APPUNTI DI ANALISI DEI SEGNALI DAVIDE BASSI

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1 UNIVERIÀ DEGLI UDI DI RENO FACOLÀ DI CIENZE MAEMAICHE, FIICHE E NAURALI CORO DI LAUREA IN FIICA APPLICAA DAVIDE BAI APPUNI DI ANALII DEI EGNALI

2 Indice Risposa impulsionale dei sisemi lineari -. isemi lineari -.. Principio di sovrapposizione -.. isemi sazionari e funzione di risposa impulsionale -. Inegrale di convoluzione -3.. egnali numerici -4.3 Misura della funzione di risposa impulsionale -5 rasformaa di Fourier -. viluppo in serie di un segnale periodico -. rasformaa di Fourier -.3 eorema di Parseval -5.4 eorema di convoluzione -5.5 Applicazioni pero di energia e funzione di risposa impulsionale Filro passa-basso ideale Misura della risposa impulsionale -8.6 rasformaa di Fourier di un segnale periodico -9 3 Effeo del empo di misura 3-3. Effeo del empo di misura empo di misura e funzioni periodiche 3-3. Finesre di misura egnali campionai 4-4. rasformaa di Fourier di un segnale numerico 4-4. eorema di campionameno 4- ii

3 Risposa impulsionale dei sisemi lineari In queso capiolo viene inrodoo il conceo di funzione di risposa impulsionale dei sisemi lineari e di inegrale di convoluzione. Vengono inolre presenai i principi di funzionameno di alcuni meodi che possono essere uilizzai per la misura della funzione di risposa impulsionale.. isemi lineari.. Principio di sovrapposizione Consideriamo un sisema elemenare, descrivibile come una scaola nera" di cui non conosciamo necessariamene la sruura inerna, ma per la quale possiamo individuare una enraa ed una uscia. Applicando in enraa un generico segnale analogico x(, supponiamo di oenere in uscia il segnale y(. Diremo che un sisema è lineare se viene soddisfao il cosiddeo principio di sovrapposizione: e il segnale d'enraa x ( produce in uscia il segnale y ( e se l'enraa x ( produce l'uscia y (, applicando in enraa il segnale a x ( + b x ( si oerrà in uscia il segnale a y ( + b y (, dove a e b sono due cosani. In alre parole esise una relazione di linearià ra enraa ed uscia. i noi che sreamene parlando nessun sisema fisico soddisfa rigorosamene il principio di sovrapposizione. Infai se il segnale applicao in enraa cresce olre un cero limie, avremo, in generale, fenomeni di saurazione o, addiriura, si poranno verificare danni irreversibili alla sruura del sisema. Alri sisemi eleronici sono inrinsecamene non lineari. i pensi, ad esempio, ad un diodo la cui risposa dipende dalla polarià del segnale applicao in enraa. E comunque possibile raare come lineari anche sisemi che non soddisfano sreamene il principio di sovrapposizione purché le condizioni operaive non si discosino roppo da un puno prefissao (regime dei piccoli segnali. In praica queso equivale ad approssimare Con il ermine sisema inendiamo una qualsiasi combinazione di componeni eleronici, meccanici, oici, magneici, ecc. connessi ra di loro e collegai con l eserno ramie almeno un canale di enraa ed un canale di uscia. Anche se, per semplicià, la discussione è risrea a sisemi aveni una sola enraa ed una sola uscia, la raazione è generale e può essere facilmene esesa a sisemi più complessi. Con il ermine segnale analogico inendiamo un segnale che possa essere espresso soo forma di una funzione (di una o più variabili definia su uo l asse reale. Quesa siuazione ideale non corrisponde alla realà. In effei, ciascun segnale può essere definio solo su un arco di empo definio (i segnali più anichi che possiamo immaginare sono comunque definii solo sull arco di empo corrispondene all eà dell Universo. Ulimo aggiornameno: oobre -

4 linearmene le equazioni che descrivono il comporameno del disposiivo inorno al puno di lavoro presabilio. Nauralmene, la bonà dell'approssimazione divenerà progressivamene meno buona, man mano che ci si allonana dal puno di riferimeno... isemi sazionari e funzione di risposa impulsionale e i parameri che caraerizzano il funzionameno di un sisema lineare sono invariani rispeo al empo si dice che il sisema ha comporameno sazionario. In queso caso è possibile descrivere il comporameno del sisema ramie una funzione di risposa impulsionale, h( che è definia come la risposa del sisema inizialmene a riposo ramie h(,,5, -,5 x( INPU OUPU y( una ecciazione del ipo dela di Dirac, 3 δ(. Fig..: schema a blocchi ed esempio di funzione di risposa impulsionale per un sisema lineare e sazionario. Queso e ui i grafici successivi sono espressi in unià arbirarie. -, Un sisema si dice causale se la sua funzione di risposa impulsionale è nulla per valori del empo negaivi. Ciò succede normalmene per qualsiasi sisema che operi in empo 3 Ricordiamo che la dela di Dirac, δ( può essere definia, nell ambio delle disribuzioni, come il processo che assegna ad una funzione f(, coninua nell origine, il numero (funzionale f(, ovvero: E facile verificare che: f ( δ( d f ( f ( δ( τ d f ( τ ; a δ( d a ; δ ( / a τ a δ( aτ dove a è una cosane. Da un puno di visa praico, il segnale aδ( può essere approssimao ramie un impulso reangolare di duraa, sufficienemene piccola (vedi par..5.3, cenrao inorno al empo : a / / a δ( > / i noi che la cosane a deve essere scela in modo ale da eviare fenomeni di saurazione quando ende a. Ulimo aggiornameno: oobre -

