d) S troduca la fuzoe U: L che assoca ad og L l valore U( ) = p( ), defto dalla relazoe (, p( ) ;, p( )). Questa fuzoe rappreseta l sstea d prefereza L,. Ifatt, per quato al puto ), per og coppa d lottere, L co = (, p;, p) e = (, p ;, p ), s ha se e solo se p p. p 0

11 e) La fuzoe U( ) = p( ), defta dalla relazoe (, p( ) ;, p( )), è ua fuzoe d utltà attesa. Ifatt, essedo = (, p ) co (, ) (, p( ) ;, p( )), s ha, per l prcpo delle lottere coposte e l assoa d dpedeza, che ((, p( ) ;, p( )), p ) (, = p p( ) ;, = p ( p( )), per cu, teedo presete che p( ) = U((, )) = u( ) e U( ) = = p p( ), rsulta U( ) = = p u( ). f) Rae da dostrare che la codzoe dcata (sstea d prefereza regolare che soddsfa gl asso delle lottere coposte, d cotutà e d dpedeza) è ecessara. Al rguardo asta osservare che la fuzoe d utltà attesa plca u sstea d prefereza copleto e trastvo che soddsfa le codzo rcheste dagl asso delle lottere coposte, d cotutà e d dpedeza. Nel caso del paradosso d Allas, trodotto precedeteete, v soo tre est possl, 2, 3, co = $, 2 = $ e 3 = 0 $, e le relazo d prefereza 2 e 4 3, per = ( 2, ), 2 = (, 0/00 ; 2, 89/00 ; 3, /00), 3 = ( 2, /00 ; 3, 89/00) e 4 = (, 0/00 ; 3, 90/00). Se valesse la teora dell utltà attesa, dovree esstere ua fuzoe u: X tale da redere soddsfatte, per le utltà attese, le dsuguaglaze U( ) > U( 2 ) e U( 4 ) > U( 3 ), ossa, u( 2 ) > 0,0 u( ) + 0,89 u( 2 ) + 0,0 u( 3 ) 0,0 u( ) + 0,90 u( 3 ) > 0, u( 2 ) + 0,89 u( 3 ) che soo, però, copatl tra loro, rchededo, rspettvaete 0,0 u( ) 0, u( 2 ) + 0,0 u( 3 ) < 0 0,0 u( ) 0, u( 2 ) + 0,0 u( 3 ) > 0 Qud, le prefereze del paradosso d Allas o soo rappresetal co l utltà attesa (cò accade perché esse o soddsfao, coe gà vsto, l assoa d dpedeza). La fuzoe d utltà attesa, se esste, o è uca, a è defta a eo d ua trasforazoe leare crescete, coe dcato d seguto. Proposzoe 7.2 Se l see degl est X è copatto e l sstea d prefereza X, è tale che per aleo due est, X e se l sstea d prefereza L, è rappresetato da ua fuzoe d utltà attesa U: L (e, qud, v è ua fuzoe d utltà vo Neua- Morgester u: X ), allora esste ua fagla d fuzo d utltà attesa che rappresetao tutte lo stesso sstea d prefereza L,. Cascua d esse è ua trasforazoe leare crescete d cascu altra. Ossa, U( ) e V( ) soo due fuzo d utltà attesa per l sstea d prefereza L, se e solo se esste ua coppa d scalar β > 0 e α tale che V( ) = α + β U( ) (e s ha, per le fuzo d utltà vo Neua- Morgester u() e v(), v() = α + β u () ). Dostrazoe. Se V( ) = α + β U( ) co β > 0, allora rsulta V( ) V( ) se e solo se è α + β U( ) α + β U( ), coè, se e solo se U( ) U( ) : qud, se V( ) = α +

12 β U( ) co β > 0, allora le fuzo d utltà U( ) e V( ) rappresetao lo stesso sstea d prefereza L,. Per dostrare la ecesstà della codzoe, s cosdero due fuzo d utltà attesa U( ) e V( ) che rappreseto lo stesso sstea d prefereza L,. Per og lottera L s ha U( ) = = p u( ) = λ( ) u( ) + ( λ( )) u(), ove u( ) = a X u() e u() = X u(). Essedo, cosegueteete, (, λ( );, λ( )), s ha V( ) = V(, λ( );, λ( )) = λ( ) v( ) + ( λ( )) v(), coè V( ) = v() + v( ) v( ) λ( )(v( ) v()). Poedo, allora, β = > 0 e α = v() β u(), s ha V( ) = u( ) u( ) α + β u() + λ( ) β (u( ) u()) = α + β U( ), co β > 0. Percò, le fuzo d utltà attesa U( ) e V( ), che rappresetao lo stesso sstea d prefereza L,, rsultao essere legate da ua relazoe leare crescete. S può vedere, fe, che se U( ) e V( ) soo due fuzo d utltà attesa per L,, allora V( ) = α + β U( ) se e solo se v() = α + β u(). Ifatt, s