A.A Università degli Studi di Firenze SCUOLA DI SPECIALIZZAZIONE PER L INSEGNAMENTO SECONDARIO DELLA TOSCANA. Sede di Firenze.

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1 A.A Università degli Studi di Firenze SCUOLA DI SPECIALIZZAZIONE PER L INSEGNAMENTO SECONDARIO DELLA TOSCANA Sede di Firenze VIII ciclo II anno AREA DISCIPLINARE MATEMATICA UD REALE: TEORIA DELLE DERIVATE Indirizzo : Specializzando: Fisico Matematico Informatico Francesco Fontani Tutor di aula: Prof. Silla Maria Campion 1

2 MODULO: DERIVATE E STUDI DI FUNZIONE Teoria delle derivate Teoremi del calcolo differenziale Massimi, minimi e flessi Lo studio delle funzioni COLLOCAZIONE classe 5 F, Liceo Scientifico Russell-Newton di Scandicci. L unità didattica è stata affrontata nella seconda parte del primo quadrimestre e in parte all'inizio del secondo, a cavallo tra Gennaio e Febbraio, dopo l unità didattica sulle funzioni continue. PREREQUISITI Rette nel piano cartesiano e significato geometrico di coefficiente angolare; Calcolo algebrico; Rappresentazione grafica delle funzioni fondamentali nel piano cartesiano; Limiti di funzioni e teoremi sui limiti; Funzioni continue e punti di discontinuità; Concetti fondamentali di cinematica del punto materiale. OBIETTIVI COGNITIVI (SAPERE) Conoscere la definizione di derivata di una funzione in un punto; Conoscere e saper classificare i punti di non derivabilità; Conoscere il legame tra continuità e derivabilità di una funzione; Conoscere le derivate delle funzioni fondamentali; Conoscere i teoremi sul calcolo delle derivate; 2

3 Conoscere la definizione di velocità e accelerazione come derivata prima e seconda della legge oraria. OBIETTIVI OPERATIVI (SAPER FARE) Saper applicare le regole di derivazione per calcolare derivate di funzioni qualsiasi; Saper capire l andamento qualitativo della derivata di una funzione dal suo grafico; Saper riconoscere i punti di non derivabilità; Saper trovare l equazione della retta tangente ad una funzione in un punto utilizzando la derivata; Saper usare la derivata per risolvere problemi di fisica; METODOLOGIA L unità didattica è stata svolta prevalentemente mediante lezioni frontali alla lavagna e lezioni interattive in cui o fatto svolgere ai ragazzi esempi ed esercizi. Ho usato il libro di testo come traccia, ance se spesso sono andato a braccio e non sempre o seguito l'ordine degli argomenti presentati, e per questo o ciesto ai ragazzi di prendere appunti sul loro quaderno. Ogni volta ce o spiegato un concetto nuovo, un nuovo teorema o una nuova regola, alla lezione frontale o fatto seguire esempi e/o esercizi alla lavagna. Sono stati assegnati numerosi esercizi per casa analogi a quelli fatti in classe. Gli esercizi ce anno creato maggiori problemi sono sempre stati corretti all inizio della lezione successiva dai ragazzi stessi con il mio aiuto. STRUMENTI Lavagna, gessi colorati Libro di testo 3

4 TEMPI E CONTENUTI LEZIONI DURATA CONTENUTO Lezione 1 1 ora Definizione di derivata Lezione 2 1 ora Derivata destra e sinistra. Equazione della retta tangente Lezione 3 1 ora Punti di non derivabilità Lezione 4 1 ora Relazione tra continuità e derivabilità Lezione 5 2 ore Derivate di alcune funzioni fondamentali Lezione 6 1 ora Derivata di somma e prodotto di funzioni derivabili Lezione 7 1 ora Derivata del quoziente Lezione 8 Lezione 9 1 ora 1 ora Derivata della funzione composta Esercizi sulla derivata di una funzione composta e verifice orali Lezione 10 1 ora Derivata della funzione inversa Lezione 11 1 ora Significato fisico di derivata Lezione 12 2 ore Verifica sommativa Lezione 13 1 ora Correzione della verifica formativa e recupero TOT: 15 ore 4

5 VERIFICHE È stata fatta una verifica sommativa di due ore al termine dell'unità didattica. Sono ance state fatte verifice orali in itinere. RECUPERO Per tutti, sono stati usati 50 minuti per correggere alla lavagna la verifica sommativa. Verrà poi organizzato un recupero pomeridiano solo per gli studenti ce anno evidenziato particolari difficoltà. PRIMA LEZIONE: DEFINIZIONE DI DERIVATA INTRODUZIONE Per introdurre l argomento, o cominciato la lezione mettendo in evidenza ce le derivate saranno uno strumento fondamentale soprattutto per disegnare il grafico delle funzioni. Ho fatto notare ce, con gli strumenti ce avevano al momento (vale a dire studio del dominio e del segno, intersezione con gli assi e asintoti), si riesce a capire in ce parte del piano cartesiano sta la funzione, come si comporta vicino agli assi e agli estremi del campo di esistenza, ma in generale non si sa determinare il suo andamento locale. Ho ance aggiunto qualce brevissimo cenno storico, dicendo ce il calcolo delle derivate risale al 600, quando Newton e Leibniz, indipendentemente l uno dall altro, ne gettarono le basi teorice partendo dal problema di trovare l equazione della retta tangente ad una curva qualsiasi. BREVE RICHIAMO SUL COEFFICIENTE ANGOLARE Ance se questo è stato assunto come prerequisito, per essere sicuro di poter partire senza problemi o fatto un breve ripasso sul significato del coefficiente angolare di una retta. In particolare, o riciamato ai ragazzi ce una retta di coefficiente angolare m e passante per il punto P 0 (x 0,y 0 ), a equazione: y y 0 =m x x 0 5