5 reale (in caso conrario il sisema sarebbe in grado di prevedere il fuuro. In alre parole, la causa deve precedere l effeo. Ai fini praici, è uile inolre ricordare che nessun sisema ha memoria infinia. Per ogni sisema esise un empo di memoria massimo M, ale che h(, per > M. Ques ulima condizione implica, in sosanza, che il segnale in enraa al generico empo non produca più alcun effeo sull uscia per empi maggiori di + M.. Inegrale di convoluzione Per un sisema lineare e sazionario di cui sia noa la funzione di risposa impulsionale, è possibile calcolare il segnale in uscia, qualunque sia la forma del segnale d enraa. Indicando con x( il segnale d enraa, l uscia y( è esprimibile ramie l inegrale di convoluzione: y ( x( h( x( h( τ dτ (. Il significao dell inegrale di convoluzione può essere facilmene compreso, pensando che la generica enraa x( può essere scria nella forma: x( x( n τ τ δ( n τ (. n Nel limie in cui τ ende a (ovvero passando dalla sommaoria all inegrale e ricordando che applicando in enraa un impulso δ( τ si produce una uscia h( τ, si ricava facilmene l espressione dell inegrale di convoluzione. L operazione di convoluzione gode della proprieà commuaiva ovvero: y ( x( h( h( x( x( τ h( τ dτ (.3 come si verifica facilmene ramie un cambio della variabile di inegrazione. e il sisema è causale e possiede un empo di memoria M finio è possibile limiare gli esremi di inegrazione e l'inegrale di convoluzione si può scrivere nella forma: M y( x( τ h( τ dτ x( τ h( τ dτ M (.4 Assumendo che il sisema sia causale e con empo di memoria finio, se il segnale in enraa x( è periodico, con periodo, anche il segnale d'uscia y( sarà periodico, con periodo γ dove γ è il più piccolo inero posiivo ale che γ > M. Ulimo aggiornameno: oobre -3

6 .. egnali numerici Consideriamo il caso di un segnale numerico, 4 cosruio per mezzo del campionameno, con periodo τ, di un segnale analogico x(. Le formule appena inrodoe per i segnali analogici possono essere facilmene adaae, sosiuendo gli inegrali con sommaorie. Il segnale di enraa, espresso in forma numerica, sarà espresso ramie la sequenza di numeri x n x(n τ, menre la funzione di risposa impulsionale numerica sarà h n h(n τ. L'uscia del sisema, espressa in forma numerica, sarà esprimibile nella forma: y n x n h n h n x n M x n h M x n M + h M (.5 dove M M / τ. Osserviamo che il calcolo della sommaoria di convoluzione richiede il calcolo di M+ prodoi ed una somma finale. L'operazione può essere raffiguraa secondo lo schema riporao in figura: x n M h n Fig..: rappresenazione schemaica del calcolo della convoluzione per oenere l'elemeno y n con n uguale a, supponendo che M sia uguale a 4. Le linee con i pallini neri rappresenano due regisri ( shif-regiser che conengono, rispeivamene, la sequenza dei dai corrispondeni al segnale di enraa ed alla funzione di risposa impulsionale. Ogni linea raeggiaa collega i ermini che devono essere moliplicai ra loro. i noi che per calcolare il ermine y oppure y 3 è sufficiene sposare di una posizione (rispeivamene a desra oppure a sinisra gli elemeni del regisro conenene i dai x n. 4 i fa a vole confusione ra segnali "numerici" e segnali "digiali". Enrambi sono il risulao del campionameno di un segnale analogico. Il ermine digiale si riferisce, sreamene parlando, al caso in cui il risulao del singolo campionameno venga espresso come muliplo di una unià base dea LB (leas significan bi. Queso è quano effeivamene accade in un converiore analogico digiale (ADC. Il passaggio alla forma digiale richiede, in generale, olre al campionameno emporale, anche una approssimazione del valore misurao (dea "errore di roncameno". Nel caso di un segnale "numerico" il conribuo dell'errore di roncameno viene rascurao. Ciò equivale a supporre che il valore della LB sia piccolo a piacere. Anche se i segnali che si usano effeivamene sono quelli "digiali", raeremo spesso il caso dei segnali "numerici" perché essi, pur conenendo in modo esplicio l'effeo del campionameno emporale, consenono di sviluppare un raameno maemaico più semplice. L'esensione dei risulai oenui per i segnali "numerici" al caso dei segnali "digiali" sarà considerao solo quando l'effeo inrodoo dall'errore di roncameno può essere rilevane. Ulimo aggiornameno: oobre -4

7 .3 Misura della funzione di risposa impulsionale Il meodo più semplice per misurare la funzione di risposa impulsionale è basao sull'uso di un impulso che approssimi una dela di Dirac. upponiamo di applicare in enraa un impulso di ampiezza a e duraa : / x( a w ( dove w ( (.6 > / x( h(,,8,6,4,, ,,5, -,5 -, ,,5 x( h(,,8,6,4,, ,,5, -,5 -, , y(, y(, -,5 -, , Fig..3: esempio di misura della funzione di risposa impulsionale di un sisema lineare uilizzando il meodo dell'impulso. i noi che nell'esempio relaivo alla misura con impulso di duraa maggiore (a sinisra, si osserva una fore deviazione del segnale d'uscia y( rispeo alla funzione h(. Viceversa, quando la duraa dell'impulso è scela sufficienemene breve, y( coincide (a meno di un faore di scala con la funzione di risposa impulsionale. In quesa raazione semplificaa rascureremo l'effeo dei empi di salia e di discesa dell'impulso che, nel caso praico, possono divenare molo rilevani, specialmene quando la duraa complessiva dell'impulso scende soo il limie dei µs. E' facile verificare che il segnale di uscia divena: + / x( h( a h( dove ( h / y ( h ( τ dτ (.7 indica la media della funzione di risposa h(, misuraa nell'inervallo di empo compreso ra Τ/ e + Τ/. Nel limie in cui Τ ende a zero, l'effeo della media ende a divenare sempre Ulimo aggiornameno: oobre -5

