I NUMERI PERFETTI DISPARI. (proposta di dimostrazione della loro inesistenza)

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1 I NUMERI PERFETTI DISPARI (proposta di dimostrazione della loro inesistenza) Gruppo B. Riemann Michele Nardelli, Francesco Di Noto Abstract In this paper we show the inexistence of odd perfect numbers Riassunto In questo articolo proponiamo una nostra dimostrazione dell inesistenza dei numeri perfetti dispari, in base al principio dell abbondanza o della difettività di tutti i numeri naturali, inquadrabili nelle forme 6k + a, con a da 0 a 5 (ricordando che le forme aritmetiche dei numeri primi (tranne il 2 e il 3 iniziali) sono 6k -1 e 6k +1, che forniscono numeri difettivi, mentre la forma 6k fornisce soltanto numeri abbondanti, avendo essi molti fattori e quindi molti divisori propri

2 In un precedente lavoro sui numeri lievemente eccedenti (Rif.1) abbiamo visto come i numeri lievemente eccedenti in pratica non esistono: il problema dei numeri perfetti dispari può essere esaminato in questo contesto, tramite le forme numeriche 6k + a con a da 0 a 5. Riportiamo, da questo lavoro, alcune tabelle sull argomento, e poi aggiungeremo la tabella riguardanti i numeri multipli di 3 come possibile alternativa (poichè le forme 6k + 1 forniscono tutti numeri dispari difettivi, come i numeri primi, loro prodotti e loro potenze) e dimostrando come anche l unica alternativa che fornisce numeri dispari sono i numeri multipli dispari di 3, di forma 6k -3, anche questi difettivi e quindi non in grado di fornire numeri perfetti, con abbondanza σ(n)/n =1, come per i soli numeri pari, e di forma 6k -2 (tranne il numero perfetto 6 iniziale). Ne consegue infine che i numeri perfetti possibili sono soltanto quelli pari che già conosciamo, e quindi non esistono, ne possono esistere, numeri perfetti dispari (infatti non ne sono mai stai trovati, proprio per i motivi matematici connessi con l abbondanza e la difettività, che mostreremo in questo lavoro). 2

3 Da Rif. 1: E che i tutti i numeri perfetti, in rosso (tranne il solo 6 iniziale sono di forma 6k -2 TABELLA 2 k 6k-4 6k-3 6k-2 6k-1 6k 6k Una nostra scoperta è la forma 6k-2 di tutti i numeri perfetti ad eccezione del numero perfetto iniziale 6, poiché di forma 6k, per k = 1, poiché 6*1 = 6. 3

4 Infatti: 6*5-2 = 28 6*83-2 = E così via. La nostra dimostrazione è la seguente: Poiché essendo il prodotto (2^n*2^(n+1 ) di una potenza dispari di 2 per una potenza pari di 2, ed essendo le potenze pari di forma 6k-2 (per esempio 4=2^2 =6-2, 16 =2^4=18-2 ecc.) e le potenze dispari di forma 6k +2, per es. 8 =2^3 =6 + 2, 32=2^5= , abbiamo che (6k+2) * (6k -2) = 36k*k -26k +26k -2 = 6k - 2, essendo la somma dei tre termini precedenti un multiplo k di 6) Esempio, per 28 = 4*7 = (6-2)* (6+2-1) = = 28 Tabella 6k + a, con evidenziati in rosso i numeri abbondanti 4

5 TABELLA 4 k 6k-4 6k-3 6k-2 6k-1 6k 6k Come si vede, tutti i numeri abbondanti sono multipli di 6 (avendo più fattori di tutti gli altri), e in più qualche numero di forma 6k -4 (per es. 20 e 80) e 6k -2 (per es. 40 e 70) e il primo numero abbondante dispari (995, di forma 6k-1, numero lievemente difettivo ) 5

6 Numero difettivo Da Wikipedia, l'enciclopedia libera. Un numero difettivo è un numero naturale maggiore della somma dei suoi divisori propri. Per esempio, 10 è un numero difettivo perché è superiore alla somma dei suoi divisori: (1+2+5)=8. Tutti i numeri primi e le loro potenze sono numeri difettivi. Tutti i divisori propri dei numeri difettivi e dei numeri perfetti sono a loro volta numeri difettivi. Sequenza OESIS A A Deficient numbers: numbers n such that sigma(n) < 2n. (Formerly M0514) 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 21, 22, 23, 25, 26, 27, 29, 31, 32, 33, 34, 35, 37, 38, 39, 41, 43, 44, 45, 46, 47, 49, 50, 51, 52, 53, 55, 57, 58, 59, 61, 62, 63, 64, 65, 67, 68, 69, 71, 73, 74, 75, 76, 77, 79, 81, 82, 83, 85, 86 (list; graph; refs; listen; history; text; internal format) 78 Individuati in rosso nella solita tabella, tranne l 1 iniziale: 6