6 da cui segue immediatamente ce, per qualsiasi punto P di coordinate (x,y), il coefficiente angolare m rappresenta il rapporto tra la variazione della y, (y y 0 ) e la variazione della x, (x x 0 ), nel passare dal punto P 0 al punto P. In particolare, se prendiamo su rette diverse la stessa variazione della x, per semplicità prendiamo Δx = 1, la variazione della y sarà sempre y=m 1=m. Pertanto, le rette con m maggiore variano più rapidamente la loro ordinata per una stessa variazione dell'ascissa. Ho poi ciesto ai ragazzi vari esempi di rette in cui m è positivo, negativo o nullo, e o ance ricordato il significato goniometrico del coefficiente angolare: m rappresenta la tangente goniometrica dell angolo ce la retta forma con l asse delle x. 6

7 Definire un coefficiente angolare per una funzione qualsiasi non è possibile, percé una funzione in generale non a sempre la stessa variazione della y per una uguale variazione della x: in generale, il rapporto tra la variazione della y e della x su una funzione qualsiasi non dipende solo dalla distanza tra le ascisse, ma dipende ance dalla particolare coppia di punti ce considero. IL RAPPORTO INCREMENTALE Sia data una funzione f(x) definita su R o su un intervallo aperto di R. Siano x 0 e x = x 0 + due punti del dominio della funzione, ce supponiamo definita ance in tutti i punti interni all intervallo da essi individuato (vedi Fig. 1). La differenza x=x x 0 = x 0 x 0 = si dice incremento della variabile indipendente x al passaggio dal valore x 0 a x = x 0 +. Poicé le due ascisse fanno parte del dominio della funzione, ad esse corrispondono due punti sulla funzione P e Q di coordinate: P(x 0, f(x 0 )) e Q(x 0 +, f(x 0 + )). Allora possiamo definire la differenza y= f x 0 f x 0 si dice incremento della variabile dipendente y o della funzione f relativo all incremento nel punto x 0. Definizione Il rapporto tra l incremento della variabile dipendente, f(x 0 + ) f(x 0 ), e l incremento della variabile indipendente si dice rapporto incrementale della funzione f relativo al punto x 0 e all incremento. ( x + ) f ( x ) y f 0 0 = x 7

8 Figura 1: Il rapporto incrementale Tracciando la retta s passante per i punti P e Q, come quella rappresentata in Fig. 1, risulta evidente ce cosa rappresenta geometricamente il rapporto incrementale: Fissato x 0, il rapporto incrementale della funzione f relativo all incremento rappresenta il coefficiente angolare della retta passante per i punti P(x 0, f(x 0 )) e Q(x 0 +, f(x 0 +)). 8

9 LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE Nel grafico di Fig. 2 disegniamo adesso ance la retta t tangente al grafico della funzione nel punto P. Figura 2: La derivata di una funzione Parentesi A questo punto, o ciesto ai ragazzi se sapevano la definizione di retta tangente ad una curva, ed o subito evidenziato un pò di confusione. Molti mi anno detto ce è una retta ce a in comune con la curva un solo punto. Perciò è stato necessario ance definire il significato di tangente ad una curva come la posizione limite della retta secante ce passa per due punti della curva, quando i due punti tendono a coincidere. 9

10 Dalla Fig. 2, si osserva ce per valori di sempre più piccoli, sia Δx ce Δy tendono a zero, e il punto Q si avvicina sempre più al punto P. Al limite per 0, Q tende a coincidere con P, e la retta secante s tende a sovrapporsi alla tangente t. Ma allora, al limite per 0, il coefficiente angolare della retta secante s, ce avevamo genericamente indicato con α in Fig. 1, tende a diventare quello della tangente t, indicato con β in Fig. 2. Definizione Una funzione si dice derivabile nel punto x 0 se esiste ed è finito il seguente limite: ( x + ) f ( x ) f 0 0 m = lim. 0 Il numero m rappresenta geometricamente il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione nel punto x 0. Il valore di tale limite viene ciamato derivata della funzione f nel punto x 0 e viene indicata con uno dei seguenti simboli: f ' ( x 0 ) (notazione di Lagrange) D[ f x ] xo (notazione di Caucy) df dx xo (notazione di Leibnitz) ḟ x 0 (notazione di Newton) Noi utilizzeremo soltanto le prime due, in particolare la prima. Dalla definizione, segue immediatamente ce, affincé una funzione y=f(x) sia derivabile in un punto x 0, devono essere verificate queste 3 condizioni: 1. la funzione sia definita in un intorno del punto x 0 ; 2. per 0, deve esistere da destra e da sinistra il limite del rapporto incrementale, ed essere un numero finito; 3. tali limiti destro e sinistro devono essere uguali. 10