8 meno imporane e ( h(. Quindi, a meno di una cosane moliplicaiva a Τ, l'uscia h del sisema corrisponde proprio alla funzione di risposa impulsionale. Un meodo alernaivo, più semplice da implemenare, ma meno accurao a causa della raazione un po' più complicaa del segnale, consise nell'uso della "funzione gradino" s(. In queso caso si applica in enraa un segnale: per x ( a s( dove s( (.8 per <, x(,5, ,8,4 h(, -, y( Fig..4: esempio di misura della funzione di risposa impulsionale di un sisema lineare causale uilizzando il meodo della "funzione gradino". La risposa impulsionale h( può essere ricavaa calcolando la derivaa rispeo al empo del segnale d'uscia y(. empre nell'ipoesi di rascurare il empo di salia del segnale di enraa, e supponendo che il sisema sia causale, si ricava: [ y( ] d y( a h( τ dτ h( (.9 a d In alre parole, la funzione di risposa impulsionale può essere oenua derivando rispeo al empo il segnale di uscia. i noi che, ai fini praici, non è necessario che la funzione gradino sia applicaa per un empo indefinio. Infai, è sufficiene effeuare la misura per un empo superiore al empo di memoria del sisema M. Quando > M il segnale in uscia rimane cosane e, corrispondenemene, la sua derivaa rispeo al empo vale. Ulimo aggiornameno: oobre -6

9 I meodi descrii precedenemene non coprono ui i possibili approcci sperimenali uilizzabili per la misura della funzione di risposa impulsionale di un sisema lineare. In paricolare, nel capiolo dedicao alle correlazioni, vedremo un meodo molo poene basao sul meodo della cross-correlazione e della modulazione pseudo-random. ale approccio, benché molo più complesso da gesire dal puno di visa ecnico, è senz alro da preferire quando si raino segnali in presenza di un fore livello di rumore. Ulimo aggiornameno: oobre -7

10 rasformaa di Fourier In queso capiolo vengono inrodoi i concei di base dell analisi di Fourier, considerando il caso dei segnali rappresenabili in forma analogica e definii su uo l asse emporale. Vengono inolre presenai i eoremi di Parseval e di convoluzione ed alcune semplici applicazioni.. viluppo in serie di un segnale periodico Consideriamo un segnale analogico x(, periodico con periodo, che soddisfi le condizioni di Dirichle, ovvero:. x( abbia un numero finio di disconinuià, massimi e minimi per periodo;. sia inegrabile in modulo, ovvero: < / / ( d x (. Lo sviluppo in serie di Fourier del segnale periodico x( può essere definio uilizzando una delle re segueni espressioni che sono equivaleni ra loro: [ ] π + ϕ j j c a b a a x e dove exp( sin( sin( cos( ( (. L'equivalenza può essere facilmene verificaa, poso che: d j x b a b a c d x b d x a exp( ( an sin( ( cos( ( / / / / / / ϕ + (.3 In praica possiamo pensare un segnale periodico, con periodo, come sovrapposizione di componeni sinusoidali, aveni frequenza mulipla della frequenza fondamenale /π. La grandezza si dice pulsazione fondamenale. Nel linguaggio usao correnemene spesso si fa confusione ra i ermini "frequenza" e "pulsazione". Bisogna Ulimo aggiornameno: oobre -

11 uavia ricordare che quese due grandezze, pur avendo la sessa unià di misura (Hz, differiscono ra loro per un faore π. Noiamo che nell ulima delle equazioni (.3 è sao impliciamene inrodoo il conceo di frequenza negaiva (ovvero <. Le frequenze negaive non hanno, salvo casi paricolari, un significao fisico preciso anche se appaiono nei passaggi maemaici inermedi quando la serie (o la rasformaa di Fourier è uilizzaa per l analisi di segnali. Esse devono essere considerae semplicemene come uno srumeno maemaico che permee di manipolare le funzioni seno e coseno ramie esponenziali. Quando, al ermine dei calcoli, si oengono le espressioni per le grandezze misurabili, quese conengono solo valori posiivi di frequenza.. rasformaa di Fourier L esensione della serie di Fourier al caso di segnali analogici non periodici, definii su uo l asse dei empi, può essere oenua considerando il limie dello sviluppo in serie di una funzione periodica, quando ende ad infinio. In queso limie la pulsazione divena una variabile coninua e possiamo inrodurre la rasformaa di Fourier definia come: 5, 6 ( x( exp( j d (.4 Parendo dalla rasformaa è possibile oenere x( ramie una operazione di anirasformazione: x ( π ( exp( j d (.5 La coppia cosiuia dalla funzione x( e dalla sua rasformaa ( è spesso indicaa con la noazione x( (. Le condizioni sufficieni per garanire l esisenza della rasformaa di Fourier sono quelle di Dirichle, già illusrae nel caso di funzioni periodiche. e si ammee che la ( possa conenere funzioni dela e/o disconinuià finie o infinie, la x( porà conenere:. un ermine cosane;. un numero finio di funzioni periodiche che soddisfino la condizione di Dirichle; 5 i noi che in alri esi possono essere adoae definizioni diverse della rasformaa di Fourier (e della relaiva anirasformaa. La differenza consise in una diversa disposizione del faore π. 6 Per approfondire quesi argomeni si consigliano i esi: D.C. Champemey, "Fourier ransforms and heir physical applicaions", Academic Press (London, 973; H. Bremermann, "Disribuions, Ulimo aggiornameno: oobre -

