Consideriamo una forza di tipo elastico che segue la legge di Hooke: F x = kx, (1)

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1 1 L Oscillatore armonico L oscillatore armonico è un interessante modello fisico che permette lo studio di fondamentali grandezze meccaniche sia da un punto di vista teorico che sperimentale. Le condizioni di validità del modello sono facilmente realizzabili sperimentalmente e le leggi a cui è soggetto si prestano a semplici verifiche di laboratorio. Innumerevoli sono i sistemi fisici (macroscopici e microscopici) la cui dinamica segue le leggi dell oscillatore armonico. Una massa sospesa ad una molla o ad un filo nel campo di gravità permette lo studio di due semplici esempi di sistemi oscillanti. Il pendolo semplice in regime di piccole oscillazioni viene descritto dall equazione dell oscillatore armonico valida per forze di tipo elastico (legge di Hooke). Il pendolo composto poi è un conveniente sistema che permette di passare dalla meccanica del punto materiale a quella dei corpi rigidi. Si possono utilizzare per lo studio delle piccole oscillazioni del sistema due modelli di pendoli reversibili; il primo a coltelli variabili e massa fissa ed il secondo a coltelli fissi e masse mobili (i pendoli di Kater). La descrizione dei due sistemi è la stessa e richiede l introduzione delle grandezze meccaniche quali il momento di inerzia, il momento della quantità di moto e il centro di massa. La determinazione sperimentale di g viene però ricondotta alla misura di solo due grandezze equivalenti alla lunghezza e al periodo di un pendolo semplice. 2 Oscillatore armonico libero Consideriamo una forza di tipo elastico che segue la legge di Hooke: F x = kx, (1) dove x è la coordinata dell estremo della molla. Le molle metalliche elicoidali sollecitate lungo l asse delle spire producono forze di richiamo ben descritte dalla precedente espressione per ampi valori delle deformazioni: anche alcune volte la lunghezza della molla a riposo. L oscillatore armonico ideale è costituito da una massa non pesante (non soggetta a forza di gravità) soggetta ad una forza di tipo elastico Eq. (1). L equazione del moto del sistema è: mẍ = kx; ẍ + k m x = 0; ẍ + ω2 0x = 0, (2) dove si è introdotta la pulsazione angolare: k ω 0 = m (3) costante con le dimensioni dell inverso di un tempo. 1

2 Figura 1: Molla con massa appesa La soluzione della Eq. (2) è della forma: x(t) = X sin(ω 0 t + φ), (4) dove X e φ sono l ampiezza e la fase costanti. Si può verificare la validità della Eq. (4) mediante le due derivate: ẋ = ω 0 X cos(ω 0 t + φ); ẍ = ω 2 0X sin(ω 0 t + φ), (5) per cui: ẍ + ω 2 0x = 0. (6) 3 Massa sospesa ad una molla Un sistema comodo e semplice per lo studio sperimentale dell oscillatore armonico è costituito da una massa sospesa ad una molla nel campo di gravità. All equilibrio l elongazione della molla bilancerà la forza peso dovuta sia alla massa esterna m che alla massa stessa della molla m m. Misurando per alcune masse m i le corrispondenti elongazioni x i si può determinare la costante k della molla e la massa stessa m m. Le due costanti k ed m m possono essere determinate ulteriormente in regime dinamico misurando il periodo di oscillazione in funzione della massa sospesa. La relazione di facile verifica sperimentale è: T0 2 = 4π2 m, (7) k valida rigorosamente in assenza di attriti. In effetti il regime di un oscillatore reale è di tipo smorzato per cui la relazione precedente è solo un approssimazione che risulta ragionevole nel limite di piccoli smorzamenti. Rimandiamo al paragrafo (8) lo studio dell oscillatore smorzato. 2