ha V( ) = α + β U( ) per og L se e solo se, per og L, p v( ) = α + β p u( ), coè, p v( ) = = p (α + β u( )), per cu V( ) = α + β U( ) è equvalete a v() = α + β u(). Naturalete, l sstea d prefereza L,, se è rappresetale co ua fuzoe d utltà U: L, allora è rappresetale co ua qualsas fuzoe che e sa ua trasforazoe ootoa crescete (coe dcato el Paragrafo 2.2), o soltato co le sue trasforazo lear crescet. La Proposzoe 7.2 o rchede che la rappresetazoe d L, plch fuzo d utltà che sao legate tra loro da relazo lear, a rchede questa propretà soltato per le fuzo d utltà attesa. I altr ter, se U( ) è ua fuzoe d utltà attesa che rappreseta l sstea d prefereza L,, allora le altre fuzo d utltà attesa che rappresetao lo stesso sstea d prefereza soo trasforazo lear crescet d U( ), etre le trasforazo ootoe crescet, o lear, rappresetao ach esse l sstea d prefereza L,, a o soo fuzo d utltà attesa. S può vedere coe, etre le fuzo d utltà attesa rappresetao l sstea d prefereza troducedo per og lottera ua eda artetca, poderata co le proaltà, delle utltà vo Neua-Morgester degl est possl della lottera, le altre fuzo d utltà troducao ua geerca eda assocatva (d cu quella artetca è u caso partcolare). Ifatt, sa U( ) ua fuzoe d utltà attesa che rappreseta L,, coè, per og L s ha U( ) = = p u( ). Allora, per og altra fuzoe d utltà V( ) che sa ua trasforazoe ootoa crescete d U( ), coè, V( ) = F(U( )), s ha V( ) = F( p F (u( ))), ove F(.) è ua geerca fuzoe ootoa crescete e F (.) è la sua trasforazoe versa. La relazoe sudcata V( ) = F( p F (u( ))) è propro la relazoe che defsce la eda assocatva el seso d Chs. 2 Ad esepo, se ( V( ) = U ) l e, allora V( ) = e = p u ( ) = Π u( p ), ossa, la fuzoe d utltà V( ) rappreseta l sstea d prefereza L, troducedo per og lottera ua eda geoetrca (azché artetca), poderata co le proaltà, delle utltà vo Neua- Morgester degl est possl. L utltà attesa, ossa, la eda artetca poderata delle utltà vo Neua-Morgester, vee preferta ell aals perché è d pù coodo pego, a potree essere sosttuta co qualsas altra eda assocatva. 2 Al rguardo, Chs (929), de Fett (93) e Motesao (982). 2

13 7.3 Due rappresetazo geoetrche S cosdero lottere co tre possl est assegat, 2, 3 k e sa l see L coposto da tutte le lottere = (, p ; 2, p 2 ; 3, p 3 ), ove p, p 2, p 3 + co p + p 2 + p 3 =. S ha, allora, l see L(, 2, 3 ) = {p, p 3 + : p + p 3 } che è deoato tragolo d Marschak-Macha (dal oe degl ecoost che lo hao trodotto e usato) e che è rappresetato ella Fgura 7.4, ove soo dcate ache alcue curve d dffereza per l caso cu vale la teora dell utltà attesa. p 3 p = 0 p2 = p 3 = 0 Fgura 7.4 p Se vale la teora dell utltà attesa, l sstea d prefereza L(, 2, 3 ), è rappresetato dalla fuzoe d utltà attesa U( ) = p u( ) + ( p p 3 ) u( 2 ) + p 3 u( 3 ), per cu le curve d dffereza hao equazoe p 3 = 2 u ( ) U( ) u ( ) u ( ) 2 3 u ( ) u ( ) + 2 u ( ) u ( ) 2 3 u ( ) u ( ) 2 soo, coè, seget parallel co pedeza, e, se è u( ) > u ( ) u ( ) 2 3 u( 2 ) > u( 3 ), hao utltà crescete adado dal vertce p = 0, p 3 = al vertce p =, p 3 = 0. S può vedere coe le prefereze del caso del paradosso d Allas, presetato el Paragrafo 7.2, sao copatl, el tragolo d Marschak-Macha, co curve d dffereza parallele. Ifatt, essedo 2 e 4 3, la curva d dffereza della lottera passa asso rspetto a 2 e quella d 3 passa alto rspetto a 4. Rsulta, allora, che queste curve d dffereza o possoo essere parallele tra loro poché l segeto che usce le lottere e 2 è parallelo a quello che usce le lottere 3 e 4. p 3