12 3. un numero finio di funzioni gradino. ( è, in generale, una funzione complessa. e x( è una funzione reale, la pare reale di ( è una funzione pari (simmerica: R[(] R[( ] (.6 menre la pare immaginaria è una funzione dispari (ani-simmerica: I[(] I[( ] (.7 Inolre se x( è una funzione pari (x( x( la sua rasformaa di Fourier è una funzione reale (I[(], menre se x( è una funzione dispari (x( x( allora R[(]. pesso si usa scrivere la ( come prodoo del modulo per un ermine di fase: dove: ( A( exp[jϕ(] (.8 [ ( ] [ ] ( I A( ( e ϕ( an (.9 R Il modulo della rasformaa A( viene chiamao guadagno o spero di ampiezza, menre ϕ( viene deo sfasameno o spero di fase e la sua derivaa τ dϕ/d riardo di gruppo. È facile verificare che: dove a e b sono cosani. ax( + bx ( a ( + b ( x( a a a x( a exp( ja ( n d x( n d n ( j ( (. Nella abella seguene vengono riporae alcune rasformae di Fourier di uso frequene: x( ( π δ( (. δ( (. cos( π [δ( + + δ( ] (.3 sin( jπ [δ( + δ( ] (.4 exp( a π exp a 4a (.5 complex variables and Fourier ransforms", Addison-Wesley (New Yor 965; H.J. Weaver, "Applicaions of discree and coninuous Fourier analysis", J. Wiley and ons (New Yor 983. Ulimo aggiornameno: oobre -3

13 exp( a per ( j per < a + a exp ( a a a + a sinc ( a a π (vedi fig.. > a π (.6 (.7 (.8 / w ( sinc (.9 > / π per per > sinc (. π per s ( πδ( j per < (. π δ( π δ (. z ( g( π π G Z (.3 ab.. : alcune rasformae di Fourier di uso comune. Le grandezze a, e sono cosani, z( e g( indicano due generiche funzioni del empo, menre Z e G indicano le rispeive rasformae.,,8,6 sinc (x,4,, -, x Fig.. La linea coninua mosra l andameno della funzione sinc che è definia come sinc ( x sin( πx ( πx. Le linee raeggiae indicano l andameno di ± /(πx. Ulimo aggiornameno: oobre -4

14 .3 eorema di Parseval Lo spero di energia F x ( di un segnale x( è definio come il modulo quadro della sua rasformaa di Fourier (ovvero il quadrao dello spero di ampiezza: F x ( (. Noiamo che se il segnale x( è reale, lo spero di energia è una funzione pari della pulsazione, ovvero F x ( F x (. Per comprendere meglio il significao di quesa definizione inroduciamo il eorema di Parseval che, nella sua forma più generale, può essere scrio come: x ( y *( d ( Y *( d (.4 π dove il simbolo * indica il complesso coniugao. In paricolare, se x( y(, l'espressione del eorema di Parseval divena: x( d Fx ( d π (.5 L equazione precedene può essere inerpreaa assegnando al modulo quadro di x( il significao di poenza isananea. L inegrale della poenza isananea eseso su uo l asse dei empi fornisce l energia oale associaa al segnale e a pare un faore π è uguale all inegrale nello spazio delle pulsazioni dello spero di energia. L associazione del conceo di poenza isananea al modulo quadro del segnale rappresena una generalizzazione della ben noa legge di Joule. i noi uavia che la poenza così deerminaa è espressa in unià di misura arbirarie. Essa corrisponde all effeiva poenza elerica solo quando il segnale si riferisce ad una ensione applicaa su un carico resisivo uniario. Dimosrazione: Consideriamo la quanià: E * x y d x Y j d d x * ( ( ( ( exp( ( Y ( exp( j d d π π cambiando l'ordine di inegrazione si ricava: E * π Y ( x( exp( j d d π Y * ( ( d *.4 eorema di convoluzione Il eorema di convoluzione esprime una relazione di grande imporanza ra la convoluzione e il prodoo di due funzioni, nello spazio del empo e delle frequenze. Dae due funzioni x( e z( possiamo scrivere: Ulimo aggiornameno: oobre -5

15 x( z( ( Z( (.6 e x( z( ( Z( π Come viso nel par.., ogni sisema lineare e invariane rispeo al empo può essere rappresenao ramie una funzione di risposa impulsionale h( e l uscia y( generaa da una generica enraa x( può essere espressa ramie un inegrale di convoluzione ra la funzione d'enraa e la funzione di risposa impulsionale. rasformando secondo Fourier, l operazione di convoluzione viene sosiuia da un prodoo e la relazione esisene ra segnale di uscia e segnale d'enraa divena: Y( ( H( (.7 Osserviamo subio che, sulla base del eorema di convoluzione, possiamo affermare che se una qualsiasi delle funzioni ( o H( ha spero nullo in un cero inervallo di frequenza, lo spero del segnale d uscia sarà nullo nello sesso inervallo di frequenza. Dimosrazione: Consideriamo la quanià F( ( Z(. Anirasformando oeniamo: f ( π F( exp( j d π ( Z( exp( j d ricordando che: possiamo scrivere: ( x( τexp( jτ dτ f ( τ τ τ π x( exp( j Z( exp( j d d cambiando gli inegrali, si ricava: f ( x( τ [ τ ] τ π exp j ( Z( d d Noiamo che il ermine ra parenesi graffa alro non è che z( - τ e quindi: f ( x( τ z( τ dτ x( z( da cui segue x( z( ( Z(.5 Applicazioni.5. pero di energia e funzione di risposa impulsionale Consideriamo un segnale x( avene spero di energia F x ( ( che passa araverso un blocco lineare avene funzione di risposa impulsionale h(. Vogliamo calcolare Ulimo aggiornameno: oobre -6

