Soluzione di sistemi lineari. Esistenza delle soluzioni. Quante soluzioni? 1 se singolare 0 o infinite se non singolare

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1 L (sistei) L (sistei) Soluzioe di sistei lieri Esistez delle soluzioi etodi per l soluzioe di sistei di equzioi lieri: Eliizioe di vriili etodo di Crer trice ivers Tipi di sistei: Sistei deteriti Sistei ideteriti Sistei sovrdeteriti Qute soluzioi? se sigolre 0 o ifiite se o sigolre 6-0 y -4 y -4 y y Aio u soluzioe: itercett i y 4, Nessu soluzioe: Rette prllele! L (sistei) L (sistei) Prio siste: Secodo siste: 4

2 L (sistei) 5 Rppresetzioe coe trici Siste di equzioi i icogite (le ) O L (sistei) 6 Per esepio: I for tricile: A * co A L (sistei) I geerle: A * A è u per è u per è u per O Vettori colo (iuscol) L (sistei) 8 Esistez delle soluzioi Nel siste di equzioi i icogite (A qudrt) A Se il deterite di A è ullo o c è u soluzioe uic! Possoo esserci 0 o ifiite soluzioi, secod del vlore di

3 L (sistei) L (sistei) etodi di soluzioe etodo di Guss i tl etodo di Guss Soio u equzioe (oltiplict per u coefficiete) d u ltr Eliiio u vriile ll volt. trice Ivers Deterite di Crer Si us l opertore divisioe siistr: A\. Per Esepio, >> A [6, -0;, -4]; [; 5]; >> A\ L (sistei) L (sistei) Questo etodo fuzio sicurete se io equzioi ed icogite (A qudrt) e det(a) diverso d 0. Se det(a) 0 o se A o è qudrt doio usre ltri etodi (che se i certi csi l divisioe siistr fuzio uguete). etodo di Crer L i-esi soluzioe del siste A soo ricvili co l espressioe: Dove Ai è l trice otteut dll trice A sostituedo l i-esi colo co il vettore No è coodo per i coputer ci dice perché det(a) deve essere o ullo!

4 L (sistei) L (sistei) etodo dell trice ivers Sistei ideteriti Il codo iv(a) clcol l ivers di A Per risolvere 9y 5-4y >>A [,9;,-4]; >> [5;] >> iv(a)* Se A è sigolre iv(a) ci restituisce u essggio di errore!!! I u siste ideterito ci soo eo equzioi che icogite (i geerle) I prtic o io stz iforzioi per risolverlo Possoo esistere ifiite soluzioi, i cui u o più icogite dipedoo dlle ltre Co questi sistei Crer e l trice ivers o fuzioo. 4 L (sistei) L (sistei) 5 U esepio le Aio il siste: y 6 Possio trovre i fuzioe di y: 6 y, iete di più Aio icogite ed u sol equzioe. Il etodo dell divisioe siistr troverà u soluzioe co u vriile ull: >>A [, ]; 6; >>solutio A\ solutio 0 Cioè 0, y 6 Il siste può essere ideterito che co A, qudrt, se det(a)0. Ache i questo cso potreo vere ifiite soluzioi (oppure essu) I questo cso Crer o fuzio, e l divisioe siistr ci d u essggio di errore (A è sigolre) Possio usre l pseudo-ivers: I tl: piv(a) * Ci forisce l soluzioe di or ii.

5 L (sistei) L (sistei) L fuzioe rref Nei sistei ideteriti possio dre u soluzioe espriedo lcue icogite i fuzioe delle ltre. Possio sepre ridurre u siste i quest for (reduced row echelo for, trice righe ridotte) Il codo rref([a ]) forisce i uscit l trice [C d] che idetific il siste ridotto C d Sistei sovrdeteriti u siste si dice sovrdeterito qudo ci soo più equzioi che icogite (i geerle) I questi csi Crer e l ivers o fuzioo perché A o è qudrt I lcui csi può esistere u soluzioe, otteiile co l divisioe siistr A \ 8 L (sistei) L (sistei) 9 I ltri csi o esiste u soluzioe estt Allor l divisioe siistr forisce l soluzioe el seso dei iii qudrti Però tl o ci dice se è estt o dei iii qudrti. Per scoprirlo doio verificre il rgo di A e il rgo di [A ], se soo uguli l soluzioe è estt, ltrieti è stt trovt l soluzioe i iii qudrti. 0 U esepio: Doio trovre l equzioe dell rett y che pssi per i segueti puti: (0,) (5,6) (0,) Le icogite soo i coefficieti (, ) e il siste è: 0 Le trici soo: 5 6 A [0 ;5 ;0 ] 0 [ ; 6 ; ]

6 L (sistei) L (sistei) >> A [0 ;5 ;0 ] ; [ ; 6 ; ]; >> rk(a) s >> rk([a ]) s >> A\ Ecco i coefficieti: s >> A*s s L ostr soluzioe: L (sistei) L (sistei) Perché iii qudrti? U codizioe più geerle Possio dire che il siste A co equzioi ed icogite h soluzioe estt se e solo se rk (A) rk ( [ A ] ) Se quest è soddisftt e: Rk(A) Rk(A)< l soluzioe è uic ci soo ifiite soluzioi e io rk(a) icogite che dipedoo dlle ltre 4

7 L (sistei) L (sistei) 5 Oppure iii qudrti! 6 % Script file lieq. % Solves the set A, give A d. % Check the rks of A d [A ]. if rk(a) rk([a ]) % The rks re equl. Size_A size(a); % Does the rk of A equl the uer of % ukows? if rk(a) size_a() % Yes. Rk of A equls the uer of % ukows. disp( There is uique solutio, which is: ) A\ % Solve usig left divisio. L (sistei) else % Rk of A does ot equl the uer % of ukows. disp( There is ifiite uer of solutios. ) disp( The ugeted tri of the reduced syste is: ) rref([a ]) % Copute the ugeted % tri. ed else % The rks of A d [A ] re ot equl. disp( There re o solutios. ) ed