11 Ho terminato la lezione con un esempio molto semplice di calcolo del limite del rapporto incrementale: o preso in considerazione la funzione f(x) = x 3 + 2, ed o calcolato la sua derivata nel punto x 0 = 1. lim >0 f 1 f 1 =lim >0 [ ] 3 =lim > =lim >0 Esercizi per casa: Dopo aver determinato il rapporto incrementale, calcolare il valore della derivata delle seguenti funzioni nel punto x 0 = y = 3x 2 + 2x 12 x 3 2. y = 2 1 x SECONDA LEZIONE: FUNZIONE DERIVATA, DERIVATA DESTRA E SINISTRA E EQUAZIONE DELLA RETTA TANGENTE FUNZIONE DERIVATA La definizione di derivata è relativa ad un punto di ascissa x 0. Tuttavia, si può calcolare la derivata di una funzione ance in un punto qualsiasi, di ascissa x. In questo modo, il limite del rapporto incrementale, ce per un certo x 0 è un numero, diventa una funzione di x. Tale funzione viene detta funzione derivata, e si indica con y f ' ( x) ' =. La lezione è proseguita con la correzione alla lavagna degli esercizi per casa, rivolti al calcolo del limite del rapporto incrementale. DERIVATA DESTRA E SINISTRA 11

12 Sono rispettivamente il limite destro e sinistro del rapporto incrementale. Dalla definizione di derivata si a quindi ce una funzione è derivabile in x 0 se la derivata destra e sinistra sono finite ed uguali tra loro. Ma questo fatto discende direttamente dalla definizione di limite, perciò sono andato abbastanza velocemente su questo punto. I simboli ce si usano per indicare la derivata destra e sinistra sono: f ' = derivata destra; f ' = derivata sinistra L'EQUAZIONE DELLA RETTA TANGENTE Poicé o notato ce i ragazzi avevano ciaro il significato geometrico di derivata, o pensato di introdurre alcuni esercizi sull'equazione della retta tangente al grafico di una funzione in un punto di ascissa data. Per questo o ciamato alla lavagna un alunno e gli o ciesto di pensare a come trovare l'equazione della retta tangente al grafico della funzione y=x 2 nei punti di ascissa x 0 =0 e x 0 =1, senza ricorrere ai metodi ce avevano usato in terza. Con il mio aiuto, il ragazzo è arrivato alla soluzione dell'esercizio. Dopo di ce, visto l'esito un pò incerto, o ritenuto opportuno spiegare il procedimento per trovare l'equazione della retta tangente a una funzione in un punto generico: consideriamo una funzione f(x) e un punto di ascissa x 0 appartenente al suo dominio, e scriviamo la forma generica della retta ce passa per il punto x 0 ; y 0 come y y 0 =m x x 0. Se x 0 è dato, ci mancano m e y 0. y 0 si ottiene semplicemente considerando ce dovrà essere y 0 = f x 0 percé, essendo x 0 ; y 0 il punto di tangenza, dal punto passa ance la funzione. Per quanto riguarda m, la definizione di derivata implica ce m= f ' x 0. 12

13 Quindi, riepilogando, per ricavare l'equazione della retta tangente ad una funzione, nota l'equazione della funzione e l'ascissa del punto di tangenza, basta imporre le due condizioni: m= f ' x 0 y 0 = f x 0 Esercizi per casa Date le seguenti funzioni, trova la funzione derivata, e poi calcola l'equazione della retta tangente al grafico della funzione nel punto P di ascissa x 0 indicata a fianco: 1. y= x 2 x 1 x 0 =0 2. y=x 2 1 x 0 =1 3. y=log 2x 1 x 0 =1 TERZA LEZIONE: PUNTI DI NON DERIVABILITÀ Ho cominciato la lezione riciamando i concetti fatti nelle scorse lezioni, e correggendo gli esercizi per casa. Dopo di ce, vedendo ce i ragazzi avevano già ciaro il concetto di derivata, o affrontato il problema dei punti di non derivabilità, partendo da esempi. 13

14 Esempio 1: punti angolosi Calcoliamo la derivata destra e sinistra della funzione y= x in x 0 =0. Il rapporto incrementale è f 0 f 0 =. Il limite di tale rapporto è 1 per 0 da destra, mentre è -1 per 0 da sinistra. Pertanto, nel punto x 0 =0 la funzione non è derivabile percé non è soddisfatta l'ultima delle 3 condizioni enunciate nella prima lezione (cioè i limiti destro e sinistro del rapporto incrementale non sono uguali). Questo significa, geometricamente, ce non è possibile trovare nessuna retta tangente al grafico in quel punto. E questo risulta evidente dal grafico della funzione nel punto x 0 =0: I punti come questo, in cui la funzione non è derivabile percé le derivate destra e sinistra esistono finite ma sono diverse, si dicono punti angolosi. y= x Esempio 2: flessi a tangente verticale Consideriamo la funzione y = 3 x e studiamo la sua derivabilità in x 0 = 0. Calcoliamo il rapporto incrementale nel punto in questione: 14