16 lo spero di energia del segnale di uscia y(. Il calcolo è molo semplice: basa applicare il eorema di convoluzione e, ricordando che Y( ( H(, si oiene: F y ( Y( ( H( H( F x ( (.8 In conclusione, lo spero di energia del segnale di uscia è uguale al prodoo ra lo spero del segnale d'enraa ed il modulo quadro della rasformaa di Fourier della funzione di risposa impulsionale..5. Filro passa-basso ideale Vediamo un semplice esempio di applicazione del eorema di convoluzione applicao al calcolo del funzionameno di un filro di segnale di ipo passa-basso. Un filro passa-basso ideale è un disposiivo in grado di agliare ue le componeni di un segnale con pulsazione superiore ad un cero valore limie C. Le componeni a pulsazione inferiore devono rimanere inalerae (sia in ampiezza che in fase. Possiamo esprimere maemaicamene le condizioni operaive di un filro passa-basso ideale imponendo che la rasformaa di Fourier della sua funzione di rasferimeno sia: per C H LP ( (.9 per > C Anirasformando vedi eq. (.8 si ricava che la funzione di risposa impulsionale del filro passa-basso ideale è la seguene: C C hlp ( sinc (.3 π π Dalla equazione precedene si ricava subio che un filro passa-basso ideale non può essere causale. Infai la sua risposa impulsionale h LP ( è diversa da per empi negaivi. In praica possiamo realizzare una buona approssimazione del filro passa basso ideale se rinunciamo ad operare in empo reale. In queso caso il segnale filrao y( porà essere ricavao dal segnale d ingresso x( uilizzando la relazione: C C y( x( hlp ( τ τ τ π x( sinc ( d (.3 π i noi che, a causa dell andameno smorzao della funzione sinc (vedi fig.., gli esremi di inegrazione poranno essere limiai ad un inervallo di empo di opporuna ampiezza, cenrao inorno al empo. Queso ipo di operazione può essere svola, in modo piuoso complesso, uilizzando una eleronica analogica, ma si presa nauralmene ad un efficace raameno ramie un disposiivo di ipo DP (DP Digial ignal Processor. Ulimo aggiornameno: oobre -7

17 .5.3 Misura della risposa impulsionale Nel capiolo precedene (par..3 abbiamo viso i principi di funzionameno di due meodi adai per la misura della funzione di risposa impulsionale. Nel caso del meodo dell'impulso, abbiamo viso che, a seconda della scela della duraa dell'impulso, si possono oenere risulai molo diversi ra loro. Analizziamo nuovamene il problema, uilizzando il puno di visa dello spazio delle frequenze. La funzione applicaa in enraa al sisema soo esame ha la forma: per / x( a w ( dove w ( (.3 per > / a cui corrisponde vedi eq. (.9 la rasformaa di Fourier: ( a sinc dove π (.33 Noiamo che la ( assume il suo valore massimo per e poi mosra un andameno oscillaorio smorzao, passando per lo quando n, dove n è un inero diverso da zero. Quando Τ ende a zero, ovvero all aumenare di, si esende sempre più l inervallo di valori di, cenrao inorno all origine, enro il quale si può assumere ( a Τ. Ciò corrisponde a dire che quando Τ ende a zero x( aτ δ(. Vediamo ora come deve essere scela la duraa dell'impulso Τ per garanire che la misura sia realizzaa adoando un adeguao poere risoluivo. La risposa a quesa domanda dipende dalla forma della funzione h( che deve essere misuraa. In paricolare, se supponiamo di conoscere H(, dobbiamo valuare innanziuo il valore della larghezza di banda, ovvero il valore di pulsazione B ale che H( per B. Nell'inorno di e per valori della pulsazione ali che «, possiamo assumere che ( sia cosane. Allora il crierio per la scela della duraa dell'impulso sarà il seguene: "Τ deve essere scelo abbasanza piccolo in modo ale che B «. Quando quesa disuguaglianza è soddisfaa non c'è bisogno di ridurre uleriormene Τ. Infai una uleriore riduzione di Τ non porerebbe più alcun vanaggio significaivo per quano riguarda il migliorameno del poere risoluivo, menre porerebbe comunque ad una riduzione dell'ampiezza del segnale in uscia (ricordiamo che l'uscia è proporzionale a Τ e queso, in un esperimeno reale, porerebbe solo ad un peggiorameno del rapporo segnale/rumore. e la condizione è soddisfaa poremo scrivere Y( a Τ H(, da cui segue il risulao già rovao nel par..3, ovvero h( y(/(a Τ. Nauralmene il crierio per la scela della duraa dell'impulso è sreamene dipendene dalla paricolare forma della funzione di Ulimo aggiornameno: oobre -8

18 risposa impulsionale. e quesa non è noa a priori, neppure approssimaivamene, sarà necessario procedere a misure successive, uilizzando valori della duraa dell'impulso via via decresceni. Quando il risulao della misura enderà a sabilizzarsi, allora si porà ragionevolmene supporre di avere adoao la duraa minima necessaria. 7 Modulo della rasformaa (unià arb... H( B / (. / Fig..: modulo della rasformaa di Fourier per i segnali H( ed (. La scala delle pulsazioni è normalizzaa rispeo ad. Vedere il eso per i deagli..6 rasformaa di Fourier di un segnale periodico Nei paragrafi precedeni abbiamo viso due diversi srumeni uili per il raameno di Fourier dei segnali analogici: lo sviluppo in serie che si applica ai segnali periodici e la rasformaa che si applica a segnali non periodici. Vediamo ora la relazione esisene ra quesi due raameni applicandoli ad uno sesso segnale periodico. ia x( un segnale periodico con periodo, ovvero x( x(+. Uilizzando la proprieà di periodicià si ricava: ( π δ( (.34 dove π/ e gli sono proprio i coefficieni dello sviluppo in serie di Fourier della funzione periodica (vedi eq. (.3. In alre parole, la rasformaa di Fourier di una funzione 7 Noiamo che queso modo di procedere non può comunque fornire la cerezza assolua che sia sao Ulimo aggiornameno: oobre -9