14 Ua rappresetazoe geoetrca, ota coe dagraa d Hrshlefer-Yaar, è possle per le lottere co due sol possl est udesoal, coè, co = (, p ; 2, p), ove, 2 X, co X +, oltre, co p assegato. Il sstea d prefereza L, è, allora, rappresetato da ua appa d curve d dffereza el pao degl est, d ass e 2. Se vale la teora dell utltà attesa e la fuzoe vo Neua- Morgester u: X è dervale, la pedeza delle curve d dffereza d ( ) p u'( ) 2 p u( ) + ( p) u( 2 ) = U, è par a =, per cu, lugo la d p u'( ) settrce, ove 2 =, s ha sepre la stessa pedeza, par a coe ella Fgura p p, 2 p/( p) p/( p) Fgura L avversoe al rscho per lottere co est oetar S parla d avversoe al rscho se l decsore o aa, el seso che verrà precsato, le azo che possoo geerare est dvers, per le qual, coè, o v è u esto certo. Nel seguto d questo paragrafo, a eo che o sa esplctaete dcato l cotraro, l avversoe al rscho vee esaata relazoe alle lottere fte co est udesoal, coè, co X, fra cu retrao le lottere oetare (coè, le lottere cu est possl soo soe d oeta). 4

15 Sa l see degl est possl u tervallo d, coè, X = [, ] e sa l sstea d prefereza sull see degl est X, tale che se e solo se >. Sa L l see d tutte le lottere fte su X, ossa, coposto dalle lottere = (, p ), ove è u uero fto d est possl e (p, p 2,, p ) soo le proaltà de corrspodet est (, 2,, ), percò, co p 0 per =,, e p =. Sa L, u sstea d prefereza regolare (coè, copleto e trastvo) e cotuo, percò rappresetale co ua fuzoe d utltà U: L, che o è ecessaraete ua fuzoe d utltà attesa. Quado questa potes vee trodotta, allora s ha U( ) = p u( ), ove u: X è ua fuzoe d utltà vo Neua-Morgester (questa fuzoe è cotua e ootoa crescete per le potes appea trodotte). Ne ter pegat el Paragrafo 7., s assue che l see degl stat d atura S sa fto, coè, S = {s, s 2,, s }, per cu o soo possl pù d est, e p è la proaltà dell eveto che detera l esto, per =,,. Nel seguto verrà esaato ache l caso cu S è u see qualsas d stat d atura, percò, o ecessaraete fto, el qual caso ua lottera è ua dstruzoe d proaltà su X, qud, descrvle co ua fuzoe d dstruzoe cuulatva F(), ove F() dca la proaltà che o s verfch u esto aggore d. Per la lottera = (, p ) co < + per og =,,, s ha, F() = 0 per og [, ), F( ) = h= p h per og [, + ) e F() = per og [, ]. (Se è, coe spesso el seguto, > +, s ha F() = 0 per og [, ), F() = h= + p h = h= p h per og [ +, ) e F() = per og [, ] ). La descrzoe delle lottere trate le fuzo cuulatve d proaltà s applca sa alle lottere fte sa a quelle cotue. Quest ulte soo descrtte ache dalle fuzo d destà d proaltà f(), ove f() d è la proaltà che s verfch u esto copreso tra e + d. La fuzoe d destà f() e la fuzoe cuulatva F() soo legate tra loro dalla relazoe F() = f () t dt. La teora dell utltà attesa sttusce, el cotuo, l fuzoale U( ) = uf ( ) ( ) d = u ( ) X df(). X Nelle Fgure 7.6 e 7.7 soo dcate due fuzo d dstruzoe cuulatva d proaltà, la pra per ua lottera fta, la secoda per ua lottera el cotuo. p 2 + p 3 F() F() p Fgura 7.6 Fgura 7.7 5