3 Z O θ L X 4 Il pendolo semplice P 6 Figura 2: Pendolo semplice Y mg Il pendolo semplice è costituito da una massa pesante puntiforme m vincolata, mediante un filo inestensibile privo di massa, a ruotare attorno ad un punto fisso O in un piano verticale (Fig. 2). 4.1 Equazione del moto dalla prima equazione cardinale Per ricavare l equazione del moto e il periodo T proprio di oscillazione del pendolo il modo più semplice è di scrivere adeguatamente la seconda legge della dinamica per il punto materiale di massa m. Scomponendo la forza peso m g nelle due componenti mg cos θ ed mg sin θ rispettivamente parallela e ortogonale al filo osserviamo che la prima è equilibrata dalla reazione vincolare mentre la seconda fa muovere la massa lungo la traiettoria circolare con velocità tangenziale v τ il cui modulo è v τ = L dθ dt La seconda legge della dinamica si scrive allora (8) mg sin θ = m dv τ dt (9) 3

4 Tenendo presente che l incremento dθ produce un decremento nella velocità ed eliminando la massa otteniamo L d2 θ = g sin θ (10) dt2 da cui risulta che il moto del pendolo dipende solo da L e g mentre è indipendente dalla massa. Il rapporto g/l ha dimensioni [T 2 ] come il quadrato di una frequenza che viene indicato con ω 2 0. Mostriamo che ω 0 risulta essere la pulsazione propria del pendolo valida per piccole oscillazioni ossia nel limite in cui sin θ θ. Con le precedenti posizioni e indicando le derivate rispetto al tempo con il punto sovrapposto l equazione (10) diventa la classica equazione dell oscillatore armonico θ + ω 2 0θ = 0 (11) la cui soluzione è quindi ( ) 2π θ(t) = θ 0 sin t + ϕ T 0 in cui si è utilizzata la relazione T 0 = 2π L = 2π ω 0 g (12) (13) La verifica che la funzione del tempo (12) è soluzione della (11) risulta più elegante se, utilizzando il formalismo complesso, poniamo θ = θ 0 e i(ω 0t+ϕ) (14) allora estraendo la derivata prima e seconda di θ rispetto al tempo θ = iω 0 θ 0 e i(ω 0t+ϕ) = iω 0 θ (15) e θ = iω 0 θ = ω 2 0 θ (16) si vede che quest ultima ha la forma della (11). 4.2 Le equazioni cardinali Notiamo che per ricavare l equazione del moto è stata sufficiente l applicazione della prima sola (17) delle due equazioni cardinali valide per la dinamica del punto materiale dove per i simboli valgono le seguenti notazioni F = Fi = d p dt (17) dj dt = N (18) 4

5 p m v quantità di moto della particella; J r p momento della quantità di moto; N r F momento della forza; r determina la posizione della particella rispetto ad un punto arbitrario fisso scelto per il calcolo dei momenti delle forza e della quantità di moto. 4.3 Il pendolo semplice e la seconda equazione cardinale Anche se nel caso del pendolo semplice risulta superfluo, è istruttivo ricavare ulteriormente l equazione del moto (11) dall applicazione della seconda equazione cardinale (18); nel caso del pendolo composto ciò risulterà necessario e pertanto lo consideriamo come conveniente introduzione. La seconda equazione cardinale (18) esprime essenzialmente che la rapidità di variazione del momento della quantità di moto è determinata dal momento delle forze. Con riferimento alla Fig. 2 sia X l asse normale al piano del moto ed O il punto fisso per il calcolo dei momenti. La reazione vincolare ha momento nullo mentre il momento della forza di gravità e il momento della quantità di moto sono paralleli all asse X con direzione contrarie. Avremo N x = ( r F ) x = Lmg sin θ (19) e J x = ( r p) x = ml 2 θ (20) ed ancora dj x = ml 2 θ (21) dt da cui applicando la seconda equazione cardinale (18) ml 2 θ = Lmg sin θ (22) che, dopo le ovvie semplificazioni, risulta uguale all equazione (10) ottenuta dalla prima equazione cardinale. 5 La soluzione completa per il periodo Nella soluzione approssimata per le oscillazioni del pendolo semplice si è visto come il periodo T 0 delle piccole oscillazioni viene determinato da L e g ma non dipende dall ampiezza θ 0 nel limite in cui sin θ θ. Ci proponiamo adesso di illustrare il calcolo del periodo T del pendolo semplice per una qualunque ampiezza π θ +π. La procedura che viene seguita, a partire dall equazione dell energia del sistema, costituisce un 5

