Corso di ordinamento- Sessione suppletiva - a.s Soluzione di De Rosa Nicola

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1 Coso di odinamno- Sssion suppliva - a.s. 7-8 Soluzion di D Rosa Nicola ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO Tma di: MATEMATICA a. s. 7-8 PROBLEMA Dao un quadan AOB di cchio, di cno O aggio, si considi sull aco AB un puno P.. Si spima in funzion di an (con BOˆ P ) l aa dl quadilao OMPN, ssndo M d N i puni mdi di aggi OA OB.. Si sudi la funzion f() ì onua si acci il suo gafico γ, indipndnmn dai ii posi dal poblma gomico.. Si dica p qual valo di l aa dl quadilao assum valo massimo.. Si calcoli l aa dlla pa finia di piano compsa a la cuva γ l'ass. PROBLEMA Si considi la funzion: y ( ). Ta l su pimiiv si individui qulla il cui diagamma γ passa p il puno P (,).. Si appsni gaficamn la cuva γ nll invallo si dimosi ch ssa è simmica ispo alla a.. Si scivano l quazioni dlla a angni alla cuva ni suoi du puni A B di asciss si dmini il loo puno d inszion C.. Si calcoli l aa dlla pa finia di piano compsa a la cuva l du sudd angni.

2 Coso di odinamno- Sssion suppliva - a.s. 7-8 Soluzion di D Rosa Nicola QUESTIONARIO ) Si dmini la disanza dll du paalll: y 6 y 5 ) Un apzio angolo è cicio ad una smiciconfnza di aggio in modo ch la bas maggio connga il diamo. Si calcoli in gadi pimi (sssagsimali) l ampizza dll angolo acuo dl apzio, affinché il solido da sso gnao in una oazion compla aono alla bas maggio abbia volum minimo. ) Si dminino l quazioni dgli aoi dlla cuva: ) Si calcoli il i dlla funzion: quando nd a. f 5) Si calcoli il valo mdio dlla funzion f log( ) nll invallo. 6) Si schi il solido di una sfa con un piano, in modo ch il cicolo massimo sia mdio popozional fa l supfici appiana dll calo nll quali iman divisa la sfa. 7) La gion finia di piano diaa dalla cuva di quazion f ( ) dall ass nll invallo è la bas di un solido S l cui szioni sono u sagoni golai. Si calcoli il volum di S. 8) Si sabilisca p quali valoi dl paamo al k sis una piamid iangola gola al ch k sia il appoo fa il suo apoma lo spigolo di bas. 9) Si sciva l quazion dlla angn al diagamma dlla funzion: nl puno P di ascissa. f ( ) ) Dao un sisma di ifimno casiano (oogonal monomico) in un piano, si dica ch a appsna l insim di puni P (, ), onuo al vaia di ni ali.

3 Coso di odinamno- Sssion suppliva - a.s. 7-8 Soluzion di D Rosa Nicola PROBLEMA Dao un quadan AOB di cchio, di cno O aggio, si considi sull aco AB un puno P. Puno Si spima in funzion di M d N i puni mdi di aggi OA OB. Considiamo la figua soosan: an (con BOˆ P ) l aa dl quadilao OMPN, ssndo L aa dl quadilao OMPN è la somma dll a di iangolo OMP ONP: ( OMNP) S( OMP) S( ONP) con S( OMP), S( ONP) S Ma, poso PH OP PK OP p cui S( OMNP) BOˆ P con < < 9, si ha: ( HOP ˆ ) ( 9 HOP ˆ ) ( 9 ) Inol,. OM PK ON PH. an an p cui f () con an an il i gomico >. Puno Si sudi la funzion f() ì onua si acci il suo gafico γ, indipndnmn dai ii posi dal poblma gomico.

4 Coso di odinamno- Sssion suppliva - a.s. 7-8 Soluzion di D Rosa Nicola Sudiamo la funzion f () Dominio: R Inszioni ass asciss: f () ± Inszioni ass odina: f ( ) Evnuali simmi: la funzion non è né pai né dispai Posiivià: f () Aoi vicali: non c n sono Aoi oizzonali: ± p cui la a y è aoo oizzonal Cscnza dcscnza: f '() p cui la funzion è samn cscn in (, ) (, ) (, ) si annulla in m(, ) d in in cui psna un massimo laivo (, ), samn dcscn in in cui psna un minimo laivo M. Concavià convssià: f ''() p cui la funzion psna flssi all asciss,,. Il gafico è di sguio psnao:

5 Coso di odinamno- Sssion suppliva - a.s. 7-8 Soluzion di D Rosa Nicola Puno Si dica p qual valo di l aa dl quadilao assum valo massimo. Il valo ch massimizza l aa dl quadilao è cioè an ( ) acan. 8 Puno Si calcoli l aa dlla pa finia di piano compsa a la cuva γ l'ass. da cui L aa da calcola è in gigio nlla figua sgun: 5

6 Coso di odinamno- Sssion suppliva - a.s. 7-8 Soluzion di D Rosa Nicola 6 () [ ] [ ] [ ] ln 8 8 ln acan acan ln acan ln acan ln acan ln d d Aa

7 Coso di odinamno- Sssion suppliva - a.s. 7-8 Soluzion di D Rosa Nicola PROBLEMA Si considi la funzion: y ( ) Puno Ta l su pimiiv si individui qulla il cui diagamma γ passa p il puno P (,). Calcoliamo la pimiiva dlla funzion y ( ) ; F [ ] d k Imponndo il passaggio p P (,) si icava: k k cui coispond F [ ] ( ). Puno Si appsni gaficamn la cuva γ nll invallo si dimosi ch ssa è simmica ispo alla a. Sudiamo la funzion F ( ) in [, ] Dominio: [, ] Inszioni ass asciss: F ( ), Inszioni ass odina: F( ) Evnuali simmi: la funzion è pai Aoi vicali: non c n sono Aoi oizzonali d obliqui: non c n sono Posiivià: F ( ) Cscnza dcscnza: ' ( ) F. p cui la Oa > < < mn ( ) > < < < < funzion è samn cscn in,,, samn dcscn in,, si annulla in in cui ha un massimo laivo M,, in 7

8 Coso di odinamno- Sssion suppliva - a.s. 7-8 Soluzion di D Rosa Nicola in cui ha un massimo laivo M, d in in cui ha un massimo laivo M, in cui ha un minimo laivo m (,) Concavià convssià: '' psna flssi all asciss ali ch ± 8 ac, ac. 8 8 ac, ac 8 8 Il gafico è di sguio psnao: F pano la funzion, in Già dal gafico si vidnzia la simmia dlla cuva ispo alla a. La dimosazion analiica di ciò si ha sooponndo la funzion ( ) X Y y Puno F alla asfomazion da cui Y ( X )( ( X ) ) ( X )( ( X ) ) c.v.d. Si scivano l quazioni dlla a angni alla cuva ni suoi du puni A B di asciss 8

9 Coso di odinamno- Sssion suppliva - a.s. 7-8 Soluzion di D Rosa Nicola si dmini il loo puno d inszion C. L quazion dlla a angn in, m F' [ ( ) ] da cui la a angn in, è Analogamn l quazion dlla a angn in, m F' [ ( ) ] da cui la a angn in, è è è y m con y. y m con y. L du angni si inconano nl puno C, Puno Si calcoli l aa dlla pa finia di piano compsa a la cuva l du sudd angni. L aa è appsnaa in gigio nlla figua soosan: val: 9

10 Coso di odinamno- Sssion suppliva - a.s. 7-8 Soluzion di D Rosa Nicola [ ] [ ] [ ] 8 d d d ABC S Aa

11 Coso di odinamno- Sssion suppliva - a.s. 7-8 Soluzion di D Rosa Nicola QUESTIONARIO Qusio Si dmini la disanza dll du paalll: y 6 y 5 Considiamo un gnico puno dlla pima a poi calcoliamo la disanza di sso dalla sconda. Un puno appann alla pima a è (,) 6 5 d. 6 la sua disanza da 6 y 5 è Qusio Un apzio angolo è cicio ad una smiciconfnza di aggio in modo ch la bas maggio connga il diamo. Si calcoli in gadi pimi (sssagsimali) l ampizza dll angolo acuo dl apzio, affinché il solido da sso gnao in una oazion compla aono alla bas maggio abbia volum minimo. Considiamo la figua soosan: Poniamo CBˆ F con < <. OE Si ha: CF, FB, OB, p cui an CD AO OF AO OB FB Il solido gnao da una oazion compla aono alla bas maggio non è alo ch un cilindo di alzza CD aggio di bas CF cui si sovappon un cono di alzza FB aggio di bas CF. Quindi.