19 periodica è la somma di ermini discrei, posizionai a pulsazioni muliple della pulsazione fondamenale e di ampiezza pari, a meno di un ermine π, ai coefficieni dello sviluppo in serie di Fourier. Dimosrazione: fruando le proprieà di periodicià possiamo scrivere la rasformaa di Fourier come somma di inegrali, ciascuno eseso su un inervallo di empo di duraa pari a : ( + / / x( exp( j d exp( j / / x( exp( j d Uilizziamo la relazione noa come relazione di Poisson : π exp( ± jxy δ( x dove y da cui segue: / ( ( ( exp( π δ π δ( x j d / adoao il valore di effeivamene necessario. Ulimo aggiornameno: oobre -

20 3 Effeo del empo di misura In queso capiolo vengono discusse le differenze esiseni ra il caso ideale misura di un segnale analogico noo su uo l asse dei empi e ciò che succede in una misura reale. In paricolare, viene preso in considerazione l effeo del empo di misura limiao. 3. Effeo del empo di misura Nel capiolo precedene abbiamo viso che se conosciamo un segnale analogico, noo su uo l asse dei empi, è possibile calcolarne la rasformaa di Fourier ramie l inegrale (.4. uavia quesa condizione non porà mai essere compleamene soddisfaa perché richiederebbe un empo di misura infinio. Vediamo ora quale sia l effeo del empo di misura finio. upponiamo che il segnale x( sia misurao nell inervallo compreso ra / e +Τ /. Queso equivale a misurare, su uo l asse dei empi, un segnale x ( definio come: Il segnale / x ( x( w ( ( x (3. > / x ( coincide con x( enro l inervallo di misura, menre è nullo fuori. rasformando secondo Fourier ed applicando il eorema di convoluzione ricaviamo: ( ( W ( (3. π Ricordiamo eq. (.9 che W ( è dao da: da cui segue: W ( sinc (3.3 ( ( sinc (3.4 Noiamo che nel limie di empi di misura che endono ad infinio, ovvero quando ende a zero, si può scrivere: lim sinc ( δ (3.5 e conseguenemene: lim ( ( (3.6 Quindi, se il empo di misura è sufficienemene lungo la rasformaa di Fourier oenua rasformando il segnale misurao durane l inervallo di empo ende a quella del Ulimo aggiornameno: oobre 3-

21 caso ideale. Possiamo allora porci la domanda: quale è il empo di misura minimo necessario per oenere un risulao esene da errori sisemaici significaivi? La risposa dipende dal ipo di segnale che si inende misurare. In paricolare la (3.4 ci dice che l effeo del empo di misura finio si raduce, nello spazio delle frequenze, in un convoluzione ra la ( ed una funzione sinc. ale funzione ha due caraerisiche fondamenali: a la zona inorno all origine ha forma approssimaivamene riangolare con base pari a e b l andameno è oscillane smorzao con zeri per valori di frequenza mulipli di. La convoluzione produce quindi un doppio effeo:. Riduzione del poere risoluivo: vengono aenuae (mediae ue le sruure della ( aveni un passo dell ordine di o minore.. Comparsa di componeni di segnale inesiseni: possono essere creae componeni ad ala frequenza dovue all effeo delle bande laerali (side bands preseni nella funzione sinc. Quese bande laerali, pur avendo una inensià via via decrescene all aumenare della frequenza, possono prendere in presio inensià da puni diversi della (. In alre parole, la qualià della misura può essere deerioraa sia dall'effeo di media legao al poere risoluivo limiao, sia dalla "creazione" di componeni di segnale a frequenze inesiseni. Una eccessiva variabilià della forma della ( quando quesa viene misuraa con diversi valori del empo di misura può essere sinomaica di un empo di misura roppo breve. 3.. empo di misura e funzioni periodiche Nel paragrafo precedene abbiamo viso che, all aumenare del empo di misura, ci aspeiamo una concordanza via via crescene ra ( e (. uavia quesa convergenza non è, in generale, monoona. Un caso rilevane è quello delle funzioni periodiche. upponiamo di misurare durane un inervallo di empo, una funzione x( periodica con periodo. E facile verificare che: π ( δ( sinc π sinc Quando n con n inero, la (3.7 divena: dove π π (3.7 Ulimo aggiornameno: oobre 3-