6 ulteriore approccio al problema dell equazione del moto. Scriviamo pertanto la somma E dell energia cinetica e potenziale del pendolo che può essere riscritta come avendo indicato con E = 1 2 ml2 θ2 + mgl(1 cos θ) (23) ω 2 0 = g l θ 2 = 2ω 2 0 cos θ + C (24) ; C = ( 2E ml 2 2g ) L (25) Osserviamo che la costante C è legata alla massima ampiezza θ 0 dalla relazione cos θ 0 = C (26) 2ω 0 come può ottenersi dalla condizione θ = 0. Per il calcolo del periodo T osserviamo che esso è quattro volte il tempo richiesto per passare da θ = 0 a θ = θ 0 per cui riutilizzando la equazione (24) che equivale a dθ dt = θ = 2ω0 2 cos θ + C (27) abbiamo che T = 4 θ0 0 dθ 4 θ0 (2ω0 2 = cos θ + C) 2ω0 0 dθ (cos θ cos θ 0 ) 1/2 (28) L integrale (28) viene ricondotto ad un tipo ellittico introducendo una nuova variabile definita da sin ψ = sin(θ/2) (29) sin(θ 0 /2) che permette di riscriverlo come L integrale T = 4 ω 0 π/2 0 π/2 0 dψ (1 sin 2 (θ 0 /2 sin 2 ψ) 1/2 (30) dψ (1 K 2 sin 2 ψ) 1/2 (31) è chiamato integrale ellittico completo del primo tipo la cui soluzione in serie di potenze è data da π/2 dψ 0 (1 K 2 sin 2 ψ) 1/2 = π { ( ) } (2n 1) K 2n (2n) n=1 (32) 6

7 Se scriviamo i primi termini della soluzione (32) otteniamo per il periodo [ T = T ( ) θ0 4 sin2 + 9 ( ) ] θ sin (33) 2 da cui si può facilmente calcolare che per θ 0 5 si ha (T T 0) T 0 < Verifica delle leggi del pendolo semplice Nella prima parte dell esperienza si verificheranno le leggi del pendolo semplice e cioè che 1. il periodo T non dipende dalla massa; 2. le piccole oscillazioni sono isocrone; 3. T T 0 è dato dalla equazione (13). 6.1 Materiale a disposizione Filo e sostegno Carta millimetrata Due cilindretti metallici di pari volume e diversa densità Cronometro di sensibilità σ = 0.01sec metro con sensibilità σ = 1mm 6.2 Procedura sperimentale Per verificare che il periodo di oscillazione del pendolo è indipendente dalla massa basterà confrontare i risultati delle misure ottenute per T 1 e T 2 relativi a due pendoli aventi stessa lunghezza L e rispettivamente i due cilindretti di peso differente come massa. Ci si aspetta ovviamente che T 1 = T 2 ± 2 T. Per rendere minimo l errore T si misurerà il tempo T = nt necessario per compiere n oscillazzioni fissando n in modo tale da avere T = T n = 0.01sec (34) ossia ridurre l errore sul periodo alla sensibilità del cronometro. Per la verifica dell isocronismo si confronteranno due periodi con ampiezza di oscillazione piccole ma differenti. Quindi si procederà alla misura di alcune coppie (L, T ). Per la verifica della relazione (13) osserviamo che essa può essere convenientemente riscritta come T 2 = 4π2 g L (35) 7

8 O θ L 1G mg Figura 3: Pendolo composto per cui riportando in grafico L versus T 2 ci si aspetta una retta passante per l origine di coefficiente angolare k dove valgono le seguenti relazioni y = kx ; y T 2 (36) x L ; k = 4π2 g (37) Nel riportare in grafico i valori di x L si tenga presente che per la propagazione degli errori si ha che y = 2T T. Si calcoli graficamente la pendenza della retta migliore e il relativo errore k valutandolo dalle pendenze delle due rette limite ancora compatibili con i dati sperimentali. Il valore di g e il rispettivo errore g saranno quindi determinati dalle relazioni 7 Il pendolo composto g = 4π 2 /k ; g = ±g k k (38) Per pendolo composto si definisce un qualsiasi corpo rigido pesante in grado di ruotare senza attrito attorno ad un asse orizzontale non passante per il baricentro (Fig. 3). Per lo studio del moto del sistema occorre scrivere la seconda equazione cardinale (18) in cui i momenti vengono riferiti all asse di rotazione con la forza peso applicata al baricentro G del corpo. Osservando che il momento della reazione vincolare è nullo e trascurando il momento delle forze di attrito l equazione del moto diventa I d2 θ = mgl sin θ (39) dt2 dove con I si è indicato il momento d inerzia del pendolo rispetto all asse di rotazione. 8