16 Defzoe 7.5 (Valore edo o atteso) Il valore edo (o atteso) della lottera = (, p ) è EV( ) = p e la fuzoe EV: L X è la fuzoe d valore edo. Defzoe 7.6 (Equvalete certo) L equvalete certo CE( ) della lottera = (, p ) è l esto dfferete alla lottera, coè, quell esto per cu rsulta (CE( ), ) el sstea d prefereza L,. Se questo sstea d prefereza è rappresetale co ua fuzoe d utltà attesa, essedo U( ) = u(ce( )), rsulta la fuzoe d equvalete certo CE: L X, co CE( ) = u ( p u( )). Proposzoe 7.3 (Essteza e uctà dell equvalete certo) Sa l sstea d prefereza sull see degl est X, tale che se e solo se >, co X = [, ]. Sa L, u sstea d prefereza regolare (coè, copleto e trastvo) e cotuo sull see L d tutte le lottere su X, tale che (, ) (, ) per og L. Allora, per og L esste uo ed u solo equvalete certo CE( ) X. (S ot coe o sa rchesto che L, soddsf l assoa d dpedeza, ossa, che valga la teora dell utltà attesa). Dostrazoe. Aalogaete alla fase c) della dostrazoe della Proposzoe 7., per og L, per l potes d cotutà, due se { [, ]: (, ) } e { [, ]: (, )} soo chus, oltre che o vuot poché (, ) (, ). Ioltre, da u lato, og [, ] appartee ad aleo uo de due se dcat (co { [, ]: (, ) } e { [, ]: (, )} ) e, dall altro lato, essedo l tervallo [, ] coesso, v è u che appartee ad etra gl se. S dch questo esto co CE( ). Rsulta, allora, (CE( ), ). Ioltre, CE( ) è uco: fatt, per og coppa, X, co, s ha (, ) (, ) per cu o può esserv ua coppa CE( ), CE ( ) X, co CE( ) CE ( ), tale che (CE( ), ) (CE ( ), ). Defzoe 7.7 (Preo al rscho e avversoe al rscho) Il preo al rscho RP( ) è la soa assa che l agete è dsposto a pagare per avere l valore edo della lottera vece che la lottera: qud, RP( ) = EV( ) CE( ) (fatt, la codzoe (EV( ) RP( ), ), essedo (CE( ), ), plca EV( ) RP( ) = CE( ) ). U agete è avverso al rscho se l suo sstea d prefereza L, rchede CE( ) EV( ), coè RP( ) 0, per og L. Correlatvaete, è propeso al rscho se RP( ) 0 e eutrale al rscho se RP( ) = 0. Egl è strettaete avverso al rscho se è RP( ) > 0 per og L o degeere (strettaete propeso al rscho se RP( ) < 0). 6

17 Proposzoe 7.4 Itroducedo gl se delle lottere o preferte all esto certo e delle lottere co valore atteso o superore a, coè, G () = { L: CE( ) }, H () = { L: EV( ) } l agete è avverso al rscho se e solo se H () G () per og X, propeso al rscho se e solo se H () G () e eutrale al rscho se e solo se H () = G (). Dostrazoe. Da u lato, se la relazoe H () G () o è soddsfatta per og X, allora v soo u * X e u * H (*) tal che * G (*), coè, co EV( *) * e CE( *) > *, per cu s ha CE( *) > EV( *) e rsulta che l agete o è avverso al rscho. Qud, la codzoe H () G () per og X è ecessara perché l agete sa avverso al rscho. Dall altro lato, poché EV( ) X per og L, s ha H (EV( )) per og L, per cu la codzoe H () G () per og X plca G (EV( )), coè, CE( ) EV( ) per og L. Rsulta, percò, che la codzoe H () G () per og X è ache suffcete perché l agete sa avverso al rscho. Aalogaete, per la propesoe al rscho, etre la codzoe per la eutraltà al rscho rsulta dalla copreseza dell avversoe e della propesoe al rscho. Nel dagraa d Hrshlefer-Yaar (Fgura 7.5 el Paragrafo 7.3) l equvalete certo d ua lottera * = ( *, p ; 2 *, p) è rappresetato, per defzoe d equvalete certo, dal puto d tersezoe tra la settrce e la curva d dffereza della lottera esae. Percò, l equvalete certo d ua lottera è par all ascssa (e all ordata) d questo puto. Ioltre, l valore edo della stessa lottera è par all ascssa (e all ordata) del puto d tersezoe tra la settrce e la sua retta d sovalore edo (d equazoe p + ( p) 2 = EV( *) = p * + ( p) 2 * ), che passa per * e ha pedeza par a p/( p) ). Allora, v è avversoe (propesoe) al rscho se l pro puto d tersezoe o è superore (ferore) al secodo, coe dcato ella Fgura 7.8 (ove è dcata la curva d dffereza d u agete che segue la teora dell utltà attesa). 2 G(CE( *)) H(CE( *)) CE( *) p/( p) EV( *) *. * p/( p) Fgura 7.8 7