22 π ( n sinc ( n (3.8 e, considerao che la funzione sinc assume valori nulli per ui i valori ineri dell'argomeno ad esclusione di, se supponiamo che il empo di misura sia un muliplo inero del periodo (ovvero Λ con Λ inero, possiamo concludere che: π ( n (3.9 n Viceversa, se Λ non è un numero inero, diversi ermini poranno conribuire alla sommaoria (3.8. Per illusrare queso risulao consideriamo un semplice esempio. upponiamo che il segnale d'enraa sia del ipo x( cos (. E' facile verificare che lo sviluppo in serie di Fourier di quesa funzione fornisce i valori: / per ± (3. per ± Uilizzando la (.34 ricaviamo: δ( + δ( ( π + (3. L'eq. (3.7 divena: π + + ( sinc sinc (3. Il risulao è mosrao in Fig. 3. per due diversi valori del empo di misura., Fig. 3.: Effeo del empo di,5 misura, calcolao per un segnale ( di ipo cos (. i noi che,, poiché in queso caso ue le rasformae sono funzioni pari,5 della pulsazione, viene mosrao l'andameno per valori di, esclusivamene posiivi. Per confrono, viene anche mosrao -,5 l'andameno della rasformaa (, corrispondene ad un empo -, di misura infinio La linea coninua corrisponde ad / un empo di misura pari al periodo. i noi che, per valori di pulsazione mulipli di, i valori della rasformaa coincidono, a pare un faore di scala, con la (. Viceversa se il empo di misura viene aumenao e porao ad.5 vole il periodo, si oiene il risulao mosrao dalla linea raeggiaa. In ques'ulimo caso, si osservano fori discrepanze ra i valori della rasformaa alle pulsazioni muliple di e la (. ( Ulimo aggiornameno: oobre 3-3

23 3. Finesre di misura Nei paragrafi precedeni abbiamo discusso gli effei legai al empo di misura. ali effei sono paricolarmene significaivi se il segnale x( e le sue derivae assumono valore diverso da zero in corrispondenza degli isani di inizio e di fine della misura. Infai in ale caso la x ( presena delle disconinuià in presenza degli esremi di misura e queso si riflee sulla accuraezza della misura. In paricolare, ciò pora ad un incremeno dell effeo dovuo alle cosiddee bande laerali. Per ovviare, almeno in pare, a queso problema è possibile ricorrere ad uno srumeno correivo deo finesra di misura. In praica queso equivale a moliplicare i dai sperimenali per una funzione peso che vale per, menre decresce (in alcuni casi ende a zero per endene a ± /. In analisi dei segnali si fa uso di finesre di misura di vario ipo, ciascuna oimizzaa rispeo a paricolari esigenze. Per maggiori deagli e consigli praici si consiglia: M. Cerna and A.F. Harvey he fundamenals of FF-based signal analysis and measuremens, Naional Insrumens, Applicaion Noe # 4. Qui limieremo la nosra presenazione al caso della finesra di Hamming generalizzaa, una finesra di paricolare rilevanza definia come: dove w ( H w ( w ( + ( cos π a a (3.3 è la finesra reangolare (vedi eq. (3.. Ponendo la cosane a.54 si oiene la finesra di Hamming sandard, menre con a.5 si oiene la finesra di Hann (dea anche di uey. Per a si ricade nel caso della finesra reangolare. La rasformaa di Fourier della finesra di Hamming generalizzaa vale: a ( ( H a + ( W ( W ( (3.4 i noi che il ermine ra parenesi quadra ha un polo per ± che compensa lo zero che la W ( presena alla sessa pulsazione (vedi eq. (3.3. Come conseguenza, la banda cenrale della rasformaa di Fourier della finesra di Hamming generalizzaa (per a < ha una larghezza (misuraa come disanza ra i primi zeri pari a 4, da confronare con il valore di caraerisico della rasformaa della finesra reangolare. Queso significa che l uso della finesra fa perdere uleriore poere risoluivo (vedi par. 3. rispeo al limie inrinseco legao al empo di misura finio. Queso fao è compensao da un andameno a zero più rapido della rasformaa a grandi valori di. Quesa proprieà riduce drasicamene i Ulimo aggiornameno: oobre 3-4

24 problemi legai alla comparsa di componeni spurie di segnale dovue all effeo delle bande laerali. Per maggiori deagli si rimanda alla fig. 3..,,8,6 w (,4,, empo (s,,8,6 W (/,4,, -, -4-4 / Fig. 3.: Confrono ra la finesra di misura reangolare (linea coninua e la finesra di misura di Hann (linea raeggiaa, caso della finesra di Hamming generalizzaa con a.5. Nella figura superiore vengono mosrai gli andameni delle due finesre in funzione del empo (assumendo 6 s, menre nella figura inferiore vengono mosrae le loro rasformae di Fourier. i noi che la rasformaa di Fourier della finesra di Hann, pur mosrando un picco cenrale di larghezza circa doppia rispeo alla finesra reangolare, mosra una presenza ridoa di oscillazioni ad ala frequenza e ciò produce una riduzione degli effei legai alle bande laerali. Nauralmene, il vanaggio viene pagao in ermini di poere risoluivo. Non esise, in generale, una finesra di misura ideale. uavia, a seconda del ipo di misura che si inende effeuare, è possibile scegliere diverse finesre di misura, ciascuna oimizzaa rispeo a scopi specifici. Ulimo aggiornameno: oobre 3-5

25 4 egnali campionai In queso capiolo vengono discussi gli effei del campionameno, ovvero la possibile perurbazione che si genera quando un segnale analogico viene rasformao in un segnale numerico. 4. rasformaa di Fourier di un segnale numerico Consideriamo un segnale analogico x( che venga campionao ramie un converiore ADC, operane con un orologio di acquisizione di periodo pari a. La frequenza di campionameno sarà f s B /π /. Per semplicià, supponiamo che il campionameno sia ideale, ovvero che il empo di conversione e l accuraezza (LB dell ADC siano rascurabili. L acquisizione fornirà una sequenza di numeri: x x( (4. Dopo che un segnale è sao campionao, non è più possibile calcolare la sua rasformaa di Fourier uilizzando l espressione (.4 che è valida per un segnale analogico. Per un segnale campionao dovremo usare la seguene definizione di rasformaa di Fourier: menre l espressione per l anirasformaa divena: ( x exp( j (4. π x ( exp( j d (4.3 π Per quesa nuova definizione di rasformaa valgono proprieà analoghe a quelle illusrae per i segnali analogici. i noi uavia che la quanià che appare nelle espressioni (4. e (4.3 non è la normale pulsazione. Infai è una grandezza adimensionale e la rasformaa definia ramie la (4. è per definizione una funzione periodica di con periodo pari a π. ali proprieà valgono per qualsiasi ipo di segnale perché sono una conseguenza direa dell effeo del campionameno. Infai il risulao del campionameno è rappresenao da una serie di numeri (i valori x che non pora in sé alcuna informazione sulla frequenza di campionameno. Ciò equivale a dire che il empo è misurao uilizzando come unià di misura una base empi pari all inervallo di campionameno. 4. eorema di campionameno Il eorema di campionameno, enunciao da hannon nel 949, pone un limie sul valore minimo della frequenza (f s con cui bisogna campionare un segnale analogico quando queso Ulimo aggiornameno: oobre 4-