9 L equazione (39) è del tutto identica a quella ottenuta per il pendolo semplice (13) con il periodo dato dall espressione I l T 0 = 2π mgl = 2π (40) g in cui la lunghezza l = I (41) ml prende il nome di lunghezza equivalente del pendolo composto. Come si vede la misura indiretta di l attraverso la relazione (41) richiede la conoscenza delle tre grandezze I, L, m delle quali solo l ultima è di immediata misura mediante una bilancia. Nei paragrafi successivi illustreremo un metodo che permette invece una misura diretta della lunghezza equivalente del pendolo composto. 7.1 Il pendolo di Kater a coltelli variabili Nell equazione (41) compare il momento I di inerzia del pendolo rispetto all asse di rotazione. Tale momento può essere calcolato facilmente se si conosce il momento del sistema rispetto all asse che passa per il baricentro. Teorema 1 (Steiner-Huygens) Il momento d inerzia I di un corpo rigido rispetto ad un asse qualsiasi è uguale al momento d inerzia I G del corpo rispetto ad un asse parallelo al dato e passante per il baricentro G, aumentato del prodotto della massa del corpo per il quadrato della distanza tra l asse e il baricentro. Pertanto si ha I = I G + ml 2, da cui si ottiene per la lunghezza equivalente del pendolo composto l = I ml = I G + ml 2 ml = L + I G ml (42) Introduciamo adesso un particolare tipo di pendolo composto, costituito essenzialmente da un asta metallica omogenea, a cui sono stati praticati una serie di fori O 1, O 2,..., O n che servono a permettere all asta di oscillare attorno ad assi diversi (Fig. 4) (il pendolo reversibile). Se consideriamo in particolare una coppia di tali assi, O ed O, le piccole oscillazioni attorno ad essi saranno in genere caratterizzate da periodi di diversa durata dati da T = 2π l g e T = 2π l g (43) La condizione T T non è comunque vera in generale nel senso che è possibile trovare coppie di assi caratterizzati dallo stesso periodo delle oscillazioni 9

10 O 1 O 2 O n L L O G O Figura 4: Pendolo reversibile di Kater assi coniugati; ma il costruttore del pendolo ha evitato di praticare i fori in corrispondenza di tali assi coniugati. Precisiamo che sono banalmente coniugati due assi posizionati simmetricamente rispetto al baricentro dell asta ma che essi non risultano interessanti ai fini dell esperienza. Se scriviamo infatti la condizione sotto cui T = T ; dovendo dalla (43) anche essere l = l otteniamo da cui moltiplicando entrambi i membri per mll L + I G ml = L + I G ml (44) ml L 2 (I G + ml 2 )L + I G L = 0 (45) otteniamo una equazione di secondo grado in L che ammette le due soluzioni L = L e L = I G ml (46) La prima soluzione è quella banale priva di interesse per ulteriori sviluppi; la seconda soluzione, che implica anche L = I G ml l = L + I G ml = L + L (47) 10