18 La Proposzoe 7.4 rchede, perché l agete sa avverso al rscho, H (CE( *)) G (CE( *)), coè, che la curva d dffereza e la retta d so-valore edo passat per cascu puto della settrce (ove equvalete certo e valore edo cocdoo) o s tersecho e che la curva d dffereza s stu a ord-est rspetto alla retta d so-valore edo (s stu, vece, a sud-ovest se l agete è propeso al rscho). Proposzoe 7.5 Se l sstea d prefereza L, è rappresetale co la fuzoe d utltà attesa, allora l agete è avverso al rscho se e solo se la fuzoe vo Neua-Morgester u: X è cocava, propeso al rscho se e solo se è covessa, eutrale al rscho se e solo se è leare. Dostrazoe. Se l sstea d prefereza è rappresetale co ua fuzoe d utltà attesa U( ) = p u( ), s ha, per la Defzoe 7.6, CE( ) = u ( p u( )). Allora, la codzoe CE( ) EV( ), coè, u ( p u( )) p, essedo la fuzoe u() ootoa crescete, è equvalete alla codzoe 3 = p u( )) ( u = p ), ossa, alla cocavtà della fuzoe u(). Aalogaete, per la propesoe e la eutraltà al rscho. Coe la cocavtà della fuzoe u() plch l avversoe al rscho può essere vsto ella Fgura 7.9, ove è rappresetata ua fuzoe cocava d utltà. Vegoo dcat, per la lottera = (, ½ ; 2, ½), l valore edo, l utltà attesa e l equvalete certo. u( ) U(EV( )) U( ) u(( + 2 ) / 2) (u( )+u( 2 )) / 2 u() u( 2 ) u (U( )) ( + 2 ) / 2 2 EC( ) EV ( ) Fgura Questa dsuguaglaza, che defsce la cocavtà d ua fuzoe, è ota ella letteratura ache coe dsuguaglaza d Jese. 8

19 Prededo cosderazoe la rappresetazoe delle lottere el tragolo d Marschak-Macha (trodotto el Paragrafo 7.4), s è gà vsto coe le curve d dffereza (coè, d so-equvalete certo) sao rappresetate, se vale la teora dell utltà u ( ) u ( ) 2 attesa ed è > 2 > 3, da u fasco d seget parallel co pedeza. u ( ) u ( ) 2 3 Le rette d so-valore edo, d equazoe EV( ) = p + ( p p 3 ) 2 + p 3 3, hao 2 pedeza. Se l agete è avverso al rscho allora la pedeza delle curve d 2 3 dffereza è ferore a quelle d so-valore edo, poché la cocavtà della fuzoe u ( ) u ( ) u ( ) u ( ) u() rchede <. Ioltre, la codzoe H () G () per og X, rchede che seget d so-valore edo EV( ) =, oltre ad avere pedeza aggore, s trovo, per og X, a ord-ovest de corrspodet seget d soequvalete certo CE( ) =, coe ella Fgura 7.0. All opposto se l agete è propeso al rscho: seget d so-valore edo hao pedeza ferore e soo a sud-est de seget d so-equvalete certo. p 3 EV( ) = CE( ) = Fgura 7.0 p La cocavtà della fuzoe d utltà vo Neua-Morgester plca la cocavtà della fuzoe d utltà attesa rspetto agl est. Ifatt, la cocavtà d u() rchede u(λ +( λ) ) λu( )+( λ)u( ) per og coppa d est, X e λ [0, ], per cu, per og λ [0, ] e og tera d lottere,, L co = (,p ), = (,p ) e = (λ +( λ), p ), rsulta U( ) = p u(λ +( λ) ) p (λu( )+( λ) u( )) = λu( ) + ( λ)u( ). Allora, se l agete è avverso al rscho e vale la teora dell utltà attesa, la fuzoe U( ) è cocava (qud, a aggor ragoe, 9

20 quas-cocava) rspetto alle cosegueze, per cu le curve d dffereza el dagraa d Hrshlefer-Yaar soo covesse (per quato vsto el Paragrafo 3.4), oltre che stuate a ord-est rspetto alla retta d so-valore edo. (Nella Fgura 7.8 è dcata ua curva d dffereza covessa). Aalogaete, se l agete è propeso al rscho, allora le curve d dffereza soo cocave. Proposzoe 7.6 L agete è avverso al rscho se la fuzoe d equvalete certo CE: L X è covessa rspetto alle proaltà. L agete è propeso al rscho se è cocava rspetto alle proaltà e eutrale al rscho se è leare. Dostrazoe. S predao cosderazoe, per og ( ), tutte le lottere = (, p ) e la fuzoe φ(p, p 2,, p ) = CE( ) EV( ). Poché le fuzo CE: L X e EV: L X soo, la