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1 Soluzione della simulazione di prova del 9/5/ PROBLEMA È data la funzione di equazione: k f( ). a) Determinare i valori di k per cui la funzione ammette punti di massimo e minimo relativi. b) Scrivere il luogo dei punti estremanti e rappresentarlo graficamente. c) Individuare il valore di k per il quale la funzione ha, nel suo punto di ascissa, tangente appartenente al fascio y q e scrivere l equazione di tale tangente. d) Studiare e rappresentare la funzione γ individuata al punto c. e) Indicare con A ed F i punti di ascissa positiva in cui la funzione γ determinata ha, rispettivamente, ordinata nulla e un flesso: calcolare l area S della parte di piano limitata dalla curva e dalla retta AF. a) k f( ) Dominio k ( k ) k f '( ) 6 f '( ) k = Le ascisse dei punti estremanti sono k Ed esistono solo per k b) Il luogo degli estremanti in forma cartesiana è: k k y k y y Dominio. È dispari, infatti f ( ) ( ) ( ) f Non ha zeri, è positiva per. lim lim c) y q m d) k f '( ) f '() k f '() k k = k f( ) f (), il punto di tangenza ha coordinate P (;), la tangente ha equazione y f( ) è una funzione dispari, il dominio è D (,) (, ) y y zeri A( ;) B(;) y segno y y C(; )

2 Soluzione della simulazione di prova del 9/5/ limiti lim lim lim avendo applicato la regola di de L Hôpital alle forme indeterminate Studio della derivata prima f '( ) lim lim lim e. Dominio, f '( ) per, assume segno positivo nell intervallo tra le radici. La tabella di monotonia è: + Il minimo N ; ; Il massimo M ;. Studio della derivata seconda f ''( ) 8 5 ( ) Dominio, f ''( ) per 6, assume segno positivo per 6 6. La tabella di concavità è: Il flesso F 6; 6 6 ; è un flesso obliquo ascendente; la tangente inflessionale ha coefficiente angolare 5 Il flesso F 6; 6 6 ; è un flesso obliquo discendente; la tangente inflessionale ha coefficiente angolare m f '( 6) m f '( 6) e) (;) F A 5 6; 6 6 La retta AF ha equazione 6 6 y 6 ( ) ( ) d ( ) d ln ln 6

3 Soluzione della simulazione di prova del 9/5/ PROBLEMA Considerare la funzione f ( ). a) Studiare l andamento di y f ( ) e tracciarne il grafico. b) Analizzare i punti in cui la funzione è continua ma non derivabile. c) Dopo aver enunciato il teorema di Lagrange per le funzioni reali di una variabile reale, provare che nell intervallo ; vale il suddetto teorema e calcolare l ascissa del punto di contatto tra la curva e la tangente di cui tratta il teorema. d) Calcolare l integrale definito I f ( ) d e spiegare perché esso non rappresenta la misura dell area compresa tra la curva, l asse delle e le rette e. e) Calcolare, infine, la misura dell area della regione di piano descritta dal punto d. È una funzione definita per casi. Sciogliendo il modulo si ha: f( ) zeri per per per y y Dominio = R né pari, né dispari per y y y segno per si ha sempre y per pongo ( ) ( ) Limiti I.P. lim ( ) ci potrebbe essere l asintoto obliquo ( ) m = lim q = lim ( ) non c è l asintoto obliquo lim ( ) Derivata prima come sopra, anche in questo caso non c è l asintoto obliquo.

4 Soluzione della simulazione di prova del 9/5/ per f '( ) per Classifico il punto di non derivabilità: Dominio, la funzione non è derivabile in = lim f '( ) in = la funzione ha un flesso a tangente verticale Punti stazionari: f '( ) M.V. per punto stazionario di minimo 7 Infatti f '( ) per e 7 S.V. come riepilogato nella tabella di monotonia 7 f '( ) f ( ) Derivata seconda f ''( ) per. 5 9 Il segno della derivata seconda è positivo per < e negativo per >; Il grafico è : + Soluzione non completa (il resto nella prossima puntata, domani pomeriggio)

5 Soluzione della simulazione di prova del 9/5/ QUESTIONARIO ) Determinare l equazione della parabola P, con asse parallelo all asse delle ordinate, sapendo che: a) essa è tangente alla retta y nel punto di ascissa ; b) l area della regione finita di piano delimitata dal grafico di P, dall asse delle ascisse, dall asse delle ordinate e dalla retta misura 5 6. y a b c f '( ) a b La tangente nel punto di ascissa ha coefficiente angolare m f '(), quindi ab. Il punto appartiene alla retta, quindi ha coordinate (,) e appartiene alla parabola, quindi ab c. Calcolo l integrale definito per ottenere la terza condizione: a b ( a b c) d a b c c quindi a b 5 c 6 Le tre condizioni da imporre sono: ab a b c a b 5 c 6 che risolto dà b c a y ) Dopo aver dimostrato che f ( ) ln( ) arctg è invertibile nel suo campo di esistenza, determina il coefficiente angolare della retta tangente alla curva avendo indicato con f ( ) la funzione inversa di f( ). y f ( ) nel suo punto O (; ), Il dominio della funzione è limitato ai valori positivi dell argomento del logaritmo; quindi è > -. Se dimostro che f() è monotona, avrò una funzione biiettiva e, quindi, invertibile. La derivata prima è sempre positiva nel CE, quindi la funzione è strettamente crescente e f '( ) invertibile. Calcolo la derivata della sua funzione inversa: ( )( ) ( )( ) Df ( ) Df ( ) Il coefficiente angolare della tangente in O(;) è, quindi, e la tangente richiesta è y. 5