15 y f = x ( 0 + ) f ( 0) = 3 = Passando al limite otteniamo: lim 1 ± = + = 3 2 La funzione non è derivabile in zero percé la sua derivata nel punto è = quindi manca la seconda condizione (vale lo stesso risultato se il limite risulta ); tuttavia, la tangente al grafico in (0,0) esiste ed è una retta parallela all asse y, anzi in questo caso coincide esattamente con l asse y perciò la sua equazione è x = 0. Ance se per le rette parallele all asse y non è definito il coefficiente angolare, si può dire in maniera un pò impropria ce tali rette anno coefficiente angolare infinito. In casi come questo in cui la derivata destra e sinistra sono uguali ma infinite, se x 0 è un punto interno all intervallo in cui la funzione è definita, diciamo ce il punto (x 0, f(x 0 )) è un punto di flesso a tangente verticale y=x^(1/3) Esempio 3: cuspidi 15

16 Come ultimo esempio di punto di non derivabilità, consideriamo la funzione y= 3 x 2 2 e calcoliamo il rapporto incrementale nel punto x 0 =2: f 2 f 2 3 = 2 da cui risulta ce il limite destro è e quello sinistro è. La funzione non è derivabile in x0 =2, e mancano sia il secondo ce il terzo requisito per la derivabilità, cioè i due limiti destro e sinistro del rapporto incrementale sono diversi e infiniti. Punti di questo tipo si dicono cuspidi. y=((x 2)^2)^(1/3) QUARTA LEZIONE: RELAZIONE TRA CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Tutti gli esempi della lezione precedente anno mostrato punti di non derivabilità in cui tuttavia la funzione è continua. Questo risultato porta a riflettere sul legame tra continuità e derivabilità delle funzioni. 16

17 Teorema Se una funzione f(x) è derivabile in un punto x 0, in quel punto la funzione è continua. Dim. Dobbiamo dimostrare ce, se esiste finito lim > 0 f x 0 f x 0 = f ' x 0, allora lim f x 0 = f x 0 > 0. Scriviamo f(x 0 + ) in questo modo: f x 0 = f x 0 f x f x 0 0, con diverso da 0; calcoliamo il limite per 0 di entrambi i membri della relazione precedente: lim >0 f x 0 =lim >0 f x 0 lim >0 f x 0 f x 0. Dei due limiti a secondo membro, il primo tende a f(x 0 ), mentre il secondo, sfruttando il teorema sul prodotto dei limiti e l'ipotesi fatta, tende a f ' x 0 0=0. Ora, poicé il limite della somma è la somma dei limiti, il limite a secondo membro tende a f x 0 0= f x 0. Ma allora, si a ce lim >0 f x 0 = f x 0, cioè la fuzione è continua in x 0. Osservazione: Il risultato inverso non vale, ovvero non è affatto detto ce se una funzione è continua in un punto allora nel punto è derivabile: tutti gli esempi fatti nella lezione precedente mostrano funzioni non derivabili in punti in cui sono continue. Ci sono dei casi in cui si è portati a pensare ce il teorema non valga, cioè funzioni con punti di discontinuità in cui si può erroneamente pensare ce la funzione sia derivabile. Mi sembra il caso di far riflettere i ragazzi su questo per evitare problemi in futuro. Esempio 17

18 Consideriamo la funzione y= x 1 ; x 0 x ; x 0 e discutiamo se x 0=0 è un punto di derivabilità. Dato ce y nel punto x 0 =0 a un salto, è discontinua e quindi, per il teorema appena enunciato, non derivabile. Tuttavia, si nota ce le due leggi ce definiscono la funzione sono entrambe lineari, e il coefficiente angolare di entrambe le rette è 1 (vedi grafico). Allora si può pensare ce la derivata destra e sinistra siano finite ed uguali, cioè ce la funzione sia derivabile in x 0 =0 sebbene nel punto non sia continua! Ovviamente, si vede bene dal grafico ce nel punto non è possibile definire un'unica tangente. Nel ragionamento ce stiamo facendo, il 'baco' sta nel dire ce la derivata sinistra è 1, come quella destra. Infatti, se appliciamo la definizione di derivata come limite del rapporto incrementale, da destra otteniamo: lim >0+ f 0 f 0 = 1 1 =1 18

19 mentre da sinistra si a: lim >0 f 0 f 0 = 1 = Questo è un esempio ce a ciarito molto bene il significato di derivata a tutti. Esercizi per casa: Date le seguenti funzioni, dimostra ce non sono derivabili nel punto di ascissa x 0 indicata a fianco, indicando il tipo di non derivabilità: 1. y= x 3 1 ; x 0 =3 2. y= 1 1 x 2 ; x 0 =1 3. y= 3 x 2 ; x 0 =0 19

20 QUINTA LEZIONE: DERIVATE DI ALCUNE FUNZIONI FONDAMENTALI Prima parte della lezione: correzione degli esercizi per casa, verifice orali e ripasso. Seconda parte: a questo punto, o ritenuto ce i ragazzi fossero pronti per introdurre le funzioni derivate delle funzioni fondamentali (ce ciameremo semplicemente derivate), ce permettono di calcolare la derivata in ogni punto senza dover ricorrere ogni volta al limite del rapporto incrementale. Alcune sono state dimostrate, altre sono state date senza dimostrazione. 1. Derivata di una funzione costante La derivata di una costante vale zero. ( x ) = k f '( x ) 0 f = Infatti: f ' k k ( x ) = lim = lim0 = Questo risultato a un interpretazione geometrica molto semplice: il grafico della funzione y = k è una retta parallela all asse x. La tangente a questo grafico coincide evidentemente in ogni suo punto con questa retta e quindi forma con l asse x un angolo la cui tangente y ' è uguale a zero. 2. Derivata della funzione identica La derivata della funzione identica y=x vale 1. ( x ) = x f '( x ) 1 f = Infatti: f ' ( x ) = lim 0 ( x + ) x = lim1 = 1. 0 Ance questo risultato ammette una semplice interpretazione geometrica. Il grafico della funzione y = x è la bisettrice del I e III quadrante. La tangente a questo grafico è la bisettrice stessa, ce a coefficiente angolare Derivate delle funzioni sen(x) e cos(x) 20