pra, covessa e, la secoda, leare rspetto alle proaltà, la fuzoe φ(p, p 2,, p ) è covessa ed è, qud, covesso l see Φ(p, p 2,, p ) = {(p ) : φ(p, p 2,, p ) 0}. Appartegoo a questo see tutt vertc del splesso delle proaltà {(p ) : p + = }, poché ess φ(p, p 2,, p ) = 0. Appartegoo, qud, a Φ tutt put del splesso delle proaltà, essedo l see Φ covesso e put del splesso coazo lear covesse de suo vertc. Allora s ha φ(p, p 2,, p ) 0 per og (p ), coè, CE( ) EV( ) 0, che è la codzoe d avversoe al rscho. Aalogaete per la propesoe al rscho, prededo cosderazoe la fuzoe φ(p, p 2,, p ) = EV( ) CE( ), che è covessa rspetto alle proaltà se la fuzoe CE( ) è cocava rspetto ad esse. Se, po, questa fuzoe è leare rspetto alle proaltà, allora è sa covessa che cocava, per cu l agete è, el cotepo, avverso e propeso al rscho, coè, eutrale. La codzoe rchesta dalla Proposzoe 7.6 è suffcete, a o ecessara. Ioltre, o asta che la fuzoe d equvalete certo sa quas-covessa rspetto alle proaltà, ossa, o asta, el tragolo d Marschak-Macha, che le curve d dffereza sao cocave perché v sa avversoe al rscho (e che sao covesse perché v sa propesoe al rscho). Peraltro, se vale la teora dell utltà attesa e v è avversoe al rscho, per cu la fuzoe d vo Neua-Morgester è cocava, allora la fuzoe d equvalete certo è covessa rspetto alle proaltà: fatt, tal caso, s ha CE( ) = u ( p u( )), co u(.) crescete e cocava, per cu u (.) è crescete e covessa. Aalogaete, se v è propesoe al rscho o eutraltà. Defzoe 7.8 (Avversoe coparata al rscho) L agete A è pù avverso al rscho dell agete B se loro due sste d prefereza L, A e L, B deterao CE A ( ) CE B ( ) per og L. Questa defzoe plca, el dagraa d Hrshlefer-Yaar, che le curve d dffereza de due aget passat per uo stesso puto della settrce o s tersecho e che la curva d dffereza dell agete pù avverso al rscho s stu a ord-est rspetto a quella dell agete eo avverso al rscho, coe rsulta evdete dalla Fgura

21 2 * U (*) A U (*) B CEA( *) CEB(*) Fgura 7. Proposzoe 7.7 Se l agete A è pù avverso al rscho dell agete B e loro sste d prefereza L, A e L, B soo rappresetal co la fuzoe d utltà attesa, allora la fuzoe d utltà vo Neua- Morgester u A () è ua trasforazoe cocava della fuzoe d utltà u B (). Esste, coè, ua fuzoe crescete e cocava g: tale che u A () = g(u B ()) per og X, ove X è u tervallo chuso. Dostrazoe. Le fuzo ootoe crescet u A () e u B () soo legate tra loro da ua relazoe u A () = g(u B ()) ootoa crescete: fatt, u B ( ) > u B () plca che > e, qud, ache u A ( ) > u A (), coscché u B > u B plca u A > u A ). Allora, essedo u A (CE A ( )) = U A ( ) = p u A ( ) = p g(u B ( )) e u A (CE B ( )) = g(u B (CE B ( )) = g(u B ( )) = g( p u B ( )), s ha CE A ( ) CE B ( ) per og lottera L se e solo se p g(u B ( )) g( p u B ( )) per og lottera (, p ) se la fuzoe g: è cocava. =, coè, se e solo Fora è stata cosderata l avversoe gloale al rscho, coè, la relazoe CE( ) EV( ) è stata trodotta per og lottera L. S cosder, ora, l avversoe locale al rscho, prededo cosderazoe soltato le lottere pccole, coè, le lottere che hao cosegueze poco dverse tra loro. A questo proposto, s dch co l solo + t la lottera ( + t, p ), ove = (, p ). Defzoe 7.9 U agete è localete avverso al rscho se, per og X e L, v è u t* > 0 tale che CE(+t ) EV(+t ) se t [0, t*]. 2