12 Coso di odinamno- Sssion suppliva - a.s. 7-8 Soluzion di D Rosa Nicola FB CD FB CD V V V Cono Cilindo Calcoliamo la divaa dlla funzion volum: V ' La funzion volum, considando il i gomico < <, isula ss samn cscn in, ac, samn dcscn in,ac si annulla in ''' 8 ac in cui il volum assum valo minimo ac V Qusio Si dminino l quazioni dgli aoi dlla cuva: f La funzion f è dfinia coninua su uo l ass al, p cui sicuamn non ammà aoi vicali. Vdiamo s sisono aoi oizzonali: [ ] [ ] azionalizzando si ha

13 Coso di odinamno- Sssion suppliva - a.s. 7-8 Soluzion di D Rosa Nicola in cui si è sfuao ch p val, p cui la a y è aoo oizzonal dso. Vdiamo s sisono aoi obliqui: ssi avanno quazion q m y. [ ] [ ] q m in cui si è sfuao ch p val, p cui la a y è aoo obliquo iso. Vdiamo s sis anch un aoo obliquo dso: [ ] q m P cui in conclusion sis un aoo oizzonal dso di quazion y d un aoo obliquo iso di quazion y com il gafico dlla funzion mosa:

14 Coso di odinamno- Sssion suppliva - a.s. 7-8 Soluzion di D Rosa Nicola Qusio Si calcoli il i dlla funzion: quando nd a. Possiamo sgui du sad: applica o mno il oma di D L Hopial. L mosmo namb: Uso di d l Hopial Snza d l Hopial [ ] La funzion di cui calcola il i è P cui [( ) ] ( )( ) ( ) Qusio 5 Si calcoli il valo mdio dlla funzion f log( ) Il valo mdio di una funzion nll invallo. f in un invallo chiuso iao [a,b] è VM f d. b a b a

15 Coso di odinamno- Sssion suppliva - a.s. 7-8 Soluzion di D Rosa Nicola 5 In al caso si ha d V M log d applicando l ingazion p pai oviamo: [ ] [ ] [ ] [ ] log log log log d d V M Qusio 6 Si schi il solido di una sfa con un piano, in modo ch il cicolo massimo sia mdio popozional fa l supfici appiana dll calo nll quali iman divisa la sfa. Il cicolo massimo di una sfa di aggio ha supfici S C, mn l supfici dll du calo appiana di alzz h h sono ispivamn h S h S C C,. Va quindi imposaa l quazion [ ] h h da cui ± ± 8, h h h ch sono ispivamn l du alzz dll du calo. In conclusion la sfa va divisa in modo ch l du calo abbiano alzz, h h. Qusio 7 La gion finia di piano diaa dalla cuva di quazion f dall ass nll invallo è la bas di un solido S l cui szioni sono u sagoni golai. Si calcoli il volum di S. Un sagono gola è composo da 6 iangoli quilai di lao l, p cui la sua aa saà 6 l l A d il suo volum d d V. Applicando l ingazion p pai si ha:

16 Coso di odinamno- Sssion suppliva - a.s. 7-8 Soluzion di D Rosa Nicola 6 [ ] [ ] [ ] [ ] { } [ ] [ ] { } d d d V Qusio 8 Si sabilisca p quali valoi dl paamo al k sis una piamid iangola gola al ch k sia il appoo fa il suo apoma lo spigolo di bas. Considiamo la figua soosan: Com è facil spimna, quando V coincid con H, pid dll'alzza dlla piamid, qusa dgna nl iangolo di bas d, ssndo H il baicno dl iangolo di bas, la lunghzza dll'apoma MV non può ss infio alla lunghzza di MH, la cui misua è un zo dlla lunghzza dll'alzza dl iangolo ssso. Quindi il appoo k MV / BC dv ss maggio di. Qusio 9 Si sciva l quazion dlla angn al diagamma dlla funzion: f nl puno P di ascissa. Il puno P è, la angn in sso ha gnica quazion m y. La

17 Coso di odinamno- Sssion suppliva - a.s. 7-8 Soluzion di D Rosa Nicola funzion f ( ) f ( ) ( ) ln può ss iscia com ( ) ln( ) ' f la sua divaa è, pano ' m f da cui la angn y. Qusio Dao un sisma di ifimno casiano (oogonal monomico) in un piano, si dica ch a appsna l insim di puni P (, ) L insim di puni P (, ), onuo al vaia di ni ali., viso ch l odinaa è ugual all ascissa ch R, non è alo ch la smia di quazion y con. 7