21 Cominciamo con la derivata del seno: f x =sin x f ' x =cos x Infatti: lim >0 sin x sin x =lim >0 sin x cos cos x sin sin x =.. cos 1 sin..=sin x lim cos x lim. >0 >0 Il secondo termine tende a cos(x), ricordando il limite notevole: lim >0 sin 1. Operiamo ora sul primo termine: moltiplicando numeratore e denominatore per cos 1 e sfruttando il limite notevole precedente, si trova: lim >0 cos 1 =lim >0 cos 2 1 cos 1 =lim >0 sin 2 cos 1 =lim >0 perciò la derivata della funzione sin(x) è cos(x). sin sin cos 1 La dimostrazione della derivata di cos(x) viene data per esercizio. 4. Derivata della funzione potenza La derivata della potenza ad esponente reale è uguale al prodotto dell esponente per la base elevata all esponente diminuito di 1. f α α 1 ( x ) = x, α R f ' ( x ) = αx Questo risultato viene dato senza dimostrazione. In compenso, vale la pena fare molti esempi: Esempi ( x ) = x f '( x ) = 5x 5x f = f f 1 x ( x ) = f ( x ) = x f '( x ) = 1x = x = 2 1 x ( x ) = f ( x ) = x f '( x ) = 4x = 4x = x 4 x / f ( x ) = x f ( x ) = x f '( x ) 2 1 = x 2 1 = x = 1/ 2 x 1 = 2 x 21

22 5. Derivata della funzione esponenziale e logaritmica x La derivata della funzione esponenziale a è data dalla seguente espressione: D[a x ]=a x log a mentre la derivata della funzione logaritmica log a x è data da: D[log a x ]= 1 x log a e. Se ne deduce ce le derivate di y=e x e y=ln x, cioè quando a=e, sono date rispettivamente da: D[e x ]=e x D[ln x ]= 1 x Ance questi risultati sono stati dati senza dimostrazione, ma o ciesto ai ragazzi di studiare da soli la dimostrazione della derivata della funzione esponeziale come compito a casa. SESTA LEZIONE: DERIVATA DI SOMMA E PRODOTTO DI FUNZIONI In questa lezione o presentato i teoremi fondamentali sul calcolo delle derivate. Ance in questo caso, alcuni teoremi vengono dimostrati mentre altri vengono dati senza dimostrazione o lasciati per esercizio. Teorema La derivata della somma di due o più funzioni derivabili esiste ed è uguale alla somma delle derivate di queste funzioni. ( x ) = f ( x ) + g( x ) ' ( x ) = f '( x ) g' ( x ) + Dim. ' x =lim >0 [ f x g x ] [ f x g x ] =lim >0 [ f x f x ] [ g x g x ] =....= f ' x g ' x poicè il limite della somma è la somma dei limiti. Possiamo generalizzare al caso della somma di più funzioni. 22

23 Esempi 1. D[3 2 x x 2 ]=0 2 x ln 2 2x 2. D[cos x 3 x 2 ]= sin x x 23

24 Teorema la derivata del prodotto di due funzioni è uguale al prodotto della derivata della prima funzione per la seconda non derivata più la derivata della seconda funzione per la prima non derivata. ( x ) = f ( x ) g( x ) ' ( x ) = f '( x ) g( x ) + f ( x ) g' ( x ) Dim. Si a: [ f x g x ] f x g x D[ x ]=lim >0 da cui, aggiungendo e sottraendo f x g x, si ottiene: lim >0 lim >0 f x g x f x g x f x g x f x g x =.. g x g x f x lim g x >0 f x f x f x g ' x g x f ' x Come per la somma, si può generalizzare al caso di più di due funzioni: si procede analogamente derivando di volta in volta una funzione diversa e mantenendo fisse le altre. Osservazione 1: derivata del prodotto di f(x) per una costante ciaramente nel caso particolare in cui f(x) è una costante, f x =k, applicando il teorema precedente si ottiene semplicemente: D[k f x ]=k f ' x Osservazione 2: derivata della potenza n-esima di f(x) Come ulteriore applicazione della regola di derivazione del prodotto, si osserva ce si a, per n N: D[ f x ] n =D[ f x f x f x... f x ]= f ' x f x... f x f x f ' x f x... f x... 24