22 E localete propeso al rscho se CE(+t ) EV(+t ) e eutrale al rscho se CE(+t ) = EV(+t ). Percò, se la fuzoe d equvalete certo è dervale, allora l agete è localete avverso al rscho se d l (EV(+t ) CE(+t )) > 0 t 0 dt e solo se d l (EV(+t ) CE(+t )) 0 t 0 dt per og X e L. Aalogaete (co seg oppost) per la propesoe locale al rscho. Nel dagraa d Hrshlefer-Yaar, etre l avversoe gloale al rscho rchede che la curva d dffereza e la retta d so-valore edo passat per cascu puto della settrce o s tersecho e che l tera curva d dffereza s stu a ord-est rspetto alla retta d so-valore edo, l avversoe locale al rscho rchede questa propretà solo vcaza della settrce. Proposzoe 7.8 Se vale la teora dell utltà attesa, allora l agete è localete avverso al rscho se e solo se la fuzoe vo Neua- Morgester u: X è cocava, propeso al rscho se e solo se è covessa, eutrale al rscho se e solo se è leare. I altr ter, se vale la teora dell utltà attesa, la codzoe è la edesa sa per l avversoe (propesoe, eutraltà) locale che per quella gloale. Dostrazoe. Questa dostrazoe assue che la fuzoe u(), oltre che essere cotua e ootoa crescete, sa ache dervale due volte. Poché la fuzoe u() è ootoa crescete, s ha CE(+t ) EV(+t ) se e solo se u(ce(+t )) u(ev(+t )), coè, se e solo se = p u(+t ) u( = p (+t )) = u(+ t = p ), ossa, se e solo se u(+ t p ) p u(+t ) 0. V è avversoe locale al rscho se questa dsuguaglaza è soddsfatta per t suffceteete pccol. Le dervate pra e secoda della fuzoe ρ(t) = u(+ t p ) p u(+t ) soo ρ (t) = u (+ t p ) p p u (+t ) ρ (t) = u (+ t p ) ( p ) 2 p 2 u (+t ) S ha, percò, ρ(0) = 0, ρ (0) = 0 e ρ (0) = σ 2 ( ) u (), ove σ 2 ( ) = = p ( EV( )) 2 è la varaza della lottera. Allora, è ρ(t) 0 per t suffceteete pccol se ρ (0) > 0 e solo se ρ (0) 0, coè, essedo σ 2 ( ) > 0, se u () < 0 e solo se u () 0. La codzoe u () 0 per og X equvale alla cocavtà della fuzoe u(). Aalogaete, la propesoe locale al rscho rchede ρ (0) 0, coè, u () 0 per og X e, qud, la eutraltà locale rchede u () = 0. L avversoe locale al rscho può essere surata, se vale la teora dell utltà attesa, dalla cocavtà della fuzoe d utltà vo Neua- Morgester u(). Però, la dervata secoda u (), che è ua sura della sua covesstà, dpede da trasforazo lear crescet d u(), che è, 22

23 vece, defta a eo d esse. Ua sura d avversoe al rscho, defta ach essa a eo d ua trasforazoe leare crescete d u(), è l dce d de Fett-Arrow-Pratt (dovuto a de Fett, 952, Pratt, 964, e Arrow, 965). Questa sura d avversoe (assoluta) 4 al rscho è u"( ) r() = u'( ) L dce d de Fett-Arrow-Pratt può essere gustfcato relazoe al preo locale al rscho. Essedo l preo al rscho (per la Defzoe 7.7), RP( ) = EV( ) CE( ), l preo locale al rscho è 5 RP(+t ) = EV(+t ) CE(+t ), ove EV(+t ) = + t EV( ) e CE(+t ) = u ( dervale rspetto a t, s ha p u(+t )). Allora, assuedo che questa fuzoe sa RP( + t ) = t p u ( = p u(+t )) p 2 RP( + t ) u (+t ) e, dervado ua secoda volta, = u ( 2 t p u(+t )) ( p u (+t )) 2 u ( p u(+t )) p 2 u"( CE( + t )) u (+t ) = ( 3 p ( u' ( CE( + t )) u (+t )) 2 2 RP + ( t ) t 2 2 p u (+t ). Percò, RP() = 0, u'( CE( + t )) t= 0 u = "( ) u'( ) (( p ) 2 p 2 ) = u"( ) u'( ) RP( + t ) t t= 0 = 0 e σ 2 ( ). Qud, prosstà dell esto certo, l preo al rscho rsulta essere proporzoale all dce d de Fett-Arrow-Pratt. Tuttava, l fatto che solo la dervata secoda rspetto a t d RP( + t ) possa essere dversa da zero per t = 0, etre la dervata pra è sepre uguale a zero, deota che la teora dell utltà attesa aette solo u avversoe locale al rscho del secodo orde, etre quella del pro orde è ulla. Teore dverse dall utltà attesa (ad esepo, l utltà attesa dpedete dalla poszoe degl est, o rak depedet epected utlty, che