11 permette di associare la lunghezza equivalente del pendolo composto alla distanza tra i due assi di oscillazione. Quest ultima relazione è di notevole interesse sperimentale fornendo un metodo per la misura dell accelerazione di gravità mediante il pendolo composto. Avremo g = 4π 2 l T 2 (48) dove l è la distanza tra due assi coniugati non banali ai quali corrisponde lo stesso periodo di oscillazione T. 7.2 Misura di g con il pendolo reversibile La relazione trovata per la lunghezza equivalente del pendolo reversibile, per essere applicata alla misura di g, richiede una procedura sperimentale che permetta la determinazione dei periodi e delle lunghezze equivalenti ad esse associate a partire dalla misura del limitato numero di periodi delle oscillazioni che è possibile realizzare con l asta forata. Si scelga un sistema di riferimento X solidale con l asta ed orientato secondo la lunghezza dell asta. Si determinino quindi le posizioni x 1, x 2,..., x n dei fori O 1, O 2,..., O n in tale sistema e si misurino i periodi T 1, T 2,..., T n corrispondenti. Le coppie di dati (x i, T i ) raccolte in tabella siano riportate in un grafico T versus X. Si otterranno due archi di curva del tipo illustrato in Fig. 5 dove l origine del sistema di riferimento è stata fissata coincidente con il baricentro dell asta la cui lunghezza totale è L = 100 cm. I due rami di curva, ovviamente simmetrici rispetto al baricentro del sistema, sono stati ottenuti dalla relazione T = 2π x + L2 g 12x (49) che si riferisce al caso ideale di un pendolo lineare di lunghezza L. Per un pendolo che si estende solo in lunghezza è facile calcolare il momento di inerzia rispetto al baricentro e quindi il momento di inerzia totale. Indicando con λ = m/l la densità lineare dell asta si ottiene L/2 L/2 I G = 2 x 2 dm = 2 λx 2 dx = ml e quindi per la lunghezza equivalente possiamo scrivere da cui è immediata la relazione (49). l = x + L2 12x (50) (51) 11

12 2.00 T[sec] 1.75 T l X[cm] 50 Figura 5: Periodo di un pendolo composto a coltello variabile Se l asse di oscillazione si avvicina al baricentro del sistema, che coincide con il centro dell asta, i periodi tendono all infinito ossia il pendolo smette di oscillare trovandosi in una condizione di equilibrio. Per il pendolo a disposizione nella zona centrale non sono stati praticati fori perchè per lente oscillazioni del sistema l attrito del coltello all interno del foro non è più trascurabile; anche perchè il coltello è stato realizzato con un semplice chiodo. Nella Fig. 5 viene indicato graficamente una tipica lunghezza indicata con l 0 e il corrispondente valore di T 0. Ovviamente i due rami di curva saranno definiti da un numero limitato di punti sperimentali e ciascuno punto sarà affetto da errore di misura. Pertanto per la determinazione dei due parametri si richiede un procedimento di interpolazione. Per la valutazione dell errore T si tenga presente che l intersezione di due curve sperimentali avviene all interno di un poligono determinato dalle incertezze con cui sono note le grandezze graficate. L accelerazione di gravità sarà calcolata dalla relazione ( ) 2π 2 g = l 0 (52) T 0 12

13 mentre l errore di g sarà ( l0 g = ±g + 2 T ) 0 l 0 T 0 (53) Tra le infinite coppie (T 0, l 0 ) ottenibili per interpolazione delle curve sperimentali si determini quella che permette di ricavare la costante g con il più piccolo errore g. I dati raccolti siano utilizzati per un confronto tra il periodo di oscillazzione previsto per il modello lineare di pendolo ideale e quello reale. Valutare in particolare l errore che si commetterebbe nella determinazione di g applicando la relazione (49) valida nel caso ideale. A tale scopo si valuti il valore dell accelerazione di gravità utilizzando per il calcolo ( ) 2π 2 g i = T i x i + L2 (54) 12x i Si ripeta il calcolo per tutte le coppie (x i, T i ) disponibili in modo da poter trattare statisticamente il valore di g e l errore g. 7.3 Il pendolo reversibile di Kater Introduciamo adesso un particolare tipo di pendolo composto costruito in modo da poter oscillare attorno a due fissati assi O ed O (Fig. 6) (il pendolo reversibile a coltelli fissi). Diciamo subito che le grandezze fisiche in gioco e le relazioni utili sono le stesse ricavate per il pendolo a coltelli variabili. Con riferimento alla nuova geometria illustrata in Fig. 6 si ripercorra tutta la procedura che resta valida identicamente fino alla relazione che lega la lunghezza equivalente del pendolo composto alla distanza tra due assi di oscillazione. Quindi basta aggiungere quanto riportato nel paragrafo seguente. 7.4 Misura di g con il pendolo reversibile Nel pendolo reversibile di Kater le due masse M 1 ed M 2 scorrevoli permettono di variare la posizione del baricentro del sistema. La relazione trovata per la lunghezza equivalente del pendolo reversibile permette di determinare il valore dell accelerazione di gravità g confrontando i periodi di oscillazione attorno ai due assi per varie posizioni delle due masse mobili. Il valore di T da utilizzare è quello corrispondente ad una configurazione per cui si abbia T = T ma diversa da quella banale L = L ; la lunghezza equivalente l è sempre fissa ed uguale alla distanza tra i coltelli ai quali il pendolo è incardinato per le oscillazioni. Mentre quest ultima è facilmente misurabile vediamo la procedura per determinare il periodo. Le due masse mobili di cui è dotato il pendolo reversibile possono essere posizionate l una tra i due coltelli e l altra all esterno. Mantenendo fissa 13