25 ... f x f x... f ' x =n[ f x ] n 1 f ' x. La formula può essere generalizzata a un esponente qualsiasi. Esempi 1. D[ x sin x ]=1 sin x x cos x 2. D[e x log 2 x ]=e x log 2 x e x 1 x log 2 e 3. D[ x sin x log 3 x ]=1 sin x log 3 x x cos x log 3 x x sin x 1 x log 3 e Esercizi per casa: Calcolare la derivata delle seguenti funzioni: 1. 3 x log 4 x 2. 25x 2 1 x 7 3. x cos x sin x 3 x 4. x 3 e x 2 x 5. 1 x 2 ln x cos x x 6. sin 2 x ln x SETTIMA LEZIONE: DERIVATA DEL QUOZIENTE Nella prima parte della della lezione abbiamo corretto gli esercizi per casa. Nella seconda parte o spiegato la derivata del quoziente di due funzioni: Teorema La derivata del quoziente di due funzioni è una frazione in cui a denominatore abbiamo il denominatore della funzione di partenza al quadrato e a numeratore la differenza tra la derivata del numeratore per il denominatore non derivato e il numeratore non derivato per la derivata del denominatore. ( x ) f = g ( x ) ( x ) ' ( x ) f ' = ( x ) g( x ) f ( x ) g' ( x ) [ g( x )] 2 25

26 In particolare, se f ( x ) 1 ( x ) 1 = g ( x ) ' ( x ) = = abbiamo la derivata del reciproco: g' ( x ) [ g( x )] 2 Non viene data la dimostrazione. Esempi: 1 cos x sin x 1. D[ ]= sin x cos x sin x cos x 2 2. D[ x 2x ln x ln x ]= x x2 1 ln 2 x Come applicazione della regola della derivata del quoziente, calcoliamo le derivate delle funzioni goniometrice tg(x) e ctg(x): sin x cos 2 x sin 2 x D[tan x ]=D[ ]= = cos x cos 2 x 1 cos 2 x 1 tan 2 x D[ctg x ]=D[ cos x 1 2 sin x ]= sin x cos 2 x = sin 2 x sin 2 x 1 ctg 2 x Esercizi per casa: Calcolare le derivate delle seguenti funzioni ln x x 2 x 2 tan x sin x xsin x e x 26

27 Oltre a queste 3, o ciesto ai ragazzi di farne altre 3 a piacere tra gli esercizi proposti dal libro di testo. OTTAVA LEZIONE: DERIVATA DELLA FUNZIONE COMPOSTA Nella prima parte è stata fatta la correzione degli esercizi per casa e o interrogato. Nella seconda parte o spiegato la regola di derivazione di una funzione composta: FUNZIONI COMPOSTE o riciamato brevemente il concetto di funzione composta considerando un esempio: la funzione y=e x2 1 è l'esponenziale del polinomio x 2 1, ce a sua volta è una funzione di x. Se poniamo z x =x 2 1, si a ce y=e z x, cioè la y è funzione di un'altra funzione. In generale, data una funzione z=g(x) nella variabile x, ce a come dominio l'insieme A e codominio l'insieme B, e y=f(z) una funzione della variabile z ce a B come dominio e C come codominio, la funzione y=f(g(x)) si dice funzione composta e f(z) e g(x) si dicono componenti della y. Teorema Se la funzione g è derivabile nel punto x, e la funzione f è derivabile nel punto z=g(x), allora la funzione composta y=f(g(x)) è derivabile in x e la sua derivata è il prodotto delle derivate di f rispetto a z e di g rispetto a x: D[ f g x ]= f ' z g' x con z=g x La dimostrazione viene omessa. La parte più difficile di questo argomento è sicuramente riconoscere le funzioni componenti. Per questo o ritenuto di dover spendere molto tempo su esempi ed esercizi. 27

28 Esempi 1. D[ln x 2 2 ] g x = x 2 2=z, f z =ln z : D[ln x 2 2 ]= 1 z 2x= 2x x D[cos x 3 ], g x =x 3, f z =cos z, D[cos x 3 ]= sin x 3 3x 2 Il teorema precedente può essere esteso al caso di funzioni composte da più di due componenti. Esempio 1: D[sin 2 x 2 1 ] : g x =x 2 1, z =sin z, z=g x, f t =t 2, t=sin z D[sin 2 x 2 1 ]=2sin x 2 1 cos x 2 1 2x Esercizi per casa: Ho ciesto ai ragazzi di fare 6 derivate di funzioni composte, scegliendole dagli esercizi del libro di testo. NONA LEZIONE: ESERCIZI SULLA DERIVATA DELLA FUNZIONE COMPOSTA E VERIFICHE ORALI DECIMA LEZIONE: DERIVATA DI F(X) G(X) E DELLA FUNZIONE INVERSA Dopo aver corretto gli esercizi per casa, o spiegato il metodo per derivare la funzione f(x) g(x) utilizzando la regola di derivazione della funzione composta introdotta nella lezione precedente: Siano f(x) e g(x) due funzioni derivabili, e sia f(x)>0. Voglio derivare y=f(x) g(x) membri: : per prima cosa, calcoliamo i logaritmi dei due ln y =ln[ f x g x ]=g x ln[ f x ] ora calcolo la derivata di entrambi i membri, applicando la regola della derivata della funzione composta: 28