sarà presetata el Paragrafo 7.6) aettoo ache l avversoe al rscho del pro orde e possoo, percò, descrvere prefereze che deotao avverso al rscho pù rlevat (coe quella presete el paradosso d Allas) dell avversoe al rscho aessa dalla teora dell utltà attesa e surata dall dce d de Fett-Arrow-Pratt. Ioltre, l avversoe locale al rscho è legata, el dagraa d Hrshlefer-Yaar, coe s è gà vsto, alla curvatura della curva d dffereza el puto cu questa terseca la settrce, coè, al valore della dervata secoda 2 ( ) =, ove la fuzoe 2 ( ) è defta plctaete dalla codzoe CE(, 2 ) =. Allora, se vale 4 u"( ) Esste ache ua sura d avversoe relatva al rscho r r () =, che è u'( ) rlevate relazoe alle lottere oltplcatve, coè, del tpo = (α R, p ). 5 Nel corso d questa esposzoe s pegao le relazo che deterao le dervate pra e secoda d ua fuzoe versa ase a quelle della fuzoe dretta. Sa y = u(), per cu = u (y) e = u (u()). Allora, dervado questa dettà rspetto a, s ottee = u (u()) u (), coè, u (y) = /u (), e, dervado ua secoda volta, 0 = u (u())(u ()) 2 + u (u()) u (), coè, u (y) = u (y) u ()/(u ()) 2 = u ()/(u ()) 3. Nel testo s ha CE(+t ) al posto d e = p u(+t ) al posto d y. 23

24 la teora dell utltà attesa, s ha p u( ) + ( p) u( 2 ( )) = u(). Dervado questa relazoe rspetto a, s ha p u ( ) + ( p) u ( 2 ( )) 2 ( ) = 0 e, dervado ua secoda volta, p u ( ) + ( p) u ( 2 ( )) ( 2 ( )) 2 + ( p) u ( 2 ( )) 2 ( )) = 0. Rsulta, p u"( ) percò, 2 () =, 2 () = p/( p) e 2 () =, ossa, la curvatura delle 2 ( p) u'( ) curve d dffereza lugo la settrce è proporzoale all dce d de Fett-Arrow-Pratt. 7.5 Lottere pù o eo rschose e l avversoe alla crescta del rscho No esste u uco crtero co cu ordare le lottere a secoda della loro rschostà, ossa, u uca defzoe d rschostà. Nella pra parte d questo paragrafo vee cosderato l crtero d ordaeto parzale, secodo cu ua lottera = (, p ) è o eo rschosa della lottera * = (, p *) se la lottera può essere otteuta dalla lottera * co ua espasoe che o ut l valore edo (coè, co ea preservg spreads trodott da Rothschld e Stgltz, 970) su tre est, ossa, se EV( ) = EV( *), = * per og =,, e p = p * per og =,, trae che per tre est a > > c, per qual s ha p a p a *, p p * e p c p c *. Ad esepo, = (, p ; 2, p 2 ; 3, p 3 ) è o eo rschosa d * = (, p *; 2, p 2 *; 3, p 3 *) se > 2 > 3 (oppure < 2 < 3 ), p 2 p 2 *, p = p * (p 2 * p 2 ) e p 3 = p 3 * + 2 (p 2 * p 2 ). 3 3 Defzoe 7.0 U agete è avverso alla crescta del rscho (secodo ea preservg spreads) se CE( ) CE( *) per og coppa d lottere, * L co o eo rschosa (secodo ea preservg spreads) d *, è propeso alla crescta del rscho se CE( ) CE( *) ed è eutrale alla crescta del rscho se CE( ) = CE( *). Proposzoe 7.9 U agete, se è avverso alla crescta del rscho (secodo ea preservg spreads), allora è ache avverso al rscho. Coè, se è CE( ) CE( *) per og coppa d lottere, * L co o eo rschosa (secodo ea preservg spreads) d *, allora è ache CE( ) EV( ) per og L. Correlatvaete, se è propeso (oppure, eutrale) alla crescta del rscho, allora è ache propeso (eutrale) al rscho. Dostrazoe. S dostra, dappra, che og lottera = (, p ), ove > + per og =,,, può geerare la lottera (EV( ), ) attraverso u successoe fta d lottere 0,, 2,, t, ove 0 = e t = (EV( ), ), tal che h è o pù rschosa d h per og h =,, t. A questo proposto, s geer la lottera h dalla lottera h sosttuedo questa a suo due est estre (l pù alto e l pù asso) l loro valore edo e assegado a questo esto la soa delle proaltà degl est sosttut: s ha, allora, 24