6 Soluzione della simulazione di prova del 9/5/ ) Un cavo lungo cm viene tagliato in due parti. Una delle due parti, lunga, viene piegata a forma di circonferenza, l altra a forma di quadrato. Stabilire per quale valore di la somma delle due aree è minima. Per la circonferenza, r r. Per il quadrato, il lato è l La funzione da rendere minima è f( ) e semplificando f( ) La derivata prima f '( ) f '( ) 8 ) In Italia, a partire dal 99, viene rivoluzionato il sistema di numerazione delle targhe automobilistiche: scompare la sigla della provincia e la targa si compone di una combinazione di due lettere, tre cifre e altre due lettere (Esempio: AX 7 ZZ). Le lettere utilizzabili sono quelle dell alfabeto inglese ad esclusione di I, O, Q e U. Si calcoli quante targhe automobilistiche diverse si ottengono con questo sistema. Si tratta di disposizioni con ripetizione di lettere su posti e di cfre su posti. D ', D', 56 targhe diverse. 5) Ad un cilindro equilatero, avente raggio di base unitario, si circoscriva il cono circolare retto, con base complanare a quella del cilindro e il cui volume è minimo. Il cilindro è equilatero quindi h=r. Il raggio è unitario quindi r= e h=. Il cono è retto quindi la proiezione ortogonale del suo vertice cade nel centro della base del cilindro. In figura è rappresentata la sezione piana del solido ottenuta con un piano passante per l asse del cilindro. Si osserva che i triangoli ABC e AFD sono simili per il criterio di similitudine, avendo i tre angoli ordinatamente uguali, come angoli corrispondenti di rette parallele tagliate dalle trasversali AB e AC. Posto AF=, con >, si ha: altezza del cono AB Per determinare il raggio BC di base del cono in funzione di : BC : FD AB : AF BC : ( ) : BC Il volume del cono: f ( ) BC AB 6

7 Soluzione della simulazione di prova del 9/5/ f '( ) raccogliendo e semplificando si ottiene: f '( ) la derivata prima si annulla per =-, non accettabile, e per =, accettabile. Risulta positiva a destra di e negativa alla sua sinistra, quindi = è l ascissa del f '( ) f ( ) 9 minimo. L ordinata del minimo, cioè il volume del cono, vale Vcono 6) Si dica perché non è possibile calcolare il limite seguente con la regola di de l Hôpital e si applichi la sen regola opportuna per calcolarlo: lim La funzione seno è una funzione oscillante, quindi il limite del seno per non esiste per il teorema della permanenza del segno. Quindi il limite richiesto non è una forma indeterminata prevista dal teorema di de l Hôpital. Tuttavia il limite si può determinare applicando il teorema del confronto: sen sen lim lim infatti lim ed anche sen lim sen In particolare dimostro che lim. La funzione seno è limitata sen. Nell intorno di I valori sen di sono positivi, quindi divido tutta la diseguaglianza per mantenendone i segni La funzione minorante per. Anche la funzione maggiorante per. sen Quindi per il teorema del confronto anche per 7) La funzione definita da t q e cos t descrive il passaggio della carica elettrica q nella sezione di un conduttore al variare del tempo t. Considerare la funzione data nell intervallo ; e determinare il valore massimo dell intensità di corrente i in tale intervallo. La corrente è la derivata prima della qt (). il massimo di it () occorre calcolarne la derivata.. Per determinare t i( t) q'( t) e cos t sen t di dt t 8e sen t Ponendola uguale a zero si ha 7

8 Soluzione della simulazione di prova del 9/5/ t l equazione 8e sen t che si riduce a sen t e che ammette come soluzioni t t e quindi t t. Il primo valore corrisponde al massimo che vale ma e i. Il secondo valore è il minimo della corrente e vale i sostituendo i valori di t trovati nell espressione della it (). min e, come si ottiene facilmente 8) Calcolare il valore del seguente integrale Calcolo prima l integrale indefinito avendo applicato la regola '( ) ( ) cos send. sen cos send sen c f( ) f f d c L integrale definito vale cos send sen 9) Il grafico in figura rappresenta l andamento della derivata prima f '( ) di una funzione f( ). Si considerino le seguenti affermazioni relative alla funzione f( ): (a) che è monotona crescente (b) che ammette un minimo relativo (c) che ammette un massimo relativo (d) che non ammette flessi. Dire se ogni affermazione è corretta o meno, giustificando adeguatamente la risposta. (a) Vera, infatti la derivata prima risulta mai negativa f '( ) in tutto il dominio. (b) Falso, ha un punto stazionario nell origine degli assi ma la f () non cambia segno nel suo intorno, quindi è un flesso a tangente orizzontale. (c) Falso, come nel punto (b). (d) Falso, condizione necessaria per l esistenza di un flesso è che la derivata prima sia nulla e questo si verifica in =, quindi il flesso c è. Uno dei possibili grafici di f() Anche se non richiesto, conviene disegnare il grafico di una delle possibili primitive, fissando a piacere la costante di integrazione. 8

9 Soluzione della simulazione di prova del 9/5/ ) Per quali valori di k il grafico di y 7 k k presenta due asintoti paralleli all asse y? Per quale valore di k i due valori distano? Gli asintoti richiesti sono verticali di equazione e. e devono essere radici distinte del denominatore quindi si chiede che il denominatore k k abbia. ( k ) k k k k k k k Le radici sono k k k e k k k La distanza è la lunghezza di un segmento parallelo all asse, quindi: k k k k k k k k k k entrambi valori accettabili. k k k k 6 k k k k k THE END 9

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