7 TABELLA 6 k 6k-4 6k-3 6k-2 6k-1 6k 6k E qui veniamo al dunque. Come vediamo nella suddetta Tabella 6, in tutte le colonne (6k-3, 6k-1 e 6k +1) che contengono i numeri dispari, tutti i numeri dispari sono difettivi, e quindi non possono avere abbondanza 1 (rapporto s(n) /n) richiesta dai numeri perfetti). Tale possibilità è riservata soltanto ai numeri pari di forma 6k - 2, vedi TABELLA 2, poiché sono i numeri con la 7

8 difettività minore rispetto a tutti gli altri numeri pari, prossima a 1, e quindi raramente può toccare il valore 1, generando così un numero perfetto pari. Da un altro lavoro precedente, sulla funzione s(n) (Rif. 2), riportiamo altre tabelle utili al nostro scopo: Tabella 7 n 6k Abbondanza =s(n)/n 6 6*1 12/6 = *2 28/12 = 2, *3 39/18 = 2, *4 60/24 = 2,5 30 6*5 72/30= 2,4 36 6*6 91/36 = 2, *7 96/42 = 2, *8 124/48 = 2, *9 120/54 = 2, *10 168/60 = 2,8 Come si nota facilmente l abbondanza è massima per i valori di n = 6k TABELLA 8 per la funzione s(n) per i numeri dispari di forma 6k -3 (multipli dispari di 3; i multipli pari di 3 sono di forma 6k e quindi con abbondanza massima come da precedente tabella) 8

9 Numeri n di forma 6k -3 Divisori Somma divisori propri σ(n) Rapporto s(n)/n = abbondanza 3 1 1/3 0, ,3 4/9 0, ,3,5 9/15 0, ,3,7 11/21 0, ,3,9 13/27 0, ,3,11 15/33 0, ,3,13 17/39 0, ,3,5,9,15 33/45 0, ,3,17 21/51 0, ,3,19 23/57 0, ,3,7,21 32/63 0,50 32 Abbondanza <1 (difettività) Come si vede, l abbondanza è sempre molto bassa, quasi sempre minore di 0,5 (raramente superiore, come per n = 45, che ha due fattori primi 3 e 5, 9

10 il che fa aumentare leggermente il numero dei divisori e quindi anche la loro somma, e quindi anche l abbondanza, e cosi pure per n = 63, con fattori primi 3 e 7). Questo mostra come l abbondanza di n = 6k-3 è sempre lontana da 1, e quindi non può mai generare numeri perfetti dispari e multipli dispari di 3. Lo stesso dicasi per i numeri primi, i loro prodotti e le loro potenze, tutti numeri di forma 6k -1 e 6k +1, tutti numeri difettivi e quindi con abbondanza sempre minore di 1, e quindi non possono dare neanche loro numeri perfetti dispari. Rimane l alternativa dei numeri pari, come infatti avviene, ed esclusivamente per i numeri pari di forma 6k-2 (tranne che per il 6 iniziale, di forma 6*1=6, unica eccezione)), anche come da nostra dimostrazione accennata in questo lavoro. I numeri pari di forma 6k e 6k +2 sono quindi esclusi dalla formazione di numeri perfetti. Ecco perché i numeri perfetti dispari non esistono, e ne possono esistere. C.V.D. Vediamo ora, per verifica, i numeri di forma 6k -2 e la loro abbondanza, prossima a 1 10

11 TABELLA 9 6k 6k-2 divisori s(n) Somma divisori s(n)/n = Abbondanza ,2 3 3/4 0, ,2,5 8 8/10 0, ,2,4, /16 0, ,2, /22 0, ,2,4,7, / = numero perfetto ,2, /34 0,58 Come previsto, l abbondanza per i numeri 6k -2 è più grande e più prossima a 1 rispetto agli altri numeri pari di forma 6k - 4 o 6k +2, ed il valore 1 si verifica solo quando il numero perfetto è anche di forma canonica 2 n (2 n+1-1) Conclusioni Come abbiamo visto, escludendo i numeri dispari (di forma 6k-1, 6k +1 e 6k -3, tutti più o meno tutti difettivi, specialmente questi ultimi) ed i numeri pari di forma 6k, abbondanti, e 6k - 4 e 6k +2 (difettivi), 11

12 rimangono soltanto numeri pari di forma 6k -2 (vedi TABELLA 2) a poter originare i sia pur rarissimi numeri perfetti pari. Di conseguenza, i numeri perfetti dispari non esistono ne possono esistere, ed il relativo problema matematico può considerarsi ora risolto del tutto in senso negativo. Riferimenti 1) Sui numeri lievemente eccedenti come problema matematico ancora irrisolto (con nota sui numeri lievemente difettivi, ecc. e le forme 6k + a con a da 0 a 5) Gruppo B.Riemann Francesco Di Noto, Michele Nardelli 2) La funzione σ(n), sul sito LA FUNZIONE σ(n), LE FORME 6k + 1 E LA RH1 Gruppo Eratostene 12