29 1 f ' x y=g' x ln[ f x ] g x y' f x ma poicè y=f(x) g(x) : y'=y [g' x ln[ f x ] g x f ' x f x ] y'= f x g x [g ' x ln[ f x ] g x f ' x f x ] DERIVATA DELLA FUNZIONE INVERSA D'accordo con la tutor, abbiamo deciso di non dedicare troppo tempo alla derivata della funzione inversa, ma solo di riciamare il significato di funzione inversa e dare, senza dimostrazione, le derivate delle funzioni inverse delle funzioni goniometrice fondamentali. Teorema Data la funzione y=f(x) definita e invertibile nell'intervallo I, x=f -1 (y) è la sua funzione inversa. Se f(x) è ancde derivabile, e con derivata diversa da 0 in ogni punto di I, allora ance f -1 (y) è derivabile e vale la relazione: D[ f 1 y ]= 1 f ' x, x= f 1 y. Come applicazione di questo teorema, si possono calcolare le derivate delle funzioni goniometrice inverse, di cui mi sono limitato a dare la formula: D[arcsin x ]= 1 1 x 2 D[arccos x ]= 1 1 x 2 D [arctan x ]= 1 1 x 2 D [arccot x ]= 1 1 x 2 Esempi 29

30 D[arcsin x ]= 2x= 1 1 x 2 1 x 2 2x D[ln arctan x ]= 1 arctan x 1 1 x 2 D[ arcsin x ]= arcsin x 1 x 2 Esercizi per casa: D[2arcsin 1 x 2 ] D[ arccos x arcsin x ] D[arccot x2 1 x 2 1 ] come esercizio per casa o ance ciesto di ricavare, sfruttando il teorema fatto, la derivata dell'arcoseno e dell'arcotangente. 30

31 UNDICESIMA LEZIONE: SIGNIFICATO FISICO DI DERIVATA Per motivi di tempo, abbiamo concordato con la tutor di non perdere molto tempo sulle applicazioni delle derivate alle altre discipline, in particolare alla fisica (con mio grosso dispiacere!). Perciò mi sono limitato ad introdurre l'applicazione del concetto di derivata ad un moto unidimensionale: in particolare o definito la velocità e l'accelerazione. Per prima cosa, o definito le derivate di ordine superiore semplicemente dicendo ce: la derivata di ordine n di una funzione f(x) è la funzione ce si ottiene applicando n volte l'operazione di derivazione a f(x). Velocità e accelerazione In fisica, lo spazio percorso da un corpo durante un moto unidimensinale è esprimibile come una funzione della variabile 'tempo'. Questa funzione viene ciamata legge oraria, si indica con s t, e rappresenta lo spazio percorso, s, in funzione della variabile indipendente t. Ad esempio, nel moto uniforme la legge oraria è ( t ) = s vt s 0 + con s 0 spazio al tempo t = 0 e v velocità costante. Nel moto uniformemente accelerato invece la legge oraria è 1 s ( t ) = s + v t 0 0 at con s 0 e v 0 spazio e velocità al tempo t = 0 e a accelerazione costante. 31

32 Nel grafico seguente è riportata la parabola di equazione s=1 1 2 gt 2, con g=9.8m/s. Questa parabola rappresenta, per s>0 e t>0, la legge oraria del moto uniformemente accelerato nel caso in cui s 0 =1,v 0 =0 e a= g (ce può rappresentare, ad esempio, la caduta di un grave inizialmente fermo da un'altezza di 1 metro). Il rapporto incrementale di questa funzione relativo ad un intervallo di tempo generico è: s t, cioè è il rapporto tra lo spazio percorso e il tempo t impiegato a percorrerlo. Ma questa è ance la definizione di velocità media relativa all'intervallo di tempo Δt: v m s s = = t ( t + t ) s( t ) t Passando al limite del rapporto incrementale al tendere a zero dell incremento t, questo limite, se esiste, rappresenta la velocità istantanea ce possiede il punto materiale all istante t. v s lim ( t + t ) s( t ) t ( t ) = = s'. i t 0 Quindi la velocità istantanea è la derivata della funzione ce rappresenta la legge oraria calcolata per l istante ce si sta considerando. Esempio Due corpi si muovono seguendo le leggi orarie s 1 =2t 2 t e s 2 = 1 2 t 2 9t. Calcolare in quale istante il primo a velocità doppia del secondo. Da quanto detto, le velocità dei due corpi in un istante generico saranno: 32

33 v 1 =4 t 1 e v 2 = t 9. Nell'istante ce cerciamo, v 1 è il doppio di v 2, quindi 4t 1= 2t 18, da cui si trova ce t=19/6 secondi. In maniera analoga, se una funzione v=v t rappresenta la legge con cui varia la velocità al variare del tempo t, la grandezza accelerazione media è definita dal rapporto a m v = fra la variazione della velocità e il tempo nel quale t è avvenuta tale variazione, cioè l accelerazione media è il rapporto incrementale della funzione v(t). Passando al limite del rapporto incrementale, al tendere a zero dell incremento t, questo limite, se esiste, rappresenta l accelerazione istantanea ce possiede il punto materiale all istante t: a v lim ( t + t ) v( t ) t ( t ) = = v'. i t 0 Poicé, da quanto visto precedentemente, ( t ) s' ( t ) ( t ) v' ( t ) s'' ( t ) a = =. v =, possiamo dedurre ce L accelerazione istantanea è quindi la derivata prima della funzione velocità rispetto al tempo, ma ance la derivata seconda dello spazio rispetto al tempo. Esempio Data la legge oraria ( t ) 4t Abbiamo: s '( t ) = 4 e ''( t ) 0 s =, calcolare l accelerazione all istante t = 4 s. s =, per cui v i = 4 m / s e 2 a i = 0 m / s. L accelerazione risulta nulla, infatti la legge assegnata è quella di un moto uniforme (legge oraria lineare, velocità costante, accelerazione nulla). Esempio Consideriamo adesso la legge oraria ( ) 2 s t = 5t + 2t e calcoliamo l accelerazione all istante t = 2 s. Si a: s '( t ) 5 + 4t = e ''( t ) 4 s =, per cui v i = 13 m / s e 2 a i = 4 m / s. 33