14 M 1 O L G M 2 L O Figura 6: Pendolo reversibile di Kater quella esterna, per ogni posizione relativa di quella interna si procede alla misura dei due periodi relativi agli assi O ed O. Riportando in grafico i periodi in funzione della distanza relativa delle due masse si ottengono due curve la cui intersezione permette di determinare il valore di T 0 cercato. Ripetendo poi l esperienza per altre posizioni della massa esterna ai coltelli si può determinare la migliore intersezione delle due curve. Per la valutazione dell errore T si tenga presente che l intersezione di due curve sperimentali avviene all interno di un poligono determinato dalle incertezze con cui sono note le grandezze graficate. Inoltre una volta individuata la zona in cui T T ulteriori punti sperimentali possono essere acquisiti al fine di rendere minimo l errore sul periodo. In quest ultima fase di raffinamento della procedura di misura si può far uso per le misure di tempo del contatore al millesimo di secondo. L accelerazione di gravità e il relativo errore saranno calcolati utilizzando le (52) e (53) rispettivamente. 14

15 8 Oscillatore armonico smorzato Un oscillatore armonico reale è soggetto, oltre alla forza elastica F x = kx, a forze dissipative di varia origine che determinano lo smorzamento delle oscillazioni. Un interessante esempio di smorzamento è quello dovuto ad una forza di attrito di tipo F a = γẋ. L equazione del moto diventa: Si può verificare che una soluzione particolare è: dove valgono le seguenti relazioni: mẍ + γẋ + ω 2 0x = 0. (55) x(t) = X exp( t/τ) sin ωt, (56) τ = 2 m γ ; ω = ω 0 [ 1 ( ) ] 1 2 1/2. (57) ω 0 τ L ampiezza di oscillazione è soggetta ad un decremento esponenziale e la pulsazione angolare diminuisce. Per lievi smorzamenti e quindi per valori di τ T 0 la pulsazione dell oscillatore smorzato diviene ω ω 0. La determinazione sperimentale della costante di decadimento esponenziale τ, della costante elastica k e dell equivalente in massa della molla permettono una verifica coerente della validità della Eq. (56). 9 Conclusioni L esperienza nel suo complesso presenta lo studio di un modello in fisica: l oscillatore armonico. Il modello del pendolo semplice è intrinsecamente ideale per il tipo di approssimazioni fatte sia sulla natura del filo (inestensibile e privo di massa) che sulla massa propria considerata puntiforme. Il modello del pendolo composto non richiede astrazioni anche se risultano sempre comode delle semplificazioni di natura geometrica come quella di considerare un particolare modello esteso solo in lunghezza. Trattasi però solo della scelta di un sistema comodo da trattare matematicamente e non di una scelta inerente al modello di pendolo composto. In altre parole il pendolo composto descrive in modo più completo i pendoli reali tenendo conto dell estensione e della distribuzione delle masse. In entrambi i casi il modello di oscillatore armonico vale in regime di piccole oscillazioni ed attriti trascurabili. Per la massa sospesa ad una molla il regime di piccole oscillazioni non viene richiesto esplicitamente, valendo il modello dell oscillatore armonico fin tanto che la forza elastica risulta lineare con le deformazioni. L introduzione di un particolare tipo di forza dissipativa (F a = γẋ) nell equazione dell oscillatore armonico allarga notevolmente le potenzialità descrittive del modello. 15

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