LICEO SCIENTIFICO STATALE G.GALILEI CATANIA A.S. 2006/2007 SIMULAZIONE DI II PROVA - A

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1 LICEO SCIENTIFICO STATALE G.GALILEI CATANIA A.S. 6/7 SIMULAZIONE DI II PROVA - A Tempo a disposizione: cinque ore E consentito l uso della calcolatrice non programmabile. Non è consentito uscire dall aula prima di due ore dall inizio della prova. Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei quesiti in cui si articola il questionario. PROBLEMA L'equazione y = a + b + c rappresenta in un sistema di coordinate cartesiane ortogonali delle parabole con asse parallelo all'asse delle y. a) determinare in funzione del coefficiente a, i coefficienti b e c che individuano la famiglia Γ delle parabole passanti per i punti A(;) e B(;). b) Determinare e rappresentare nel piano cartesiano il luogo dei vertici delle parabole della famiglia Γ. c) Calcolare l area della parte finita di piano compresa tra la retta y= e la curva α precedentemente rappresentata. d) Trovare le due parabol della famiglia Γ aventi vertici rispettivamente in A e in B. e) calcolare il rapporto tra l'area S della regione di piano racchiusa tra le due parabol e l'area R del quadrilatero determinato dalle tangenti in A e in B alle due parabole. Simulazione matematica Pagina di

2 f) Calcolare il volume del solido che si ottiene ruotando attorno all'asse delle la superficie delimitata, oltre che dall'asse stesso, dall'arco OA (essendo O l'origine degli assi cartesiani) della parabola γ e dall'arco AB della parabolaγ. PROBLEMA Se il polinomio f() si divide per ( ) si ottiene come quoziente e come resto. a) Determinare f(). f ( ) b) Studiare la funzione y = e disegnarne il grafico G in un piano riferito ad un sistema ( ) di assi cartesiani ortogonali (Oy). c) Per il punto P di G avente ascissa condurre l equazione della retta t tangente a G e l equazione della retta s parallela all asintoto obliquo di G. d) Determinare l area del triangolo PQR essendo Q l ulteriore punto di intersezione tra t e G ed R l ulteriore punto di intersezione tra s e G. e) Calcolare l area della parte finita di piano compresa tra l asintoto obliquo, la curva G, e le rette = e =3. f) Dopo aver determinato la parabola di vertice P e asse di simmetria coincidente con l asse e passante per il punto T di intersezione tra i due asintoti, calcolare il volume del solido ottenuto facendo ruotare l arco di parabola PT intorno all asse. QUESTIONARIO ) Determinare i parametri a e b della funzione obliquo la retta y = 3. a + 3 y = b + affinché abbia come asintoto ) La parabola di equazione 9y = interseca la circonferenza + y = in due punti A e B. Determinare il volume che si ottiene ruotando la superficie delimitata dal minore degli archi AB e dalla parabola attorno all asse y. 3) Sapendo che affermativo, calcolarlo. f d= 5 e f d= 7 dire se è possibile calcolare f ( ) d e, in caso 4) Determinare il numero delle soluzioni reali dell equazione che le contiene. e + = e trovare un intervallo Simulazione matematica Pagina di

3 5) Data la funzione f ( ) risulta + ( ) f d=. = con a >, stabilire per quali valori di > a a 6) Due sfere e S sono rispettivamente inscritta e circoscritta ad un cubo di lato l ; qual è il S rapporto A fra le due superfici e quello B fra i volumi di e S? 7) Su una funzione f ( ) si hanno le seguenti informazioni: f " Qual è l espressione di f ( )? 8) Qual è il valore di per il quale ( ) = ( ) = ( )!! S f ' = f () =. 9) Considerata la funzione f ( ) = + ( sent ) dt, calcolare il seguente limite: lim ( ) f n 3 ) Considerata la successione il cui termine generale è a n =, verificare che si tratta di una 4 successione crescente e determinare il più piccolo valore di n per il quale risulta a n Simulazione matematica Pagina 3 di 3