34 L accelerazione risulta costantemente uguale a 2 4 m /s ; la legge del moto assegnata è infatti quella di un moto uniformemente accelerato. 3 Infine esaminiamo la legge oraria s( t ) 3t 2t + 4 = e calcoliamo l accelerazione all istante t = 2 s : s' ( t ) 9t 2 2 = e s ''( t ) = 18t ; per cui v i s' ( 2) = 34 m / s = e i 2 ( 2) 36 m / s a = s'' =. In questo caso il moto non a un accelerazione costante ma variabile. DODICESIMA LEZIONE: VERIFICA SOMMATIVA Obiettivi da verificare: 1. Conoscere la definizione di derivata come limite del rapporto incrementale; 2. Conoscere i vari punti di non derivabilità; 3. Saper applicare le regole di derivazione; 4. Saper trovare l'equazione della retta tangente a una funzione in un punto di ascissa data; La prova è composta da 4 esercizi, ognuno dei quali mirato a verificare, nell'ordine, gli obiettivi indicati sopra: Testo della verifica Esercizio 1: Calcolare, con il limite del rapporto incrementale, la derivata della funzione f(x) nel punto x 0 indicato a fianco: f x =ln x 3 x 0 =0 Esercizio 2: Calcolare, con il limite del rapporto incrementale, la derivata destra e sinistra delle seguenti funzioni nel punto x 0 indicato a fianco. Dire se la funzione è derivabile nel punto e, se non lo è, dire di ce tipo di non derivabilità si tratta: 34

35 a) f x =x 2 x x 0 =0 b) f x = 3 x 3 2 x 0 =3 Esercizio 3: Calcolare, usando le regole di derivazione, le derivate di 6 delle seguenti funzioni: a. x 2 x b. 25 x 2 1 e 2 x c. x 2 log 2 x 2x d. e x 3 x cos x e. sin 2 x f. ln x 3 g. ln 3x2 1 x. 2 tan 2 x 3 1 Esercizio 4: Data la funzione y=k x 2 k 1 x k 3, scrivi l'equazione della retta tangente al suo grafico nel punto di ascissa x=3, e determina k in modo ce passi per il punto (1; 2). 35

36 Tabella di valutazione Esercizio Punteggio fino alla scrittura corretta del limite del rapporto incrementale; calcolo corretto del limite. 2 a. 2 b fino al calcolo corretto della derivata destra e sinistra; identificazione corretta del tipo di non derivabilità. Idem a 2 a. 3 1 per ogni derivata calcolata correttamente scrittura corretta dell'equazione della retta tangente 1 2 determinazione corretta di k 36

37 Osservazioni sulla verifica Il punteggio totale della verifica è 14, ce o normalizzato a 7 partendo da un voto massimo di 9 a un voto minimo di 2. Per quelli ce avessero calcolato correttamente più di 6 delle 8 derivate ricieste dall'esercizio 3, avevo previsto un voto massimo di 10, ma nessuno ci è riuscito. I ragazzi presenti erano 22. Ci sono state 11 sufficienze, 10 insufficienze, di cui 3 gravi (voto inferiore a 4.5) e 1 compito consegnato in bianco. Di seguito descrivo, esercizio per esercizio, le maggiori difficoltà incontrate dai ragazzi: Nell'esercizio 1 quasi tutti anno scritto correttamente il limite del rapporto incrementale, ma diversi poi anno sbagliato il calcolo del limite. Questo è forse dovuto al fatto ce i ragazzi non si erano ripassati i limiti notevoli, assunti come prerequisito; Nell'esercizio 2, molti anno portato a termine correttamente il calcolo della derivata destra e sinistra, ma alcuni anno confuso la derivata destra con la sinistra percé anno scritto in maniera sbagliata il valore assoluto. Diversi anno ance scritto in maniera imprecisa il tipo di discontinuità: due persone, dopo aver scritto correttamente il valore della derivata destra e della derivata sinistra in x 0, anno scritto frasi del tipo siccome i limiti sono diversi, i punti sono angolosi (???). Nell'esercizio 3 le derivate ce anno dato maggiori problemi sono quelli con i logaritmi e le potenze, ce anno evidenziato ce i ragazzi anno difficoltà ad applicare le proprietà delle potenze e dei logaritmi. L'esercizio 4 è stato eseguito correttamente da molti. Gli errori sono soprattutto banali errori di calcolo algebrico. 37

38 Bibliografia: L. Lamberti, L. Mereu, A. Nanni, 'Matematica tre', ETAS libri M. Bergamini, A. Trifone, G. Barozzi, 'Moduli blu di matematica. Modulo V+W: Derivate e studi di funzione + integrali', Zanicelli N.Dodero, P.Baroncini, R. Manfredini, Elementi di matematica, edizione per i licei scientifici a indirizzo sperimentale, Volume 3, Gisetti e Corvi Editori. 38