26 viene sooposo a conversione analogico-digiale. Consideriamo un segnale x( avene larghezza di banda B (ale cioè che H( per B. Il eorema di hannon dice che f s deve essere maggiore di B /π, ovvero deve essere maggiore del doppio della frequenza corrispondene alla larghezza di banda del segnale. Per capire qualiaivamene il significao del eorema possiamo osservare la figura 4.. upponiamo che un segnale sinusoidale x( x sin( sia campionao ad una frequenza uguale o inferiore a /π. Poiché i campionameni sono roppi diradai nel empo, succede che non è più possibile risalire al segnale originale. In effei i campionameni sono compaibili con un segnale a frequenza più bassa di quello campionao. Queso fenomeno viene deo aliasing. egnale (unià arb empo (s Fig. 4.. Esempio di segnale (linea coninua converio ramie un ADC (puni usando una pulsazione di campionameno inferiore rispeo al doppio della larghezza di banda. i noi come i campionameni (puni siano compaibili anche con un alro segnale (alias rappresenao ramie una linea raeggiaa ed avene frequenza inferiore rispeo al segnale campionao. Queso fenomeno può essere riprodoo usando un oscilloscopio digiale e misurando un segnale sinusoidale di frequenza prefissaa usando una scala dei empi via via crescene. Ad un cero puno sullo schermo appariranno segnali a bassa frequenza che nulla hanno a che vedere con il segnale inviao in ingresso. Passiamo ora ad una dimosrazione formale del eorema di campionameno: Pariamo esprimendo x( ramie anirasformaa di (: x ( ( exp( j d π Ricordando che il campionameno avviene con pulsazione π/ ed il valore del -esimo Ulimo aggiornameno: oobre 4-

27 campionameno x x( può essere espresso come: x ( exp( j d π Inroduciamo la rasformaa di Fourier del segnale campionao, definia secondo la (4.: ( π π π x exp exp ( ( ( j ( j ( exp( j exp ( j exp( j d d exp j d Il ermine ra parenesi quadra può essere riscrio uilizzando la relazione di Poisson : π π exp( ± jxy δ x y y da cui si ricava: π ( ( δ Ricordando che π/ si oiene: ( + π In paricolare, se calcoliamo l espressione precedene per : π si oiene: π ( ( + π Il risulao mosra che la rasformaa oenua dai campionameni è esprimibile come somma di ermini della ( sposai ra loro di mulipli ineri della pulsazione di campionameno. Noiamo che se > B, i ermini che appaiono nella sommaoria non si sovrappongono ra loro. Viceversa se la condizione di hannon non è soddisfaa, le code dei vari conribui si sovrappongono e quindi, anche applicando un filro passa-basso ideale, non è più possibile ricavare la ( parendo dalla. (4.. Quesa sovrapposizione di code è all origine del fenomeno di aliasing descrio precedenemene. La siuazione è illusraa schemaicamene in figura 4.. Ulimo aggiornameno: oobre 4-3

28 ( a - Β Β ( b > B c ( < B Fig.4.. Rappresenazione schemaica dell effeo del campionameno: a la ( ha larghezza di banda B ; b se il segnale viene campionao con > B non c è sovrapposizione ra i ermini che conribuiscono alla ( e la ( può essere oenua ramie filraggio passa basso (si noi che in queso caso non c è un problema di esisenza del filro passa-basso ideale perché non c è necessià di operare in empo reale; c siuazione in cui la condizione di hannon non è soddisfaa e la sovrapposizione delle code (aliasing impedisce di ricosruire ( parendo dalla (. e la condizione di hannon è soddisfaa, noi i campionameni x, è possibile ricosruire il valore del segnale x( per ogni valore di. In paricolare, vale la seguene espressione: ( x x sinc (4.4 i noi che se è un muliplo inero del empo di campionameno, ovvero n con n inero l espressione precedene si riduce alla forma x( n x n. i noi inolre che, ai fini praici, non è necessario calcolare la sommaoria per un numero infinio di puni. Infai, Ulimo aggiornameno: oobre 4-4

29 poiché la funzione sinc ende a zero quando si ci allonana dall origine, è sufficiene includere nel calcolo i puni per i quali la quanià sinc(/ è apprezzabilmene diversa da zero. Dimosrazione: Pariamo dalla espressione generale della anirasformaa: π d j x exp( ( ( e (e solo se la condizione di hannon è soddisfaa possiamo scrivere: > π π π ( enendo cono che la ( è nulla per > / ed uilizzando la definizione della rasformaa di Fourier di un segnale numerico ricaviamo: π / / exp( exp( ( d j j x x cambiamo la sommaoria con l inegrale: π / / exp( exp( ( d j j x x E facile verificare che: π d j j / / sinc exp( exp( da cui segue: x x sinc( ( Ulimo aggiornameno: oobre 4-5