4 LICEO SCIENTIFICO STATALE G.GALILEI CATANIA A.S. 6/7 SIMULAZIONE DI II PROVA - B Tempo a disposizione: cinque ore E consentito l uso della calcolatrice non programmabile. Non è consentito uscire dall aula prima di due ore dall inizio della prova. Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei quesiti in cui si articola il questionario. PROBLEMA L'equazione y = a + b + c rappresenta in un sistema di coordinate cartesiane ortogonali delle parabole con asse parallelo all'asse delle y. a) determinare in funzione del coefficiente a, i coefficienti b e c che individuano la famiglia Γ delle parabole passanti per i punti A(-;) e B(-;). b) Determinare e rappresentare nel piano cartesiano il luogo α dei vertici delle parabole della famiglia Γ. c) Calcolare l area della parte finita di piano compresa tra la retta y= e la curva α precedentemente rappresentata. d) Trovare le due parabol della famiglia Γ aventi vertici rispettivamente in A e in B. e) calcolare il rapporto tra l'area S della regione di piano racchiusa tra le due parabol e l'area R del quadrilatero determinato dalle tangenti in A e in B alle due parabole. f) Calcolare il volume del solido che si ottiene ruotando attorno all'asse delle la superficie delimitata, oltre che dall'asse stesso, dall'arco OA (essendo O l'origine degli assi cartesiani) della parabola γ e dall'arco AB della parabolaγ. Simulazione matematica Pagina 4 di 4

5 PROBLEMA Se il polinomio f() si divide per ( + ) si ottiene come quoziente e come resto. a) Determinare f(). f ( ) b) Studiare la funzione y = e disegnarne il grafico G in un piano riferito ad un sistema ( + ) di assi cartesiani ortogonali (Oy). c) Per il punto P di G avente ascissa (-) condurre l equazione della retta t tangente a G e l equazione della retta s parallela all asintoto obliquo di G. d) Determinare l area del triangolo PQR essendo Q l ulteriore punto di intersezione tra t e G ed R l ulteriore punto di intersezione tra s e G. e) Calcolare l area della parte finita di piano (collocata nel primo quadrante) compresa tra l asintoto obliquo, la curva G, e la retta =3. f) Dopo aver determinato la parabola di vertice P e asse di simmetria coincidente con l asse e passante per il punto T di intersezione tra i due asintoti, calcolare il volume del solido ottenuto facendo ruotare l arco di parabola PT intorno all asse. QUESTIONARIO 3 ) Data l equazione y = + + b + a determinare a e b in modo che la funzione che essa rappresenta passi per A (,-) ed abbia in questo punto tangente parallela alla retta y =.Successivamente determinare la tangente alla funzione trovata nel suo punto di intersezione con la parabola y = +. ) Sul diametro AB di una circonferenza di raggio r è costruito un trapezio rettangolo in modo che AB è la sua base maggiore mentre la base minore CD è contenuta in una delle due tangenti alla circonferenza parallela ad AB. Determinare il volume del solido generato dal trapezio quando esso ruota attorno alla base maggiore. 3) Sia f() una funzione di variabile reale, continua su tutto l asse reale, tale che: f( ) d= e f( ) d= 5. () Di ciascuno dei seguenti integrali: f d, f ( d ), dire se le condizioni () sono sufficienti per calcolarne il valore e in caso di risposta affermativa qual è questo. 5 4) Dato il moto rettilineo di equazione s = t 6t + t trovare in quale istante l accelerazione è nulla. Simulazione matematica Pagina 5 di 5

6 5) Determinare per quali valori di k la funzione flessi. 3 y = ha per punti stazionari soltanto dei + k + 6) Una piramide è divisa da un piano parallelo alla base in due parti: una piramide e un tronco di piramide. Il piano sezione divide l altezza della piramide in due parti, di cui quella che contiene il vertice della piramide è doppia dell altra. Stabilire se i dati sono o no sufficienti per calcolare il rapporto fra il volume della piramide recisa e quello del tronco di piramide e in caso affermativo calcolare tale rapporto. 7) Sia f() una funzione reale di variabile reale. Si sa che: f() è derivabile su tutto l asse reale; f()= solo per =; f() per ; f ()= soltanto per =- e =; f(-)= ed f()=-. Dire, dandone esauriente spiegazione, se le informazioni suddette sono sufficienti per determinare gli intervalli in cui la funzione è definita, quelli in cui è continua, quelli in cui è positiva, quelli in cui è negativa, quelli in cui cresce, quelli in cui decresce. Si può dire qualcosa circa i flessi di f()? 8) Calcola l area della regione illimitata di piano compresa tra la curva di equazione suo asintoto verticale e l asse delle ascisse. y =, il 9) Calcolare il seguente limite: lim ( sent ) t dt ) Stabilisci per quale valore del parametro k la funzione f ( ) = ln 48 nell intervallo [ ; ]. 4 + k 4 ha valore medio uguale a Simulazione matematica Pagina 6 di 6

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